高二理科数学(1)(2-2,2-3,4-4)

高二理科数学（2）

一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）

1.若复数（i是虚数单位）为纯虚数，则实数a的值为（）A. 2 B. C. D.

2.若函数的极小值为﹣1，则函数的极大值为（）A. 3 B. C. D. 2

3.从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（）A. B. C. D.

4.已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=2xf′（2）+cos x，则f′（2）=（）

A. B. C. D.

5.定义在R上的函数y=f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=2017，则不等式e x f（x）-e x＞2016（其中e为

自然对数的底数）的解集为（）

A. B. C. D.

6.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设为（）

A. a，b，c都是奇数

B. a，b，c都是偶数

C. a，b，c中至少有两个偶数

D. a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数

7.定积分的值为（）A. 1 B. C. D.

8.已知函数?（x）=ax3+bx2+cx的图象如图所示，则有（）

A. ，

B. ，

C. ，

D. ，

9.利用回归分析的方法研究两个具有线性相关关系的变量时，下面说法：

①相关关系r满足|r|≤1，而且|r|越接近1，变量间的相关程度越大；|r|越接近0，

变量间的相关程度越小；

②可以用R2来刻画回归效果，对于已获取的样本数据，R2越小，模型的拟合效果越好；

③如果残差点比较均匀地落在含有x轴的水平的带状区域内，那么选用的模型比较合适；这样带状区域越窄，

回归方程的预报精度越高；

④不能期望回归方程得到的预报值就是预报变量的精确值；

⑤随机误差e是衡量预报精确度的一个量，它满足E（e）=0．

其中正确的结论为( )A. ①②③ B. ①②④ C. ③④⑤ D. ①③④⑤

10.箱子里有5个黄球，4个白球，每次随机取一个球，若取出黄球，则放回箱中重新取球，若取出白球，则停止

取球，那么在4次取球之后停止取球的概率为（）

A. B. C. D.

11.如图，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，

如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法总数为（）

A. 60

B. 480

C. 420

D. 70

12.

对同一样本，以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为（）

A. ，

B. ，

C. ，

D. ，

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.圆ρ=4cosθ的圆心到直线tan（）=1的距离为______ ．

14.（1-）4展开式中含x-3项的系数是______．

15.已知，则的值

是______ ．

16.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：

已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025．根据表中数据，得到．则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为________．

三、解答题（本大题共7小题，共84.0分）

17.已知m∈R，复数．

（1）若z是纯虚数，求m的值；（2）当m为何值时，z对应的点在直线x+y+3=0上？

18.3名女生和5名男生排成一排（Ⅰ）如果女生必须全排在一起，可有多少种不同的排法？（Ⅱ）如果女生必须

全分开，可有多少种不同的排法？（Ⅲ）如果两端都不能排女生，可有多少种不同的排法？（Ⅳ）如果两端不能都排女生，可有多少种不同的排法？

19.在数列{a n}中，a1=2，a n+1=（n∈N+），（1）计算a2、a3、a4并由此猜想通项公式a n；（2）证明（1）中的

猜想．

20.某城市的华为手机专卖店对该市市民使用华为手机的情况进行调查．在使用华为手机的用户中，随机抽取100

名，按年龄（单位：岁）进行统计的频率分布直方图如图：

（1）根据频率分布直方图，分别求出样本的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和中位数的估计值（均精确到个位）；

（2）在抽取的这100名市民中，按年龄进行分层抽样，抽取20人参加华为手机宣传活动，现从这20人中，随机选取2人各赠送一部华为手机，求这2名市民年龄都在[40，45）内的人数为X，求X的分布列及数学期望．

21.某中学研究性学习小组，为了研究高中理科学生的物理成绩是否与数学成绩有关系，在本校高三年级随机调查

了50名理科学生，调查结果表明：在数学成绩优秀的25人中16人物理成绩优秀，另外9人物理成绩一般；在数学成绩一般的25人中有6人物理成绩优秀，另外19人物理成绩一般．

（Ⅰ）试根据以上数据完成以下2×2列联表，并运用独立性检验思想，指出有多大把握认为高中理科学生的物理成绩与数学成绩有关系；

（Ⅱ）以调查结果的频率作为概率，从该校数学成绩优秀的学生中任取100人，求100人中物理成绩优秀的人数的数学期望和标准差．

参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．

22.已知曲线的极坐标方程为，直线∈，直线∈．以极点为原

点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系．

（1）求直线，的直角坐标方程以及曲线的参数方程；

（2）已知直线与曲线交于，两点，直线与曲线交于，两点，求的面积．

23.已知函数f（x）=ln（2x+a）-e2x-1．

（1）若函数f（x）在x=处取得极值，求f（x）的单调区间；

（2）当a≤1时，f（x）＜0，求x的取值范围．

高二理科数学（2）答案和解析

1.【答案】A解：复数=为纯虚数，

∴，≠0，解得a=2．故选A．

2.【答案】A

解：f′（x）=3x2-3，令f′（x）=0，解得x=±1，

当x＞1或x＜-1时，f′（x）＞0，

当-1＜x＜1时，f′（x）＜0.

故f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上是增函数，在（-1，1）上是减函数，

故f（x）在x=1处有极小值f（1）=1-3+m=-1，解得m=1.

所以f（x）在x=-1处有极大值f（-1）=-1+3+1=3.

故选A．

3.【答案】B

解：从甲、乙等5名学生中随机选出2人，基本事件总数n==10，

甲被选中包含的基本事件的个数m==4，∴甲被选中的概率p===．故选：B．

4.【答案】A

解：∵f（x）=2xf′（2）+cosx，∴f'（x）=2f′（2）-sinx，令x=2，

则f'（2）=2f′（2）-sin2，即f′（2）=sin2，故选：A．

5.【答案】D

解：设g（x）=e x f（x）-e x，（x∈R），则g′（x）=e x f（x）+e x f′（x）-e x=e x[f（x）+f′（x）-1]，

∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）-1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，

∵e x f（x）-e x＞2016，∴g（x）＞2016，又∵g（0）=e0f（0）-e0=2017-1=2016，

∴g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故选D．

6.【答案】D解：用反证法证明某命题时，对结论：“自然数a，b，c中恰有一个偶数”正确的反设是：a，b，c中至少有两个偶数或都是奇数．故选：D．

7.【答案】C

解: ,因为,所以x2+y2=1,y≥0,

即等于圆心在原点,半径为1的圆的面积的,所以,

又,所以.故选C.

8.【答案】A

解：由函数f（x）的图象知f（x）先递增，再递减，再递增∴f′（x）先为正，再变为负，再变为正

∵f′（x）=3ax2+2bx+c∴a＞0∵在递减区间内∴f′（0）＜0即c＜0故选A

9.【答案】D

解：相关系数r是用来衡量两个变量之间线性相关关系的方法，当r=0时，表示两变量间无线性相关关系，当0＜|r|＜1时，表示两变量存在一定程度的线性相关．且|r|越接近1，两变量间线性关系越大．故①正确；由R2计算公式可知，R2越小，说明残差平方和越大，则模型拟合效果越差．故②错误；

由残差图的定义可③正确；在利用样本数据得到回归方程的过程中，不可避免的会产生各种误差，因此用回归方程得到的预报值只能是实际值的近似值．故④正确．随机误差e是衡量预报精确度的一个量，它满足E（e）=0．正确．故答案为：D．

10.【答案】B

解：第四次取球之后停止表示前三次均取到黄球，第四次取到白球，

由题意知本题是一个有放回的取球，是一个相互独立事件同时发生的概率，取到一个白球的概率是，去到一个黄球的概率是其概率为（）3×，故选：B．

11.【答案】C

解：分两步，先将四棱锥一侧面三顶点染色，然后再分类考虑另外两顶点的染色数，用乘法原理可求解．由题设，四棱锥S-ABCD的顶点S，A，B所染的颜色互不相同，它们共有5×4×3=60种染色方法．

当S，A，B染好时，不妨设所染颜色依次为1，2，3，若C染2，则D可染3或4或5，有3种染法；若C 染4，则D可染3或5，有2种染法；若C染5，则D可染3或4，有2种染法，即当S，A，B染好时，C，D还有7种染法．故不同的染色方法有60×7=420种．故选：C．

12.【答案】A

解：根据2×2列联表与独立性检验的应用问题，当与相差越大，X与Y有关系的可能性越

大；即a、c相差越大，与相差越大；故选：A．

13.【答案】

解：圆ρ=4cosθ为ρ2=4ρcosθ，化为直角坐标方程为：x2+y2-4x=0，

圆心坐标为C（2，0），直线tan（）=1，即cotθ=1，即=1，

化为直角坐标方程为：x-y=0，∴圆心C（2，0）到直线的距离d==．故答案为：．

14.【答案】解：由，令-r=-3，得r=3．

∴（1-）4展开式中含x-3项的系数是．故答案为：．

15.【答案】（）2018

解：∵（x+1）2（x+2）2016=a0+a1（x+2）+a2（x+2）+…+a2018（x+2）2018，

∴令x=-2，得a0=0

再令x=-，得到a0+=（-+1）2（-+2）2016=（）2018，

∴=，故答案为：（）2018，

16.【答案】％

解：∵根据表中数据，得到K2的观测值解，

因为4.844＞3.841，∴认为选修文科与性别有关系出错的可能性为5%．

故答案为5%．

17.【答案】解：（1）当z为纯虚数时，则，解得m=0，

∴当m=0时，z为纯虚数；

（2）当z对应的点在直线x+y+3=0上时，

则，

即，解得m=0或，

∴当m=0或时，z对应的点在直线x+y+3=0上．

18.【答案】解：（1）女生全部排在一起有A66A33=4320种．

（2）女生必须全分开有A55A63=14400种．

（3）因为两端都不能排女生，所以两端只能从5个男生中选2个排在两端，有A52种排法，其余6人有A66种排法，所以共有A52?A66=14400种排法．

（4）8个人站成一排共有A88种不同的排法，排除掉两端都是女生的排法有A32?A66种，

所以符合条件的排法有A88-A32?A66=36000种．

19.【答案】解：（1）在数列{a n}中，∵a1=2，a n+1=（n∈N*）∴a1=2=，a2==，a3==，a4==，

∴可以猜想这个数列的通项公式是a n=；

（2）下面利用数学归纳法证明：①当n=1时，成立；②假设当n=k时，a k=，则当n=k+1（k∈N*）时，

a k+1===，因此当n=k+1时，命题成立，综上①②可知：?n∈N*，a n=都成立.

20.【答案】解：（1）根据题意，计算平均数的估计值为

=（27.5×0.01+32.5×0.04+37.5×0.07+42.5×0.06+47.5×0.02）×5=38.5≈39；

中位数的估计值为：

因为5×0.01+5×0.04=0.25＜0.5，

5×0.06+5×0.02=0.4＜0.5，

所以中位数位于区间[35，40）年龄段中，

设中位数为x，

所以0.24+0.07×（x-35）=0.5，x≈39；

（2）用分层抽样的方法，抽取的20人，应有6人位于[40，45）年龄段内，

14人位于[40，45）年龄段外；

依题意，X的可能值为0，1，2；

P（X=0）==，

P（X=1）==，

P（X=2）==；

X

数学期望为EX=0×+1×+2×=．

所以K2=≈8.117＞7.879，

所以有99.5%把握认为高中理科学生的物理成绩与数学成绩有关系；

（Ⅱ）由题意可得，数学成绩优秀的学生中物理成绩优秀的概率为，随机变量X符合二项分布，

所以数学期望E（X）=100×=64，标准差==．

22.【答案】解：（1）依题意，直线l1的直角坐标方程为，

直线l2的直角坐标方程为，因为为＋，故ρ2=ρcosθ+2ρsinθ，

故x2+y2=x+2y，故（x-）2+（y-1）2=4，故曲线C的参数方程为

＋

＋

（α为参数）.

（2）∵联立，∴得到|OA|=4，同理，又∵，∴

，∴ AOB的面积为.

23.【答案】解：（1）f′（x）=-2e2x-1，由已知得f′（）=0，即-1=0，所以a=0，

所以f（x）=ln2x-e2x-1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=-2e2x-1，

由于f′（x）在（0，+∞）上为减函数，而f′（）=0，所以当x∈（0，）时，f′（x）＞0；

当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，所以f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）．

（2）由于a≤1，所以ln（2x+a）≤ln（2x+1），所以f（x）≤ln（2x+1）-e2x-1，

令g（x）=ln（2x+1）-2x（x＞-），则g′（x）=，所以，当-＜x＜0时，g′（x）＞0，当x＞0时，g′（x）＜0，所以g（x）≤g（0）=0，即：ln（2x+1）≤2x令h（x）=e2x-1-2x，则h′（x）=2（e2x-1-1），

所以，当x＞时，h′（x）＞0，当-＜＜时，h′（x）＜0，

所以h（x）≥h（），即：e2x-1≥2x．所以，对任意x＞，ln（2x+1）-e2x-1＜0，

因此，当a≤1时，对任意x＞-，ln（2x+1）-e2x-1＜0，所以x的取值范围为（-，+∞）