高中数学必修一精讲精练

目录

第一节集合 (2)

第一课时：集合的含义与表示 (2)

第二课时：集合间的基本关系和集合的运算 (7)

第二节函数及其表示 (12)

第三课时：函数的概念 (12)

第四课时：函数的表示方法 (18)

第三节函数的基本性质 (24)

第五课时：函数的单调性 (24)

第六课时：函数的奇偶性 (27)

第四节基本初等函数 (30)

第七课时：指数与指数幂的运算 (30)

第八课时：指数函数及其性质 (35)

第九课时：对数与对数的运算 (41)

第十课时：对数函数及其性质 (45)

第十一课时：幂函数 (51)

第五节函数的应用 (54)

第十二课时：方程的根与函数的零点 (54)

第一节集合

第一课时：集合的含义与表示

一、课本知识梳理

1. 集合

1.1一般地，我们把________________统称为元素，把一些元素组成的___________叫做集合。

1.2集合相等：只要构成两个集合的元素是__________的，我们就称这两个集合是相等的。

1.3集合与元素的表示：通常用__________________表示集合。通常用__________________表示集合中的元素。

1.4集合中元素的特性：_____________、____________、_____________.

1.5元素与集合的关系：、。

1.6常用数集及表示符号

1.7集合的表示方法

1.8集合的分类

1.8.1集合按元素个数分为、、，我们所说的单元素集合、双元素集合也是根据集合中元素的个数分类的。

1.8.2集合按元素的属性分为数集、点集、序数对等。

二、课本知识理解

1.集合是现代数学中一个原始的、不定义的概念.集合语言是数学中最基础、最通用的数学语言，它精确

地表达了各类对象之间的关系，能更简洁、更准确的表达有关的数学内容.

2.集合中的元素可以是人、物品、数学对象等，其种类没有限制，但这些对象必须是确定的.

3.集合中的元素可以有相同的特征，也可以是不同类的，只要它们能够确定，并且集中在一起，就能构

成一个集合.

4.集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三大特征，利用这三大特征，一方面可以判断一些对象能

否构成集合，另一方面可以解决与集合有关的问题.

5. 元素与集合之间有两种关系：属于和不属于，这两种关系只适合元素与集合，不能用于集合与集合之

间.根据集合中元素的确定性，这两种关系必有一种且只有一种成立. 6. 集合的表示方法有三种：列举法、描述法、图示法，这三种方法各有优缺点.

① 用列举法表示集合时①元素之间用“，”分隔；②元素个数较少或元素个数较多但是有明显规律时

可用列举法，例如正整数集；③元素个数较多又没有明显规律时不适合用列举法.

② 用描述法表示集合时，一是要明确集合中的元素，二是要明确元素满足的条件，不能出现未被说

明的字母，所有描述的内容都要写在括号内，用于描述的语句力求简明、确切. ③ 用图示法表示集合时，①元素个数不宜过多；②可以用于表示集合与集合之间的关系.

三、基础能力自测

1.判断以下元素的全体能构成集合的有（ ）

（1）大于3小于100的奇数；（2）班里的高个子；（3）方程x x =2

的所有实数根；（4）中国古代的美女. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2.自然数集中最小的元素是1，这句话对吗？________________________.

3.集合{1，2，3}与集合{3，2，1}相等吗？________________________.

4.若集合m m A 则},,0,1{=满足的条件为________________________.为什么？

5.若集合1},0{2-=+=则x x x A ________A

6.设集合M={平行四边形}，p 表示某个矩形，q 表示某个梯形，则p_____M, q______M

7.将集合},42{Z x x x ∈<<-用列举法表示出来是_____________________.

8.不等式183-<+x 的解集用描述法表示为_____________________.

9.全体偶数集用描述法表示为_________________________________. 10.集合A={0，1，2}，集合B=}1{A x x ∈-，则B=_____________________. 11.点的集合M ＝}0),{(≥xy y x 是指 （ ）

A. 第一象限内的点集

B. 第三象限内的点集

C. 第一、第三象限内的点集

D. 不在第二、第四象限内的点集 12.若集合A ＝｛（0,2）,（0,4）｝，则集合A 中元素的个数是 （ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

四、典型例题精讲精练

例1.考察下列每组对象能否组成一个集合。

（1）美丽的小鸟； （2）不超过20的非负整数；

（3）立方接近零的正数； （4）直角坐标系中，第一象限内的点。 练1.下列对象能否组成一个集合？

（1）跑的快的人；（2）比8大3的整数；（3）平面直角坐标系内的所有点；（4）很小的实数. 例2.已知集合A 含有三个元素1，0，x .若x 2∈A,求实数x 的值。

练2.已知集合A 2

,,1x x 由

三个元素构成，集合B 由1，2，x 三个元素构成，若集合A 与B 相等，求x 的值.

例3.若所有形如23+a b (a ∈Z,b ∈Z )的数组成集合A ，判断226-是不是集合A 中的元素.

练3.集合A 是由形如3

21),(,3-∈∈+的数构成的，判断Z n Z m n m 是不是集合A 中的元素.

例4．用适当的方法表示下列集合：

（1）比5大3 的数； （2）方程013642

2

=++-+y x y x 的解集；

（3）不等式23>-x 的解的集合； （4）二次函数102

-=x y 图像上的所有点组成的集合.

练4. 用适当的方法表示下列集合：

（1）所有4的整数倍组成的集合； （2）不等式632<+x 的解的集合； （3）大于6且小于11的整数组成的集合；（4）所有平行四边形组成的集合.

例5.集合A={1,3,5,7,…}用描述法可表示为（ ） A.},{N n n x x ∈= B. },12{N n n x x ∈-= C. },12{N n n x x ∈+= D. },2{N n n x x ∈+= 练5.请用描述法表示下列集合：

（1）全体偶数组成的集合：___________________________； （2）全体奇数组成的集合：___________________________；

（3）x 轴上的点组成的集合：_____________________________________； （4）坐标轴上的点组成的集合：______________________________________； （5）第二象限内的点组成的集合：______________________________________； （6）第二、四象限内的点组成的集合：__________________________________.

五、课堂练习题组

A 组

1.给出以下四个对象，其中能构成集合的个数为（ ） ①2010年上海世博会的所有参展国家 ②与2接近的全体实数； ③学校图书馆好看的书；④2008年北京奥运会的所有比赛项目。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

2.已知集合A 含有三个元素2，4，6，且当a ∈A,有6-a ∈A,那么a 为（ ） A.2 B.2或4 C.4 D.0

3.已知集合}1,1{+=m A ，则实数m 满足的条件是__________.

4.已知集合P 中元素x 满足：a x N x <<∈2,且，又集合P 中恰有三个元素，则整数a =__________.

5.已知A=∈-+-3},12,52,2{2

且a a a A ，求实数a 的值. 6.已知集合A=}012{2=+-x ax x

（1）若A 中恰好只有一个元素，求实数a 的值； （2）若A 中至少有一个元素，求实数a 的取值范围。

B 组

1.下列集合中，表示同一个集合的是 ( )

A.)}3,2{()},2,3{(==N M

B.}3,2{},2,3{==N M

C.}1{},1),{(=+==+=y x y N y x y x M

D.)}3,2{(},3,2{==N M

2.方程组 ?

??-=-=+11

y x y x 的解集是 ( )

A .}1,0{==y x B.}1,0{ C. )}1,0{( D.}10),{(==y x y x 或 3.集合{}

23<-∈+x N x 用列举法表示应是 ； 4.在直角坐标系中，坐标轴上的点的集合可表示为

5.若}4,3,2,2{-=A ，},|{2

A t t x x

B ∈==，用列举法表示B =

6.设集合B=}26

{N x

N

x ∈+∈ . (1) 试判断元素1和2与集合B 的关系； (2) 用列举法表示集合B.

第二课时：集合间的基本关系和集合的运算

一、课本知识梳理

1.子集概念

1.1定义：一般地，对两个集合A,B，如果集合A中的_____________元素都是集合B中的元素，我们

就说这两个集合有_____________关系，称集合A为集合B的子集，记作_________________，读作“A

包含于B”（或“B包含于A”）.

1.2子集的定义用数学符号表述为：____________________________________.

1.3用Venn图表示为：__________________________.

1.4一个集合中有n个元素，则这个集合有个子集，有真子集。

2.真子集概念

2.1定义：如果集合___________，但存在元素_________________，我们称集合A是集合B的真子集，

记作_________________，读作“A真包含于B”（或“B真包含于A”）.

2.2用Venn图表示为：__________________________.

3.用子集的概念描述集合相等：如果，那么

就说集合A与集合B相等，记作A=B.

4.空集

4.1定义：_________________的集合，叫空集.

4.2用符号表示为_____________.

4.3规定：空集是任何集合的______________.是任何非空集合的真子集。

5.子集的有关性质

5.1任何一个集合A都是它本身的___________，即_______________.

5.2对于集合A，B，C，如果A?B, B?C，那么_______________.

6.集合运算的基本概念

6.1并集：一般地，由__________________________________所组成的集合，称为集合A与B的并集，记作_________________（读作“A并B”），用数学符号语言表述为______________________________。

6.2交集：一般地，由__________________________________所组成的集合，称为集合A与B的交集，记作_________________（读作“A交B”），用数学符号语言表述为______________________________。

6.3全集：一般地，如果__________________________________，那么就称这个集合为全集，通常记为U。

6.4补集：对于一个集合A，由全集U中_______________________________组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作_________________，用数学符号语言表述为__________________________________。

7.集合运算的基本性质

⑴A∩B=B_____A，A∪B=B____A.

⑵(A ∩B)∩C=A____(B ∩C),(A ∪B)∪C=A____(B ∪C).

⑶A ∩(B ∪C)=(A ∩B) ______(A ∩C),A ∪(B ∩C)=(A ∪B) ______(A ∪C). ⑷A ∩B______A ，A ∩B______B ，A______A ∪B ，B______A ∪B. ⑸A ∩?=______,A ∪?=______.

⑹若A ?B,则A ∩B=______,A ∪B=______.

⑺C U （C U A ）=______，C U U= ______，C U ?=______.

二、课本知识理解

1. 若A ?B ，则包括A B 和A=B 两种情况，正确区分子集与真子集概念是解题的关键.

2. 写一个集合的子集时，按子集中元素个数的多少，以一定的顺序来写不易发生重复和遗漏现象.

3. 两个集合相等时，其所含的元素完全相同，与顺序无关，但要注意检验，排除与集合元素互异性或与

已知矛盾的情况.

4. 分析两个集合之间的关系时，通常借助于数轴，利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以

形定数，还要注意验证端点值，做到准确无误,一般含“=”用实心点表示，不含“=”用空心点表示 5. 要注意并集定义中的“A ∪B ”是由集合A 和集合B 中所有元素组成的集合，必须保证不重不漏. 6. 深刻领会“或”的内涵：并集语言中的“或”与生活用语中的“或”的含义是不同的，生活语言中的

“或”是“或此”“或彼”只取其一，并不兼存，而并集中的“或”则是“或此”“或彼”“或此彼”，可兼有.

7. 交集是两个集合的公共元素组成的集合，当两个集合没有公共元素时，不能说它们没有交集，而应说

交集为空集.

8. 全集是相对于研究的问题而言的，如果我们只在整数范围内研究问题，则Z 为全集，而当问题扩展到

实数集时，则R 为全集，这时Ｚ就不是全集．

9. 求一个集合的补集的前提是这个集合是全集的子集．

10. 在解答集合的交、并运算时，常会遇到Ａ∪Ｂ＝Ｂ，或Ａ∩Ｂ＝Ａ等这类问题，解答时应充分利用交

集、并集的有关性质，准确转换条件，有时也借助于数轴分析处理，另外还要注意“空集”这一隐含条件．

三、基础能力自测

1.集合{0，1}的子集有（ ）

A ．1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列说法正确的有 （ ）

①空集没有子集；②任何集合至少有两个子集；③空集是任何集合的真子集；④若? A ，则A ≠?

A ．0个 B.1个 C.2个 D.3个 3.用适当的符号填空.(?∈,，，=）

⑴a _________};,,{c b a ⑵?__________};01{2

=+∈x R x ⑶}0{__________}{2

x x x =； ⑷}1,2{_________}.023{2

=+-x x x

4.若集合A 中元素的个数为5个，则它所有子集的个数为_______个，真子集的个数为________个.

5.写出集合A=}3,2,1{的所有子集.

6.集合A={1，2，4}，B={2,3,6},则A ∪B=（ ）

A ．{1，2，2，3，4，6} B.1，2，3，4，6 C ．{2} D.{1，2，3，4，6}

7.集合A={1，2}，集合B={（1，2）}，则A ∩B= （ ）

A.{1,2}

B.{(1,2)}

C. ?

D.{1，2，（1，2）}

8.集合A=},2,0{a ，B=},1{2

a .若A ∪B={0，1，2，4，16}，则a 的值为（ ） A ．0 B.1 C.2 D.4

9.已知全集U={}51≤≤x x ，A={}21<≤x x ，则C U A=_________________. 10.已知全集U={0，1，2}，且C U A={2}，则A=_______________. 11.设集合A={}21<<-x x ，集合B={}31<

四、典型例题精讲精练

例1.写出满足},{b a A },,,{d c b a 的所有集合A.

练1.若? A },,,{d c b a ?，写出所有集合A.

例2：若},,0{},,1{2b a a a

b

a +=，求20112011

b a +的值.

练2.已知集合A=，，且B A },,0{B },,,{A ==-=y x y x xy x 求实数y x 与的值.

例3.已知集合A=，且B A }32{B },222{?<<-=+<<-x x a x a x 求实数a 的取值范围.

练3.已知不等式1+<

例4.若集合A={}32<<-x x ，B={}41>-

练4已知集合M =}13{<<-x x , N={x x ≤―3}，求M ∪N , M ∪N.

例5.已知全集U ，集合A={1，3，5，7}，C U A={2，4，6}, C U B={1，4，6}，求集合B.

练5.设集合A=},21,{B },40{2

<<--==<

例6.设集合A={-2}，B={},01R a ax x ∈=+，若A ∩B=B ，求a 的值.

练6.已知全集U=}32,3,2{2

-+a a ，若A=}2,{b ，C U A={5}，求b a ,的值.