矩阵的简单运算公式

矩阵的运算

（一） 矩阵的线性运算

特殊乘法:222()A B A AB BA B +=+++ 2

22

()()()

A B A B A B A B

=≠ （二） 关于逆矩阵的运算规律

111

1

1

11

1

1(1)()(2)()

/(3)(

)(

)(4)()(

)

T

T n n

A B B A

k A A

k A A A A

---------====

（三） 关于矩阵转置的运算规律

(1)()(2)()T T T

T T T

A B B A

A B B A

=+=+ （四） 关于伴随矩阵的运算规律

**1

*2

***1*

**1*11**1(1)(2)(2)(3)()(4)(),

()(5)()1,()1

0,()2(6)()()()n n n AA A A A E A A

n A A

A

kA k A n r A n r A r A n r A n A A A A A A A A A

-------===≥===??

==-??≤-?=

==若若若若可逆，则，，

（五） 关于分块矩阵的运算法则

1

1

1

110000(2)000

0T

T T T

T A B A C C D B D B B B C C C

C B

-----??

??

=????????????????==????????????????(1)；，

（六） 求变换矩阵

()121

1

2

11121311111121222321121121313233313131100(a )(2)i

n n i i i ij i i i i A T TAT T P P P AP P A a a a p p p a a a p p P

p a a a p p p AP P P i λλλλλλλ--??

?

?= ? ?

?

?===???????? ??? ? ?

=→= ??? ? ? ??? ? ?????????=+≥已知矩阵，及其特征值求使得，设，则其中若有重根则时再1

T T -由求

（七） 特征值与矩阵

（1）

212122a A=a a

A =a a,=n A A λλ-=ΛΛΛA 若可以化成对角型，则存在矩阵使得所以特征值；对于A 仍然适用。

（2）1

-11111A =(a a )a a 1/A A λλ-----Λ=Λ=因此

麦克劳林展开式

23521

242231

(1)e 12!

(2)sin (1)3!5!21!

(3)cos 1(1)2!4!2!

(1)

(1)

(1)(2)

(4)(1)12!

3!

!

n

x

n n n

n

n

n

k x x x n x x x x x n x x x

x n k x x x x x n αααααααα+==+++

=-+-+-+=-+-+--+---+=++

+

+

+

∏

第一章

1.1线性空间：

定义1：设V 是一个非空集合，P 是数域，在V 中定义如下两种计算：

1.加法：对于任意两个元素,V αβ∈ ，按照某一法则，总有唯一元素V γ∈ 与之对应，则=γαβγαβ+称为，之和，记为。

2.数乘：对于任意一个k P ∈及任意元素V α∈按照某一法则，总有唯一的元素=V k k δδαδα∈与之对应，称为与的数乘，记为 满足以下八种运算规律，该空间为线性空间： 1) =αββα++

2) ()()αβγαβγ++=++

3) 在V 中存在一个元素0，使它对任意V α∈ ，都有0=αα+ 。拥有这一性质的元素称

为零元素

4) 对任意V α∈，在V 中存在相应元素β ，使得=0βα+，称β为α的负元素，记为-α 5) ()k k k αβαβ+=+ 6) ()k l l k ααα+=+ 7) ()()k l kl αα= 8) 1*α=α

1.2线性子空间：

定义：V 是线性空间，W 是V 的一个非空子集，如果W 中定义的加法与数乘对应于W 封闭构成线性空间，则W 是V 的子空间。记为W V ∈ 。

充要条件：W 对应于V 中两种运算都必须封闭、

1.3内积空间

定义：设V 是数域P 上的线性空间，对于V 上的两个向量α和β按照某一法则都有唯一的复数与他们相对应，且具有以下性质（,,V k P αβγ∈∈， ）

(1)(,)(,);

(2)(,)(,)(,)(3)(,)(,)

(4)(,)0,=0(,)=0

k k αββααβγαγβγαβαβααααα=+=+=≥当且仅当时， 称(,),αβαβ为向量的内积

1.4线性变换

定义1：对于线性空间V 中任意一个向量α，按照一定规律总存在α’与之对应，则成这一规律为V 上的一个变换（映射）。记为：`(),``

ασααααα=称为的象，为的原象 。 线性变换定义：数域P 上的线性空间V 的一个变换σ 对于任意,V V k P αβ∈∈∈，满足(1)()()();(2)(k )k ()

σαβσασβσασα+=+=

1.5正交变换与酉变换：

定义1：若数域P 上的欧式空间（酉空间）V 上的线性变换σ ，对任意

=V ασαα∈，都有（） 则称V σ为上的正交变换。（酉变换）

酉空间定义：设V 是复数域C 上的线性空间，对于V 上的2个向量x ，y 如果能给定某种规则，使得x,y 对应一个复数（x,y ），它能满足以下条件： ()()()()()()()

()(),,;

,,z ,z ,,,0,0,0.

x y y x x y z x y kx y k x y x x x x x ++=≥==（1）=（2）=（3）（4）当且仅当时，

则称该复数(),x y 是向量x 与y 的内积。如此定义了那内积的复数域C 上的线性空间叫做酉空间（U 空间）。

H A 表示转置共轭向量，即H -T A =A H H AA =A A=E 则，A 为酉矩阵。