人教版八年级数学上册_整式的乘法与因式分解知识点总结及同步练习

整式乘除与因式分解

一．知识点 （重点） 1．幂的运算性质：

a m ·a n ＝a m ＋n （m 、n 为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 例：(－2a )2(－3a 2)3 2．()

n

m a ＝ a mn （m 、n 为正整数）

幂的乘方，底数不变，指数相乘． 例： (－a 5)5

3．

()n n n

b a ab = （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积． 例：(－a 2b )3 练习：

（1）y x x 2

3

25? （2）)4(32

b ab -?- （3）a ab 23?

（4）2

2

2z y yz ? （5）)4()2(2

3

2

xy y x -? （6）2

2253)(63

1ac c b a b a -??

4．n

m a a ÷＝ a m －n （a ≠0，m 、n 都是正整数，且m ＞n ）

同底数幂相除，底数不变，指数相减． 例：（1）x 8÷x 2 （2）a 4÷a （3）（a b ）5÷（a b ）2

（4）（-a ）7÷（-a ）5 （5） (-b ) 5÷(-b )2

5．零指数幂的概念： a 0＝1 （a ≠0）

任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l ． 例：若1)32(0=-b a 成立，则b a ,满足什么条件？

6．负指数幂的概念：

a －p ＝p

a 1 （a ≠0，p 是正整数）

任何一个不等于零的数的－p （p 是正整数）指数幂，等于这个数的p 指数幂的倒数．

也可表示为：p

p

n m m n ?

?? ??=?

?

? ??-（m ≠0，n ≠0，p 为正整数）

7．单项式的乘法法则：

单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．

例：（1）223123abc abc b a ?? （2）4233)2()21

(n m n m -?-

8．单项式与多项式的乘法法则：

单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．

例：（1）)35(22

2b a ab ab + （2）ab ab ab 2

1)232(2?-

（3）)32()5(-2

2

n m n n m -+? （4）xyz z xy z y x ?++)(23

2

2

9．多项式与多项式的乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．

例：（1）

)6.0(1x x --）（ （2）))(2(y x y x -+ （3）2)2n m +-（ 练习：

1．计算2x 3·(－2xy)(－

1

2

xy) 3的结果是

2．(3×10 8)×(－4×10 4)＝

3．若n 为正整数，且x 2n ＝3，则(3x 3n ) 2的值为 4．如果(a n b ·ab m ) 3＝a 9b 15，那么mn 的值是

5．－[－a 2(2a 3－a)]＝

6．(－4x 2＋6x －8)·(－

12

x 2

)＝ 7．2n(－1＋3mn 2

)＝

8．若k(2k －5)＋2k(1－k)＝32，则k ＝ 9．(－3x 2)＋(2x －3y)(2x －5y)－3y(4x －5y)＝

10．在(ax 2＋bx －3)(x 2－1

2x ＋8)的结果中不含x 3和x 项，则a ＝ ，b ＝

11．一个长方体的长为(a ＋4)cm ，宽为(a －3)cm ，高为(a ＋5)cm ，则它的表面积为

，体积为

。

12．一个长方形的长是10cm ，宽比长少6cm ，则它的面积是

，若将长方

形的长和都扩大了2cm ，则面积增大了

。

10．单项式的除法法则：

单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．

例：（1）28x 4y 2÷7x 3y （2）-5a 5b 3c ÷15a 4b （3）（2x 2y ）3·（-7xy 2）÷14x 4y 3

11．多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．

例： 练习： 1．计算：

（1）223247173y x z y x ÷-； （2）()??

? ??-÷-2232232y x y x ；

（3）()()2

6

416b a b a -÷-． （4）()(

)

3

22324n n xy y x -÷

xy xy y x 6)63()1(2÷-)

5()15105()2(3223ab ab b a b a -÷--

（5）()()39102104?-÷?

2．计算：

（1）3

323

3

212116??

?

??-?÷xy y x y x ；

（2）3

2232512152???

??-÷??? ?????? ??xy y x y x

（3）2

2

221524125??

?

??-??

?? ??-÷??? ??-+n n n n b a b a b a

3．计算：

（1）()()[]()()[]

2

3

4

5

64y x x y y x y x +?-÷+-；

（2）()()[]()()[]

2

3

5

6

16b a b a b a b a -+÷-+．

4.若 (ax 3my 12)÷(3x 3y 2n )=4x 6y 8 , 则 a = , m = ,= ;

易错点：在幂的运算中，由于法则掌握不准出现错误； 有关多项式的乘法计算出现错误； 误用同底数幂的除法法则；

用单项式除以单项式法则或多项式除以单项式法则出错； 乘除混合运算顺序出错。

12．乘法公式：

①平方差公式：（a ＋b ）（a －b ）＝a 2－b 2

文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差． ②完全平方公式：（a ＋b ）2＝a 2＋2ab ＋b 2 （a －b ）2＝a 2－2ab ＋b 2

文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍．

例1： （1）(7+6x)(7?6x)； （2）(3y ＋ x)(x?3y)； （3）(?m ＋2n)(?m?2n)．

例2： (1) (x+6)2

(2) (y-5)2

(3) (-2x+5)2

练习：

1、(

)()4

3

52a

a -?-=_______。3

22

2323

()2()()x x y

x y xy ??-?-??

＝______________。 2、2323433428126b a b a b a b a =-+（_____________________）

3、2

2

2

____9(_____)x y x ++=+；2

235(7)x x x +-=+（______________）

4、已知15x x +=，那么331x x +=_______；2

1x x ?

?- ??

?=_______。

5、若2

2

916x mxy y ++是一个完全平方式，那么m 的值是__________。 6、多项式2,12,2

2

2

3

--+++x x x x x x 的公因式是_____________________。

7、因式分解：=+27

83

x __________________________。 8、因式分解：=+

+2

24

124n mn m ____________________________。 9、计算：=?-?-?8002.08004.08131.0_____________________。

10、A y x y x y x ?-=+--)(2

2，则A =_____________________

易错点：错误的运用平方差公式和完全平方公式。

13．因式分解（难点） 因式分解的定义．

把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解．

掌握其定义应注意以下几点：

（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可；

（2）因式分解必须是恒等变形；

（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止． 弄清因式分解与整式乘法的内在的关系．

因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形式．

二、熟练掌握因式分解的常用方法． 1、提公因式法

（1）掌握提公因式法的概念；

（2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：①系数一各项系数的最大公约数；②字母——各项含有的相同字母；③指数——相同字母的最低次数；

（3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意的是，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．

（4）注意点：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．

例：（1）323

812a b ab c + （2）35247535x y x y -

2、公式法

运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式：

①平方差公式： a 2－b 2＝ （a ＋b ）（a －b ） ②完全平方公式：a 2＋2ab ＋b 2＝（a ＋b ）2 a 2－2ab ＋b 2＝（a －b ）2

例：（1）2220.25a b c - （2）29()6()1a b b a -+-+

（3）42222244a x a x y x y -+ （4）22()12()36x y x y z z +-++

练习：

1、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m 的值等于_____。

2、22)(n x m x x -=++则m =____n =____

3、232y x 与y x 612的公因式是＿

4、若n m y x -=))()((4222y x y x y x +-+，则m=_______，n=_________。

5、在多项式4224222294,4,,t s y x b a n m +-+--+中，可以用平方差公式分解因式的

有________________________ ，其结果是 _____________________。 6、若16)3(22+-+x m x 是完全平方式，则m=_______。 7、_____))(2(2(_____)2++=++x x x x

8、已知,01200520042=+++++x x x x Λ则.________2006=x

9、若25)(162++-M b a 是完全平方式M=________。 10、()22)3(__6+=++x x x ， ()22)3(9___-=++x x 11、若229y k x ++是完全平方式，则k=_______。

12、若442-+x x 的值为0，则51232-+x x 的值是________。 13、若)15)(1(152-+=--x x ax x 则a =_____。 14、若6,422=+=+y x y x 则=xy ___。 15、方程042=+x x ，的解是________。

易错点：用提公因式法分解因式时易出现漏项，丢系数或符号错误； 分解因式不彻底。

中考考点解读：

整式的乘除是初中数学的基础,是中考的一个重点内容.其考点主要涉及以下几个方面： 考点1、幂的有关运算

例1．在下列运算中，计算正确的是（ ） （A ）326a a a ?= （B ）23

5

()a a =

（C ）824a a a ÷=

（D ）22

24

()ab a b =

分析:幂的运算包括同底数幂的乘法运算、幂的乘方、积的乘方和同底数幂的除法运算.幂的运算是整式乘除运算的基础,准确解决幂的有关运算的关键是熟练理解各种运算的法则.

解：根据同底数幂的乘法运算法则知52

323a a a a ==?+，所以（A ）错；根据幂的乘

方运算法则知63

23

2)(a a

a ==?，所以（B ）错；根据同底数幂的除法法则知

62828a a a a ==÷-，所以（C ）错；故选（D ）.

例2.已知102m

=，103n

=，则3210

m n

+=____________．

分析:本题主要考查幂的运算性质的灵活应用，可先逆用同底数幂的乘法法则

m n m n a a a +?=,将指数相加化为幂相乘的形式, 再逆用幂的乘方的法则()m n mn a a =,将指数

相乘转化为幂的乘方的形式,然后代入求值即可.

解： 3210

m n

+=3232

321010(10)102372m n m n ?=?

=?=（）. 考点2、整式的乘法运算

例3．计算：31

(2)(1)4

a a -?- = ．

分析:本题主要考查单项式与多项式的乘法运算.计算时，按照法则将其转化为单项式与单项式的乘法运算,注意符号的变化.

解：)14

1()2(3

-?-a a ＝1)2(41)2(3?--?-a a a ＝a a 22

1

4+-. 考点3、乘法公式

例4.计算：()()()2

312x x x +---

分析:运用多项式的乘法法则以及乘法公式进行运算，然后合并同类项.

解： ()()()2

312x x x +---=2

2

69(22)x x x x x ++---+

=22

6922x x x x x ++-++-=97x +. 例5.已知：3

2

a b +=

，1ab =，化简(2)(2)a b --的结果是 ． 分析:本题主要考查多项式与多项式的乘法运算.首先按照法则进行计算,然后灵活变形，使其出现（a b +）与ab ，以便求值.

解：(2)(2)a b --=422+--b a ab =4)(2++-b a ab =242

3

21=+?-. 考点4、利用整式运算求代数式的值

例6．先化简，再求值：2

2

()()()2a b a b a b a +-++-，其中133

a b ==-，． 分析:本题是一道综合计算题,主要在于乘法公式的应用. 解：2

2

()()()2a b a b a b a +-++- 2222222a b a ab b a =-+++- 2ab =

当3a =，13b =-

时，12233ab ??

=??- ???

2=-. 考点5、整式的除法运算

例7.计算：[(2x －y )(2x ＋y )＋y (y －6x )]÷2x

分析:本题的一道综合计算题,首先要先算中括号内的,注意乘法公式的使用,然后再进行整式的除法运算.

解：[(2x －y )( 2x ＋y )＋y (y －6x )]÷2x

＝(4x 2－y 2＋y 2－6xy )÷2x ＝(4x 2－6xy )÷2x

＝2x －3y . 考点6、定义新运算

例8.在实数范围内定义运算“⊕”，其法则为：22

a b a b ⊕=-，求方程（4⊕3）⊕24

x =的解．

分析:本题求解的关键是读懂新的运算法则，观察已知的等式22

a b a b ⊕=-可知，在本题中“⊕”定义的是平方差运算，即用“⊕”前边的数的平方减去 “⊕”后边的数的平方.

解：∵ 22

a b a b ⊕=- ， ∴ 2222(43)(43)77x x x x ⊕⊕=-⊕=⊕=-．