高中数学真题与经典题一题多解解法与解析
函数篇
【试题1】（2016全国新课标II 卷理16）若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线，也是曲线ln (1)y x =+的切线，b = ． 【标准答案】1ln 2-
解法一：设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+和ln (1)y x =+切点分别是
11(,ln 2)x x +和22(,ln (1))x x +．
则切线分别为：111ln 1y x x x =?++，()2
2221ln 111x y x x x x =
++-++ ∴()12
2
12
21
11ln 1ln 11x x x x x x ?=?+??
?+=+-?+?
解得112x = 21
2x =-
∴解得1ln 11ln 2b x =+=-
解法二：设直线y kx b =+与曲线ln 2y x =+和ln (1)y x =+切点分别是11(,)x y 和
22(,)x y ．
∵曲线ln 2y x =+通过向量()1,2平移得到曲线()ln 1y x =+ ∴2121(,)(1,2)x x y y --=
∴两曲线公切线的斜率2k =，即112x =，所以1
ln 11ln 22
b =+=-
【试题2】【2015新课标12题】设函数()(21)x f x e x ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得0()0f x <，则a 的取值范围是( ) A.32[,1)e
-
B 33,24e -
（）C.33[,)24e D.3
[,1)
2e
解法一：由题意可知存在唯一的整数0x 使得000(21)x e x ax a -<-，设
()(21),()x g x e x h x ax a =-=-由'()(21)x
g x e x =+，可知()g x 在1(,)2
-∞-上单调递减，
在1
(,)2-+∞上单调递增，故
(0)(0)
(1)(1)h g h g >-≤-??
?得312a e
≤< 解法二：由题意()0f x <可得(21)(1)x e x a x -<- ①当1x =时，不成立；
②当1x >时，(21)1x e x a x ->-，令(21)
()1
x e x g x x -=-，则22
(23)'()(1)x e x x g x x -=-， 当3(1,)2x ∈时，()g x 单调递减，当3(,)2
x ∈+∞时，()g x 单调递增 所以32
min
3()()42
g x g e ==，即3
24a e >，与题目中的1a <矛盾，舍去。
③当1x <时，(21)1x e x a x -<-，令(21)
()1
x e x g x x -=-
同理可得：当(,0)x ∈-∞时，()g x 单调递增，当(0,1)x ∈时，()g x 单调递减 所以max ()(0)1g x g ==，即1a <，满足题意。 又因为存在唯一的整数0x ，则3(1)2a g e
≥-= 此时3
[
,1)2a e
∈ 综上所述，a 的取值范围是3[
,1)2e
解法三：根据选项，可以采取特殊值代入验证，从而甄别出正确答案。 当0a =时，()(21)x f x e x =-，'()(21)x f x e x =+，可知()f x 在1(,)2
-∞-递减，在1(,)2
-+∞递增，又(0)10f =-<，1(1)30f e --=-<，不符合题意，故0a =不成立，排除答案A 、B.
当34
a =时，33()(21)4
4
x f x e x x =--+，3'()(21)4
x f x e x =+-，因为3'()(21)4
x f x e x =+-为增函数，且31'(0)104
4
f =-=>，13'(1)04
f e --=--<，所以存在(1,0)t ∈-，使得'()0f t =，则()f x 在(,)t -∞递减，在(,)t +∞递增，又3
(0)104
f =-+<，13(1)302
f e --=-+>，
(1)0f e =>，易判断存在唯一的整数0，使得(0)0f <，故3
4
a =
成立，排除答案C. 解法四：0x =带入()f x 中可以得到(0)1f a =-，由题意可知1a <，所以(0)0f <，满足题目中存在唯一的整数，使得0()0f x <，所以只需要(1)0
(1)0f f >??
->?
即可，得到
312a e ≤<
【试题3】（2016年全国Ⅰ卷文科第12题）
若函数1
()sin 2sin 3f x x x a x =-+在()+∞∞-,单调递增，则a 的取值范围是（ ）
[]
1111.1,1.1,.,.1,3333A B C D ?????
?-----??????
?????
?
解法一：函数x a x x x f sin 2sin 31)(+-=的导数为x a x x f cos 2cos 3
2
1)('+-=
由题意可得0)('≥x f 恒成立，
即为0cos 2cos 32
1≥+-x a x
即有0cos cos 3
4
352≥+-x a x
设)11(cos ≤≤-=t x t ，即有at t 3452+-≥0，
当0=t 时，不等式显然成立；
当01t ≤<时，5
34a t t
≥-，
由t
t 5
4-在]1,0(递增，可得1=t 时，取得最大值1-，
可得13-≥a ，即31
-≥a ；
当01＜t ≤-时，t
t a 5
43-≤，
由5
4t t
-在[1,0)-递增，可得1t =-时，取得最小值1，
可得13≥a ，即3
1
≤a ．
综上可得a 的范围是]3
1
,31[-．
故选：C ．
解法二：函数x a x x x f sin 2sin 31)(+-=的导数为x a x x f cos 2cos 3
2
1)('+-=
由题意可得0)('≥x f 恒成立，
即为0cos 2cos 32
1≥+-x a x
即有0cos cos 3
4
352≥+-x a x ≥0，
设)11(cos ≤≤-=t x t ，即有at t 3452+-≥0，
由于二次函数)11(534)(2≤≤-++-=t at t t g 的开口方向向上,
因此只需要?
??≤-≤0)1(0
)1(g g
解得,即11
33
a -≤≤,故选：C ．
解法三：应用结论“奇函数的导函数是偶函数,偶函数的导函数是奇函数”
由题可得,因为函数x a x x x f sin 2sin 3
1
)(+-=的定义域为()+∞∞-,
且)()(x f x f -=-,所以)(x f 是奇函数. 根据结论可得,)('x f 是偶函数.
又因为函数x a x x x f sin 2sin 3
1
)(+-=在()+∞∞-,单调递增
则0)('≥x f 在()+∞∞-,上恒成立
因而必须满足3
1
00cos 0cos 3210)0('-≥?≥+-?≥a a f
因而根据选项,只有C 符合题意 故选C
【试题6】（2014年全国课标1理科数学第11题） 已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为
A .（2，+∞）
B .（-∞，-2）
C .（1，+∞）
D .（-∞，-1）
解法一:求导得()()23632f x ax x x ax '=-=-，若0a =，则()231f x x =-+，不合题意，舍去；若0a ≠，令()0f x '=解得0x =或2x a
=。
当0a <时，易知()f x 在2,a ??-∞ ???上单调递减，在2,0a ??
???上单调递增，在()0,+∞上单
调递减，结合()f x 的图像，只需有20f a
??
> ???
，解得2a <-。
当0a >时，易知()f x 在(),0-∞上单调递增，由()120f a -=--<，()010f =>，知
()f x 在()1,0-上有零点，不合题意，舍去；
综上所述，a 的取值范围为(),2-∞-，选B 。
解法二:由题意知，方程33310ax x -+=有唯一正根0x ，显然0x ≠，则313a x x
=-
+，令10t x
=≠，等价于方程33a t t =-+（0t ≠）有唯一正根，作出33y t t =-+（0t ≠）的图像，数形结合，a 的取值范围为(),2-∞-，选B 。
解法三:取3a =，()32331f x x x =-+，检验知不合题意，排除A ，C ；取43
a =-，
()324
313
f x x x =--+，检验知不合题意，排除D ，故选B 。
【试题7】：（2015江苏高考13）．已知函数
()()20,01ln ,42,1x f x x g x x x <≤??==?-->??
，则方程()()1f x g x +=实根的个数为
▲ ．
解法1：：()()1()1ln f x g x g x x +=?=±-，所以方程方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数即为曲线()y g x =和曲线1ln y x =±-的公共点个数之和。 曲线()y g x = 和曲线y 1ln x =-显然有2个公共点，
又因为(101ln1(221ln 2g g ?=>--??=-<--??）
）
，所以曲线()y g x = 和曲线y 1ln x =--也有2个公
共点，如图2所示
所以方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为4个。
解法2：：（1）当01x <≤时，()ln ln ,()0f x x x g x ==-=，原方程即为
1
ln 10x x e
-+=?=
，所以当01x <≤时，原方程有一个实根； （2）当12x <≤时，2()ln ,()2f x x g x x ==-，原方程即为2ln 21x x +-= 令21
()ln 2(12),()20F x x x x F x x x
'=+-<≤=
-<， 所以()(1,2]F x x ∈在上单调递减，得()[ln 22,1)F x ∈-，得2ln 21x x +-=只有一个实根。
（3）当2x >时，2()ln ,()6f x x g x x ==-，
原方程即为222ln 61ln 7ln 5x x x x or x x +-=?+=+=。
令2()ln (2,)G x x x x =+∈+∞在上单调递增，所以()(ln 24,)G x ∈++∞，因此
22ln 7ln 5x x or x x +=+=各有一个实根。
综上，方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为4。
解法3：首先去掉绝对值符号,有
()()2
2<1ln 01212ln 1
62
o o x x x f x g x x x x
x x x ≤?-<≤??
==-<≤?
?>??->?
()()22
ln 01ln 212ln 62x x f x g x x x x x x x ?-<≤??
+=+-≤≤??+->??
故对()()1f x g x +=,应该分3种情况讨论.
（1）01x <≤时,有：1
ln 1x x x e e
-=?==或（与1x ≤不符,舍去）;
（2）12x ≤≤时,有：222ln 21ln 1ln 3x x x x x x +-=?=-=-,or,
2ln 1x x =-时,显然1x =适合; 2ln 3x x =-时,
[][]1,2,ln 0,ln 2,x x ∈∴∈
[]231,1,x -∈-而 [][]0,ln21,1?-
如解图,两曲线23ln y x y x =-=与在区间[]1,2内有1个交点;
（3）2x >时, 2ln 61x x +-=22ln 7ln 5x x x x ?=-=-或 ∵2x >,故前者有一解而后者无解. 综上,原方程实根的个数为4.
【试题1】（2012年重庆卷文科第12题）函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数a =_______．
解法1：从偶函数的定义出发，并结合特殊值，这样运算量很小，尤其对一些运算量较大的问题特别有效．
偶函数?)()(x f x f =-对任意R x ∈恒成立?)()(a f a f =-（0≠a ）
?)4(20-=a a ?4=a ．
解法2：因为函数)4)(()(-+=x a x x f 是二次函数且为偶函数，所以函数图像的对称轴是0=x ，即02
4
=--
=a x ?4=a ． 解法3：从另一个角度来看待偶函数的图像：既然图像关于y 轴对称，说明该函数在0=x 处取得极值，因此0=x 是该函数的极值点，由导数性质可得
0)0('=f ，即4=a ．
解法4：自从将导数引入高中教材，使得我们可以站在更高、更宽的视野来处理问题，同时导数作为一种强有力的工具，使得很多看似难以解决的问题得以轻松解答．我们知道在可导的前提下，偶函数的导函数必为奇函数，因此 a x a x x f 4)4()(2--+=为偶函数?)4(2)('-+=a x x f 为奇函数
（这是一次函数） ?)4(2)('-+=a x x f 必为正比例函数?4=a ．
【试题1】（2012年高考数学天津卷（理科）14题）已知函数1
12--=x x y 的图像
与函数2-=kx y 的图像恰有两个交点，则实数k 的取值范围
是 .
解法1：函数1
)
1)(1(1
12-+-=
--=
x x x x x y ，当1x <-时，1y x =+;当11
x -≤<时, 1y x =--;当1>x 时，1y x =+.所以,
2111
1,1111,1
x x x y x x x x x +<-?-?
==---≤
+≥?，.做出函数的图像.
直线2-=kx y 恒过定点(0,2)-,要使两函数图像有两个不同的交点，将直线2-=kx y 绕点
(0,2)-按逆时针方向从1l 旋转到3l 的过程中,除1l ,2l 和3l 外,均满足.
所以,实数k 的取值范围是:10< 解法2：由题意可得， 2121 x kx x -=--有两个不同实根，即()()2121x kx x -=--有 两个非1的实根，当210x ->，即()(),11,x ∈-∞-+∞时，原方程即12x kx +=-， 根为31x k = -；当210x -≤，即[)1,1x ∈-时，原方程即12x kx --=-，根为11 x k =+． 由2 2 3111 31011101k k k k ?≠? -+?????->? ?-? ??????-≤ ?+???? 可得，()()0,11,4k ∈． 【试题1】（2015北京理科第14题）设函数2,1,()4()(2), 1.x a x f x x a x a x ?-<=?--? … ①若1a =，则()f x 的最小值为_____________________； ②若()f x 恰有2个零点，则实数a 的取值范围是__________。 解：①略； ②解法1：()2x f x a =-在(,1)-∞内是增函数， 当0a <时，()20x f x a =->在(,1)-∞内恒成立，故无零点。 则()4()(2)f x x a x a =--在[1,)+∞内恰有两个零点，故21a a >…，无解； 当02a <<时，易知()2x f x a =-在(,1)-∞内有一个零点。 则()4()(2)f x x a x a =--在[1,)+∞内有且仅有一个零点，故21a a >…，得 1 12 a <…； 当2a …时，易知()2x f x a =-在(,1)-∞内无零点。 则()4()(2)f x x a x a =--在[1,)+∞内恰有两个零点，故21,2a a a >厖。 综上，实数a 的取值范围为1 12 a <…或2a …。 解法2：易知()f x 最多有三个零点2log a 、a 、2a 。 ()f x 恰有两个零点2log 1,1,2 1.a a a 1,2 1. a a a ?? ????………112a <…或2a …。 所以1 [,1)[2,)2 a ∈+∞。 【试题1】2015年安徽卷文科第14题：在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y a =与函数1y x a =--的图像只有一个交点，则a 的值为 。 解法1：直线2y a =与函数1y x a =--的图像只有一个交点，等价于方程 21x a a -=+有且仅有一个实根，显然210a +=，即1 2 a =-符合题意。 解法2：由题意，12x a a --=只有一个根，即21x a a -=+，所以(21)x a a -=±+， 解得31x a =+或1x a =--，因为只有一个根，所以311a a +=--，解得12 a =-。 解法3：同解法2得到：21x a a -=+，即22()(21)x a a -=+只有一个根， 即2223410x ax a a ----=，22(2)4(341)0a a a ?=----=，解得1 2 a =-。 解法4：在同一坐标系下分别作出函数1y x a =--和2y a =的大致图像（图1）。 可以看出，要使直线2y a =与函数1y x a =--的图像只有一个交点，则必须满 足21a =-，解得1 2 a =-。 【试题1】2015年安徽卷理科第15题：设30x ax b ++=，其中a 、b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 。（写出所有正确条 件的编号） ①、3,3a b =-=-； ②、3,2a b =-= ； ③、3,2a b =->； ④、0,2a b ==； ⑤、1,2a b ==。 解法1：令3()f x x ax b =++，求导得2()3f x x a '=+。 当0a ≥时，()0f x '≥，所以()f x 在R 上单调递增，且x →-∞时， ()f x →-∞；x →+∞时，()f x →+∞。所以3()f x x ax b =++必有一个零点，即 方程30x ax b ++=仅有一个实根，故④⑤正确； 若0a <，由三次函数图像特点，()f x 在(,-∞及)+∞上是增函 数，在(上是减函数。 要使()f x 在R 上只有一个零点，则只需3min [()]0 f x a b =++> 和3max [()]((0f x a b =++<有一个成立即可。 故①③正确，于是填①③④⑤。 【试题1】（2012年浙江卷理科第17题）设a ∈R ，若x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，则a ＝______________． 解法1：当1a =时，(1)11y a x =--=-，不合 题意，故1a ≠．因为一次函数 (1)1y a x =--和二次函数21y x ax =--的图象均 过定点(0,1)-，如图，当x ＞0时均有[(a －1)x －1]( x 2－ax －1)≥0，所以这两个函数的图象在y 轴的右边且同时在x 轴的上方或同时在x 轴的下方，因为M (1 1 a -，0)在y 1＝(a －1)x －1上，所以函数y 2＝x 2－ax －1的图象一定也过点M ( 1 1 a -，0)，代入得2 11011a a a ??--= ? --??，解得2 3=a （舍去a =0）． 赏析1：此解法的优美之处在于把一个一元高次不等式问题转化为函数的图象来解决，使解题过程运算简单，思路简捷，充分体现数形结合思想的强大魅力。 赏析2：不等式问题涉及到恒成立方面的知识，数形结合，简洁明快． 赏析3：把握动函数图象过定点，利用一次函数和二次函数的图像性质，且它们的函数值同号进行解题． 赏析4：把握不等式的特点：一个一次函数与一个二次函数的函数值同号。结合函数图像，将问题转化为两个函数图像的另一个交点在x 轴上的问题进行求解。 解法2：设2()[(1)1](1)(0)f x a x x ax x =---->，由(1)0f ≥且(2)0f ≥， 即2 (2)0(23)0 a a a -≤??--≥?，则a =3 2 检验，当a =32 ，0x >时，211 ()(2)()022f x x x =-+≥成立。 赏析1：试题内涵丰富，考查函数性质和不等式的综合运用，突出了思维的灵活性与广阔性，体现了特殊性存在于一般性之中的哲学思想，体现了“多考点想，少考点算”的命题理念。 赏析2：解填空题不妨试试特殊值法。 赏析3：恒成立问题中求参数的值，取特殊值也是一个好方法． 解法3： ()[]()()() 1111122-+---=----x ax x ax ax x x a 01122 ≥??? ? ??--??? ?? +--=x x a x x a x 在0>x 时均成立， 所以0112≤???? ??--??? ? ? +-x x a x x a 在0>x 时均成立. 而()()x x x x x x x x x x 1221122+-=--=+-- 当20≤ 12+≤≤-，又因为当20≤ 12-=-=在(]2,0上单调递增，()x x x x g 111+=+= 在(]2,0上单调递减，又()()232max ==f x f ，()()23 2min ==g x g ，所以2323≤≤a ，得到23=a . 当2≥x 时，因为x x x x 112+≥-，所以x x a x x 1 12-≤≤+，当2≥x 时恒成立，考虑到()x x x x x f 1 12-=-= 在[)+∞,2上单调递增，()x x x x g 111+=+=在[)+∞,2上单调递减，又()()232min ==f x f ，()()232max ==g x g ，所以2323≤≤a ，得到2 3 =a . 综上可知： 2 3 = a 符合题意。 赏析1：分离参数法是求参数问题的一般性方法（不等式问题转化为恒成立问题求解）． 解法4：结合三次函数的图象，由韦达定理得出012=--ax x 对应的两根为一正一负。当a =1时代入显然不成立，因此对应方程 的第三根是1 1-=a x ，要使对x >0均有关于x 的一元三次函数值非 负，又(0)10f =>，对应函数只能是如右图的图象，即要求01>-a ，且对应方程的第三根与前面一元二次方程的正根是重根。将第三根1 1 -=a x 代入二次方程012=--ax x ，解得满足条件的2 3 =a （舍去a =0）。 赏析1：几何对代数的辅助作用，代数对几何的确定作用。涉及函数方程思想，数形结合思想，分类讨论思想。 赏析2：函数与方程、化归与转化的数学思想，体现了 “多考点想，少考点算”的命题理念。 【试题1】2015年湖南高考文科第14题 【题目】若函数()22x f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____. 【基本解法1】由函数()22x f x b =--有两个零点，可得方程22x b -=有两个解，则函数22x y =-与函数y b =的图像有两个交点，结合图像可得b 的取值范围是(0,2). 【基本解法2】由函数()22x f x b =--有两个零点， 可知方程220x b --=有两个相异的根. 原方程可转化为22(22)0(0)x b b --=>， 令2(0)x t t =>，则方程可转化为22440(0,0)t t b t b -+-=>>. 要使该方程有两个相异的根，则b 应满足如下条件20,04040,40,2 b b ? >?? -?+->???>? 解得02b <<. 因此b 的取值范围是(0,2). 【试题1】2015年湖北文科第17题：a 为实数，函数2()f x x ax =-在区间[0,1]上的最大值为()g a ，当a = 时()g a 的值最小。 解法1：当0a =时，2()f x x =在[0,1]上的最大值为()1g a =； 当0a <时，2()f x x ax =-在[0,1]上单调递增，故()(1)1g a f a ==-，此时()1g a >； 当0a >时，2()f x x ax =-在(,0)-∞上递减，(0,)2a 上递增，(,)2 a a 上递减，(,)a +∞上递增。 （1）、若12 a ≤ ，即2a ≥时，()(1)11g a f a a ==-=-，此时()1g a ≥； （2）、若12a a <≤，即12a ≤<时，2 ()()24 a a g a f ==，此时1()14g a ≤<； （3）、若01a <<时，2()max (),(1)max ,124a a g a f f a ???? ==-???????? 。 当214a a ≥- ，即21a -+<时，2 ()4 a g a = ，此时13()4g a -≤<； 当2 14a a <- ，即02a <<-+()1g a a =- ，此时3()1g a -<<； 综上，()3g a >- 当且仅当2a =-+时取等号。 即当2a =-+()g a 的值最小。 解法2、因为函数()y f x =的图像与x 轴交点为(0,0),(,0)a ，函数2()h x x ax =-的图像的对称轴为2 a x = ，所以当0a ≤或2a ≥时，()f x 在[0,1]上是增函数，()(1)1g a g a ==-。 当02a <<时，2()max (1),()max 1,24a a g a f f a ??? ?==-????????。 综上，21,2 (),224 1,2a a a g a a a a ?-≤??=< 当2a ≤ 时，()2)3g a g ≥=-； 当22a << 时，()2)3g a g >=-； 当2a ≥ 时，()(2)13g a g >==-。 所以，当2a =时，()g a 有最小值3- 解法3：依题意2()max (1),()max 1,24a a g a f f a ??? ?==-??????? ?。 在同一坐标系下画出函数()1g a a =-和2 ()4 a g a =（图2）。 由2 14 a a =- ，得2a = 。故当2a =时，即图像中的A 点处，()g a 取 最小值3- 【试题1】（2015江苏13）已知函数|ln |)(x x f =，???>--≤<=1,2|4|1 0,0)(2x x x x g ，则方 程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为 ▲ ． 解法一：1|)()(|=+x g x f ()1ln g x x ?=±-，所以方程方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数即为曲线()y 1ln y g x x ==±-和曲线的公共点个数之和. 曲线()y g x = 和曲线y 1ln x =-显然有2个公共点， 又因为1ln1 2ln 2 ?????g(）=0>-1-g(）=-2<-1-，所以曲线()y g x = 和曲线y 1ln x =--也有2个公 共点，如图2所示 所以方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为4个. 解法2：（1）当01x <≤时，()ln ln ,()0f x x x g x ==-=，原方程即为 1 ln 10x x e -+=?= ，所以当01x <≤时，原方程有一个实根； （2）当12x <≤时，2()ln ,()2f x x g x x ==-，原方程即为2ln 21x x +-= 令21 ()ln 2(12),()20F x x x x F x x x '=+-<≤= -<， 所以()(1,2]F x x ∈在上单调递减，得()[ln 22,1)F x ∈-，得2ln 21x x +-=只有一个实根. （3）当2x >时，2()ln ,()6f x x g x x ==-， 原方程即为222ln 61ln 7ln 5x x x x or x x +-=?+=+=. 令2()ln (2,)G x x x x =+∈+∞在上单调递增，所以()(ln 24,)G x ∈++∞，因此 22ln 7ln 5x x or x x +=+=各有一个实根. 综上，方程1|)()(|=+x g x f 实根的个数为4. 【试题1】已知函数()()20 01ln ,421x f x x g x x x <≤??==?-->?? 则方程()()1f x g x +=实根的个数为 【解析】首先去掉绝对值符号,有 ()()2 2<1ln 01212ln 1 62 o o x x x f x g x x x x x x x ≤?-<≤?? ==-<≤? ?>??->? ()()22 ln 01ln 212ln 62x x f x g x x x x x x x ?-<≤?? +=+-≤≤??+->?? 故对()()1f x g x +=,应该分3种情况讨论. （1）0 ln 1x x x e e -=?==或（与x ≤1不符,舍去）; （2）1≤x ≤2时,有：222ln 21ln 1ln 3x x x x x x +-=?=-=-或 2ln 1x x =-时,显然x=1适合; 2ln 3x x =-时, [][]1,2,ln 0,ln 2,x x ∈∴∈ [][][]231,1,0,ln 21,1x -∈-?-而 数列题目精选精编 【典型例题】 （一）研究等差等比数列的有关性质 1. 研究通项的性质 例题1. 已知数列}{n a 满足1 111,3(2)n n n a a a n --==+≥. （1）求32,a a ； （2）证明： 312n n a -= . 解：（1）2 1231,314,3413a a a =∴=+==+= . （2）证明：由已知1 13 --=-n n n a a ，故)()()(12211a a a a a a a n n n n n -++-+-=--- 1 2 1313 3 312n n n a ---+=++++= ， 所以证得31 2n n a -= . 例题2. 数列{}n a 的前n 项和记为11,1,21(1)n n n S a a S n +==+≥ （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）等差数列{}n b 的各项为正，其前n 项和为n T ，且315T =，又112233,,a b a b a b +++成等比数列，求n T . 解：（Ⅰ）由121n n a S +=+可得121(2)n n a S n -=+≥， 两式相减得：112,3(2)n n n n n a a a a a n ++-==≥， 又21213a S =+=∴213a a = 故{}n a 是首项为1，公比为3的等比数列 ∴1 3 n n a -= （Ⅱ）设{}n b 的公差为d ，由315T =得，可得12315b b b ++=，可得25b = 故可设135,5b d b d =-=+，又1231,3,9a a a ===， 由题意可得2 (51)(59)(53)d d -+++=+，解得122,10d d == ∵等差数列{}n b 的各项为正，∴0d > ∴2d = ∴2(1) 3222n n n T n n n -=+ ?=+ 例题3. 已知数列{}n a 的前三项与数列{}n b 的前三项对应相同，且2 12322...a a a +++ 128n n a n -+=对任意的*N n ∈都成立，数列{} n n b b -+1是等差数列. ⑴求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； ⑵是否存在N k * ∈，使得(0,1)k k b a -∈，请说明理由. 点拨：（1）2112322...28n n a a a a n -++++=左边相当于是数列{}12n n a -前n 项和的形式，可以联想到已知n S 求n a 的方法，当2n ≥时，1n n n S S a --=. （2）把k k a b -看作一个函数，利用函数的思想方法来研究k k a b -的取值情况. 解：（1）已知212322a a a +++ (1) 2n n a -+8n =(n ∈*N ）① 2n ≥时，212322a a a +++ (2) 128(1)n n a n --+=-(n ∈*N ）② 求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数 分析：当0=x 时因为)0(f '存在，所以应当用导数定义求)0(f '，当 0≠x 时，)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2，可以按各种求导法同求它的导数． 解：当0=x 时，01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时， x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明：如果一个函数)(x g 在点0x 连续，则有)(lim )(0 0x g x g x x →=，但如 果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续，不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='． 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系． 1．m n bx a y )(+=；2．32ln +=x e y ； 3．)32(log 322+-=x x y ；4．)1sin(x x y +=。 分析：由复合函数的定义可知，中间变量的选择应是基本函数的结构，解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次，一般是从最外层开始，由外及里，一层一层地分析，把复合函数分解成若干个常 见的基本函数，逐步确定复合过程． 解：函数的复合关系分别是 1．n m bx a u u y +==,； 2．2,3,ln +===x e v v u u y ； 3．32,log ,322+-===x x v v u y u ； 4．.1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明：分不清复合函数的复合关系，忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式，而最内层可以是关于自变量x 的基本函数，也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数，导致陷入解题误区，达不到预期的效果． 求函数的导数 例 求下列函数的导数． 1．43)12(x x x y +-=；2．2 211x y -= ； 3．)3 2(sin 2π +=x y ；4．21x x y +=。 分析：选择中间变量是复合函数求导的关键．必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系．要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体，这个暂时的整体，就是中间变量．求导时需要记住中间变量，注意逐层求导，不遗漏，而其中特别要注意中间变量的系数．求导数后，要把中间变量转换成自变量的函数． 高一数学 第八章 平面向量 第一讲 向量的概念与线性运算 一．【要点精讲】 1．向量的概念 ①向量：既有大小又有方向的量。几何表示法AB u u u r ，a ；坐标表示法),(y x j y i x a 。 向量的模（长度），记作|AB u u u r |.即向量的大小，记作｜a |。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小. ②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，规定0r 平行于任何向量。（与0的区别） ③单位向量｜ a ｜＝1。④平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量，记作a ∥b ⑤相等向量记为b a 。大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2121y y x x 2．向量的运算（1）向量加法：求两个向量和的运算叫做向量的加法.如图，已知向量a ，b ，在平面内任 取一点A ，作AB u u u r a ，BC u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC u u u r u u u r u u u r 特殊情况： a b a b a+b b a a+b (1) 平行四边形法则三角形法则C B D C B A A 向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”。②向量减法： 同一个图中画出 a b a b r r r r 、 要点:向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则”（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点.（3）实数与向量的积 3．两个向量共线定理：向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b =a 。 二．【典例解 析】 题型一： 向量及与向量相关的基本概念概念 例1判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (2)b a 则, (3)单位向量都相等 (4) 向量就是有向线段 高中数学必修1复习测试题（难题版） 1.设5log 3 1=a ，5 13=b ，3 .051??? ??=c ，则有（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b c a << 2.已知定义域为R 的函数)(x f 在),4(∞+上为减函数，且函数()y f x =的对称轴为4x =，则（ ） A ．)3()2(f f > B ．)5()2(f f > C ．)5()3(f f > D ．)6()3(f f > 3.函数lg y x = 的图象是（ ） 4.下列等式能够成立的是（ ） A ．ππ-=-3)3(66 B = C =34 ()x y =+ 5.若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A ．)2()1()23(f f f <-<- B ．)1()2 3 ()2(-<- 6.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()2f x x x =-,则()y f x =在R 上的解析式为 A ． ()(2)f x x x =-+ B ．()||(2)f x x x =- C ．()(||2)f x x x =- D. ()||(||2)f x x x =- 7.已知函数log (2)a y ax =-在区间[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(0,2) D ．(2,)+∞ 高中数学经典例题、错 题详解 【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M到N的映射是（） M N A M N B M N C M N D 映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。 函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应） 映射与函数的区别与联系： 函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。 映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。 映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射方向性 上题答案应选 C 【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。 本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。 【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B 中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素 【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1 得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1 【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（） 【分析】如果集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则集合A到集合B的映射共有n m 个；集合B到集合A的映射共有m n个，所以答案为23=9；32=8 【例4】若函数f(x)为奇函数，且当x﹥0时，f(x)=x-1,则当x﹤0时，有（） A、f(x) ﹥0 B、f(x) ﹤0 C、f(x)·f(-x)≤0 D、f(x)-f(-x) ﹥0 奇函数性质： 1、图象关于原点对称；? 2、满足f(-x) = - f(x)?； 3、关于原点对称的区间上单调性一致；? 4、如果奇函数在x=0上有定义,那么有f(0)=0；? 5、定义域关于原点对称（奇偶函数共有的） 新课标高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为2 2 2 )()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为2 2 2 )(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 12 4-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为：23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C ∴半径204)11(2 2= ++==AC r ． 故所求圆的方程为20)1(2 2 =++y x ． 又点)4,2(P 到圆心)0,1(-C 的距离为 r PC d >=++==254)12(22． ∴点P 在圆外． 说明：本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？ 强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2 －2x ＋m )(x 2 －2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为4 1 的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ． 4 3 C ． 2 1 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若35a a ＝9 5 ，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ． 2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则2 1 2b a a 的值是( )． A ． 2 1 B ．－ 2 1 C ．－ 21或2 1 D ． 4 1 10．在等差数列{a n }中，a n ≠0，a n －1－2 n a ＋a n ＋1＝0(n ≥2)，若S 2n －1＝38，则n ＝( )． A ．38 B ．20 C ．10 D ．9 高中数学习题库（50道题另附答案） 1.求下列函数的值域： 解法2 令t＝sin x，则f(t)＝－t2＋t＋1，∵|sin x|≤1, ∴|t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值． 本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。 2. 设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道 的焦点处，当此慧星离地球相距m 万千米和m 3 4 万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为32 π π和，求该慧星与地球 的最近距离。 解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点)0,(c F -处，椭圆的 方程为122 22=+b y a x （图见教材P132页例1）。 当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为3π 时，由椭圆的几何 意义可知，彗星A 只能满足)3 (3/π π=∠=∠xFA xFA 或。作 m FA FB Ox AB 3 2 21B ==⊥，则于 故由椭圆第二定义可知得????? ??+-=-=)32(34)(2 2 m c c a a c m c c a a c m 两式相减得,2 3)4(21.2,3 2 31 c c c m c a m a c m =-==∴?=代入第一式得 .3 2.32m c c a m c ==-∴=∴ 答：彗星与地球的最近距离为m 3 2 万千米。 说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是c a -，另一个是.c a + （2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识 函 数 练 习 题 班级 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)111 y x x =+-++ - 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，数m 的取值围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y =⑹ 22 5941x x y x +=-＋ ⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y ⑽ 4y = ⑾y x =- 6、已知函数22 2()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y =⑶ 2 61y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -= +的递减区间是 ；函数y =的递减区间是 五、综合题 9、判断下列各组中的两个函数是同一函数的为 （ ） ⑴3 ) 5)(3(1+-+= x x x y ， 52-=x y ； ⑵111-+=x x y ， )1)(1(2-+=x x y ； 高中数学典型例题分析 第八章 平面向量与空间向量 §8.1平面向量及其运算 一、知识导学1.模（长度）：向量的大小，记作||。长度为０的向量称为零向量，长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量。 2.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，又叫做共线向量。 3.相等向量：长度相等且方向相同的向量。 4.相反向量：我们把与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。记作-a 。 5.向量的加法：求两个向量和的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点，作AB =a ，BC =b ，则向量AC 叫做a 与b 的和。 记作a +b 。 6. 向量的减法：求两个向量差的运算。 已知a ，b 。在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则向量BA 叫做a 与b 的差。 记作a -b 。 7.实数与向量的积： （1）定义： 实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ，并规定： ①λa 的长度|λa |=|λ|·|a |； ②当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同； 当λ＜0时，λa 的方向与a 的方向相反； 当λ＝0时，λa =0 （2）实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，则 ①λ(μa )=(λμ) a ②(λ+μ) a =λa +μa ③λ(a +)=λa +λ 8.向量共线的充分条件：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa 。 另外，设a =（x 1 ,y 1）, b = (x 2,y 2)，则a //b x 1y 2－x 2y 1=0 9.平面向量基本定理： 如果1e 、2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1、λ 2 使 a ＝λ11e ＋λ22e ，其中不共线向量1e 、2e 叫做表示这一 新课标必修3概率部分知识点总结及典型例题解析 ◆ 事件：随机事件（ random event ），确定性事件: 必然事件( certain event )和不 可能事件( impossible event ) ? 随机事件的概率(统计定义)：一般的，如果随机事件 A 在n 次实验中发生了m 次，当实验的次数n 很大时，我们称事件A 发生的概率为()n m A P ≈ 说明：① 一个随机事件发生于具有随机性，但又存在统计的规律性，在进行大量的重复事件时某个事件是否发生，具有频率的稳定性 ，而频率的稳定性又是必然的，因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这个摆动的幅度越来越小，而这个接近的某个常数，我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果，讲的是一种大的整体的趋势，而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值，频率是概率的近似值 ? 概率必须满足三个基本要求：① 对任意的一个随机事件A ，有()10≤≤A P ② ()()0,1,=Φ=ΩΦΩP P 则有可能事件分别表示必然事件和不和用③如果事件 ()()()B P A P B A P B A +=+:,则有互斥和 ? 古典概率（Classical probability model ）：① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n 1，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件，则事件A 发生的概率为 ()n m A P = ? 几何概型（geomegtric probability model ）：一般地，一个几何区域D 中随机地取一点， 记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ()的侧度 的侧度D d A P = （ 这里要求D 的侧度不为0，其中侧度的意义由D 确定，一般地，线段的侧度为该线段的长度；平面多变形的侧度为该图形的面积；立体图像的侧度为其体积 ） 几何概型的基本特点：① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多 颜老师说明：为了便于研究互斥事件，我们所研究的区域都是指的开区域，即不含边界，在区域D 内随机地取点，指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比，而与其形状无关。 互斥事件(exclusive events)：不能同时发生的两个事件称为互斥事件 高中数学函数与方程知识点总结、经典例题及解析、高考真题及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 函数与方程 【知识梳理】 1、函数零点的定义 （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫做函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程0)(=x f 是否有实数根，有几个实数根。函数零点的求法：解方程0)(=x f ，所得实数根就是()f x 的零点 （3）变号零点与不变号零点 ①若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值异号，则称该零点为函数()f x 的变号零点。 ②若函数()f x 在零点0x 左右两侧的函数值同号，则称该零点为函数()f x 的不变号零点。 ③若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是一条连续的曲线，则0)()(?)(x f y =有2个零点?0)(=x f 有两个不等实根； 0?=?)(x f y =有1个零点?0)(=x f 有两个相等实根； 0? 经典函数测试题及答案 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题：本大题共12小题。每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。 1．函数)12(-=x f y 是偶函数，则函数)2(x f y =的对称轴是 （ ） A ．0=x B ．1-=x C ．21= x D ．2 1-=x 2．已知1,10-<<x 时，,log )(2x x f =则当0 高中数学典型题型与解析 一、选择题 1.设,21,a b R a b +∈+=、则2224ab a b --有（ ） A ．最大值 1 4 B ．最小值14 C ．最大值 212 - D ．最小值54- 2. 某校有6间不同的电脑室，每天晚上至少开放2间，欲求不同安排方案的种数，现有四 位同学分别给出下列四个结果：①2 6C ；②6 65 64 63 62C C C C +++；③726 -；④2 6A ．其中 正确的结论是（ ） A ．仅有① B ．仅有② C ．②和③ D ．仅有③ 3. 将函数y ＝2x 的图像按向量a →平移后得到函数y ＝2x ＋6的图像，给出以下四个命题：① a →的坐标可以是（-3.0）；②a →的坐标可以是（0，6）；③a →的坐标可以是（-3，0）或（0， 6）；④a →的坐标可以有无数种情况，其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4. 不等式组? ??>->-a x a x 2412，有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（-1，3） B ．（-3，1） C ．（-∞，1） （3，＋∞） D ．（-∞，-3） （1，＋∞） 5. 设a ＞0，c bx ax x f ++=2 )(，曲线y ＝f （x ）在点P （0x ，f （0x ））处切线的倾斜角 的取值范围为[0，4π ]，则P 到曲线y ＝f （x ）对称轴距离的取值范围为（ ） A ．[0，]1a B ．0[，]21a C ．0[，|]2|a b D ．0[，|]21 |a b - 6. 已知)(x f 奇函数且对任意正实数1x ，2x （1x ≠2x ）恒有 0) ()(2 121>--x x x f x f 则一定正确的是（ ） A ．)5()3(->f f B ．)5()3(-<-f f C ．)3()5(f f >- D ．)5()3(->-f f 7. 将半径为R 的球加热，若球的半径增加R ?，则球的体积增加≈?V （ ） A ． R R ?3 π3 4 B ．R R ?2π4 C ．2π4R D ．R R ?π4 8. 等边△ABC 的边长为a ，将它沿平行于BC 的线段PQ 折起，使平面APQ ⊥平面BPQC ，若折叠后AB 的长为d ，则d 的最小值为（ ） A ． a 43 B ．a 45 C ．4 3a D ． a 410 9. 锐角α、β满足β α βα2424sin cos cos sin +＝1，则下列结论中正确的是（ ） A ．2π≠ +βα B ．2π<+βα C ．2π>+βα D ．2 π=+βα 高中数学排列与组合 （一）典型分类讲解 一.特殊元素和特殊位置优先策略 例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数. 解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排, 先排末位共有1 3C 然后排首位共有1 4C 最后排其它位置共有 34A 由分步计数原理得1 1 3 434 288C C A = 练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？ 二.相邻元素捆绑策略 例2. 7人站成一排 ,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法. 解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行自排。由分步计数原理可得共有 522522480A A A =种不同的排法 练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为 20 三.不相邻问题插空策略 例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A 种， 第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种 46 A 不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有54 56A A 种 练习题：某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为 30 四.定序问题倍缩空位插入策略 例4. 7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素 之间的全排列数,则共有不同排法种数是： 73 73/A A (空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有 47 A 种方法，其余的三个位置甲乙丙共有 1种坐法，则共有4 7A 种方法。 思考:可以先让甲乙丙就坐吗? （插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有 方法 练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？ 5 10C 五.重排问题求幂策略 例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法 解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有 7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原 理共有6 7种不同的排法 练习题： 1． 某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插 法的种数为 42 4 4 3 允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n 不同的元素没有限制地安排在m 个位置上的排列数为n m 种 【例1】设M=｛1、2、3｝，N=｛e、g、h｝，从M至N的四种对应方式，其中是从M 到N的映射是（） M N A M N B M N C M N D 1 2 3 e g h 1 2 3 e g h 1 2 3 e g h 1 2 3 e g h 映射的概念:设A、B是两个集合，如果按照某一个确定的对应关系f，是对于集合 A中的每一个元素x，在集合B中都有一个确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射。 函数的概念：一般的设A、B是两个非空数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，这样的对应叫集合A 到集合B的一个函数。（函数的本质是建立在两个非空数集上的特殊对应）映射与函数的区别与联系： 函数是建立在两个非空数集上的特殊对应；而映射是建立在两个任意集合上的特殊对应；函数是特殊的映射，是数集到数集的映射，映射是函数概念的扩展，映射不一定是函数，映射与函数都是特殊的对应。 映射与函数（特殊对应）的共同特点：○1可以是“一对一”；○2可以是“多对一”；○3不能“一对多”；○4A中不能有剩余元素；○5B中可以有剩余元素。 映射的特点：（1）多元性：映射中的两个非空集合A、B，可以是点集、数集或由图形组成的集合等；（2）方向性：映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是同一个映射；（3）映射中集合A的每一个元素在集合B中都有它的象，不要求B中的每一个元素都有原象；（4）唯一性：映射中集合A中的任一元素在集合B中的象都是唯一的；（5）一一映射是一种特殊的映射 方向性 上题答案应选C 【分析】根据映射的特点○3不能“一对多”，所以A、B、D都错误；只有C完全满足映射与函数（特殊对应）的全部5个特点。 本题是考查映射的概念和特点，应在完全掌握概念的基础上，灵活掌握变型题。【例2】已知集合A=R，B={(x、y)︱x、y∈R},f是从A到B的映射fx：→（x+1、x2）,（1）求2在B中的对应元素；（2）（2、1）在A中的对应元素 【分析】（1）将x=2代入对应关系，可得其在B中的对应元素为（2+1、1）；（2）由题意得：x+1=2,x2=1得出x=1，即（2、1）在A中的对应元素为1 【例3】设集合A={a、b}，B={c、d、e}，求：（1）可建立从A到B的映射个数（）；（2）可建立从B到A的映射个数（） 高中数学经典例题、错题详解 ) ( ........}6,5,4,2{,}6.4.3.1{654321.1等于，则集合｝，，，，，｛已知全集B C A B A U U ===}3,1{.A }5,2{.B }4{.C Φ.D 等于则｛已知集合B A x x x B x x A },02|{},22|.22≤-=<<-=……………….....( ) )2,0(.A ]2,0(.B )2,0[.C ]2,0[.D ).......( ........................................,1},032|{.3则下列正确的是已知集合=<-=a x x P P a A ?. P a B ∈. P a C ?. P a D ∈}{. )......( ........................................)1lg(11 )(.4的定义域是函数x x x f ++-= )1,(.--∞A ),1(.∞+B ),1()1,1(.+∞- C ),(.+∞-∞D ).......(.........................................5是同一函数下列哪组中的两个函数 x y x y A ==与2)(. x y x y B ==与33)(. 2 2)(.x y x y C ==与 x x y x y D 2 3 3 .==与 )..(........................................)]}5([{)0(32)0(1 )0(0)(.6等于则已知f f f x x x x x f ??? ??<-=->= 0.A 1.-B 5.C 5.-D ).....(........................................),0(.7上是减函数的是间下列四个函数中，在区∞+ x y A 3log .= x y B 3.= x y C =. x y D 1 .= ） （则为常数）（时，上的奇函数，当为定义在=-++=≥)1(,22)(0)(8f b b x x f x R x f x 3.A 1.B 1.-C 3.-D ).....( ........................................416.9的值域是 函数x y -= ),0[.+∞A ]4,0[.B )4,0[.C )4,0(.D 高一数学必修1集合单元综合练习（Ⅰ） 一、填空题(本大题包括14小题；每小题5分，满分70分) 1、U ＝｛1，2，3，4，5｝，若A ∩B ＝｛2｝，(C U A )∩B ＝｛4｝，(C U A )∩(C U B )＝｛1，5｝，则下列结论正确的是 .错误!未指定书签。 ①、3A 且3B ；②、3A 且3B ； ③、3A 且3B ；④、3A 且3B 。 2、设集合M =｛x ｜－1≤x ＜2｝，N =｛x ｜x －k ≤0｝，若M ∩N ≠，则k 的取值范围是 3、已知全集I =｛x ｜x R ｝，集合A =｛x ｜x ≤1或x ≥3｝，集合B=｛x ｜k ＜x ＜k ＋1，k R ｝，且(C I A )∩B ＝，则实数k 的取值范围是 4、已知全集U Z =，2{1,0,1,2},{|}A B x x x =-==，则U A C B 为 5、设a b ∈R ，，集合{}10b a b a b a ??+=???? ，，，，，则b a -= 6、设集合M =},214|{},,412|{Z k k x x N Z k k x x ∈+==∈+=，则M N 。(选填 、、、?、＝、 N M ?、N M ?) 7、设集合{}R x x x A ∈≥-=,914, ? ?????∈≥+=R x x x x B ,03, 则A ∩B = 8、已知集合{}|1A x x a =-≤，{}2540B x x x =-+≥．若A B =?，则实数a 的取值范围是 9、设集合S ={A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕为：A 1⊕A =A b ，其中k 为I +j 被4除的余数，I ，j =0，1，2， 3.满足关系式=(x ⊕x )⊕A 2=A 0的x (x ∈S )的个数为 10、定义集合运算：{},,A B z z xy x A y B *==∈∈.设{}1,2A =,{}0,2B =,则集合A B * 的所有元素之和为 11、设集合∈<≤=x x x A 且30{N }的真子集．．． 的个数是 二、解答题(本大题包括5小题；满分90分)解答时要有答题过程！ 12、(14分)若集合S ={}23,a ，{}|03,T x x a x Z =<+<∈且S ∩T ={}1，P =S ∪T ，求集合P 的所有子集 13、(16分)已知集合A ={}37x x ≤≤，B ={x |22016届高考数学经典例题集锦：数列(含答案)
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