山东高考理科数学圆锥曲线大题.

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一、弦长问题

圆锥曲线的弦长求法

设圆锥曲线 C ： f(x , y)=0与直线l : y=kx+b 相

交于A(x i ,y i )、Bgy)两点，则弦长|AB|为：

为距离问题求解.

2 2

例2、已知点F 是双曲线X —卷=1的左焦点，定点

A 的坐标为(1,4) ,P 是双曲线右支上的动点，

则|PF

+1 PA 的最小值为 ___________________ .

(1)|AB|= Jl + k* T*i -筈Vl+k 3 ? +蛊2)「-4衍也

(2)若弦AB 过圆锥曲线的焦点 F ,则可用焦半 径求弦长，|AB|=|AF|+|BF| . 1 2

例1过抛物线y

x 2的焦点作倾斜角为:-的 4

直线I 与抛物线交于 A B 两点，且|AB|=8，求倾斜 角〉.

分析一：由弦长公式易解.解答为：

抛物线方程为x 2 - _4y ,

???焦点为

(0 , -1).

设直线I 的方程为y-(-1)=k(x-0) 将此式代入x 2 = _4y 中得：

2

x 4kx 一4 =0 . ? XM 2 - -4,为 x 2 - -

4k

由 |AB|=8

得：8=1 k

2

.. -4k 2 -4 1

-4

k = 1

又有 tan 二 1 得：〉=二或〉=—.

4

4

分析二：利用焦半径关系? T

当所求的最值是圆锥曲线上的点到某条直线的距离 的最值时：①求与直线平行的圆锥曲线的切线；② 求出两平行线的距离即为所求的最值.

2

例3、求椭圆? + y 2= 1上的点到直线 y = x + 2 3的 距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点 的坐标.

|AB|=-( y 1+y2)+P=-[(kx 1-1)+(kx 2-1)]+P=-k( X 1+x

2)+2+p .由上述解法易求得结果，可由同学们自己 试试完成.

二、最值问题

方法1:定义转化法 ①根据圆锥曲线的定义列方程；②将最值问题转化

① 将最值用变量表示.

② 利用基本不等式求得表达式的最值.

2

x

例5、求椭圆-+ y 2 = 1内接矩形ABC ［面积的最大值.

AF

一％ 垮

，

BF

,即 y=kx-1 .

方法2:数形结合(切线法)

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方法3:参数法(函数法)

① 选取合适的参数表示曲线上点的坐标；②求解

关于这个参数的函数最值

例4、在平面直角坐标系xOy中，点P(x, y)是椭圆

2 X 2

3 + y = 1上的一个动点，则S= x + y的最大值为例6已知定点A(0, 3)，点B、C分别在椭圆

2

16 2

4x y =1的左右准线上运动，当/ BAC=90

3

时，求△ABC面积的最小值。

例7已知x2+4(y-1) 2=4,求：(1) x2+y2的最大值

与最小值;(2)x+y 的最大值与最小值.

方法4:基本不等式法

三、定值、定点问题

方法1特殊到一般法

根据特殊情况能找到定值（或定点）的问题

①根据特殊情况确定出定值或定点；

②对确定出来的定值或定点进行一般情况的证明.

2

例8已知双曲线C: x2—2 = 1，过圆O: x2+ y2= 2 上任意一点作圆的切线I，若I交双曲线于A, B两点，证明：/ AOB勺大小为定值.

方法2:引进参数法

定值、定点是变化中的不变量，引入参数找出与变量与参数没有关

系的点(或值) 即是定点(或定值).

①引进参数表示变化量；

②研究变化的量与参数何时没有关系，找到定值或定点

2 2

XV 2

例9、如图所示，曲线C：石+百=1,曲线C2: y =

9 8

4x,过曲线C的右焦点F2作一条与x轴不垂直的直线，分别与曲线C, G依次交于B, C, D, E四点.若

| BE T GF|

G为CD的中点、H为BE的中点，证明| C D . | HF|为定值.

1 2

例11已知抛物线方程为y x2h，点A、B

2

及点P(2, 4)都在抛物线上，直线PA与PB的倾斜角互补。

(1)试证明直线AB的斜率为定值；

(2)当直线AB的纵截距为m( m> 0)时，求△

PAB的面积的最大值。

例12 （20XX年全国高考）设抛物线y2=2px （p> 经过原点。

四、相交问题

直线与圆锥曲线相交问题，一般可用两个方程联立后，用0来处理?但用0来判断双圆锥曲线相交问题是不可靠的?解决这类问题：方法1, 由“△》0”与直观图形相结合；方法2,由“△》0” 与根与系数关系相结合；方法3,转换参数法(以后再讲)?

例13.在抛物线x2= 4y上有两点A(x「y1)和B(x2 ,例14已知曲线C1 x

2 ? y-a 2

2 -1及

y2)且满足|AB|=y〔+y2+2，求证:

(1)A、B和这抛物线的焦点三点共线;

1 1

(2)——+——为定值.

2

C2 : y = x 1有公共点，求实数a的取值范围.

AF BF

① 联立曲线方程，消元后求判别式；

② 根据判别式大于零、小于零或等于零结合曲线性 质求解. 例16、在平面直角坐标系 xOy 中，经过点(0,

2)

2

X C

且斜率为k 的直线I 与椭圆-+ y 2= 1有两个不同的 交点P 和Q

(1) 求k 的取值范围；

(2) 设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为

A , B,是否存在常数 m 使得向量6k OQT 兀洪线？ 如果存在，求 m 值；如果不存在，请说明理由.

焦点分别为F i , F 2，点P 在双曲线的右支上， 且|PF | =4|

PF |，则此双曲线中 C 的取值范围是 _________________________________

a

方法2：判别式法

当直线和圆锥曲线相交、相切和相离时，分别对应 着直线和圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次 方程的判别式大于零、等于零、小于零

五、参数范围问题

方法1曲线几何性质法

①由几何性质建立关系式；②化简关系式求解. 例15、已知双曲线

a 2—

b 2

=1(a >0, b >0)的左,

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2 2

例17.已知椭圆笃?爲= l（a . b ■0）的长、短轴a2 b2

端点分别为A、B,从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，向量AB与0M是共线向量。（1 ）求椭圆的离心率e ；（2）设Q是椭圆上任意一点，F2分别是左、右焦点，求/ F1QF2的取值范围；

2 2

例18.椭圆- y 1的焦点为F“ F2，点P为其9 4

上的动点，当/ F1P F 2为钝角时，点P横坐标的取

值范围是 _______ 。

解决与角有关的一类问题，总可以从数量积入手。本题中把条件中的角为钝角转化为向量的数量积为负值，通过坐标运算列出不等式，简洁明了?

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课堂练习

1?设P 是曲线y 2

= 4x 上的一个动点，则点P 到点A — 1,1)的距离与点P 到x= —1直线的距离之和的最小值为(

A.〔2

B. 3

C. 5

D. 6

2. 椭圆 b 2

x 2

+ a 2

y 2

= a 2

b 2

(a>b>0)和圆 x

圆的半焦距，则椭圆-的范围为(

).

a

5 c 3 c

2

2c 3 3c 5 A.-^v - v5

B . °v - <~T C.

- v 亏

D.

— v - <-5

a

a

a

a

2 2

3.

设F 是椭圆冷+ 6二1的右焦点，且椭圆上至少有 21个不同的点P i (i 二

1,2,3，…)，使|FP| , |FB| , |FR|，…组成公差为d 的等差数列，贝U d 的取值 范围为 . 4. 过抛物线y 2

= 2PX(P>0)上一定点P(x 。，y °)(y °>0)作两直线分别交抛物线于

5. 椭圆b 2

x 2

+ a 2

y 2

= a 2

b 2

(a>b>0)的左焦点为F ，过F 点的直线I 交椭圆于A ，B 两点，P 为线段AB 的中

点，当△ PFO 的面积最大时，求直线I 的方程.

6 .已知。O 过定点A(0，p)( p> 0)，圆心O 在抛物线C ： x 2

= 2py( p> 0)上运动, MN 为圆O'

在轴上所截得的弦.

(1)当O'点运动时，I MN 是否有变化？并证明你的结论；

⑵当|OA 是|OM 与|ON 的等差中项时，试判断抛物线C 的准线与圆o 的位置关系, 并说明理由.

A(X 1, y <)，B(X 2, yj ，当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，则

y 1+y

y 。

的值为 2

c 为椭

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