道路减速带减速模型分析报告

安徽农业大学道路减速带减速模型分析

摘要

减速带作为一种强化型的道路安全交通设施，在遏制交通事故的发生中发挥了重要的作用，它是在行车道上设置的某种突起设施，当汽车以较高车速通过时会产生激烈的机械振动，这种振动从轮胎输入经由车身及座椅传递给汽车驾驶员，使其产生不舒服的感觉，从而提示并促使车辆驾驶员自觉、主动地降低车速，但不合理的设置，则会使其成为路障，给行人和车辆带来不便，甚至产生安全隐患。

对于问题一，模型一得出汽车轮轴在经过减速带时的轨迹方程，分别对时间求一阶导数和二阶导数得到相应的速度和加速度的表达式。考虑到车辆通过减速带的安全性和平稳性，运用物理知识对汽车通过减速带时进行力学分析，得到临界速度1()e v g r R =+。

对于问题二，为了确保学生的安全，应在视野的盲区及学生出入比较多的地方设立减速带，因此路口前减速带的设置是必不可少的，另外欣苑前面的下坡，地势较陡且此处学生来往较多，前应多加设立减速带，这样才能更好的确保学生的安全。

对于问题三，模型定义，减速效果为在车辆通过减速区域的时间内，车辆以初速度做匀速直线运动通过的距离与在相同时间内通过减速区域的距离之差，再与做匀速直线运动通过的距离之商。相应的距离通过相关的动力学分析和计算便可得到。

对于问题三，定义减速效果最优为在不超过限制速度的前提下，人体的舒适度最大，并且保证不堵车的情况下的通过减速带的时间最短。模型一对能达到最优减速效果的车辆速度每隔10km/h 设定了限速区间，在不同的限速区间内减速带的最优设置不同，对0~60/km h 范围内的速度进行分析，最终得到每一个限速区间所对应的减速带的最优设置尺寸和通过相应减速带的最短时间。

关键词：减速带 圆弧形 动力学分析 临界速度

一、问题重述

减速带是安装在公路上使经过的车辆减速的交通设施，减速带很大程度减少了各

交通要道口的事故发生，是交通安全的新型专用设施。汽车在行驶中既安全又起到缓冲减速目的，提高交通道口的安全。请为学校从勤学楼西出口至博学楼这段下坡路设计减速带安装方案，用以确保学生的安全。

有实际情况提出相应的几个问题：

问题一：建立道路减速带减速的数学模型；

问题二：以确保学生的安全为主要目的，在这段路上需要几条减速带。

问题三：利用所建的数学模型分析在等距连续设置减速带的减速效果；

问题四：利用所建的数学模型给出减速效果最优的减速带的设置方案；

二、问题分析

减速带作为一种特殊的道路安全设施，对遏制交通事故的发生发挥了重要作用。从驾驶人速度选择来说，车辆的行驶速度很大程度上取决于驾驶人的期望车速而驾驶人的期望速度又是根据其行驶安全感和乘坐舒适性决定的。如果驾驶人的安全感高、乘坐舒适性好,则他期望车速比较高；反之,驾驶人的期望车速就比较低。道路减速带的控制车速原理是通过影响驾驶人的驾驶心理实现的。目前常用的减速带主要有道钉减速带、驼峰式减速带、水泥台减速带、热塑振动减速带等。我国城市道路上最常见的是条状的橡胶减速带，因此本文主要对橡胶减速带建立相应的数学模型。

对问题一分析，减速带的截面形状近似看成是圆弧形，忽略车轮的弹性，对车轮与减速带碰撞时进行几何分析，可以得到轮轴速度和加速度与时间的关系。当司机行驶到距离减速带30米时，开始减速，将其近似为匀减速直线运动，到达减速带时看成匀速通过减速带，考虑到速度过大时车辆通过振动过大易飞出去，因此，对于问题一只要求出通过减速带时的临界速度即可。

对于问题二的分析，通过查阅资料了解司机的反应时间及通过减速带的临界速度得出安全距离。

对问题三分析，在问题一的基础上，定义减速效果为在车辆通过减速区域的时间内车辆以初速度做匀速直线运动通过的距离与在相同时间内同过减速区域的距离之差再除以做匀速直线运动通过的距离。根据问题一求出的临界速度可以计算在相邻两减速带之间车辆经过减速和加速的时间，最后可以算得通过的距

离，得到等间距设置的减速带的减速效果。

对问题三分析，定义减速效果最优为在不超过限制速度的前提下，人体的舒适度最大，并且保证不堵车的情况下的通过减速带的最大速度。为使减速效果最优，则应在车辆加速时未达到初始速度就到达距离减速带为30米开始减速，若车辆在达到初始速度后有一段匀速期，则三条减速带的效果就和一条减速带的效果一样，这样设置三条减速带就失去了其减速作用的意义，故在刚达到或还未达到初始速度时就开始减速。为达到效果最优，设定限制条件，由此并可求得三条减速带两两之间的距离以及最优宽度和高度。

三、模型假设

1.由于碰撞情况较复杂，为简化模型，忽略轮胎的弹性，将其视为刚体；

2.由于车轮经过减速带的距离很短，将汽车在通过减速带的这一段时间内的速

度的大小近似看做是不变的；

3.假设车辆在看到减速带区域之前做匀速直线运动；

4.车辆载荷、车辆型号相同；

5.司机看到减速带后，先以匀速运动，再以一定的加速度做匀减速运动；

6.司机看到减速带到减速带之间的距离为定值（因为司机的可视距离有限）；

7.车辆到达减速带前和越过减速带后的速度变化忽略，即减速带本身对车速的

影响忽略不计，把车辆在减速带的位置看作为一质点。

8.不考虑车轮与减速带之间的摩擦。

9.假设可视度不受天气因素的影响

四、模型建立

符号说明

符号描述

r减速带圆弧半径（mm）

1

R汽车轮胎半径（mm）

v汽车通过减速带时的速度（km/h）

b圆弧减速带圆心的纵坐标

D

汽车轮胎半径（mm ） 0v 司机在看到减速带之前做匀速直线运动的初速度（km/h ）

e v 汽车通过减速带时轮胎不脱离时的最大临界速度（km/h ）

1t 车辆在未到达第一条减速带前开始减速的时刻（s ）

2t 车辆到达减速带的时刻（s ）

3t 车辆后轮刚离开减速带的时刻（s ）

4t 车辆在通过第三条减速带时的时刻（s ）

5t 车辆通过第三条减速带后加速到初始速度的时刻（s ）

L S 在15~t t 时间段内车辆已初始速度匀速行驶的距离（m ）

ae S 设置了减速带后，在15~t t 时间段内汽车行驶的距离（m ）

max S 保证车辆限速的两条减速带之间的最大距离（m ）

min S 不造成堵车等问题的两条减速带之间的最小距离（m ）

S 两条减速带之间的距离（m ）

S - 车辆匀减速时驶过的距离（m ）

S + 车辆匀加速时驶过的距离（m ）

i S 相邻两条减速带之间的距离（m ），其中1,2i =

d a 车辆在匀减速阶段的加速度（2/m s ）

u a 车辆在匀加速阶段的加速度(2/m s )

η

减速效果（%）

模型一：建立道路减速带减速的数学模型

汽车轮胎外径D 为：εB d D 2+=，式中d 轮毂直径；B 轮胎宽度；ε轮胎偏平率。由于轮胎型号较多，各轮胎直径不尽相同，本研究在计算时取D=640mm [2],则轮胎半径320R mm =。

目前普遍使用的驼峰型道路减速带宽度一般为300~500mm ，高度一般为

30~60mm 。通过查找文献[3]发现选用D 型道路减速带即可取得良好的控制车速效果。

表1.1 不同道路减速带尺寸参数

设减速带横截面曲线为一段圆弧，当汽车轮胎与减速带刚接触时，以圆弧减速带弦长的中点为坐标原点，以地面水平线为x 轴，过圆弧减速带圆心并垂直于地面为y 轴，建立平面直角坐标系，如图2.1所示：

由图5.1可知，当轮胎从圆弧上面滚过时，轮轴的运动轨迹为以圆弧圆心为圆心、以1r R +为半径的圆弧，轨迹方程为 减速带类型 高度 h/mm 宽度 L/mm 半径

r 1/mm

A

30 580 1416.67 B

30 500 1056.67 C

40 500 801.25 D

50 370 367.25 E

60 340 270.83 F

40 300 301.25

θO

R

x

y

b

图2.1 轮胎与圆弧形减速带的碰撞模型 1r

2221()()x y b r R +-=+………………………………………………（3.1）

参数方程为

112211()cos 2()cos ,0()[()cos ]x r R vt r R t v y r R r R vt b

θθθ=+-?+?<

θ-=+，将参数方程对t 求导可得轮轴速度： 112221112()cos ,0[()cos ]{()[()cos ]}x y v v r R t v v v r R vt r R r R vt θθθ-=-?+?<

……………………………………………………………………（3.3）

将其对t 求导可得轮轴的加速度：

13222222222111110{()[()cos ]}[()cos ]{()[()cos ]}x y a a v r R r R vt v r R vt r R r R vt θθθ--=???=-+-+--+-+-+-?? ………………………………………………………………………（3.4）

为保证车辆经过减速带时的安全，在通过圆弧减速带最高点时应有y a g ≤，

此时0y v =，21y v a r R

=-+，则2

1v g r R ≤+，得到1()v g r R ≤+，车辆通过减速带时轮胎不脱离的最大临界速度

1()e v g r R =+………………………………………………………（3.5）

将不同的减速带尺寸参数带入到方程（3.5）中，得到不同尺寸的减速带的临界速度e v 如下表：

表1.2 不同道路减速带尺寸参数所对应的临界速度e v 减速带类型 高度

h/mm

宽度L/mm 半径r 1/mm 临界速度 /m s /km h A

30 580 1416.67 4.1673 15.0024 B

30 500 1056.67 3.7104 13.3573 C

40

500 801.25 3.3485 12.0546

D 50 370 367.25 2.6215 9.4376

E 60 340 270.83 2.4307 8.7505

F 40 300 301.25 2.4925 8.9730

模型二：以确保学生的安全为主要目的，在这段路上需要几条减速带

通过查阅地图得知从中兴路与北槐路交叉口~中兴路与官亭路交叉口全长为470米，如图2.2所示

在这段路中通过查阅地图可知欣苑前面的坡道全长约200米，如图2.3所示，坡度设为10°

余下的路近似的看为平路。

通过资料《驾驶员守则》中的安全距离表格表1.3

有表格可知司机的反应时间

s s v x t 9.06.340

1011===……………………………………………………(3.6)

因此本模型以0.9S 为司机遇到紧急情况的反应时间。在平面上的加速度为： a m/s 2……………………………………………(3.7) 因此当司机以通过D 型道路减速带的临界速度行驶时。遇到紧急情况下紧急制动后的行驶距离为

2.9131m 0.55672.35942*2

1=+=+=a v t v s e e ≈3m ……………………………………………………(3.8)

在校园中最主要用以确保学生的安全，因此在路口容易遇见突发事件的情况下。需要在中兴路与北槐路、中兴路与陆羽路、中兴路与桃李路、中兴路与官亭路这四个交叉路口前设置减速带，如果司机是以临界速度通过减速带，则减速带到路口的距离为3m 为最佳。

模型三

先研究一条减速带单独作用的情形，动力学分析图如下：

图2.2 一条减速带的减速作用动力学分析图

如图2.2所示，,,a b c 三点分别为汽车在减速带前开始减速、到达减速带、驶离减速带的相应时刻汽车的位置。从图中可以直观地看出，在12~t t 时间段内，车速有所下降，是由于司机看到减速带开始减速一直到通过减速带，在23~t t 时间段内，车辆离开减速带后开始加速。将与13,t t 时刻对应的ac 之间的距离定义为减速带的作用区域，定义31t t t =-为一条减速带的作用时间。

如果相邻两条减速带之间的距离过长，则车辆在经过减速带后在开始第二次减速之前，就已经加速到初始速度开始以初始速度做匀速运动，使得三条减速带的作用于一条减速带的作用效果相同，这样便失去了设置三条减速带的意义。此种情况的动力学分析图如下：

图2.3 三条等距离且相距较远的减速带的减速作用分析图

考虑到上述情况，相邻两条减速带之间的距离应控制在某一范围内，即max S S ≤。在3t 时速度刚达到初始速度0v 的临界情况，根据动力学知识有：

22

022022e d e

u v v S a v v S a -+?-=???-?=??

…………………………………………………………（3.9） 此时，max S S S -+=+，即

222222000max ()11()222e e e d u d u

v v v v v v S a a a a ---=+=?+………………………（3.10） 定义11d u u d d u

a a K a a a a +=+=为汽车的加速反应度，由定义可知，加速反应度K 值越小，则汽车的加速减速性能越好。

于是有：

220max ()2

e v v S K -=?……………………………………………………（3.11） 再来考虑连续等距三条减速带的情形,其动力学分析图如下：

图2.4 连续等距三条减速带的减速作用动力学分析图

如上图，将15,t t 对应的ae 间的距离定义为三条减速带的作用区域。而51t t t =-定义为减速带作用时间。如果没有设置减速带，则15~t t 这段时间内，汽车会以0v 的速度匀速行驶，对应的距离为：

510()L S t t v =-?………………………………………………………（3.12）

而设置了减速带后，15~t t 时间段汽车试过的距离则为ae 间的距离ae S 。由此减速效果η为：

L ae L

S S S η-=…………………………………………………………（3.13） 因为L ae S S >，所以由定义可知η为一个介于0与1之间的数。在不考虑其他因素的情况下，η值越大则减速效果越好。

设减速带之间的距离12i S S S ==为一变量。结合图形求得如下结果：

0212202e d e ab d v v t t a v v S a -?-=???-?=??

……………………………………………………（3.14） 22324322i d u i e e u d bc cd i S a a S t t t t v v a a K S S S ?-=-=+=+?+??==?

……………………（3.15） 0542202e u e

de u v v t t a v v S a -?-=???-?=??

……………………………………………………（3.16） 所以有：

0022510222()2e e i i e e e u d v v v v S S t t t v K v v v a a K K

--=-=+++=-++…（3.17） 2510002()[()2]i L e e S S t t v K v v v v K =-?=-++

?………………………（3.18） 222222

000222222

e e e ae ab bc de i i d u v v v v v v S S S S S K S a a ---=++=++=?+…（3.19） 将上述两式带入η得：

22

02002212[()2]e i i e e v v K S S K v v v v K

η-?+=--++?…………………………………（3.20） 可见η为i S 的函数。

根据题中数据及参考文献[3]中的相关数据，取

060/16.7/2.5/5/u d v km h m s a m s

a m s ==??=??=? 因此2110.6/u d

K s m a a =

+= 模型三 考虑到如果两条减速带的距离过近，则司机在驶过第一条减速带后，不会再加速，而是以e v 匀速驶过下一条减速带。由第一问可知，e v 的速度一般较小，在8/km h 左右。在一条限制速度为60/km h 的道路上，如果出现一段平均车速8/km h 的路程，虽然降低了车速，但过低的速度也会造成诸如堵车等问题，这是交通部门在设置减速带时就应设法避免的问题。因此两条减速带之间的距离必须大于min S 。如果两条减速带的距离过长，则汽车又会加速到0v 后再减速，达不到限速保证安全的作用，所以两条减速带之间的距离必须小于max S 。把能达到最优减速效果的适宜平均车速定为[,]a b v v 。三条任意间距减速带的减速作用动力学分析图如下：

图2.5 三条任意间距减速带的减速作用动力学分析图

分析上图，234,,t t t 三个时刻对应的位置,,a b c 三点，分别是三条减速带的设置点。12,S S 为三条减速带之间的距离。在加速度一定的前提下，不管12,S S 具体的值如何，汽车从第一条减速带前开始减速到抵达第一条减速带，以及从驶过第三条减速带到加速到0v ，即图中1245~,~t t t t 这两段过程始终是一样的，因此只

考察一三两条减速带之间的情形。

从司机的角度考虑，总是希望在震动不强烈的请况下以最短的时间驶过三条减速带，即42T t t =-最小。从图中可以直观地看出，三条减速带距离越近，T 越小；从交通管理部门角度考虑，减速带之间距离过短，则易造成交通堵塞，过长则起不到限速的作用。所以减速效果最优的设置方案转化为满足一定约束条件，以汽车驶过三条减速带的时间最短为目标函数的优化问题。

先考虑一二两条减速带之间的情况，根据第二问的加速段和减速段驶过的距离分别为S +和S -，相应的加速度分别为u a 和d a 。由运动学知识知：

221221122e u e d v v a S v v a S S S S +-+-?-=?-=??+=?

……………………………………………………（3.21） 解得：

111212d d u u d u d u e d u a S S a a a S S a a S a a v v a a +-?=??+??=??+??=+?+?

………………………………………………（3.22） 因此有，

1132111()()e e e u d u d

v v v v t t v v a a a a ---=

+=-+………………………（3.23） 类似于第二问，定义11d u u d d u a a K a a a a +=+=为汽车的加速反应度，由定义可知，加速反应度K 值越小，则汽车的加速减速性能越好。于是有：

321()e t t K v v -=-…………………………………………………（3.24）

同理，对二三两条减速带之间的情况，有：

432()e t t K v v -=-…………………………………………………（3.25）

因此，

42433212(2)e T t t t t t t K v v v +=-=--=+-………………………（3.26）

车辆驶过三条减速带之间的平均速度为

121212(2)

e S S S S v T K v v v ++=

=+-……………………………………（3.27）

由于12122222e e S v v K S v v K ?=+????=+??，得到12122222(2)e e e S S v S S K v v v K K +=+++-…（3.28） 综上所述，得目标函数和约束条件如下：

1222min 1max min 2max

22min (2)..e e e a b S S T K v v v K K S S S s t S S S v v v ==+

++-?≤≤?≤≤??≤≤?…………………………（3.29）

综合第一问中6种减速带的e v 值，取算术平均值，所以有 3.13/e v m s =， 同第二问，相关数据取如下的值：

0260/16.7/2.5/5/0.6/u d v km h m s a m s a m s K s m

==??=??=?

?=? 由第二问中的结果知，220max ()812

e v v S K m -=?=，取min 10S m =。对于,a b v v 的取值，在0~60/km h 的速度范围内分为6个等距区间，以速度为30~40/km h 为例，也就是8.3~11.1/m s 。所以取8.3/,11.1/a b v m s v m s ==。用lingo 求解，得到相应限速区间内的最佳设置方案如下表：

表1.3 不同限速区间内减速带的最佳设置方案 限速区间

(/km h ) 减速带距离 1S (m ) 减速带距离 2S (m ) 通过时间 (s )

0~10

10~20 10 10 4.12

20~30 20.5 27.9 5.49

30~40 10 68.9 9.47

40~50

50~60

注：斜线部分表示无解。

因此在斜坡上设置四个减速带可以最有效的控制速度，但在斜坡入口处正好是个拐弯路口，也就是说已经设置过一条减速带，因此斜坡上在设置三条减速带就可以了。因此这条路上一共需要设置六条减速带。

五、模型评价

实际情况中，司机很少以匀减速来达到减速目的，因此本模型很理想化。由于缺少人的舒适度与车速之间量化关系，所以最优减速效果的适宜平均车速未必是人最舒适的车速，但实际情况中，人的舒适度往往会影响到这个最优减速效果的适宜平均车速，所以要确定这个最优减速效果的适宜平均车速，首先应通过对该路段人的舒适度与车速之间的关系进行考察，建立人的舒适度与车速之间的量化关系，求得人最舒适时的车速，并寻求一个最优解。

六、参考文献

[1] 王超，史扬，陈永胜公路设置驼峰式减速带的实际效用研究[J] 山西建筑

2009.35(1):287-288.

[2] 邱望标,黄克,黎熊,蒋辉海,李莉娅减速带形状对汽车振动的影响分析[J]

橡胶工业, 2008.55(11):675-679.

[3] 张榫,魏朗,余强道路减速带对车辆平顺性和安全性的影响[J] 长安大学学

报(自然科学版) 2008.28(4):95-98.