2020年湖南省邵阳市中考数学试卷和答案解析

2020年湖南省邵阳市中考数学试卷

和答案解析

一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）2020的倒数是（）

A．﹣2020B．2020C．D．﹣

解析：根据倒数的定义求解即可

参考答案：解：∵2020×＝1

∴2020的倒数是，

故选：C．

点拨：本题考查倒数的定义，熟记倒数的定义是解题的关键．2．（3分）下列四个立体图形中，它们各自的三视图都相同的是（）

A．B．

C．D．

解析：根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形解答即可．

参考答案：解：A、球的三视图都是圆，故本选项符合题意；

B、圆锥的主视图和左视图是三角形，俯视图是带有圆心的圆，故本选项不符合题意；

C、圆柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；

D、三棱柱的主视图和左视图是矩形，俯视图是三角形，故本选项不符合题意；

故选：A．

点拨：本题考查的是几何体的三视图，理解主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形是解题的关键．3．（3分）2020年6月23日，中国第55颗北斗导航卫星成功发射，标志着拥有全部知识产权的北斗导航系统全面建成．据统计：2019年，我国北斗卫星导航与位置服务产业总体产值达3450亿元，较2018年增长14.4%．其中，3450亿元用科学记数法表示为（）A．3.45×1010元B．3.45×109元

C．3.45×108元D．3.45×1011元

解析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．

参考答案：解：根据科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，则3450亿＝345000000000＝3.45×1011．

故选：D．

点拨：本题主要考查利用科学记数法表示较大的数的方法，掌握科学记数法的表示方法是解答本题的关键，这里还需要注意n的取

值．

4．（3分）设方程x2﹣3x+2＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2的值为（）

A．3B．﹣C．D．﹣2

解析：本题可利用根与系数的关系，求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可．

参考答案：解：由x2﹣3x+2＝0可知，其二次项系数a＝1，一次项系数b＝﹣3，

由根与系数的关系：x1+x2＝，

故选：A．

点拨：本题考查一元二次方程根与系数的关系，求解时可利用常规思路求解一元二次方程，也可以通过韦达定理提升解题效率5．（3分）已知正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点（2，3），把正比例函数y＝kx（k≠0）的图象平移，使它过点（1，﹣1），则平移后的函数图象大致是（）

A．B．

C．D．

解析：先求出正比例函数解析式，再根据平移和经过点（1，﹣1）

求出一次函数解析式，即可求解．

参考答案：解：把点（2，3）代入y＝kx（k≠0）得2k＝3，

解得，

∴正比例函数解析式为，

设正比例函数平移后函数解析式为，

把点（1，﹣1）代入得，

∴，

∴平移后函数解析式为，

故函数图象大致为：

．

故选：D．

点拨：本题考查了求正比例函数，一次函数解析式，一次函数图象与性质，根据正比例函数求出平移后一次函数解析式是解题关键．6．（3分）下列计算正确的是（）

A．5+＝8B．（﹣2a2b）3＝﹣6a2b3 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2D．＝a﹣2

解析：分别运用二次根式、整式和分式的运算法则逐项排除即可．参考答案：解：A.，故A选项错误；

B．（﹣2a2b）3＝（﹣2）3（a2）3b3＝﹣8a6b3，故B选项错误；C．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故C选项错误；

D.，故D选项正确．

故选：D．

点拨：本题考查了二次根式、整式和分式的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．

7．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，点E，B，D，F在同一条直线上，请添加一个条件使得△ABE≌△CDF，下列不正确的是（）

A．AE＝CF B．∠AEB＝∠CFD C．∠EAB＝∠FCD D．BE＝DF

解析：根据平行四边形的性质结合全等三角形的判定，逐项进行判断即可．

参考答案：解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，AB∥CD，

∴∠ABD＝∠BDC，

∵∠ABE+∠ABD＝∠BDC+∠CDF，

∴∠ABE＝∠CDF，

A．若添加AE＝CF，则无法证明△ABE≌△CDF，故选项A符合题意；

B．若添加∠AEB＝∠CFD，运用AAS可以证明△ABE≌△CDF，故选项B不符合题意；

C．若添加∠EAB＝∠FCD，运用ASA可以证明△ABE≌△CDF，故选项C不符合题意；

D．若添加BE＝DF，运用SAS可以证明△ABE≌△CDF，故选项D 不符合题意．

故选：A．

点拨：本题考查平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．

8．（3分）已知a+b＞0，ab＞0，则在如图所示的平面直角坐标系中，小手盖住的点的坐标可能是（）

A．（a，b）B．（﹣a，b）C．（﹣a，﹣b）D．（a，﹣b）解析：因为ab＞0，所以a、b同号，又a+b＞0，所以a＞0，b＞0，观察图形判断出小手盖住的点在第二象限，然后解答即可．

参考答案：解：∵a+b＞0，ab＞0，∴a＞0，b＞0．

A、（a，b）在第一象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；

B、（﹣a，b）在第二象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项符合题意；

C、（﹣a，﹣b）在第三象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；

D、（a，﹣b）在第四象限，因为小手盖住的点在第二象限，故此选项不符合题意；

故选：B．

点拨：本题考查了点的象限的判断，熟练判断a，b的正负是解题的关键．

9．（3分）如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为（）

A．6m2B．7m2C．8m2D．9m2

解析：本题分两部分求解，首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解．

参考答案：解：假设不规则图案面积为x，

由已知得：长方形面积为20，

根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：，

当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A 发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35，

综上有：，解得x＝7．

故选：B．

点拨：本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高．

10．（3分）将一张矩形纸片ABCD按如图所示操作：

（1）将DA沿DP向内折叠，使点A落在点A1处，

（2）将DP沿DA1向内继续折叠，使点P落在点P1处，折痕与边AB交于点M．

若P1M⊥AB，则∠DP1M的大小是（）

A．135°B．120°C．112.5°D．115°

解析：由折叠前后对应角相等且∠P1MA＝90°可先求出∠DMP1＝∠DMA＝45°，进一步求出∠ADM＝45°，再由折叠可求出∠MDP1＝∠ADP＝∠PDM＝22.5°，最后在△DP1M中由三角形内角和定理即可求解．

参考答案：解：∵折叠，且∠P1MA＝90°，

∴∠DMP1＝∠DMA＝45°，即∠ADM＝45°，

∵折叠，

∴∠MDP1＝∠ADP＝∠PDM＝∠ADM＝22.5°，

∴在△DP1M中，∠DP1M＝180°﹣45°﹣22.5°＝112.5°，

故选：C．

点拨：此题主要考查了平行线的性质，本题借助矩形的性质考查了折叠问题、三角形内角和定理等，记牢折叠问题的特点：折叠前后对应边相等，对应角相等即可解题．

二、填空题（本大题有8个小题，每小题3分，共24分）11．（3分）因式分解：2x2﹣18＝2（x+3）（x﹣3）．

解析：提公因式2，再运用平方差公式分解．

参考答案：解：2x2﹣18＝2（x2﹣9）＝2（x+3）（x﹣3），

故答案为：2（x+3）（x﹣3）．

点拨：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．

12．（3分）如图，已知点A在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，过点A作AB⊥y轴于点B，△OAB的面积是2．则k的值是4．

解析：根据△OAB的面积等于2，即可得到线段OB与线段AB的乘积，进而得到A点横坐标与纵坐标的乘积，进而求出k值．

参考答案：解：设点A的坐标为（x A，y A），AB⊥y，

由题意可知：，

∴y A?x A＝4，

又点A在反比例函数图象上，

故有k＝x A?y A＝4．

故答案为：4．

点拨：本题考查了反比例函数系数k的几何意义，三角形的面积公式等，熟练掌握反比例函数的图形和性质是解决此类题的关键．13．（3分）据统计：2019年，邵阳市在教育扶贫方面，共资助学生

91.3万人次，全市没有一名学生因贫失学，其中，某校老师承担了对甲，乙两名学生每周“送教上门”的任务，以下是甲、乙两名学生某十周每周接受“送教上门”的时间（单位：小时）：甲：7，8，8，9，7，8，8，9，7，9；

乙：6，8，7，7，8，9，10，7，9，9．

从接受“送教上门”的时间波动大小来看，甲学生每周接受送教的时间更稳定．（填“甲”或“乙”）

解析：先算出甲、乙送教上门时间的平均数，进而求出方差，方差越小，则接受送教的时间更稳定．

参考答案：解：甲的“送教上门”时间的平均数为：

，

乙的“送教上门”时间的平均数为：，

甲的方差：，

乙的方差：，因为，

所以甲的方差小，故甲学生每周接受送教的时间更稳定．

故答案为：甲．

点拨：本题主要考查方差，熟练掌握方差的意义：方差越小，数据的密集度越高，波动幅度越小是解题的关键．

14．（3分）如图，线段AB＝10cm，用尺规作图法按如下步骤作图．（1）过点B作AB的垂线，并在垂线上取BC＝AB；

（2）连接AC，以点C为圆心，CB为半径画弧，交AC于点E；（3）以点A为圆心，AE为半径画弧，交AB于点D．即点D为线段AB的黄金分割点．则线段AD的长度约为 6.18cm．（结果保留两位小数，参考数据：＝1.414，＝1.732，＝2.236）

解析：根据作图得△ABC为直角三角形，CE＝BC＝AB＝5cm，AE＝AD，根据勾股定理求出AC，再求出AE，即可求出AD．参考答案：解：由作图得△ABC为直角三角形，CE＝BC＝AB＝5cm，AE＝AD，

∴AC＝cm，

∴AE＝AC﹣CE＝5cm，

∴cm．

故答案为：6.18．

点拨：本题考查了尺规作图，勾股定理等知识，根据作图步骤得到相关已知条件是解题关键．

15．（3分）在如图方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则2个空格的实数之积为．

32

16

3

解析：先将表格中最上一行的3个数相乘得到，然后中间一行的三个数相乘以及最后一行的三个数相等都是，即可求解．

参考答案：解：由题意可知，第一行三个数的乘积为：

，

设第二行中间数为x，则，解得，

设第三行第一个数为y，则，解得，

∴2个空格的实数之积为．

故答案为：．

点拨：本题考查了二次根式的乘法运算法则，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解决此类题的关键．

16．（3分）中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x 步，则依题意列方程为x（x+12）＝864．

解析：由矩形的宽及长与宽之间的关系可得出矩形的长为（x+12），再利用矩形的面积公式即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

参考答案：解：∵矩形的宽为x，且宽比长少12，

∴矩形的长为（x+12）．

依题意，得：x（x+12）＝864．

故答案为：x（x+12）＝864．

点拨：本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

17．（3分）如图①是山东舰航徽的构图，采用航母45度破浪而出的角度，展现山东舰作为中国首艘国产舰母橫空出世的气势，将舰徽中第一条波浪抽象成几何图形，则是一条长为10π的弧，若该弧所在的扇形是高为12的圆锥侧面展开图（如图②），则该圆锥的母线长AB为13．

解析：由扇形弧长求出底面半径，由勾股定理即可求出母线AB的长．

参考答案：解：∵圆锥底面周长＝侧面展开后扇形的弧长＝10π，∴OB＝，

在Rt△AOB中，AB＝，

所以该圆锥的母线长AB为13．

故答案为：13．

点拨：本题考查圆锥弧长公式的应用，解题的关键是牢记有关的公

式．

18．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB＝，过点C作CF∥AB，以AB为边作菱形ABEF，若∠F＝30°，则Rt△ABC的面积为．

解析：先利用直角三角形中30°角的性质求出HE的长度，然后利用平行线间的距离处处相等，可得CG的长度，即可求出直角三角形ABC面积．

参考答案：解：如图，分别过点E、C作EH、CG垂直AB，垂足为点H、G，

∵根据题意四边形ABEF为菱形，

∴AB＝BE＝，

又∵∠ABE＝30°

∴在RT△BHE中，EH＝，

根据题意，AB∥CF，

根据平行线间的距离处处相等，

∴HE＝CG＝，

∴Rt△ABC的面积为．

故答案为：．

点拨：本题的辅助线是解答本题的关键，通过辅助线，利用直角三角形中的30°角所对直角边是斜边一半的性质，求出HE，再利用平行线间的距离处处相等这一知识点得到HE＝CG，最终求出直角三角形面积．

三、解答题（本大题有8个小题，第19～25题每题8分，第26是10分，共66分．解答应写出必要的文字说明，演算步骤或证明过程）19．（8分）计算：（﹣1）2020+（）﹣1+|﹣1+|﹣2sin60°．

解析：原式利用零指数幂、负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及特殊角的三角函数值计算即可求出值．

参考答案：解：原式＝1+2+（﹣1）﹣2×

＝1+2+﹣1﹣

＝2．

点拨：此题主要考查了根式运算，指数计算，绝对值，三角函数值等知识点，正确应用记住它们的化简规则是解题关键．

20．（8分）已知：|m﹣1|+＝0，

（1）求m，n的值；

（2）先化简，再求值：m（m﹣3n）+（m+2n）2﹣4n2．

解析：（1）根据非负数的和为0的性质进行解答便可；

（2）根据整式乘法法则，完全平方公式计算，再合并同类项后，

最后再代值计算．

参考答案：解：（1）根据非负数得：m﹣1＝0且n+2＝0，

解得：m＝1，n＝﹣2，

（2）原式＝m2﹣3mn+m2+4mn+4n2﹣4n2＝2m2+mn，

当m＝1，n＝﹣2，原式＝2×1+1×（﹣2）＝0．

点拨：本题考查了绝对值与二次根式的非负性、整式的化简求值，还涉及去括号法则、完全平方公式、合并同类项法则等知识，熟练掌握非负数的性质以及运算法则是解答的关键．

21．（8分）如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是BC上一点，以BD为直径的⊙O过点A，连接AD，∠CAD＝∠C．

（1）求证：AC是⊙O的切线；

（2）若AC＝4，求⊙O的半径．

解析：（1）连接OA，由圆的性质可得OA＝OB，即∠OBA＝∠OAB；再由AB＝AC，即∠OBA＝∠C，再结合∠CAD＝∠C，可得∠OAB ＝∠CAD，然后由∠BAD＝90°说明∠OAC＝90°即可完成证明；（2）根据等腰三角形的性质和圆的性质即可得到结论．

参考答案：（1）证明：如图：连接OA，

∵OA＝OB，

∴∠OBA＝∠OAB，

∵AB＝AC，

∴∠OBA＝∠C，

∴∠OAB＝∠C，

∵∠CAD＝∠C，

∴∠OAB＝∠CAD，

∵BD是直径，

∴∠BAD＝90°，

∵∠OAC＝∠BAD﹣∠OAB+∠CAD＝90°，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：由（1）可知AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∠AOD＝2∠B，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∴∠AOC+∠C＝2∠B+∠C＝3∠C＝90°，

∴∠B＝∠C＝30°，

在Rt△ABD中，BD＝＝＝，∴OB＝，

∴⊙O的半径为．

点拨：本题考查了圆的切线的判定，相似三角形的判定和性质，证得∠OAC＝90°是解答本题的关键．

22．（8分）2019年12月23日，湖南省政府批准，全国“十三五”规划重大水利工程﹣﹣邵阳资水犬木塘水库，将于2020年开工建设施工测绘中，饮水干渠需经过一座险峻的石山，如图所示，AB，BC表示需铺设的干渠引水管道，经测量，A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为62m，100m，200m．若管道AB与水平线AA2的夹角为30°，管道BC与水平线BB2夹角为45°，求管道AB和BC的总长度（结果保留根号）．

解析：先根据题意得到BO，CB2的长，在Rt△ABO中，由三角函数可得AB的长度，在Rt△BCB2中，由三角函数可得BC的长度，再相加即可得到答案．

参考答案：解：根据题意知，四边形AA1B1O和四边形BB1C1B2均为矩形，

∴OB1＝AA1＝62m，B2C1＝BB1＝100m，

∴BO＝BB1﹣OB1＝100﹣62＝38m，CB2＝CC1﹣B2C1＝200﹣100＝100m，

在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，∠BAO＝30°，BO＝38m，

∴AB＝2BO＝2×38＝76m；

在Rt△CBB2中，∠CB2B＝90°，∠CBB2＝45°，CB2＝100m，∴，

∴，

即管道AB和BC的总长度为：．

点拨：考查了解直角三角形的应用，关键是根据三角函数得到AB 和BC的长度．

23．（8分）“新冠病毒”疫情防控期间，我市积极开展“停课不停学”网络教学活动，为了了解和指导学生有效进行网络学习，某校对学生每天在家网络学习时间进行了随机问卷调查（问卷调查表如图所示），并用调查结果绘制了图①，图②两幅统计图（均不完整），请根据统计图解答以下问题：