九年数学三角形内心和外心练习题
C
E
B
三角形的内心和外心测试题
姓名________________ 班级_____________ 成绩____________
一、选择题：
1、对于三角形的外心，下列说法错误的是（）
A.它到三角形三个顶点的距离相等
B.它到三角形任意一个顶点的距离等于其外接圆的半径
C.它是三角形三条角平分线的交点
D.它是三角形三条边垂直平分线的交点
2、下列命题正确的个数有（）
○1过两点可以作无数个圆；○2经过三点一定可以作圆；
○3任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；○4任意一个圆有且只有一个内接三角形.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离（）
A. 5cm
B. 6cm
C. 7cm
D. 8cm
4、下列说法错误的是（）
A.三角形有且只有一个内切圆
B.若I为△ABC的内心，则AI平分∠BAC
C.三角形的内心不一定都在三角形的内部
D.等腰三角形的内心一定在它底边的高上
5、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则△ABC的外接圆的面积为（）
A.25
4
cm2 B.5πcm2 C.
25
4
πcm2 D.25cm2
6、⊙O与△ABC分别相切于点D、E、F，△ABC的周长为20cm，AF=5cm，CF=3cm，则BE的长度为（）
A.1cm
B. 2cm
C.3cm
D.2.5cm
第6题第8题第10题
7、△ABC内接于⊙O，∠A=60°，⊙
O的半径为5，则BC的长为（）
5
2
8、已知，如图在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F，
则⊙O的半径为（）
A.
1
2
cm B.1cm C.
3
2
cm D.2cm
9、等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，高为h，则r：R：h的值为
（） A.1：2：3 B.1
：：2 C.2：1
：3 D.1
10、如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径为( )
A.
4
5
B.
5
4
C.
3
4
D.
5
6
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇
向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇 一、四心的概念介绍 （1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直； （3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。 二、四心与向量的结合 （1）?=++0OC OB OA O 是ABC ?的重心. 证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O ? =++0OC OB OA ?? ?=-+-+-=-+-+-0 )()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ??? ??? ?++=++=?3 3321321y y y y x x x x ?O 是ABC ?的重心. 证法2：如图 OC OB OA ++ 02=+=OD OA ∴OD AO 2= ∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ?的重心 （2）??=?=?OA OC OC OB OB OA O 为A B C ?的垂心. 证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足. 0)(=?=-??=?CA OB OC OA OB OC OB OB OA AC OB ⊥? 同理BC OA ⊥，AB OC ⊥ ?O 为A B C ?的垂心 （3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是?ABC 的内心 O OC c OB b OA a ?=++0为A B C ?的内心. 证明：b AC c AB 、 分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴ b AC c AB + 平分BAC ∠, (λ=∴AO b AC c AB +)，令c b a b c ++= λ O A B C D E O A B C D E
三角形内心、外心专项训练
三角形内心、外心专项训练 内心相关知识 一、判断题 1、在同一平面内，到三角形三边距离相等的点只有一个 2、在同一平面内，到三角形三边所在直线距离相等的点只有一个 3、三角形三条角平分线交于一点（三角形的内心） 4、等腰三角形底边中点到两腰的距离相等 5、三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形 二、填空题 6、如图（1），点P为△ABC三条角平分线交点，PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，则PD__________PE__________PF. 7、如图（2），P是∠AOB平分线上任意一点，且PD=2cm，若使PE=2cm，则PE与OB的关系是__________. 8、如图（3），CD为Rt△ABC斜边上的高，∠BAC的平分线分别交CD、CB于点E、F，FG ⊥AB，垂足为G，则CF__________FG，∠1+∠3=__________度，∠2+∠4=__________度，∠3__________∠4，CE__________CF. 9、如右图，E、D分别是AB、AC上的一点，∠EBC、∠BCD的角平分线交于点M，∠BED、∠EDC的角平分线交于N. 求证：A、M、N在一条直线上. 证明：过点N作NF⊥AB，NH⊥ED，NK⊥AC 过点M作MJ⊥BC，MP⊥AB，MQ⊥AC ∵EN平分∠BED，DN平分∠EDC ∴NF__________NH，NH__________NK ∴NF__________NK ∴N在∠A的平分线上 又∵BM平分∠ABC，CM平分∠ACB ∴__________=__________，__________=__________ ∴__________=__________ ∴M在∠A的__________上 ∴M、N都在∠A的__________上 ∴A、M、N在一条直线上 三、作图题 10、利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点.
三角形的内心、外心、垂心
一、三角形内心 （一）定义 在三角形中,三个角的角平分线的交点是这个三角形内切圆的圆心，而三角形内切圆的圆心就叫做三角形的内心, （二）三角形内心的性质： 设△ABC的内切圆为☉I(r)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2． 1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r． 2、∠BIC=90°+A/2． 3、如图在RT△ABC中，∠A=90°△内切圆切BC于D则S△ABC=BD*CD 4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是： 向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)． 5、△ABC中，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，那么△ABC内心I的坐标是： (ax1/(a+b+c)+bx2/(a+b+c)+cx3/(a+b+c)，ay1/(a+b+c)+by2/(a+b+c)+cy3/(a+b+c))． 6、(欧拉定理)⊿ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，O和I分别为其外心和内心，则OI^2=R^2-2Rr． 7、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是： a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)=向量0． 8、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。 9、△ABC中，内切圆分别与AB，BC，CA相切于P，Q，R，则AP=AR=（b+c-a）/2，BP =BQ =(a +c-b)/2,CR =CQ =(b+a-c)/2,r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。 10、（内角平分线定理） △ABC中，0为内心，∠A 、∠B、∠C的内角平分线分别交BC、AC、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b. （三）三角形内接圆半径 1、在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 2、在RT△ABC中，∠C=90°，r=ab/a+b+c 3任意△ABC中r=（2*S△ABC）/C△ABC （C为周长） 二、三角形外心 （一）定义 三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心． 三角形外接圆的圆心也就是三角形三边中垂线的交点,三角形的三个顶点就在这个外接圆上 （二）三角形外心的性质： 设⊿ABC的外接圆为☉G(R)，角A、B、C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2．性质1：（1）锐角三角形的外心在三角形内；
三角形内心、外心专项训练
三角形内心、外心专项 训练 -CAL-FENGHAL-(YICAI)-Company One 1
内心相关知识 三角形内心、外心专项训练 一、判断题 在同一平面内， 在同一平面内， 三角形三条角平分线交于一点（三角形的内心） 1 、 2 、 3> 4 、 5 、 到三角形三边距离相等的点只有一个到三角形三 边所在直线距离相等的点只有一个 等腰三角形底边中点到两腰的距离相等 三角形是以它的角平分线为对称轴的轴对称图形 二、填空题 6、如图（1）,点P为△A8C三条角平分线交点，PD丄AB, PE丄BC, PF丄AC,则 PD __________ PE __________ PF. 7、如图（2） , P是ZAOB平分线上任意一点，II PD=2cm,若使P&2cm,则PE与 0B的关系是___________ . 8、如图（3） , CD为RtAAfiC斜边上的高，ZBAC的平分线分别交CD、CB于点￡, F, FG 丄AB,垂足为G,则CF _________________ F G, Z1+Z 3= ____________ 度，Z 2+Z 4= FG. Z 1+ Z 3= CF. 度，Z3Z4, CE 9.如右图，￡、D分别是&& BED、ZEDC的角平分线交于M 求证；A、M、W在 一条直线上. 证明：过点W作WF丄AB, NH丄ED, NKLAC 过 点M 作MJ丄BC, MPMQ丄AC V￡/V￥分Z8￡6 DN 平分ZEDC :.NF _________ NH, NH NK :.NF _________ NK 代W在ZA的平分线上 乂TBM 半分ZABC, CM 半分ZACB AC匕的一点, ZffiC. /BCD的角平分线交于点Z AM在ZA的_____________ 上 AM. W都在ZA的 _____________ 上 ：4、W在一条直线上 三、作图题 10、利用角平分线的性质，找到△ABC内部距三边距离相等的点 C
三角形重心、外心、垂心、内心性质
三角形重心性质定理 1三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。 2重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 3重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 4重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 5在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为 ((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标： (Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 6重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。 7重心是三角形内到三边距离之积最大的点。 三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。 三角形的外心的性质 1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. 2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重 合 4.OA=OB=OC=R 5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA 6.S△ABC=abc/4R 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 三角形的内心的性质 1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r 3.r=2S/(a+b+c) 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2 6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径) 三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。 三角形的垂心的性质 1.锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外 2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上 4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO·OD=BO·OE=CO·OF 5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一—垂心组)。 6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。 7.在非直角三角形中，过O的直线交AB、AC所在直线分别于P、Q，则AB/AP·tanB+ AC/AQ·tanC=tanA+tanB+tanC 8.三角形任一顶点到垂心的距离，等于外心到对边的距离的2倍。 9.设O，H分别为△ABC的外心和垂心，则∠BAO=∠HAC，∠ABH=∠OBC，∠BCO=∠HCA。 10.锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的2倍。 11.锐角三角形的垂心是垂足三角形的内心；锐角三角形的内接三角形(顶点在原三角形的边上)中，以垂足三角形的周长最短。
三角形的内心和外心
三角形的内心和外心 一、提出问题 问题1（2013元调，10）如图，点I和O分别是△ABC的内心和外心，则∠AIB与∠AOB的关系为（） A．∠AIB=∠AOB B. ∠AIB≠∠AOB C. 2∠AIB?1 2 ∠AOB=180° D. 2∠AOB?1 2 ∠AIB=180° 二、分析与解决问题 三、小结：四、拓展（同一三角形内心与外心→关联三角形内心与外心） 问题2（2014元调，10）如图扇形AOD中，∠AOD=90°，OA=6，P为 ⌒ AD上任意一点（不与A、D重合）.PQ⊥OD于Q，点I为△OPQ内心，过O、I、D三点的圆的半径为r，则当P在 ⌒ AD上运动时，r的值满足（） A. 0 五、巩固练习（线段关系运用） 1. BC是⊙O的直径，A为⊙O上一点（不与B、C重合），I为△ABC的内心，BI、CI延长线分别交⊙O于E、F，IK⊥BC于K. 连EF交AB、AC于M、N，则下列结论： ①△AMN是等腰直角三角形；②E为△AIC外心； ③AB+AC=BC+√；④AB?AC=2BK?CK. 正确的是2．△ABC内接于⊙O，D为 ⌒ AB中点，AB=9，AC=6，且I为CD 上一点且DI=DA ①求证：I为△ABC内心. ②若IK⊥BC于K，求BK—CK的值. 3．⊙O中，AB是直径，D为半圆中点，C为 ⌒ BD上一 点. ①求证：AC?BC=√2CD. ②若I为△ABC内心，IP⊥AC于P，当CD=√2，IP=1 时，求S△ABC. C B A 三角形的内心和外心第2页，共2页 三角形的重心： 含义：是三角形三条中线的交点。 性质：1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1 2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为 ((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3) 在空间直角坐标系中， 横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。 6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点 三角形的外心： 含义：是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。 性质：1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. 2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 3.锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的 中点重合 4.OA=OB=OC=R 5.∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA 6.S∠ABC=abc/4R 三角形的内心： 含义：是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 性质：1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r 3.r=2S/(a+b+c) 4.在Rt∠ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． 5.∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90 °+∠C/2 ∠AOC = 90 °+∠B/2 6.S∠=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径) 三角形外心、内心、重心相关的关系和定理。外心即外接圆的圆心，此时三角形三个顶点在圆上，圆心到三个顶点的距离相等，即外心到三角形三个顶点距离相等，因此外心是三角形三条边的中垂线的交点。 内心即内切圆的圆心，此时三角形三条边都与圆相切，圆心到三条边的距离相等，即内心到三角形三个顶点距离相等，因此内心是三角形三个角的角平分线交点。 重心即三条中线的交点，分别通过三个顶点与对边中点相连，中线的交点即是重心，重心把三条中线分成1:2，即重心与中点的距离与重心与顶点的距离比为1:2。 垂心即三条高的交点，分别通过三个顶点作对边作垂线，垂线的交点即是垂心。 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的三个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形三个顶点距离的平方和最小。 外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。 2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或 ∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）. 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 4、外心到三顶点的距离相等 内心的性质： 1、三角形的三条内角平分线交于一点。该点即为三角形的内心。 2直角三角形的内心到边的距离等于两直角边的和、减去斜边的差的二分之一。 3、O为三角形的内心， A、B、C分别为三角形的三个顶点，延长AO交BC边于N，则有AO: ON=AB: BN=AC: CN=(AB+AC): BC 4（内角平分线分三边长度关系）△ABC中，0为内心，∠ A、∠ B、∠C的内角平分线分别交 BC、A C、AB于Q、P、R，则BQ/QC=c/b, CP/PA=a/c, BR/RA=a/b. 5、内心到三角形三边距离相等。 滚动小专题(八) 三角形的外心与内心 类型1三角形外心 1．已知在△ABC中，AB＝3，BC＝4，AC＝5，则△ABC的外心在(D) A．△ABC内B．△ABC外C．BC边中点D．AC边中点 2．(2018·河北模拟)如图，每个小三角形都是正三角形，则△ABC的外心是(B) A．D点B．E点C．F点D．G点 3．如图，点O是正八边形ABCDEFGH的中心，则下列说法错误的是(C) A．O是△CEF的外心B．O是△CFG的外心 C．O是△OAC的外心D．O是△CDE的外心 4．如图是10个相同的正六边形紧密排列在同一平面上的情形．根据图中各点的位置，判断O点是下列哪一个三角形的外心(C) A．△ABD B．△BCD C．△ACD D．△ADE 5．某地有四个村庄E，F，G，H(其位置如图所示)，现拟建一个电视信号中转站，信号覆盖的范围是以发射台为圆心的圆形区域．为了使这四个村庄的居民都能接收到电视信号，且使中转站所需发射功率最小(圆形区域半径越小，所需功率越小)，此中转站应建在(C) A．线段HF的中点处B．△GHE的外心处 C．△HEF的外心处D．△GEF的外心处 6．在△ABC中，O是它的外心，BC＝24 cm，O到BC的距离是5 cm，则△ABC的外接圆半径为(C) A．11 cm B．12 cm C．13 cm D．14 cm 7．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B，P的坐标分别为(1，0)，(2，5)，(4，2)．若点C在第一象限内，且横坐标、纵坐标均为整数，P是△ABC的外心，则点C的坐标为(7，4)或(6，5)或(1，4)． 8．如图，在△ABC 中，∠BAC＝70°，AB ＝AC ，O 为△ABC 的外心，△OCP 为等边三角形，OP 与AC 相交于点D ，连接OA. (1)求∠OAC 的度数； (2)求∠AOP 的度数． 解：(1)∵O 为△ABC 的外心， ∴AO 垂直平分BC. ∵AB＝AC ， ∴AO 平分∠BAC. ∴∠OAC＝1 2 ∠BAC＝35°. (2)∵O 为△ABC 的外心， ∴AO＝CO. ∴∠OAC＝∠OCA＝35°.∴∠AOC＝110°. ∵△OCP 为正三角形，∴∠POC＝60°. ∴∠AOP＝50°. 类型2 三角形内心 9．如图为5×5的网格图，点A ，B ，C ，D ，O 均在格点上，则点O 是(B ) A ．△ACD 的外心 B ．△AB C 的外心 C ．△AC D 的内心 D ．△ABC 的内心 10．如图，△ABC 是等腰直角三角形，点D ，E 在BC 上，△ADE 是等边三角形．若点O 是△ABC 的内心，则下列说法正确的是(C ) A ．点O 是△ADE 的内心 B ．点O 是△ADE 的外心 C ．点O 不是△ABE 的内心 D ．点O 是△ABC 的外心 ，你与三角形外心、内心、重心相关的关系和定理。 外心即外接圆的圆心，此时三角形三个顶点在圆上，圆心到三个顶点的距离相等，即外心到三角形三个顶点距离相等，因此外心是三角形三条边的中垂线的交点。 内心即内切圆的圆心，此时三角形三条边都与圆相切，圆心到三条边的距离相等，即内心到三角形三个顶点距离相等，因此内心是三角形三个角的角平分线交点。 重心即三条中线的交点，分别通过三个顶点与对边中点相连，中线的交点即是重心，重心把三条中线分成1:2，即重心与中点的距离与重心与顶点的距离比为1:2。 垂心即三条高的交点，分别通过三个顶点相对边作垂线，垂线的交点即是垂心。 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2︰1。 2、重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均数，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3。 5. 以重心为起点，以三角形三顶点为终点的三条向量之和等于零向量。 外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。 2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）. 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3， 三角形“四心”向量形式的充要条件应用 1．O 是ABC ?的重心?=++; 若O 是ABC ?的重心，则 AB C AOB AOC BOC S 31 S S S ????= ==故=++; 1()3 PG PA PB PC =++u u u r u u u r u u u r u u u r ?G 为ABC ?的重心. 2．O 是ABC ?的垂心?OA OC OC OB OB OA ?=?=?; 若O 是ABC ?(非直角三角形)的垂心，则C tan B tan A tan S S S AOB AOC BOC ：： ：：=??? 故0OC C tan OB B tan OA A tan =++ 3．O 是ABC ?的外心?|OC ||OB ||OA |==(或2 2 2 OC OB OA ==) 若O 是ABC ?的外心则C 2sin :B 2sin :A 2sin AOB sin AOC sin BOC sin S S S AOB AOC BOC =∠∠∠=???：： ：： 故0OC C 2sin OB B 2sin OA A 2sin =++ 4．O 是内心ABC ?的充要条件是 ( ( ( =?=?=-? 引进单位向量，使条件变得更简洁。如果记CA ,BC ,AB 的单位向量为321e ,e ,e ，则刚才O 是 ABC ?内心的充要条件可以写成 0)e e ()e e ()e e (322131=+?=+?=+? ，O 是 ABC ?内心的充要条件也可以是c b a =++ 。若O 是ABC ?的内心，则 c b a S S S AOB AOC BOC ：：：：=??? 故 0OC C sin OB B sin OA A sin 0OC c OB b OA a =++=++或; ||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r 是ABC ?的内心; 向量()(0)|||| AC AB AB AC λλ+≠u u u r u u u r u u u r u u u r 所在直线过ABC ?的内心(是BAC ∠的角平分线所在直线)； (一)将平面向量与三角形内心结合考查 例1．O 是平面上的一定点，A,B,C 是平面上不共线的三个点，动点P 满 足 OA OP + +=λ，[)+∞∈,0λ则P 点的轨迹一定通过ABC ?的（ ） （A ）外心（B ）内心（C ）重心（D ）垂心 解析：因为 是向量AB u u u r 的单位向量设AB u u u r 与AC u u u r 方向上的单位向量分别为21e e 和， 又 C E B 三角形的内心和外心测试题 姓名________________ 班级_____________ 成绩____________ 一、选择题： 1、对于三角形的外心，下列说法错误的是（） A.它到三角形三个顶点的距离相等 B.它到三角形任意一个顶点的距离等于其外接圆的半径 C.它是三角形三条角平分线的交点 D.它是三角形三条边垂直平分线的交点 2、下列命题正确的个数有（） ○1过两点可以作无数个圆；○2经过三点一定可以作圆； ○3任意一个三角形有一个外接圆，而且只有一个外接圆；○4任意一个圆有且只有一个内接三角形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离（） A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 4、下列说法错误的是（） A.三角形有且只有一个内切圆 B.若I为△ABC的内心，则AI平分∠BAC C.三角形的内心不一定都在三角形的内部 D.等腰三角形的内心一定在它底边的高上 5、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则△ABC的外接圆的面积为（） A.25 4 cm2 B.5πcm2 C. 25 4 πcm2 D.25cm2 6、⊙O与△ABC分别相切于点D、E、F，△ABC的周长为20cm，AF=5cm，CF=3cm，则BE的长度为（） A.1cm B. 2cm C.3cm D.2.5cm 第6题第8题第10题 7、△ABC内接于⊙O，∠A=60°，⊙ O的半径为5，则BC的长为（） 5 2 8、已知，如图在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F， 则⊙O的半径为（） A. 1 2 cm B.1cm C. 3 2 cm D.2cm 9、等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，高为h，则r：R：h的值为 （） A.1：2：3 B.1 ：：2 C.2：1 ：3 D.1 10、如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径为( ) A. 4 5 B. 5 4 C. 3 4 D. 5 6 三角形的四心定义： 1、内心：三角形三条内角平分线的交点，即内切圆的圆心。 内心是三角形角平分线交点的原理：经圆外一点作圆的两条切线，这一点与圆心的连线平分两条切线的夹角(原理：角平分线上点到角两边距离相等)。 2、外心：是三角形三条边的垂直平分线的交点，即外接圆的圆心。 外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点。该点叫做三角形的外心。 3、中心：三角形只有五种心重心、垂心、内心、外心、旁心，当且仅当三角形是正三角形的时候，四心合一心，称做正三角形的中心。 4、重心：重心是三角形三边中线的交点。 三角形的外心的性质： 1.三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心; 2三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合; 3.锐角三角形的外心在三角形内; 钝角三角形的外心在三角形外; 直角三角形的外心与斜边的中点重合。 在△ABC中 4.OA=OB=OC=R 5.BOC=2BAC，AOB=2ACB，COA=2CBA 6.S△ABC=abc/4R 三角形的内心的性质： 1.三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 2.三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r 3.r=2S/(a+b+c) 4.在Rt△ABC中，C=90，r=(a+b-c)/2. 5.BOC = 90 +A/2 BOA = 90 +C/2 AOC = 90 +B/2 6.S△=[(a+b+c)r]/2 (r是内切圆半径) 三角形的垂心的性质: 1.锐角三角形的垂心在三角形内; 直角三角形的垂心在直角顶点上; 钝角三角形的垂心在三角形外。 2.三角形的垂心是它垂足三角形的内心;或 者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心。 例如在△ABC中 3. 垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆圆上。 4.△ABC中，有六组四点共圆，有三组(每组四个)相似的直角三角形，且AO?OD=BO?OE=CO?OF 5. H、A、B、C四点中任一点是其余三点为顶点的三角形的垂心(并称这样的四点为一垂心组)。 6.△ABC，△ABO，△BCO，△ACO的外接圆是等圆。 三角形的内心练习题 内心和外心 一、选择题： 1、对于三角形的外心，下列说法错误的是 A.它到三角形三个顶点的距离相等 B.它到三角形任意一个顶点的距离等于其外接圆的半径 C.它是三角形三条角平分线的交点 D.它是三角形三条边垂直平分线的交点 2、下列命题正确的个数有 ○1过两点可以作无数个圆；○2经过三点一定可以作圆；○3任意一个三角形有一个外接 圆，而且只有一个外接圆；○4任意一个圆有且只有一个内接三角形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离是 A.cm B.cm C.cm D.cm 3、下列说法错误的是 A.三角形有且只有一个内切圆 B.若I为△ABC的内心，则AI平分∠BAC C.三角形的内心不一定都在三角形的内部 D.等腰三角形的内心一定在它底边的高上 4、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则△ABC 的外接圆的面积为 A.252252cm B.5?cm C. ?cm2 D.25cm24 5、⊙O与△ABC分别相切于点D、E、F，△ABC的周长为20cm，AF=5cm，CF=3cm，则BE的长度为 A.1cm B.cm C.3cm D.2.5cm E BC 第5题第7题第9题 6、△ABC内接于⊙O，∠A=60°，⊙O 的半径为5，则BC的长为 2 7、已知，如图在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F，则⊙O的半径为 A.13cm B.1cm C.cm D.2cm2 8、等边三角形的内切圆半径为r，外接圆半径为R，高为h，则r：R：h的值为 A.1： 2： B.1 C.2： 1： D.1 9、如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径为 A.453B. C.D.446 三角形五心定理（三角形的重心，外心，垂心，内心和旁心称之为三角形的五心）三角形五心定理是指三角形重心定理，外心定理，垂心定理，内心定理，旁心定理的总称。 一、三角形重心定理 三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。 三中线交于一点可用燕尾定理证明，十分简单。（重心原是一个物理概念，对于等厚度的质量均匀的三角形薄片，其重心恰为此三角形三条中线的交点，重心因而得名） 重心的性质： 1、重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2∶1。 2、重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。即重心到三条边的距离与三条边的长成反比。 3、重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4、在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其重心坐标为（(X1+X2+X3)/3，（Y1+Y2+Y3)/3 ）。 二、三角形外心定理 三角形外接圆的圆心，叫做三角形的外心。 外心的性质： 1、三角形的三条边的垂直平分线交于一点，该点即为该三角形外心。 2、若O是△ABC的外心，则∠BOC=2∠A（∠A为锐角或直角）或∠ BOC=360°-2∠A（∠A为钝角）。 3、当三角形为锐角三角形时，外心在三角形内部；当三角形为钝角三角形时，外心在三角形外部；当三角形为直角三角形时，外心在斜边上，与斜边的中点重合。 4、计算外心的坐标应先计算下列临时变量：d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。重心坐标：( (c2+c3)/2c，(c1+c3)/2c，(c1+c2)/2c )。 5、外心到三顶点的距离相等 三、三角形垂心定理 三角形的三条高（所在直线）交于一点，该点叫做三角形的垂心。 垂心的性质： 1、三角形三个顶点，三个垂足，垂心这7个点可以得到6个四点圆。 2、三角形外心O、重心G和垂心H三点共线，且OG∶GH=1∶2。（此直线称为三角形的欧拉线（Euler line）） 3、垂心到三角形一顶点距离为此三角形外心到此顶点对边距离的2倍。 4、垂心分每条高线的两部分乘积相等。 定理证明 已知：ΔABC中，AD、BE是两条高，AD、BE交于点O，连接CO并延长交AB于点F ，求证：CF⊥AB C E B 内心和外心 一、 选择题： 1、 对于三角形的外心，下列说法错误的是（ ） A.它到三角形三个顶点的距离相等 B.它到三角形任意一个顶点的距离等于其外接圆的半径 C.它是三角形三条角平分线的交点 D.它是三角形三条边垂直平分线的交点 2、下列命题正确的个数有（ ） ○1过两点可以作无数个圆；○2经过三点一定可以作圆；○3任意一个三角形有一个外接 圆，而且只有一个外接圆；○4任意一个圆有且只有一个内接三角形. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6cm ，BC=8cm ，则它的外心与顶点C 的距离是（ ） A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 3、下列说法错误的是（ ） A.三角形有且只有一个内切圆 B.若I 为△ABC 的内心，则AI 平分∠BAC C.三角形的内心不一定都在三角形的内部 D.等腰三角形的内心一定在它底边的高上 4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，则△ABC 的外接圆的面积为（ ） A.254cm 2 B.5πcm 2 C. 254 πcm 2 D.25cm 2 5、⊙O 与△ABC 分别相切于点D 、E 、F ，△ABC 的周长为20cm ，AF=5cm ，CF=3cm ，则BE 的长度为（ ） A.1cm B. 2cm C.3cm D.2.5cm 第5题 第7题 第9题 6、△ABC 内接于⊙O ，∠A=60°，⊙ O 的半径为5，则BC 的长为（ ） 52 7、已知，如图在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=3cm ，BC=4cm ，⊙O 为Rt △ABC 的内切圆，切点为D 、E 、F ，则⊙O 的半径为（ ） D A O B C E F 《三角形的内心和外心》教学设计 新洲区第一初级中学 陈建华 一、学习目标 1．理解三角形的内心和外心的定义。 2．会运用三角形的内心和外心的性质解决问题。 二、学习过程 【自主学习】 1．三角形的外心是三角形三条边的___________的交点，是三角形外接圆的_________，到三角形三个顶点的距离_________。 2．三角形的内心是三角形三个内角的___________的交点，是三角形内切圆的__________，到三角形三边的距离__________。 3．已知点I 是△ABC 的内心，若∠A ＝50°，则∠BIC ＝__________。 4．如图，点O 是△ABC 的外心，若∠A ＝50°，则∠BOC ＝_________。 【合作探究】 5．如图，点O 、I 分别是△ABC 的外心和内心，若∠BOC ＝140°，则∠BIC ＝_________。 6．如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，D 是⊙O 上一点，CD ＝CB ，连BD 、OC ，OC 交⊙O 于点E ，交BD 于F 。 （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）求证：点E 是△BCD 的内心； （3）若AB ＝10，BD ＝8，求CF 的长。 【交流展示】 ①指定两名学生口述合作探究第5题的解答过程。 ②指定一名学生在黑板上展示合作探究第6题的解答过程。 【知识闯关】 第一关 7．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，则⊙O 的半径为_________。 8．如图，已知△ABC 外切于⊙I ，过I 作DE ∥BC 交AB 、AC 分别于D 、E ，则DE_____BD ＋CE （填“＞、＜、＝”） A B C I O A B C O A B C I 三 角 形 的“四 心” 所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。 一、三角形的外心 定 义:三角形三条中垂线的交点叫外心， 即外接圆圆心。ABC ?的重心一般用字母O 表示。 性 质: 1.外心到三顶点等距,即OC OB OA ==。 2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形的这一边,即 AB OF AC OE BC OD ⊥⊥⊥,,. 3.向量性质:若点O 为ABC ?所在的平面内一点,满足 ?+=?+=?+)()()(，则点O 为ABC ?的外心。 二、三角形的内心 定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切 圆圆心。ABC ?的内心一般用字母I 表示，它具有如下性质： 性 质： 1．内心到三角形三边等距,且顶点与内心的连线平分顶角。 2.三角形的面积＝?2 1三角形的周长?内切圆的半径. 3.向量性质：设()+∞∈,0λ，则向量( +=λ,则动 点P 的轨迹过ABC ?的内心。 三、三角形的垂心 定 义：三角形三条高的交点叫重心。ABC ?的重心一般用字母H 表 示。 性 质: 1.顶点与垂心连线必垂直对边, 即AB CH AC BH BC AH ⊥⊥⊥,,。 2.向量性质: 结论1：若点O 为ABC ?所在的平面内一点,满足 ?=?=?，则点O 为ABC ?的垂心。 结论2：若点O 为△ＡＢC 所在的平面内一点，满足222222+=+=+， 则点O 为ABC ?的垂心。 四、三角形的“重心”: 定 义:三角形三条中线的交点叫重心。ABC ?的重心一般用字母 G 表示。 性 质: 1.顶点与重心G 的连线必平分对边。 2.重心定理:三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2 倍。 即GF GC GE GB GD GA 2,2,2=== 3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值． 即3 ,3C B A G C B A G y y y y x x x x ++=++=． 4.向量性质：(１)=++； （2))(3 1++= 。 内心和外心测试题姓名________ 一、选择题： 1、对于三角形的外心，下列说法错误的是（） A.它到三角形三个顶点的距离相等 B.它到三角形任意一个顶点的距离等于其外接圆的半径 C.它是三角形三条角平分线的交点 D.它是三角形三条边垂直平分线的交点 2、下列命题正确的个数有（） ○1 过两点可以作无数个圆；○2 经过三点一定可以作圆；○3 任意一个三角形有一个外接圆，而且只有 一个外接圆；○4 任意一个圆有且只有一个内接三角形. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离（） A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 4、下列说法错误的是（） A. 三角形有且只有一个内切圆 B. 若I 为△ABC的内心，则AI 平分∠BAC C. 三角形的内心不一定都在三角形的内部 D. 等腰三角形的内心一定在它底边的高上 5、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则△ABC的外接圆的面积为（） A. 25 4 2 B. 5 cm 2 C. 25 4 cm 2 D.25cm cm 2 6、⊙O与△ABC分别相切于点D、E、F，△ABC的周长为20cm，AF=5cm，CF=3cm，则BE的长度为（） A.1cm B. 2cm C.3cm D.2.5cm A A A D F D E B E C C B F B D C 第6 题第8题第10 题 7、△ABC内接于⊙O，∠A=60°，⊙O的半径为5，则BC的长为（） A.5 B.5 3 C. 5 2 3 D. 5 2 8、已知，如图在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，AC=4cm，⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点为D、E、F， 则⊙O的半径为（） A. 1 2 cm B.1cm C. 3 2 cm D.2cm 9、等边三角形的内切圆半径为r ，外接圆半径为R，高为h，则r ：R：h 的值为（）A.1 ：2：3 B.1 ： 3：2 C.2 ：1：3 D.1 ： 2 ： 3 10、如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C=90°，AO的延长线交BC于点D，AC=4，CD=1，则⊙O的半径为( ) 内心、外心、重心、垂心 1、内心 （1）定义：三角形的内心是三角形三条角平分线的交点(或内切圆的圆心)。 （2）三角形的内心的性质 ①三角形的三条角平分线交于一点，该点即为三角形的内心 ②三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r ③s=(r是内切圆半径) ④在Rt△ABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2． ⑤∠BOC = 90 °+∠A/2 ∠BOA = 90+∠C/2 ∠AOC = 90+∠B/2 2、外心 （1）定义：三角形的外心是三角形三条垂直平分线的交点(或三角形外接圆的圆心) 。 （2）三角形的外心的性质 ①三角形三条边的垂直平分线的交于一点，该点即为三角形外接圆的圆心. ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合。 ③锐角三角形的外心在三角形内；钝角三角形的外心在三角形外；直角三角形的外心与斜边的中点重合 ④OA=OB=OC=R ⑤∠BOC=2∠BAC，∠AOB=2∠ACB，∠COA=2∠CBA ⑥S△ABC=abc/4R 3、重心 （1）三角形的三条边的中线交于一点。该点叫做三角形的重心。（2）三角形的重心的性质 ①重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 ②重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 ③重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 ④在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为((X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系——横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 ⑤重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。 ⑥重心是三角形内到三边距离之积最大的点。 4、垂心 （1）定义：三角形的垂心是三角形三边上的高的交点(通常用H表示)。 （2）三角形的垂心的性质 ①锐角三角形的垂心在三角形内；直角三角形的垂心在直角顶点上；钝角三角形的垂心在三角形外 ②三角形的垂心是它垂足三角形的内心；或者说，三角形的内心是它旁心三角形的垂心 ③垂心O关于三边的对称点，均在△ABC的外接圆上三角形几个心(重心、垂心、内心、外心)
与三角形外心、内心、重心相关的关系和定理
河北省中考数学系统复习 第六单元 圆 滚动小专题(八)三角形的内心与外心练习
与三角形外心、内心、重心相关的关系和定理
三角形重心、外心、垂心、内心的向量表示及其性质70409
九年数学三角形内心和外心练习题
初中数学知识点：三角形的内心、外心、中心、重心
三角形的内心练习题
三角形的重心、外心、垂心、内心和旁心(五心定理)
三角形内心和外心练习题
数学人教版九年级上册三角形的内心与外心
三角形外心内心重心垂心与向量性质
三角形内心和外心练习题.doc
内心、外心、重心、垂心定义及性质总结