各地数学中考试题分类汇编相似形

2010中考数学分类汇编

一、选择题

1．（2010山东烟台）手工制作课上，小红利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心不等边三角形、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是

【答案】D

2．（2010山东烟台）如图，△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下列结论一定正确的是

A、AB2=BC·BD

B、AB2=AC·BD

C、AB·AD=BD·BC

D、AB·AD=AD·CD

【答案】A

3．（2010台湾）图(一)表示D、E、F、G四点在△ABC三边上的位置，其中DG与EF

交于H 点。若?ABC =?EFC =70?，?ACB =60?，?DGB =40?，则下列哪

一组三角形相似(A) △BDG ，△CEF (B) △ABC ，△CEF

(C) △ABC ，△BDG (D) △FGH ，△ABC 。

【答案】B

4．（2010浙江嘉兴）如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，AB DE //交AC 于E ，如果

32=EC AE ，那么=AC

AB （ ▲ ） （A ）31

（B ）32 （C ）5

2 （D ）53

【答案】B

5．（2010 福建德化）下列各组线段（单位：㎝）中，成比例线段的是（ ）

A 、1、2、3、4

B 、1、2、2、4

C 、3、5、9、13

D 、1、2、2、3

【答案】B

6．（2010江苏泰州）一个铝质三角形框架三条边长分别为24cm 、30cm 、36cm ，要做一个与它相

似的铝质三角形框架，现有长为27cm 、45cm 的两根铝材，要求以其中的一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边．截法有（ ）

种 B. 1种 C. 2种 D. 3种

【答案】B

7．（2010年上海）下列命题中，是真命题的为（ ）

A .锐角三角形都相似

B .直角三角形都相似

C .等腰三角形都相似

D .等边三角形都相似

【答案】D

8．（2010山东潍坊）如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开得到的，矩形ABCD 沿EF 对A

B C D

E

（第7题） A

B C

D

E

H 图(一)

开后，再把矩形EFCD沿MN对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，那么AB AD

等于（）．A．0．618 B．

2

2

C．2D．2

【答案】B

9．（2010北京）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD∶AB=3∶4，AE=6，则AC等于( )

A．3 B．4 C．6 D． 8

【答案】D

10．（2010年上海）下列命题中，是真命题的为（）

A.锐角三角形都相似

B.直角三角形都相似

C.等腰三角形都相似

D.等边三角形都相似

【答案】D

11．（2010云南楚雄）下列说法不正确的是（）

A．在选举中，人们通常最关心的数据是众数．

B．掷一枚骰子，3点朝上是不确定事件．

C．数据3，5，4，1，－2的中位数是3．

D．有两边对应成比例且有一个角对应相等的两个三角形相似．

【答案】D

12．（2010河南）如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，则下列结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③

AD AB

AE AC

.其中正确的有

A

D E

(A)3个 (B)2个

(C)1个（D）0个

【答案】A

13．（2010 四川绵阳）如图，梯形ABCD的对角线AC、BD相交于O，G是BD的中点．若AD = 3，BC = 9，则GO: BG =（）．

A．1 : 2 B．1 : 3

C．2 : 3 D．11 : 20

【答案】A

14．（2010广西桂林）如图，已知△ADE与△ABC的相似比为1：2，则△ADE 与△ABC的面积比为（）．

A．1：2 B．1：4

C．2：1 D．4：1

A

D E

B C

【答案】B

15．（2010辽宁沈阳）如图，在等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，且∠ADE=60°，BD=3，CE=2，则△ABC的边长为

G

A

B

D

C

O

A．9 B．12 C．15 D．18

【答案】A

16．（2010福建省南平）下列说法中，错误的是( )

A．等边三角形都相似B．等腰直角三角形都相似

C．矩形都相似D．正方形都相似

【答案】C

17．（2010吉林）如图，在△ABC中，∠C=900，D是AC上一点，DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6，DE=3，则AD的长为（）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

18．（2010内蒙赤峰）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠，使AB落在AD

FC的值是边上，折痕为AE，再将△AEB以BE为折痕向右折叠，AE与DC交于点F，则

CD

（）

【答案】C

19．（2010广西百色）下列命题中，是假命题的是（）

A.全等三角形的对应边相等

B.两角和一边分别对应相等的两个三角形全等

C.对应角相等的两个三角形全等

D.相似三角形的面积比等于相似比的平方

【答案】C

20．（2010广西百色）如图，△ABC中，D、E分别为AC、BC边上的点，AB∥DE，CF为AB边上的中线，若AD=5，CD=3，DE=4，则BF的长为（）

A.

332 B. 316 C. 310 D. 38

【答案】B

二、填空题

1．（2010江苏南通）若△ABC ∽△DEF ， △ABC 与△DEF 的相似比为1∶2，则△ABC 与△DEF 的周长比为 ▲ ．

【答案】1∶2

2．（2010 嵊州市）如图，射线AM ，BN 都垂直于线段AB ，点E 为AM 上一点，过点A 作BE 的垂线AC 分别交BE ，BN 于点F,C ，过点C 作AM 的垂线CD ，垂足为D ，若CD ＝CF ，则=AD

AE 。

【答案】215- 3．（2010年上海）如图2，△ABC 中，点D 在边AB 上，满足∠ACD =∠ABC ，若AC = 2，AD = 1，则DB = __________.

N M D C F E A B

第12题 F E D C B

A

【答案】DB=3

4．（2010山东临沂） 如图，12∠=∠，添加一个条件使得ADE ?∽ACB ? .

【答案】∠B=∠D, ∠C=∠E,AD AE AB AC

=等 5．（2010江苏淮安）在比例尺为1：200的地图上，测得A ，B 两地间的图上距离为4.5 cm ，则A ，B 两地间的实际距离为 m ．

【答案】9

6．（2010陕西西安）如图，在ABC ?中，D 是AB 边上一点，连接CD ，要使ADC ?与

ABC ?相似，应添加的条件是 。

（只需写出一个条件即可）

【答案】∠ACD=∠B （∠ADC=∠ACB 或AB

AC AC AD =） 7．（2010四川内江）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点E 、F 分别在AB 和AC 上，CE 与BF 相交于点D ，若AE ＝CF ，D 为BF 的中点，则AE ∶AF 的值为 .

D

图2 21E D C B A （第17题图）

【答案】5＋12 8．（2010云南昭通）如果两个相似三角形的一组对应边分别为3cm 和5cm 。且较小三角形的周长为15cm ，则较大三角形周长为______cm ．

【答案】25 9．（2010福建南平）如图，在△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，DE ∥BC ，且AD=13

AB ，则△ADE 的周长与△ABC 的周长的比为__________.

【答案】: 13

10．（2010四川达州） 如图7，△ABC 中，CD ⊥AB ，垂足为D.下列条件中，能证明△ABC 是直角三角形的有 （多选、错选不得分）.

①∠A+∠B=90° ②222AB AC BC =+

③AC CD AB BD

= ④2CD AD BD =?

【答案】①②④ 图7

第17题 A

B C

D E

A

B

D

E F

C

三、解答题

1．（2010江苏南京）（8分）学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。

（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”。类似地，你可以等到：“满足，或，两个直角三角形相似”。（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程。

已知：如图，。

试说明Rt△ABC∽Rt△A’B’C’.

【答案】

2．（2010 浙江省温州市）(本题l4分)如图，在RtAABC 中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B 作射线BBl ∥AC ．动点D 从点A 出发沿射线AC 方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E 从点C 出发沿射线AC 方向以每秒3个单位的速度运动．过点D 作DH ⊥AB 于H ，过点E 作EF 上AC 交射线BB 1于F ，G 是EF 中点，连结DG ．设点D 运动的时间为t 秒．

(1)当t 为何值时，AD=AB ，并求出此时DE 的长度；

(2)当△DEG 与△AC B 相似时，求t 的值；

(3)以DH 所在直线为对称轴，线段AC 经轴对称变换后的图形为A ′C ′．

①当t>5

3时，连结C ′C ，设四边形ACC ′A ′的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式； ②当线段A ′C ′与射线BB ，有公共点时，求t 的取值范围(写出答案即可)．

【答案】

3．（2010 四川南充）如图，△ABC 是等边三角形，CE 是外角平分线，点D 在AC 上，连结BD 并延长与CE 交于点E ．

（1）求证：△ABD ∽△CED ．

（2）若AB ＝6，AD ＝2CD ，求BE 的长．

【答案】（1）证明：∵ △ABC 是等边三角形，

∴ ∠BAC ＝∠ACB ＝60°．∠ACF ＝120°．

∵ CE 是外角平分线， ∴ ∠ACE ＝60°．

∴ ∠BAC ＝∠ACE ．

又∵ ∠ADB ＝∠CDE ，

∴ △ABD ∽△CED ．

（2）解：作BM ⊥AC 于点M ，AC ＝AB ＝6．

∴ AM ＝CM ＝3，BM ＝AB ·sin60°＝33

∵ AD ＝2CD ，∴ CD ＝2，AD ＝4，MD ＝1．

在Rt △BDM 中，BD 22BM MD +27 由（1）△ABD ∽△CED 得，BD AD ED CD

=272=， ∴ ED 7，∴ BE ＝BD ＋ED ＝37 A

D

E

A D E B

M

4．（2010 浙江衢州）(本题10分)如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC 和△DEF

的顶点都在方格纸的格点上．

(1) 判断△ABC 和△DEF 是否相似，并说明理由；

(2) P 1，P 2，P 3，P 4，P 5，D ，F 是△DEF 边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作

为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC 相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．

【答案】解：(1) △ABC 和△DEF 相似．

根据勾股定理，得

AB =

AC ，BC =5 ；

DE =

DF =

EF = ∵

AB AC BC DE DF EF === ∴ △ABC ∽△DEF ．

(2) 答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．

△P 2P 5D ，△P 4P 5F ，△P 2P 4D ，

△P 4P 5D ，△P 2P 4 P 5，△P 1FD ．

5．（2010 河北）（本小题满分10分）在图15-1至图15-3中，直线MN 与线段AB 相交 于点O ，∠1?=?∠2?=?45°．

（1）如图15-1，若AO?=?OB ，请写出AO 与BD

的数量关系和位置关系；

（2）将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到

图15-2，其中AO?=?OB ．

求证：AC?=?BD ，AC?⊥?BD ；

（3）将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到

图15-3，求

AC

BD 的值． A

C B

F E

D P 1

P 2 P 3

P 4

(第22题) P 5 A C B

F E

D P 1

P 2

P 3

P 4

P 5

【答案】

解：（1）AO?=?BD ，AO ⊥BD ；

（2）证明：如图4，过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ，∴∠ACO?=?∠BEO ．

??又∵AO?=?OB ，∠AOC?= ∠BOE ，

∴△AOC?≌?△BOE ．∴AC?=?BE ． 又∵∠1?=?45°， ∴∠ACO?=?∠BEO?=?135°． ∴∠DEB?=?45°．

∵∠2?=?45°，∴BE?=?BD ，∠EBD?=?90°．

∴AC?=?BD ．

延长AC 交DB 的延长线于F ，如图4．∵BE ∥AC ，∴∠AFD?=?90°．

∴AC ⊥BD ．

（3）如图5，过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ，∴∠BEO =?∠ACO ． 图15-2 A D

O B C

2 1 M

N

图15-1

A D

B M

N 1

2 图15-

3 A D

O

B C

2

1 M N O 图4 A

D

O B C 2

1 M N E F

又∵∠BOE =?∠AOC ，

∴△BOE?∽?△AOC ． ∴AO BO

AC BE =． 又∵OB?=?kAO ，

由（2）的方法易得 BE?=?BD ．

∴k AC

BD =．

6．（2010 广东珠海）如图，在平行四边形ABCD 中，过点A 作AE ⊥BC ，垂足为E ，

连接DE ，F 为线段DE 上一点，且∠AFE ＝∠B.

(1) 求证：△ADF ∽△DEC

(2) 若AB ＝4,AD ＝33,AE ＝3,求AF 的长.

【答案】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形

∴AD ∥BC AB ∥CD

∴∠ADF=∠CED ∠B+∠C=180°

∵∠AFE+∠AFD=180 ∠AFE=∠B ∴∠AFD=∠C

∴△ADF ∽△DEC

(2)解：∵四边形ABCD 是平行四边形

∴AD ∥BC CD=AB=4

又∵AE ⊥BC ∴ AE ⊥AD

在Rt △ADE 中，DE=

63)33(2222=+=+AE AD ∵△ADF ∽△DEC

∴ CD

AF DE AD = ∴4633AF = AF=32 7．（2010湖北武汉）已知线段OA ⊥OB ，C 为OB 上中点，D 为AO 上一点，连AC 、BD 交于P 点．

A

O

B C 1 D 2

图5 M

N E

（1）如图1，当OA=OB 且D 为AO 中点时，求

PC AP 的值； （2）如图2，当OA=OB ，AO AD =4

1时，求tan ∠BPC ； （3）如图3，当AD ∶AO ∶OB=1∶n ∶n 2时，直接写出tan ∠BPC 的值．

【答案】（1）过C 作CE ∥OA 交BD 于E ，证△BCE ∽△BOD 得CE=

21OD=21AD ；再证△ECP ∽△DAP 得2==CE

AD PC AP ； （2）过C 作CE ∥OA 交BD 于E ，设AD=x ，AO=OB=4x ，则OD=3x ，证△BCE ∽△BOD 得CE=21OD=23x ，再证△ECP ∽△DAP 得3

2==CE AD PE PD ；由勾股定理可知BD=5x ，DE=25x ，则3

2=-PD DE PD ，可得PD=AD=x ，则∠BPC=∠DPA=∠A ，tan ∠BPC=tan ∠A=

2

1=AO CO ； (3)n n ．

8．（2010江苏淮安）如题28(a)图，在平面直角坐标系中，点A 坐标为(12，0)，点B 坐标为(6，

8)，点C 为OB 的中点，点D 从点O 出发，沿△OAB 的三边按逆时针方向以2个单位长度／秒的速度运动一周．

(1)点C 坐标是( ， )，当点D 运动秒时所在位置的坐标是( ， )；

(2)设点D 运动的时间为t 秒，试用含t 的代数式表示△OCD 的面积S,并指出t 为何值 时，S 最大；

(3)点E 在线段AB 上以同样速度由点A 向点B 运动，如题28(b)图，若点E 与点D 同时 出发，问在运动5秒钟内，以点D ，A ，E 为顶点的三角形何时与△OCD 相似(只考虑以 点A ．O 为对应顶点的情况)： D C P O A B 图 1 D C P O A B 图 2 D C P O A B 图 3

题28(a)图题28(b)图

【答案】解：（1）C（3，4）、D（9，4）

（2）当D在OA上运动时，

1

424

2

S t t

=??=（0＜t＜6）；

当D在AB上运动时，过点O作OE⊥AB，过点C作CF⊥AB，垂足分别为E和F，过D作DM⊥OA，过B作BN⊥OA，垂足分别为M和N，如图：

设D点运动的时间为t秒，所以DA=2t-12，BD=22-2t，

又因为C为OB的中点，

所以BF为△BOE的中位线，

所以

1

2

CF OE

=，

又因为11

8 22

AB OE OA

?=?，

所以

48

5 OE=，

所以245CF =， 因为BN ⊥OA ，DM ⊥OA ， 所以△ADM ∽△ABN ， 所以212108

t DM -=， 所以8485t DM -=， 又因为△△△△BCD OCD OAB OAD S S S S =--，

所以△1184812412812(222)22525

OCD t S t -=

??-??-?-?， 即△2426455

OCD t S =-+（6≤t ＜11）， 所以当t=6时，△OCD 面积最大，为△2462642455OCD S ?=-+=； 当D 在OB 上运动时，O 、C 、D 在同一直线上，S=0（11≤t ≤16）.

（3）设当运动t 秒时，△OCD ∽△ADE ，则

OC OD AD AE =，即521222t t t

=-，所以t=； 设当运动t 秒时，△OCD ∽△AED ，则OC OD AE AD =，即522122t t t =-，所以225300t t +-=，所以152654t -+=，252654t --=（舍去），

所以当t 为秒或5265-+

秒时两三角形相似.

9．（2010 山东滨州）如图，在△ABC 和△ADE 中，∠BAD=∠CAE ，∠ABC=∠ADE ．

(1)写出图中两对相似三角形（不得添加辅助线）；

(2)请分别说明两对三角形相似的理由．

【答案】解： (1) △ABC ∽△ADE, △ABD ∽△ACE ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2

分

(2)①证△ABC ∽△ADE ．

∵∠BAD=∠CAE ，

∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC ，

即∠BAC=∠DAE ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4

分

又∵∠ABC=∠ADE ，

∴△ABC ∽△ADE ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5

分

②证△ABD ∽△ACE ．

∵△ABC ∽△ADE ，∴

AE AC AD AB ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分

又∵∠BAD=∠CAE ，∴△ABD ∽△ACE ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

10．如图，在△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AC 边上一点．且满足AD ＝AB ，∠ADE ＝∠C ．

（1）求证：∠AED =∠ADC ，∠DEC =∠B ；

（2）求证：AB 2＝AE ?AC ．

B D C

【答案】

证明：（1）在△ADE 和△ACD 中

∵∠ADE =∠C ，∠DAE =∠DAE

∴∠AED =180°－∠DAE －∠ADE

∠ADC ＝180°－∠DAE －∠C

∴∠AED =∠ADC

∵∠AED +∠DEC =180°

∠ADB +∠ADC =180°

∴∠DEC =∠ADB

又∵AB =AD

∴∠ADB =∠B

∴∠DEC =∠B

（2）在△ADE 和△ACD 中

由（1）知∠ADE ＝∠C ，∠DAE =∠DAE

∴△ADE∽△ACD

∴AD AC AE AD

即AD2=AE?AC

又∵AB=AD

∴AB2＝AE?AC

11．（2010江苏南京）学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件。

（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”。类似地，你可以等到：“满足，或，两个直角三角形相似”。（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足的两个直角三角形相似”。请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程。

已知：如图，。

试说明Rt△ABC∽Rt△A’B’C’.

【答案】