二次根式及性质练习题.doc
二次根式及性质
1.使式子x 4 有意义的条件是。
2. 当 __________ 时，x 2 1 2x 有意义。
3. 若m 1 有意义，则 m 的取值范围是。
m 1
4. 当 x __________ 时， 1 x 2 是二次根式。
5. 在实数范围内分解因式： x4 9 __________, x2 2 2x 2 __________ 。
6. 若4x2 2x ，则x的取值范围是。
7. 已知x 2 2 2 x ，则 x 的取值范围是。
8. 化简：x2 2x 1 x p 1 的结果是。
9. 当 1 xp 5时，x 1 2 x 5 _____________ 。
★ 10. 把 a 1
的根号外的因式移到根号内等于。a
11. 使等式x 1 x 1 x 1g x 1 成立的条件是。
12. 若 a b 1 与 a 2b 4 互为相反数，则 a
2005
b _____________。
13. 在式子x x f 0 , 2, y 1 y 2 , 2x x p 0 , 3 3, x2 1, x y 中，二次根式有
2
（）
A. 2 个
B. 3 个
C. 4 个
D. 5 个
14. 下列各式一定是二次根式的是（）
A. 7
B. 3 2m
C. a2 1
D. a
b
15. 若 2 p a p 3，则 2
2
a 3
2
）a 等于（
A. 5 2a
B. 1 2a
C. 2a 5
D. 2a 1
★ 16. 若 a 1，则 1 a 3
）化简后为（
A. a 1 a 1
B. 1 a 1 a
C. a 1 1 a
D. 1 a a 1
17. 能使等式
x x
成立的 x 的取值范围是（）x 2 x 2
A. x 2
B. x 0
C. x f 2
D. x 2
★ 18. 计算：2a
2
1 2a
2
）1 的值是（
A. 0
B. 4a 2
C. 2 4a
D. 2 4a 或 4a 2
19. 若x y y2 4y 4 0 ，求 xy的值。
★ 20. 已知x2 3x 1 0 ，求 x2 1 2 的值。
x2
二次根式知识点总结复习整理
二次根式知识点总结 1. 二次根式的概念 二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义． 2. 二次根式的性质 1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2≥=a a a 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a 3. ? ??<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替． 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号． 2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算——分母有理化 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两
个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用a a a =?来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 5. 二次根式计算——二次根式的乘除 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 )0,0(≥≥?=b a b a ab 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 )0,0(≥≥=?b a ab b a 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。 )0,0(≥≥=b a b a b a 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 )0,0(≥≥=b a b a b a 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还 要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．
二次根式的性质及运算.
一、学习内容：二次根式的性质及运算. 1.二次根式的概念： 一般的，我们把形如式子叫做二次根式. 2.二次根式有意义的条件：当a 时，a有意义. 3. 当a≥0 4. 2= a（a≥0）反之:a= 2（a≥0）． ︳a︳=?? ? ? ? 6.二次根式的乘法： a≥0，b≥0 a≥0，b≥0） 7.二次根式的除法： a≥0，b>0 a≥0，b>0） 8.满足（1）（2） 上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式. 9.分母有理化：化去分母中的根号 二、例题讲解： 1、化简：()25＝；()25-＝；()22.0 -＝； －()2л-＝；2 10-＝； 3 1 4= 2．计算：（1）14 2×7；（2）- 5 1 a3×10 3 b ； (3) (12+58)3 ?； (4) 2 224 40-； (5) ()22 3-（6）27 12 1 3 2 1 ? ÷； （7） 5 2 1 3 1 2 3 1 1? ÷； (8)； （9 ）（ （10 ）（ （11）50 5 1 12 2 1 8 3 2+ + -（12）12 ) 3 2 3 24 27 3 1 (? - - 例2. 已知，求的值。 413270 22 a b ab -+-= 例3. 已知，求的值。 x x x x =+ +- 31 12 2 2 例4. 化简： a a b a a b b a a b - -+ < 2 44 2 22 ()
三、练习： 1．等式2)1(-x ＝1－x 成立的条件是_____________． 2．当x ____________时，二次根式32-x 有意义． 3．比较大小：3－2______2－3． 4．计算：22)2 1 ()213(-等于__________． 5．当x>2 ______________. 6．实数a 、b 在数轴上对应点的位置如图所示： a o b 则 3a －2)43(b a -＝______________． 7．若8-x ＋2-y ＝0，则x ＝___________，y ＝_____________ 8．若最简二次根式132-+b a 与a b -4是同类二次根式，则a ＝_____________， b ＝______________． 9．下列变形中，正确的是……………………………………………………………（ ） （A ）(23)2＝2×3＝6 （B ）2)5 2 (-＝－52 （C ）169+＝169+ （D ）)4()9(-?-＝49? 10．下列各式中，一定成立的是……………………………………………………（ ） （A ）2)(b a +＝a ＋b （B ）22)1(+a ＝a 2＋1 （C ）12-a ＝1+a ·1-a （D ） b a ＝b 1ab 11．若式子12-x －x 21-＋1有意义，则x 的取值范围是……………………（ ） （A ）x ≥ 21 （B ）x ≤21 （C ）x ＝2 1 （D ）以上都不对 12．当a ＜0，b ＜0时，把 b a 化为最简二次根式，得………………………………（ ） （A ） ab b 1 （B ）－ab b 1 （C ）－ab b -1 （D ）ab b 13．当a ＜0时，化简|2a －2a |的结果是………………………………………（ ） （A ）a （B ）－a （C ）3a （D ）－3a 14．如果a 是任意实数，下列各式中一定有意义的是（ ） (A) a (B) 1a 2 (C) 3 －a (D)－a 2 15．下列二次根式中，是最简二次根式的是………………………………………（ ） (A)8x (B)_x 2－3 (C) x －y x (D)3a 2b 16 二次根式的个数是（ ）． A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 17 ）． A ．0 B ． 23 C ．42 3 D ．以上都不对 18．当a ≥0 正确的是（ ）． A C ．19.在实数范围内因式分解： （1）2x 2－4 （2）x 4 -9 20．计算：（1）1 3 (212 －75 )
二次根式及性质知识点
二次根式及性质 b.二次根式的基本性质:知识要点： （1 ）平方根与立方 根 ②(禹)2 =a (a>0) a.平方根的概念：如果一个数的平方等于a,那么这个数叫做a的平方根。用±V a 表 示。 例如：因为（±5）2 =25，所以25的平方根为±（25= ±5。 b.算术平方根的概念：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。0的算术平方 a (a > 0) J a2 =|a|= f 0 (a= 0) [-a (a c 0) 根为0。用J a表示a的算术平方根。④J ab = 7a V b (a>0, b>0) 例如：3的平方根为土J3，其中为3的算术平方根。 3 — c.立方根的概念：如果一个数的立方等于a,那么这个数就叫做a的立方根，用a 6 =芈(a A O, bXO) ⑤ V a V a c.二次根式的乘除法 表 示。 例如：因为33 =27，所以27的立方根为V27 =3。 ①扁尿=届（a>0，b> 0） d.平方根的特征： ①一个正数有两个平方根，它们互为相反数。 ②0有一个平方根，就是0本身。 ③负数没有平方根。 e.立方根的特征： ①正数有一个正的立方根。 ②负数有一个负的立方根。 ③0的立方根为0。 J b f b 〒「一(a>0, b>0) ② V a V a d.最简二次根式的标准： ①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号） ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。 e.同类二次根式的识别： 几个二次根式化简到不能再化简为止后，被开方数相同，则这几个二次根式是同类二次根式。 ④= -V a。例如：恵=2丘与应是同类二次根式, 3妬与-5爲是同类二次根式。 ⑤立方根等于其本身的数有三个：1，0,—1。 （2 ）二次根式 a.二次根式的概念：形如脳（a>0）的式子叫做二次根式（二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义，并且根式掐>0 ）。 f.二次根式的加减法运算法则： 在加减运算中，一般把二次根式化简后再运算, 并（合并时，只合并根号外的因式，被开方数不 变）为最后的结果（注意：最后结果要尽可能最 简） h.使分母不带根号（分母有理化）常用方法： ①化去分母中的根号关键是确定与分母相乘后, 运算时只有同类二次根式才能合 ，合并同类二次根式之后的式子作 其结果不再含根号的因 式。
二次根式的运算知识讲解
二次根式的运算（提高）知识讲解 【学习目标】 1、理解并掌握二次根式的加减法法则，会合并同类二次根式，进行简单的二次根 式加减运算； 2、掌握二次根式的乘除法法则和化简二次根式的常用方法，熟练进行二次根式的乘 除运算； 3、会利用运算律和运算法则进行二次根式的混合运算. 【要点梳理】 要点一、二次根式的加减 二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中. 要点诠释： （1）在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用. （2）二次根式加减运算的步骤： 1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式； 2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组； 要点二、二次根式的乘法及积的算术平方根 1.乘法法则：（a≥0，b≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变， 只把被开方数相乘. 要点诠释： (1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数). (2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算： ≥0，≥0，…..≥0）. (3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如. 2.积的算术平方根: （a≥0，b≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方 根的积. 要点诠释： (1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足a≥0，b≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了； (2)二次根式的化简关键是将被开方数分 解因数，把含有形式的a移到根号外面.
二次根式的概念、性质知识点及练习
二次根式的概念、性质 1.二次根式的概念：（1）一般地，把形如式子a（a≥0）的式子叫做二次根式。“”称为二次根号，二次根号下面的“a”叫做被开方数。 知识拓展：①被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意a≥0是a为二次根式的前提条件。 ②二次根式的定义是从形式上界定的，必须含有二次根号“”，虽然9=3，但是3是9的计算结果，因此9是二次根式。 ③“”的根指数是“2”，一般把根指数“2”省略，不要误把“”的根指数当作“0”。 ④形如b a（a≥0）的式子也是二次根式，它表示b与a的乘积，注意当b为带分数时，要把b写成假分数的形式。 特别提示：判断一个式子是不是二次根式，看其是否同时具备二次根式的两个特征：（1）带二次根号“”；（2）被开方数是非负数。二者缺一不可。 （2）二次根式有意义的条件：当a≥0时，a有意义；当a＜0时，a在实数范围内没有意义。 知识拓展：①如果一个式子中有多个二次根式，那么每个二次根式的被开方数都必须为非负数才能保证这个式子有意义。 ②在解决关于代数式有意义的问题时，要注意二次根式、分式有意义的条件，即二次根式中被开方数为非负数，分式中分母不能为零。 （3）二次根式的非负性：在二次根式中，被开方数一定是非负数，并且二次根式a≥0，即非负数。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母；
⑶分母中不含根式。 二次根式化简一般步骤： ①把带分数或小数化成假分数； ②把开方数分解成质因数或分解因式； ③把根号内能开得尽方的因式或因数移到根号外； ④化去根号内的分母，或化去分母中的根号； ⑤约分。 二次根式化简的基本技巧和方法： 1）根号下是一个正整数：将该数字拆分成一个完全平方数和某个数字的乘积，然后将完全平方数开平方放到根号外面。 2）根号下是一个分数：将该分数拆分成一个分数的平方数和某个数字的乘积，然后将分数开根号到根号外面。 3）根号下有数字和字母：这种情况下，由于不确定字母是正数还是负数，因此开放的时候要带着绝对值开方。 4）两个根式相加减：首先将两个根式通分，然后再运算。 5）两个根式相乘除：注意观察两个式子的特点，决定先化简再乘除，还是先乘除再化简。 6）开根号后分情况运算：如果根式下有数字和字母运算成平方，开方后要分情况讨论。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式。一个二次根式不能叫同类二次根式，至少两个二次根式才有可能称为同类二次根式。 要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式,然后判断。 4.二次根式的性质： （1）二次根式具有双重非负性，即a ≥0，（a ≥0）； （2）（a ）2 =a （a ≥0）； (3) = =a a 2 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；
二次根式知识点总结大全
二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2 =a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a =（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；
1、概念与性质 例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1）x x --+31 5；（2）22)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知：的值。 求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( ) A. a>b B. a《实数和二次根式》知识点汇总
《实数和二次根式》知识点 1.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a，那么这个数x就叫做a 的平方根，也就是若x a 2=，则x叫做a的平方根。 2.开平方：求一个数的平方根的运算叫做开平方。开平方与平方互为逆运算。 3.平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 4.平方根的表示：当a≥0时，a的平方根记为±a。 5.算术平方根：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，零的算术平方根是零。 注：（1）非负数才有算术平方根 （2）非负数的算术平方根仍为非负数 6.算术平方根的表示：当a≥0时，a的算术平方根记作a 7.立方根： （1）定义：一般地，如果一个数x的立方等于a，那么这个数x就叫a的立方根，也就是若x a 3=，则x叫做a的立方根。 （2）立方根的表示：a3 （3）开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。开立方和立方互为逆运算，开立方的结果是立方根。
（4）性质：一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。 8.平方根和立方根的区别 （1）被开方数的取值范围不同 （2）正数的平方根有两个，而它的立方根只有一个，负数没有平方根，而它有一个立方根。 9.实数：有理数和无理数统称为实数。 实数与数轴上的点一一对应。 分类： 实数有理数正有理数负有理数有限小数或无限循环小数无理数正无理数负无理数无限不循环小数0????????????????????????? 10.实数的相反数、绝对值、倒数、比较大小、运算律和运算法则的应用类似于有理数中的。 11.二次根式：一般地，式子a a ()≥0叫做二次根式。 注：（1）含有二次根号 “” （2）被开方数a 是代数式且a 必须是非负数 （3）二次根式a a ()≥0是a 的算术平方根，因此a a ≥≥00() 12.二次根式的基本性质： ()()a a a 20=≥
二次根式的概念与性质
二次根式的概念与性质 编稿：庄永春审稿：邵剑英责编：张杨 一、目标认知 1.学习目标： 理解二次根式的概念，了解被开方数是非负数的理由；理解并掌握下列结论： ，，，并利用它们进行计算和化简．2.重点： ；，及其运用． 3.难点： 利用，，解决具体问题. 二、知识要点梳理 知识点一：二次根式的概念 一般地，我们把形如(a≥0)?的式子叫做二次根式，“”称为二次根号． 要点诠释： 二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数. 知识点二：二次根式的性质 1.； 2.； 3.； 4. 积的算术平方根的性质：； 5. 商的算术平方根的性质：. 要点诠释： 二次根式(a≥0)的值是非负数，其性质可以正用亦可逆用，正用时去掉根号起到化简的作用；逆用时可以把一个非负数写成完全平方的形式，有利于在实数范围内进行因式分解.
知识点三：代数式 形如5，a，a+b，ab，，x3，这些式子，用基本的运算符号(基本运算包 括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子 为代数式(algebraic expression). 三、规律方法指导 1.如何判断一个式子是否是二次根式？ (1)必须含有二次根号，即根指数为2； (2)被开方数可以是数也可以是代数式但必须是非负的，否则在实数范围内无意义. 2.如何确定二次根式在实数范围内有意义？ 要使二次根式在实数范围内有意义必须满足被开方数为非负数.要确定被开方数中所含字母的取值范围，可根据题意列出不等式，通过解不等式确定字母的取值范围.当二次根式 作为分母时要注意分母不能为零. 经典例题透析 类型一：二次根式的概念 1、下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式： 、、、(x＞0)、、、、、(x≥0，y≥0)．思路点拨：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0． 解：二次根式有：、(x＞0)、、、(x≥0，y≥0)； 不是二次根式的有：、、、． 2、当x是多少时，在实数范围内有意义？ 思路点拨：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，?才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥ 当x≥时，在实数范围内有意义．
二次根式的性质
16.1二次根式的性质 一、复习回顾 算术平方根的定义： 一般地，如果一个正数的平方等于a，即x2=a,那么这个正数x叫做a的算术平方根。a的算术平方根记为√a. 0的算术平方根为0. 二、新课导入 （一）探究二次根式双重非负性 1、当a>0时，√a表示a的。因此√a 0。 当a=0时，√a表示。因此√a 0。 2、小结：当a≥0时，√a≥0。也就是说当a是非负数时，√a也是非负数。这叫做二次根式的双重非负性。 例1 若|x2-4x+4|与2x?y?3互为相反数，则x+y= 。 （1）问：这道题的考点是什么？ （2）问：我们到现在学了哪些具有非负性的代数式呢？ （二）（√a）2=a (a≥0) 与的探究辨析 1、思考（√a）2与 （1）平方和开平方位置不同,即意义不同：2表示a的算术平方根的平方 a的平方的算术平方根 （2）a的取值范围不同：20 a≥ 取任何实数 2、2与的结果会相同吗？ （三）先来探究2的结果。
根据算术平方根的意义填空： 2 = ； 2= ； 2= ； 2 = 。 当0a ≥时，2 = ； 即：一个非负数的算术平方根的平方等于它本身。 例2 计算： （1） 2= ； （2） (2= ； （3） (2 = ； （4） 2?- ?= 。 问：（3）、（4）两题用了什么公式？ （四）探究当0a ≥ 计算： = ；= ；= ；= ； 当0a ≥a 。 即：一个非负数的平方的算术平方根等于它本身。 （五）当0a < 当0a <= 。 即： 。 思考：可以用一个式子概括0a ≥和0a < = 。 即： 。 例3 化简
（1（2（3） （4三、巩固提升 1、化简或计算 （1（2)0a > （3(2+ 2、实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，化简a a 0 b 3、阅读下面的解题过程，并回答问题。 化简：21x -- 解：由130x -≥，得13x ≤ 10x ∴-> ∴原式()()131x x =--- 1312x x x =--+=- 2 四、小结 这节课我们学到了什么？ （1） 当a ≥0时，√a ≥0； （2） 当0a ≥时， 2= a ； （3） a ； （4） 具有非负性的代数式有：√a ≥0（a ≥0），偶次方数（式），绝对值；
第十六章二次根式知识点总结大全
【知识回顾】 :L 二次根式：式子巫（dMO ）叫做二次根式。 2?最简二次根式：必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中丕含开方开的恳曲因敷或因击 ⑵被开方数中丕含分母；⑶分母中丕含根式。 M 同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4?二次根式的性质: a (?>0) (a VO) 5?二次根式的运算: （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术 平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式, 再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. （3）二次根式的乘除法.二次根式相乘（除）.将被开方数相乘（除〉,所得的积（商）仍 作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. ?Jah = \[a ? ylb (a>0, b>0)；、匡(b>0, a>0). V? yfa 贞曲内容 （1）（奶）咗a （d 鼻0）； (2) = |t/| = 0 ( fl =0)；
（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式 的乘法公式，都适用于二次根式的运算. 【典?钩题】 例1.下列各式 —,2)*7—5,3) — \/x~ + 2,4)\/4,5)^(——)^,6)^/1 — a ,7)J/ 1) - 2。+1 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 ⑴心右⑵7^ 最简二次根式是()A. 1) 2) B, 3) 4) C. 1) 3) D. 1) 4) 尸匸衣+丽I+_L,求代数农k+2：+2 k+2L 测值。 例4、已知： 2 W X tv X A. a>b B, ab D ? a二次根式知识点归纳及题型总结精华版
二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质： 1.； 2.； 3.； 4.积的算术平方根的性质：； 5.商的算术平方根的性质：. 6.若，则. 知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理；
(3) 乘法公式的推广： 2．二次根式的加减运算 先化简，再运算， 3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2）121+-x （3）45++x x (6). （7）若1)1(-=-x x x x ， 则x 的取值范围是 （8）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a -+-=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10< 二次根式的概念和性质 重难点易错点辨析 题面：如果2(21)12a a -=-，则（ ） A ．a ＜ 12 B. a ≤12 C. a ＞12 D. a ≥12 金题精讲 题一： 题面：化简a a 3 -(a ＜0)得（ ） A a - B －a C －a - D a 题二： 题面：设实数a ，b 在数轴上对应的位置如图所示，化简 2a +|a +b |的结果是（ ） A.-2a +b B.2a +b C.-b D. b 满分冲刺 题一： 题面：已知实数x ，y 满足480x y -+-=，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是（ ） A ． 20或16 B ． 20 C ．16 D ．以上答案均不对 题二： 题面：若a ，b ，满足3a +5b =7，设S =2a -3b ，求S 的最大值和最小值． 题三： 题面：如图，矩形ABCD 中，点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，连接DE 和BF ，分别取DE 、BF 的中点M 、N ，连接AM ，CN ，MN ，若AB =22，BC =23，则图中阴影部分的面积为 ． 思维拓展 题面：若0＜x ＜1，则4)1(2+-x x －4)1 (2-+x x 等于（ ） A x 2 B －x 2 C －2x D 2x 课后练习详解 重难点易错点辨析 答案：B. 详解：由已知得2a ﹣1≤0，从而得出a 的取值范围即可． ∵2(21)12a a -=-，∴2a ﹣1≤0，解得a ≤ 12．故选B ． 金题精讲 题一： 答案：C ． 详解：对分子化简后约分即可：3a -＝2a a ?-＝a -·2a ＝|a |a -＝－a a -． 题二： 答案：D. 详解：根据数轴上a ，b 的值得出a ，b 的符号，a ＜0，b ＞0，a +b ＞0，∴2a +|a +b |=-a +a +b =b ， 故选：D ． 满分冲刺 题一： 答案： B. 详解：根据非负数的意义列出关于x 、y 的方程并求出x 、y 的值，再根据x 是腰长和底边长两种情况讨论求解： 由480x y -+-=得，x －4=0，y －8=0，即x =4，y =8. （1）若4是腰长，则三角形的三边长为：4、4、8，不能组成三角形； （2）若4是底边长，则三角形的三边长为：4、8、8，能组成三角形，周长为4+8+8=20. 故选B. 题二： 答案：S 最大值=143，S 最小值=?215 ． 详解：∵3a +5b =7， ∴a =753b -，b =735 a - ∴S =14193 b -，S =?215+195 a 二次根式 1. 二次根式的概念： 形如 的式子叫做二次根式． 2. 二次根式的性质： （1） ( a ) 2 （ ≥ ）；（ ） a ；（ ） a 2 ___(a 0) 0(a ≥ 0) ____ ___(a 0) a 02 3 ___(a 0) 3. 二次根式的乘除： 乘法运算： a b ___(a 0,b 0) 计算公式： 除法运算： a ___(a 0,b 0) b 最简二次根式： (1) (2) (3) 4. 概念： 1. 2.同类二次根式： 5. 二次根式的加减： ( 一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式；（2）找出其中的同类二次根式； （3）合并同类二次根式． 6. 二次根式化简求值步骤： (1) “一分”：分解因数（因式） 、平方数（式）；(2) “二移”： 根据算术平方根的概念，把根号内的平方数或者平方式移到根号外面； (3) “三化”：化去被开方数中的分母． 7. 二次根式的混合运算： （1）二次根式的混合运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． （2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则及乘法公式仍然适用．（3）在二次根式混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 一元二次方程 1.一元二次方程： 1)一元二次方程：含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程． 2)一元二次方程的一般形式： ax 2 bx c 0(a 0) ． 它的特征：等式左边是一个关于未知数 x 的二次多项式，等式右边是零． ax 2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常 数项． 2.一元二次方程的解法： 1)直接开平方法：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法． 直接开平方法适用于解形如( x a) 2 b 的一元二次方程．根据平方根的定义可知， x a 是 b 的平方根，当 b 0 时，x a b ， x a b ，当b<0时，方程没有实数根． 2) 配方法：配方法的理论根据是完全平方公式 a 22ab b2(a b) 2，把公式中的a看 做未知数 x，并用 x 代替，则有x22bx b 2( x b)2． 配方法的步骤：先把常数项移到方程的右边，再把二次项的系数化为1，再同时加上 1 次项的系数的一半的平方，最后配成完全平方公式． 3)公式法：公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法． 一元二次方程 ax 2bx c 0(a0) 的求根公式： x bb 24ac (b24ac 0) 2a 4)因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法． 分解因式法的步骤：把方程右边化为 0，然后看看是否能用提取公因式，公式法（这里 指的是分解因式中的公式法）或十字相乘，如果可以，就可以化为乘积的形式． 人教版九年级第21章第1节二次根式（2）教案 教学目标 1．知识与技能 （1）理解a≥0）是一个非负数； （22=a（a≥0），会运用该公式进行简单计算； 2．过程与方法 （1）先复习二次根式概念及成立条件； （2）再让学生探讨a≥0a≥0）是一个非负数； （32=a（a≥0），最后运用结论严谨解题． 3．情感、态度与价值观 （a≥0）的正负特征培养分类讨论的科学态度；学生通过运用 2=a（a≥0）严谨解题，加强学生准确解题的能力． 教学重难点 1a≥0）是一个非负数；2=a（a≥0）及其运用． 2．难点：用分类思想导出a≥0）是一个非负数；?2=a （a≥0）． 一．课堂导入 （学生活动）口答 1．什么叫二次根式？ 2．当a≥0a<0 二．探索新知 议一议：（学生分组讨论，提问解答） a≥0）是正数，负数，还是零呢？ 老师点评：根据学生讨论和上面的练习，我们可以得出 做一做：根据算术平方根的意义填空： 2=_______；2=_______；2=______；2=_______； ）2=______；2=_______；2=_______． 老师点评4是一个平方等于4的 2=4． 同理可得：2=2，2=9，）2=3，）2=13，）2=72 ，）2=0，所以 例1 计算 1．2 2．（）2 3．2 4．（2 ）2 分析2=a （a ≥0）的结论解题． 解：2 =32，（2 =32·2=32 ·5=45， 2=56，（2）2=2 2724=． 三、巩固练习 计算下列各式的值： 2 2 42 ）2 （） 2 22- 四、应用拓展 例2 计算 1．（2（x≥0） 2．2 3．）2 4．）2 分析：（1）因为x≥0，所以x+1>0；（2）a 2≥0；（3）a 2+2a+1=（a+1）2≥0； （4）4x 2-12x+9=（2x ）2-2·2x·3+32=（2x-3）2≥0． 所以上面的42=a （a ≥0）的重要结论解题． 二次根式及其性质（2） 鄌郚镇中学 郑全河 教学目标： 1. 会根据 ，以及 进行化简。 2. 知道什么是最简二次根式，会辨别最简二次根式。 3. 掌握二次根式乘、除法运算法则，会熟练进行计算，并将结果写为最简二次根式。 重点、二次根式的性质及运算法则 难点、（1） 化简的分类讨论。 （2）熟练进行二次根式的乘、除法运算及将二次根式化为最简二次根式。 教学过程： 一、观察与思考： 当a ≥0时，a 2的算术平方根是多少？由此你能得到一个怎样的等式? 当a ≥0时, =a 例3 化简： （1）16， （2）2)5(- 解：16＝4 2)5(-＝5 想一想，当a ≥0时, 表示a 的算术平方根，因此有 ， 二、交流与发现： 计算下列各式，观察结果，你有什么发现？ ［1］ 94? 94? ［2］ 2516? 2516? ［3］ 4936? 4936? ［4］ 8164? 8164? ［5］ 121100? 121100? 这就是说，积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积［注：在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数。］ 探一探 用你发现的规律填空［判断是否相等］： ab a b a 0b 0=≥≥（ ，） 32?____________ 6 52?____________ 10 例4 化简 8116? ； 324b a 解：8116?= 324b a = 三、二次根式的性质 的化简： （1） 对于 的化简，注意对被开方数 ，需考察它的正负数，若a 为非负数，即 ，则 ；若a 为负数，则 。显然这和绝对值的化 简是一致的，所以对这一性质，也可以记出中间过程 。 （2）公式 与公式 的比较 ①公式 的左边是对a 先进行开平方再平方，a 是被开方数，所以必须有 的条件，否则 在实数范围内无意义；而公式 的左边 是对a 先平方再开平方， 是被开方数，所以a 取任何实数，总有 ，因此公式 在实数范围内总有意义。 ②只有在 时， 四、交流与发现： 计算下列各式，观察结果，你有什么发现？ 小结：一般的， 这就是说，商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 例5 化简 解：（让同学上黑板演示） 跟踪练习： 阶段小结：（1）怎样形式才算是最简二次根式？ ②被开方数中不含开得尽方的因数或因式。 注：对最简二次根式可作如下理解： ①被开方数不含分母。 ()()2925210031y x 972)1()2 81(2)025x x > 二次根式知识点总结及常见题型 资料编号:20190802 一、二次根式的定义 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“ ”叫做二次根号,a 叫做被开方数. （1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”; ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式. （3）形如a m （a ≥0）的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是: a m a m ?=（a ≥0）; （4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质: （1）双重非负性:a ≥0,a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性: () a a =2 （a ≥0）;（主要用于二次根式的计算） （3）转化性:? ??≤-≥==)0() 0(2a a a a a a .（主要用于二次根式的化简） 重要结论: （1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A , A ≥0,2 B ≥0, C ≥0 ∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值. （2） ()() ()? ??≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简. （3）()() ??????=002 2A B A A B A B A ,其中B ≥0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. （4）() B A B A ?=22 ,其中B ≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子 1 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________. 分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-x ,∴1>x . 例2. 若y x ,为实数,且2 1 11+ -+-=x x y ,化简:11--y y . 分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 解:∵1-x ≥0,x -1≥0 ∴x ≥1,x ≤1 ∴1=x ∴12 1 2100<=++=y ∴ 11 11 1-=--= --y y y y . 习题1. 如果53+a 有意义,则实数a 的取值范围是__________. 习题2. 若233+-+-=x x y ,则=y x _________. 习题3. 要使代数式x 21-有意义,则x 的最大值是_________. 习题4. 若函数x x y 21-= ,则自变量x 的取值范围是__________. 习题5. 已知128123--+-=a a b ,则=b a _________. 《二次根式和它的性质》教案1 教学内容 二次根式的概念及其运用． 教学目标 a≥0)的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键 1 a≥0)的式子叫做二次根式的概念． 2 a≥0)”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 (学生活动)请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3 x ，那么它的图象在第一象限横、纵坐标相等的点的坐标是 ___________． 问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是______ ____． A C 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． 老师点评： 问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x 求点的坐标 ． 问题2：由勾股定理得AB 问题3：由方差的概念得S 二、探索新知 a ≥0)的式子叫做二次根 式， (学生活动)议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a <0 下列式子，哪些是二次根式，、1x x >0、 -1x y +x ≥0，y ≥0)． ；第二，被开方数是正数或0． x >0)、(x ≥0，y ≥0)；不是二次根 1x 1x y +． 例题解析 例1 当x 在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x -1≥0才能有意义． 解：由3x -1≥0，得：x ≥13 当x ≥13在实数范围内有意义． 例2 计算 （1）；）（215 （2）；）-（2830. （3）. 223）-（ 三、应用拓展 当x 11x +在实数范围内有意义？ 11x +在实数范围内有意义，必须同时满足中的≥0和九年级数学上册第21章二次根式二次根式的概念和性质课后练习一含解析新版华东师大版
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二次根式的意义及基本性质
二次根式及其性质
二次根式知识点总结及常见题型
青岛版数学八年级下册9.1《二次根式和它的性质》教案