04第十三章习题答案

第十三章习题答案

4.设连通无向图G具有k个奇顶点，问最少加几条边到G中，可使产生的新图为欧拉图(可以是多重边图)?对于图13.12中的无向图，按上述要求使其变为一个欧拉图，并写出一个欧拉圈。

解：由定理9.1可推出：在任何图中奇顶点的个数必为偶数。只要在每对奇

顶点之间各加一条边，G就成为欧拉图。故最少加k/2条边到G中，可使产生的新图

为欧拉图。

在图13.12中加上两条边，如下图中虚线所示，就得到一个欧拉图如下图所示。欧拉回路为：abcdefghifdigbea。 a

h 4 --- >i

c * * d

7.图13.13给出了四个无向图，试确定哪一个是欧拉图？哪一个是哈密顿图？并分别指出其欧拉圈和哈密顿圈。

解：图13.13中的(a)图既是欧拉图又是哈密顿图，欧拉回路为：

5氏匕5比比比5比氏5比5，哈密顿回路为：U1U2U3U4U5U6U7U8U1。

(b)图是欧拉图，欧拉回路为:u1u2u3u4u1u5u3u6u1。去掉顶点u和u3，(b)

图成为有4个连通分支的图，不满足哈密顿图的必要条件p(G-V1) <| V1 |，(b) 图不是哈密顿图。

(C)图是哈密顿图，哈密顿回路为：比口2口3口4口5口6比口811|。 ( C)图有两个奇顶

点，由定理13.1，该图不是欧拉图。

(d)图有两个奇顶点，由定理13.1，该图不是欧拉图。去掉顶点U5和U3，

(d)图成为有3个连通分支的图，不满足哈密顿图的必要条件P(G-V1) <| V1 |，

(d)图不是哈密顿图。

9.证明若n>2则完全图kn是哈密顿图。

证明：由完全图k n (n>2)的定义可知，k n中任两顶点之间都有一条边。设k n 的顶点分别为V1，V2，…，V n，则有经过所有顶点的初级回路V1V2…V n V1，该回路即为哈密顿回路。所以k n为哈密顿图。

10.设G是具有n (n 2)个顶点的无向图。证明若G中每一对顶点的次数之和大于

或等于n,则G中存在一个哈密顿圈。

证明：由书的第九章中的约定可知，G是简单无向图。已知G具有n个顶点且每一对顶点的次数之和大于或等于n,根据第九章习题19的结论，G是连通图。由定理13.3可知，G中存在一条哈密顿链，令它为(V1, V2,…，V n)。若V1与V n邻接，贝U G中存在一个哈密顿圈(V I，V2，…，V n，V i)。若V i与V n不邻接，V1与其它k个顶点邻接，即d(v i)=k。由于每一对顶点的次数之和大于或等于n，则必有2< k< n-2，在这k个顶点中至少有一顶点V j，使得V n与V j的前一顶点V j-1邻接，若不然，V n至多与(n-1)-k个顶点邻接，即d(V n) Wn-1-k，于是

d( V1)+d( V n) < k+(n- 1-k)=n-1

与已知条件每一对顶点的次数之和大于或等于n矛盾.故V n与V j的前一顶点V j-1 必邻接，因此得到哈密顿圈(V1，V2，…，V j-1，V n，V n-1，…，V j，V1 )。综上所述，若n (n 2 个顶点的无向图G中每一对顶点的次数之和大于或等于n,则G中存在一个哈密顿圈。