长郡中学2020-2021学年高一上学期期中考试 数学试题(含解析)

长郡中学2020-2021学年高一上学期期中考试 数学试题

时量：120分钟 满分：100分

一、单项选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。

1.已知集合M ＝{x|－4

A.{x|－4

B.{x|－4

C.{x|－3

D.{x|－3

2.命题“?x 0∈R ，x 02＋x 0＋1<0”的否定为

A.?x 0∈R ，x 02＋x 0＋1≥0

B.?x 0?R ，x 02＋x 0＋1≥0

C.?x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0

D.?x ?R ，x 2＋x ＋1≥0

★3.下列四个函数中是偶函数，且在(－∞，0)上单调递减的是

A.f(x)＝21x

B.f(x)＝1－x 2

C.f(x)＝1－2x

D.y ＝|x| 4.幂函数y ＝f(x)的图象经过点(2，2)，则f(x)

A.是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增

B.是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减

C.是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减

D.既不是奇函数，也不是偶函数，在(0，＋∞)上单调递增

5.若f(x)满足关系式f(x)＋2f(

1x

)＝3x ，则f(2)的值为 A.1 B.－1 C.－32 D.32 6.在函数y ＝|x|，x ∈[－1，1]的图象上有一点P(t ，|t|)，此函数与x 轴、直线x ＝－1及x ＝t 围成图形如图阴影部分的面积为S ，则S 与t 的函数关系图可表示为

7.若

11a b

<<0，有下面四个不等式： ①a 2>b 2，②b a a b +>2，③a ＋b

A.0

B.1

C.2

D.3

8.已知奇函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，若f(1)＝－1，则满足－1≤f(x －2)≤1的x 的取值范围是

A.[－2，2]

B.[－1，1]

C.[0，4]

D.[1，3]

9.已知a>0，b>0，则“a ＋b ≤2”是“ab ≤1”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

10.已知f(x)＝()2a 3x a 2x 1ax x x 1

?-++

] ★11.设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0

A.15

B.16

C.17

D.18

12.已知λ∈R ，函数f(x)＝2x 2x x x 2x λλ-≥??+-

，，，若方程f(x)＝0恰有2个实数解，则λ的取值范围是 A.(－2，1] B.(－2，1]∪(2，＋∞) C.(－2，1]∪[2，＋∞) D.(－2，1)∪[2，＋∞)

二、多项选择题：本题共3小题，每小题3分，共9分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得3分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

13.下列各组函数中，两个函数是同一函数的有

A.f(x)＝x 与g(x)

B.f(x)＝x ＋1与g(x)＝211x x --

C.f(x)＝x x 与g(x)＝x 01x 0

>??-

g(x)

14.已知f(x)＝ax 2＋bx ＋c(a>0)，分析该函数图象的特征，若方程f(x)＝0一根大于3，另一根小于2，则下列不等式一定成立的是

A.2<－2b a

<3 B.4ac －b 2<0 C.f(2)<0 D.f(3)<0 15.设x ∈R ，用[x]表示不超过x 的最大整数，则函数y ＝[x]称为高斯函数，也叫取整函数，如：[1.5]＝1，[－

1.3]＝－2，则下列结论正确的是

A.若n ∈Z ，则[n ＋x]＝n ＋[x]

B.x －1<[x]≤x

C.0≤[x[x]]<2的解集为[0，2)

D.当x ∈[0，n)，n ∈N *

时，函数f(x)＝[x[x]]的值域中元素个数为2n n 22-+ 三、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

16.集合M 满足{a ，b ，c}?M ?{a ，b ，c ，d ，e}，则这样的集合M 有 个。

17.若函数y ＝f(x)的定义域是[1，2]，则函数y ＝

)的定义域为 。

18.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f(x)＝x －x 2，则函数f(x)的解析式为 。

19.若f(x)＝－x 2＋2ax 与g(x)＝2x 3a x l

-+-在区间[2，4]上都是减函数，则a 的取值范围是 。 20.已知函数f(x)＝24x 0x 4x 10x 20x 4x

?+<

，，，若存在0

四、解答题：本题共5小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

21.已知A ＝{x|a ≤x ≤a ＋3}，B ＝{x|－x 2＋4x ＋5<0}。

(1)若a ＝－3，求A ∩B ；

(2)若x ∈A 是x ∈R B 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围。

22.已知x>0，y>0，2xy ＝x ＋4y ＋a 。

(1)当a ＝6时，求xy 的最小值；

(2)当a ＝0时，求x ＋y 的最小值。

23.某家庭进行理财投资，根据市场长期收益率预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比。已知投资1万元时两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)。

(1)分别写出两种产品的年收益与投资额的函数关系式；

(2)该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元?

24.已知a∈R，函数f(x)＝x2－2ax＋5。

(1)若a>1，且函数f(x)的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；

(2)若不等式x[x2－f(x)]≤1对x∈[1

3

，

1

2

]恒成立，求实数a的取值范围。

25.我们知道，函数y＝f(x)的图像关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数y＝f(x)为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y＝f(x)的图像关于点P(a，b)成中心对称的充要条件是函数y＝f(x＋a)－b为奇函数。

(1)求函数f(x)＝x3－3x2图像的对称中心；

(2)请利用函数f(x)＝x3－3x2的对称性求f(－2018)＋f(－2017)＋…＋f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2019)＋f(2020)的值。

(3)类比上述推广结论，写出“函数y＝f(x)的图像关于x轴成轴对称的充要条件是函数y＝f(x)为偶函数”的一个推广结论。