最优化 马昌凤 第四章作业

最优化方法及其Matlab程序设计习题作业暨实验报告

学院：数学与信息科学学院

班级：12级信计一班

姓名：李明

学号：1201214049

第四章 共轭梯度法

一、上机问题与求解过程

1、用共轭梯度法求2212

22112444)(x x x x x x f --+=取初始点为

T

x )1,5.0(0-=。 解：

仿照书上编写共轭梯度法程序如下：

function [x,val,k]=frcg(fun,gfun,x0) %功能：用FR 共轭梯度法求解无约束化问题：min f(x) %输入：x0是初始点，fun,gfun 分别是目标函数和梯度 %输出：x,val 分别是近似最优点和最优值，k 迭代次数 maxk=5000;%最大迭代次数

rho=0.6;sigma=0.4; k=0;epsilon=1e-4; n=length(x0); while (k

g=feval(gfun,x0);%计算梯度

itern=k-(n+1)*floor(k/(n+1)); itern=itern+1;%计算搜索方向 if (itern==1) d=-g; else

beta=(g'*g)/(g0'*g0); d=-g+beta*d0;gd=g'*d; if (gd>=0.0) d=-g; end end

if (norm(g)

while (m<20)%Armijo 搜索

if (feval(fun,x0+rho^m*d)

x0=x0+rho^mk*d; val=feval(fun,x0); g0=g;d0=d; k=k+1; end x=x0;

val=feval(fun,x);

然后仿照书上建立两个目标函数和梯度的M 文件：

function f=fun(x)

f=4*x(1)^2+4*x(2)^2-4*x(1)*x(2)-12*x(2); function g=gfun(x)

g=[8*x(1)-4*x(2),8*x(2)-4*x(1)-12]';

选取初始点为']1,5.0[-，调用函数程序，得出最小极值点为

']0000.2,0000.1[，极小值为0000.12-，在界面框中输入的程序如下：

[x,val,k]=grad('fun','gfun',x0) x0=[-0.5 1]';

[x,val,k]=frcg('fun','gfun',x0) x =

1.0000

2.0000 val =

-12.0000 k = 10

从结果可以看出迭代次数为10次，如果选取不同的初值点则迭代次数不一样，但是极小值相同。

2、用共轭梯度法求解函数321322322

2121322)(x x x x x x x x x x x f -++-++-=选取初始点为T x )0,0,0(0=。 解：

与上面的程序相同：

仿照书上建立两个目标函数和梯度的M 文件：

function f=fun(x)

f=x(1)^2-2*x(1)*x(2)+2*x(2)^2+x(3)^2-x(2)*x(3)+x(1)+3*x(2)-x(3); function g=gfun(x)

g=[2*x(1)-2*x(2)+1,-2*x(1)+4*x(2)-x(3)+3,2*x(3)-x(2)-1]';

选取初始点为']0,0,0[，调用函数程序，得出最小极值点为

'

]6666

.0,3333.2,8334.2[---，极小值为5833.4-，在界面框中输入的程序如下：

x0=[0,0,0]';

[x,val,k]=frcg('fun','gfun',x0) x =

-2.8334 -2.3333

-0.6666 val =

-4.5833 k = 15

从结果可以看出迭代次数为15次，如果选取不同的初值点则迭代次数不一样，但是极小值相同。 二、实验结果与心得

通过实验两道题可以发现要使应用共轭梯度法求解问题，则要求Hess 矩阵正定才可以求得极小值点，所以用共轭梯度法有一定的局限性，另外选取出市方向的时候应该保持011<++k T k g d ，才能使得每一次迭代结果下降，否则的话应该转换初始方向。