圆锥曲线的几何性质
培优点十七 圆锥曲线的几何性质
1．椭圆的几何性质
例1：如图，椭圆()22
22+10x y a b a b =>>的上顶点、左顶点、左焦点分别为B 、A 、F ，中
心为O ，则:ABF BFO S S =△△（ ）
A ．(2:3
B ．()
3:3
C ．(2:2
D ．()
3:2
【答案】B
【解析】由ABF ABO BFO S S S =-△△△，得(
)()
::
:A B F B F O A B O B
F O B
F O S S S S S a b b c b c =
-=-△△
△△
△
而c a =
()
:3:3ABF BFO S S =△△，故选B ．
2．抛物线的几何性质
例2：已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线:1l x =-，点M 在抛物线C 上，点M
在直线:1l x =-上的射影为A ，且直线AF 的斜率为MAF △的面积为（ ）
A B ．C ．D ．【答案】C 【解析】
设准线l 与x 轴交于点N ，所以2FN =，因为直线AF 的斜率为60AFN ∠=?，
所以4AF =，
由抛物线定义知，MA MF =，且60MAF AFN ∠=∠=?，所以MAF △是以4为边长的正三
2
4=C ．
3．双曲线的几何性质
例3：已知点P 是双曲线2213664
x y -=的右支上一点，M ，N 分别是圆()2
2104x y ++=和
()
2
2101x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为_________．
【答案】15
【解析】在双曲线22
13664x y -=中，6a =，8b =，10c =，
()110,0F ∴-，()210,0F ，12212PF PF a -==，
11MP PF MF ≤+，22PN PF NF ≥-，112215PM PN PF MF PF NF ∴-≤+-+=．
一、单选题
1．抛物线()220y px p =>上的动点Q 到其焦点的距离的最小值为1，则p =（ ） A ．12
B ．1
C ．2
D ．4
【答案】C
【解析】抛物线()220y px p =>上的动点Q 到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值， 很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：
12
p
=，2p ∴=．本题选择C 选项． 2．设点1F ，2F 是双曲线2
2
13y x -=的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若1234PF PF =，
则12PF F △的面积等于（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．对点增分集训
【答案】B
【解析】据题意，124
3
PF PF =
，且122PF PF -=，解得18PF =，26PF =． 又124F F =，在12PF F △中由余弦定理，得2
2
2
1212
1212
7cos 28
PF PF F F F PF PF PF +-∠==
．
从而12sin F PF ∠=
，所以121682PF F S =??=△，故选B ． 3．经过椭圆2222x y +=的一个焦点作倾斜角为45?的直线l ，交椭圆于M ，N 两点，设O 为坐标原点，则OM ON ?等于（ ） A ．3- B ．13±
C ．13-
D ．12
-
【答案】C
【解析】椭圆方程为2
212
x y +=
，a =，1b =，1c =，取一个焦点()1,0F ，则直线方程
为1y x =-，
代入椭圆方程得2340x x -=，()0,1M -，41,33N ??
???，所以13OM ON =?-，故选C ．
4．过抛物线()20y mx m =>的焦点作直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PQ 中点的横坐标为3，5
4
PQ m =，则m =（ ）
A ．4
B ．6
C ．8
D ．10
【答案】B
【解析】设PQ 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，线段PQ 中点的横坐标为3，则12
32
x x +=，125
644
m PQ x x p m =++=+
=，由此解得6m =．故选B ． 5．已知双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF △是
边长为2的等边三角形（O 为原点），则双曲线的方程为（ ） A ．2
213x y -=
B ．2
2
13
y x -=
C ．221412
x y -=
D ．221124
x y -=
【答案】B
【解析】双曲线()22
2210,0x y a b a b -=>>的右焦点为F ，点A 在双曲线的渐近线上，OAF
△是边长为2的
等边三角形（O 为原点），可得2c =
，b
a =，即223
b a =，2223
c a a -=，解得1a =
，b
双曲线的焦点坐标在x 轴，所得双曲线的方程为2
2
13
y x -=，故选B ．
6．如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道
Ⅲ绕月飞行．已知椭圆轨道I 和Ⅱ的中心与F 在同一直线上，设椭圆轨道I 和Ⅱ的长半轴长
分别为1a ，2a ，半焦距分别为1c ，2c ，则有（ ）
A ．
12
12
c c a a =
B ．1122a c a c -<-
C ．1212
c c a a >
D ．1122a c a c ->-
【答案】C
【解析】设圆形轨道Ⅲ的半径为R ，1122a c a c R -=-=，11111
1c a R R
a a a -==-，22222
1c a R R a a a -==-， 由12a a >知
12
12
c c a a >
，故选C ． 7．已知双曲线22
1:14x C y -=，双曲线()22222:10x y C a b a b
-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，
M 是双曲线2C 的一条渐近线上的点，且2OM MF ⊥，O 为坐标原点，若216OMF S =△，且双
曲线1C ，2C 的离心率相同，则双曲线2C 的实轴长是（ ） A ．32
B ．4
C ．8
D ．16
【答案】D
【解析】双曲线2
21:14
x C y -=，设()2,0F c ，双曲线2C 一条渐近线方程为
b
y x a
=，
可得2
F M b ==，即有OM a ==，
由216OMF S =△，可得1
162
ab =，即32ab =，又222a b c +=，且c a =
解得8a =，4b =，c =16．故选D ．
8．已知F 是抛物线2:2C y x =的焦点，N 是x 轴上一点，线段FN 与抛物线C 相交于点M ， 若2FM MN =，则FN =（ ） A ．1 B ．1
2
C ．52
D ．58
【答案】D
【解析】由题意得点F 的坐标为10,8??
???，设点M 的坐标()00,x y ，点N 的坐标(),0a ，
所以向量：00,18FM x y ?
?=- ???，()00,MN a x y =--，
由向量线性关系可得：03x a =，001
24
y y -=-，解得：0112y =，
代入抛物线方程可得：0x =a =， 由两点之间的距离公式可得：5
8
FN =．故选D ．
9．已知椭圆()221112211:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22
2222222
:10,0x y C a b a b -=>>有相同的焦点
1F ，2F ，
点P 是曲线1C 与2C 的一个公共点，1e ，2e 分别是1C 和2C 的离心率，若12PF PF ⊥，则22
12
4e e +的最小值为（ ）
A ．92
B ．4
C ．52
D ．9
【答案】A
【解析】由题意设焦距为2c ，椭圆长轴长为12a ，双曲线实轴为22a ， 令P 在双曲线的右支上，由双曲线的定义1222PF PF a =-，① 由椭圆定义1212PF PF a +=，②
又∵12PF PF ⊥，∴2
2
2
124PF PF c +=，③
22+①②，得22
22121244PF PF a a +=+，④
将④代入③，得222122a a c +=， ∴22222
2
2112
2222121224559
4222
22a a c c e e a a a a +=+=++≥+=，故选A ．
10．已知F 为抛物线2:4C y x =的焦点，A ，B ，C 为抛物线C 上三点，当FA FB FC ++=0时，
称ABC △为“和谐三角形”，则“和谐三角形”有（ ） A ．0个 B ．1个 C ．3个 D ．无数个
【答案】D
【解析】抛物线方程为24y x =，A ，B ，C 为曲线C 上三点， 当FA FB FC ++=0时，F 为ABC △的重心，
用如下办法构造ABC △，连接AF 并延长至D ，使1
2
FD AF =
， 当D 在抛物线内部时，设()00,D x y ，若存在以D 为中点的弦BC ， 设()11,B m n ，()22,C m n ， 则1202m m x +=，1202n n y +=，
12
12
BC n n k m m -=-，
则211
222
44n m n m ?==????，两式相减化为()1212124n n n n m m -+=-，
12120
2
BC n n k m m y -=
=-，所以总存在以D 为中点的弦BC ，所以这样的三角形有无数个，故选D ．
11．已知双曲线()22122:10,0x y a b a b Γ-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，椭圆22
2:1
34x y Γ+=的离心率为e ，直线MN 过点2F 与双曲线交于M ，N 两点，若112cos cos F MN F F M ∠=∠，且11F M e F N
=，则双曲线1Γ的两条渐近线的倾斜角分别为（ ）
A ．30?，150?
B ．45?，135?
C ．60?，120?
D ．15?，165?
【答案】C 【解析】
由题112cos cos F MN F F M ∠=∠，112F MN F F M ∴∠=∠，1122MF F F c ∴==， 由双曲线的定义可得| 21|222MF MF a c a =-=-，
∵椭圆222:134x y Γ+=
的离心率为：1
2e ==，∴
1112F M e F N =＝，14NF c ∴=，242NF c a =-，
在12MF F △中，由余弦定理的()()
2
22
124224cos 22222c c a c c a
F F M c c a c
+---∠=
=
??-， 在12NF F △中，由余弦定理可得：()()
()
2
22
2212442164cos 224222c c a c a c ac
F F N c c a c c a +--+-∠=
=
??--， ∵1212πF F M F F N ∠+∠=，1212cos cos 0F F M F F N ∴∠+∠=，即()
2240222c a a c ac
c c c a -+-+=-， 整理得，
设双曲线的离心率为1e ，2113720e e ∴-+=，解得12e =或1
3
（舍）．
∴222
4a b a +=，22
3a b ∴=
，即b a =
y =， ∴渐近线的倾斜角为60?，120?．故选C ．
12．已知P 为椭圆22143
x y +=上一个动点，过点P 作圆()2
211x y ++=的两条切线，切点分
别是A ，B ，则PA PB ?的取值范围为（ ）
A ．3,2??
+∞????
B ．356,29??
????
C
．563,9?
?-???
?
D
．)
3,?+∞?
【答案】C
【解析】如图，由题意设2APB θ∠=，则1
tan PA PB θ
==
，
∴211cos2cos2cos2cos21cos2tan PA PB PA PB θ
θθθθθ
+?==
?=?
-
，
设cos2t θ=，则()()12133311t t PA PB t t
t +?=
=-+
-≥
=--，
当且仅当2
11t t
-=
-，即1t =-cos21θ= 又当点P 在椭圆的右顶点时，1sin 3θ=，∴27
cos212sin 9θθ=-=，
此时PA PB ?最大，且最大值
7
1756979919
+
?=-．
∴PA PB ?
的取值范围是563,9?
?????，故选C ．
二、填空题
13．已知过抛物线22y x =-的焦点F
A 、
B 两点，则AF BF AB
?=__________．
【答案】1
2
【解析】由22y x =-知1p =，由焦点弦性质
112+2AF BF p
==， 而
1111+22
+AF BF AF BF p AB
AF BF
AF BF
??===
=． 14．已知椭圆2
221x y a +=的左、右焦点为1F 、2F ，点1F 关于直线y x =-的对称点P 仍在椭
圆上，
则12PF F △的周长为__________．
【答案】2
【解析】设()1,0F c -，()()2,00F c c >，
1F 关于直线y x =-的对称点P 坐标为()0,c ，
点P 在椭圆上，则：
220
1c a
+=，则1c b ==，2222a b c =+=
，则a 故12PF F △
的周长为：1212222PF PF F F a c ++=+=．
15．P 为双曲线22
149
x y -=右支上一点，1F ，2F 分别为双曲线的左、
右焦点，且120PF PF ?=，直线2PF 交y 轴于点A ，则1AF P △的内切圆半径为__________． 【答案】2
【解析】∵12PF PF ⊥，1APF △的内切圆半径为r ，
∴112PF PA AF r -+=，∴2122PF a PA AF r -++=， ∴2124AF AF r =--，
∵由图形的对称性知：21AF AF =，∴2r =．故答案为2．
16．已知直线l 与椭圆()22
2210,0x y a b a b +=>>相切于第一象限的点()00,P x y ，且直线l 与x
轴、y 轴分别交于点A 、B ，当AOB △(O 为坐标原点)的面积最小时，1260F PF ∠=?(1F 、
2F 是椭圆的两个焦点)，若此时在12PF F △中，12F PF ∠
，则实数m 的值是__________． 【答案】5
2
【解析】由题意，切线方程为
002
2
1x y x y a
b
+
=，
直线l 与x 轴分别相交于点A ，B ，20,0a A x ??∴ ???，2
0,
b B y ?? ???
，22
0012AOB a b S x y ∴=?
△， 2200002
2
21x y x y ab a b +
=≥
，0012x y
ab ∴≥，AOB S ab ∴≥△，当且仅当00x y a b ==时，
AOB △（O 为坐标原点）的面积最小， 设1PF x =，2PF y =，
由余弦定理可得2222443c x y xy a xy =+-
=-，24
3xy b ∴=，
1221sin 60
2PF F S xy ∴=
?=△，20
122c
y ∴??=，
0y ∴==
，c ∴，a ∴=，
12F PF ∠，211112222x y ∴??+??=，
)212x y ∴+，22
115229a b ∴=， 52m ∴=，故答案为52
．
三、解答题
17．设常数2t >．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()2,0F ，直线l ：x t =，曲线Γ：()280,0y x x t y =≤≤≥．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB
上的动点．
（1）用t 表示点B 到点F 距离；
（2）设3t =，2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP ，求AQP △的面积；
（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点
P 的坐标；
若不存在，说明理由．
【答案】（1）2t +；（2；（3）存在，25P ? ??
．
【解析】（1）方法一：由题意可知：设()
B t ，
则2BF t =
=+，∴2BF
t =+；
方法二：由题意可知：设()
B t ，
由抛物线的性质可知：22
p
BF t t =+
=+，∴2BF t =+； （2）()2,0F ，2FQ =，3t =，则1FA =，
∴AQ =
，∴(Q ，设OQ 的中点D
，32D ? ??
，
02322
QF
k -==-PF
方程：)2y x =-，
联立)228y x y x
=-=?????，整理得：2320120x x -+=， 解得：2
3
x =
，6x =（舍去），∴AQP △
的面积1723S ==；
（3）存在，设2,8y P y ?? ???，2,8m E m ?? ???，则22
8162
8
PF y y
k y y ==--，2168FQ y k y -=， 直线QF 方程为()21628y y x y -=-，∴()22
164838284Q y y y y y --=-=
，248384y Q y ??
- ???
，， 根据FP FQ FE +=，则22486,84y y E y ??
++ ???
，
∴2
22488648y y y ????+=+ ? ?????
，解得：2
165y =，
∴存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ
上，且25P ? ??
．
18．与椭圆相交于A 、B 两点，2F 关于直线1l 的对称点E 在椭圆上．斜率为1-的直线2l 与线段AB 相交于点P ，与椭圆相交于C 、D 两点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）求四边形ACBD 面积的取值范围． 【答案】（1）22184x y +=；
（2）3232,93??
???
． 【解析】（1）由椭圆焦距为4，设()12,0F -，()22,0F ，连结1EF ，设12EF F α∠=， 则tan b
c
α=，又222a b c =+，得sin b a α=，cos c a α=，
()12122sin9012||sin sin 90F F c a c
e b c a EF EF b c a
a a
αα?∴=
=====++?-++， 解得2
2
2a bc c b c =+?==，2
8a =，所以椭圆方程为22
184
x y +=．
（2）设直线2l 方程：y x m =-+，()11,C x y 、()22,D x y ， 由22184x y y x m +
==-+?????，得2234280x mx m -+-=，所以122
1243283x x m m x x +=-=
???????
，
由（1）知直线1l ：y x =
，代入椭圆得A ? ?
，B
，得AB =，
由直线2l 与线段AB 相交于点P
，得m ?∈ ?，
12CD x =-=，
而21l k =-与11l k =，知21l l ⊥
，12ACBD S AB CD ∴=
?=
由m ?∈ ?，得232,03m ??-∈- ???
3232,93??
???，
四边形ACBD 面积的取值范围3232,93??
???
．
圆锥曲线的几何性质及其解题应用
圆锥曲线的几何性质及其解题应用 一、正确掌握圆锥曲线的几何性质，提高解题效率 1、椭圆中一些线段的长度及其关系如： ①椭圆上的点到焦点最近的距离为AF a c =-，最近的距离为BF a c =+； ②Rt OFC ?中，2 2 2 a b c =+； ④△F PQ '的周长与菱形F CFD '的周长相等，为4a . 例题1、如下图，椭圆中心为O ，F 是焦点，A 、C ,P Q 在椭圆上且PD l ⊥于D ，QF OA ⊥于F ① PF PD ② QF BF ③ AO BO ④ AF BA ⑤ FO AO ⑥ OF FC 能作为椭圆的离心率的是 （填正确的序号）2① 12OB OB b ==；12OA OA a ==. ② 焦点F 向渐近线引垂线，垂足为P ，则 bc PF b c = = =， 又因为OF c =，故有OP a = ③ 由②可知2Rt OA Q Rt OPF ???. ⑥ A A B B ③当PQ x ⊥轴时，2 2b PQ a =?，叫椭圆的通径.
例题2．已知双曲线22 214x y b -=的右焦点与抛物线x y 122=的焦点重合，则该双曲线的 焦点到其渐近线的距离等于 ． 【解析】双曲线的焦点到其渐近线的距离等于b ，由抛物线方程x y 122 =易知其焦点坐标 为)0,3(，又根据双曲线的几何性质可知2234=+b ，所以5= b ． 【点评】平时如果能理解并记住一些有用的结论，可以在考试中节省许多宝贵的时间． 3、抛物线中一些线段的长度及其关系如： ① 通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段AB 叫做抛物线的通径，且2AB p =. ② 2DF p =，几何意义知道吗？ ③ 由①②易知Rt ADF ? ④ 题目中涉及到焦点F 虑定义PF PQ =这个性质．
圆锥曲线的定义方程和性质知识点总结
椭圆的定义、性质及标准方程 1. 椭圆的定义： ⑴第一定义：平面内与两个定点12F F 、的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距。 ⑵第二定义：动点M 到定点F 的距离和它到定直线l 的距离之比等于常数)10(<
第五讲 圆锥曲线及其几何性质
回顾复习五：圆锥曲线及其几何性质 ☆考点梳理 1．圆锥曲线的轨迹定义与统一定义． 2．圆锥曲线的标准方程及其推导． 3．圆锥曲线的几何性质：范围、对称性、焦点、离心率、准线、渐近线．☆基础演练 1．如图，椭圆中心为O，A、B为左右顶点，F为左焦点， 左准线l交x轴于C，点P、Q在椭圆上，PD⊥l于D， QF⊥OA于F．给出下列比值： 其中为离心率的有_________________． 2．若 12 ,F F为椭圆 22 1 25 x y m +=的焦点，且 12 8 F F=，则m的 值为． 3．过抛物线的焦点F作直线交其于A、B两点，A、B在抛物线准线上的射影分别为A1、 B1，则 11 A FB ∠=____________． 4．经过两点() 143 ,, ?? - ? ? ?? 的圆锥曲线的标准方程是________________． 5．过双曲线 22 22 1 x y a b -=的右焦点F作一条渐近线的垂线分别交于A、B两点，O为坐标 原点，若OA、AB、OB成等差数列，且BF,FA u u u r u u u r 同向，则离心率e=_________． 6．椭圆 22 1 2516 x y +=的两个焦点为F1、F2，弦AB过F1，若 2 ABF ?的内切圆周长为π， ()() 1122 A x,y, B x,y，则 12 y y -=____________． ☆典型例题 1．椭圆的定义 例1．如图，已知E,F为平面上的两个定点，G为动点， 610 EF,FG, ==点P为线段EG的中垂线与GF的交点． ⑴建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程； ⑵若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B，且线段AB 的中垂线与EF（或EF的延长线）相交于一点C，线段EF 的中点为O，证明： 9 5 OC<． 2．中点弦问题 例3．直线l交椭圆 22 1 2016 x y +=于M,N两点，点() 04 B,，若⊿BMN的重心恰为椭圆 右焦点，则直线l的方程是_________________． 3．椭圆的几何性质 例2．已知 1 F、 2 F分别是椭圆() 22 22 10 x y a b a b +=>>的左右焦点，右准线l，离心率e． ⑴若P为椭圆上的一点，且 12 F PF ∠=θ，则 12 PF F S ? =_____________． ⑵若椭圆上存在一点P，使得 12 PF PF ⊥，则e的范围是_____________． ⑶若椭圆上存在一点P，使得 12 PF ePF =，则e的范围是_____________． ⑷若在l上存在一点P，使得线段 1 PF的中垂线经过 2 F，则e的范围是___________． ⑸若P为椭圆上的一点，线段 2 PF与圆222 x y b +=相切于中点Q，则e=________． ⑹过F且斜率为k的直线交椭圆于A、B两点，且3 AF FB = u u u r u u u r ,若 2 e=，则k=___． 4．最值问题 例4．已知动点P在椭圆 22 1 1612 x y +=上，(,(2,0) A B． ⑴若2 PA PB +取最小值，则点P的坐标为____________； ⑵若动点M满足||1 BM= u u u u r ，且0 PM BM= u u u u r u u u u r g，则| |的最小值是； ⑶PA PB +的取值范围是________________________． 例5．椭圆W的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为 3 两条准线间的距离为6．椭 圆W的左焦点为F，过左准线与x轴的交点M任作一条斜率不为零的直线l与椭圆W 交于不同的两点A、B，点A关于x轴的对称点为C． ⑴求椭圆W的方程；⑵求证：CF FB λ = u u u r u u u r ；⑶求MBC ?面积S的最大值． ☆方法提炼 1．椭圆的标准方程有两种形式，有时需要就焦点位置进行讨论． 2．椭圆有两种定义方式，解题时要学会“回到定义去”． 3．椭圆有两个焦点、两条准线，解题时建议联系起来考虑． 4．解解析几何问题，“画个图”是个好建议；中点弦问题利用“点差法”可简化运算． 5．在处理直线与椭圆相结合的问题时，要学会利用韦达定理整体处理． P H E F G 第 1 页
圆锥曲线知识点总结版
圆锥 曲线的方程与性质 1．椭圆 （1）椭圆概念 平面内与两个定点1F 、2F 的距离的和等于常数2a （大于21||F F ）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c 叫椭圆的焦距。若M 为椭圆上任意一点，则有21||||2MF MF a +=。 椭圆的标准方程为： 22 221x y a b +=（0a b >>）（焦点在x 轴上）或 122 22=+b x a y （0a b >>）（焦点在y 轴上）。 注：①以上方程中,a b 的大小0a b >>，其中222b a c =-； ②在22221x y a b +=和22 221y x a b +=两个方程中都有0a b >>的条件，要分清焦点的位 置，只要看2 x 和2 y 的分母的大小。例如椭圆22 1x y m n +=（0m >，0n >，m n ≠）当m n >时表示焦点在x 轴上的椭圆；当m n <时表示焦点在y 轴上的椭圆。 （2）椭圆的性质 ①范围：由标准方程22 221x y a b +=知||x a ≤，||y b ≤，说明椭圆位于直线x a =±，y b =±所围成的矩形里； ②对称性：在曲线方程里，若以y -代替y 方程不变，所以若点(,)x y 在曲线上时，点(,)x y -也在曲线上，所以曲线关于x 轴对称，同理，以x -代替x 方程不变，则曲线关于y 轴对称。若同时以x -代替x ，y -代替y 方程也不变，则曲线关于原点对称。 所以，椭圆关于x 轴、y 轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原
点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心； ③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 轴、y 轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令0x =，得y b =±，则1(0,)B b -，2(0,)B b 是椭圆与y 轴的两个交点。同理令0y =得x a =±，即1(,0)A a -，2(,0)A a 是椭圆与x 轴的两个交点。 所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。 同时，线段21A A 、21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a 和2b ， a 和 b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在22Rt OB F ?中， 2||OB b =，2||OF c =，22||B F a =，且2222222||||||OF B F OB =-，即222c a b =-； ④离心率：椭圆的焦距与长轴的比c e a =叫椭圆的离心率。∵0a c >>，∴ 01e <<，且e 越接近1，c 就越接近a ，从而b 就越小，对应的椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近于0，从而b 越接近于a ，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b =时，0c =，两焦点重合，图形变为圆，方程为222x y a +=。 2．双曲线 （1）双曲线的概念 平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（12||||||2PF PF a -=）。 注意：①式中是差的绝对值，在1202||a F F <<条件下；12||||2PF PF a -=时为双曲线的一支； 21||||2PF PF a -=时为双曲线的另一支（含1F 的一支）；②当122||a F F =时，12||||||2PF PF a -=表示两条射线； ③当122||a F F >时，12||||||2PF PF a -=不表示任何图形；④两定点12,F F 叫做双曲线的焦点，12||F F 叫做焦距。 （2）双曲线的性质
高二数学 圆锥曲线的几何性质练习
圆锥曲线的几何性质 一、选择题（' ' 6636?=） 1. .设22221(0)x y a b a b +=>>为 黄金椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右端点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠=（ ） A ，60 B ，75 C ，90 D ，120 2.已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>右焦点为F ，右准线为l ，一直线交双曲线于P ，Q 两点，交l 于R 点，则（ ） A ，PFR QFR ∠>∠ B ，PFR QFR ∠=∠ C ，PFR QFR ∠<∠ D ，PFR ∠与QFR ∠的大小不确定 3.已知点A(0,2)和抛物线24y x =+上两点B 、C ，使得AB BC ⊥，当点B 在抛物线上移动时，点C 的纵坐标的取值范围是 （ ） A ，(,0][4,)-∞+∞ B ，(,0]-∞ C ，[4,)+∞ D ，[0,4,] 4.设椭圆方程2 213 x y +=，(0,1)A -为短轴的一个端点，M ，N 为椭圆上相异两点。若总存在以MN 为底边的等腰AMN ?，则直线MN 的斜率k 的取值范围是 （ ） A ，(1,1)- B ，[1,1]- C ，(1,0]- D ，[0,1] 5.已知12,F F 分别为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任 意一点，若 2 12 PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 （ ） A ，(1,)+∞ B ，(1,2] C ， D ，(1,3] 6.已知P 为抛物线2 4y x =上一点，记P 到此抛物线的准线的距离为1d ，P 到直线 2120x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值为 （ ）
圆锥曲线方程知识点总结
§8.圆锥曲线方程 知识要点 一、椭圆方程. 1. 椭圆方程的第一定义：为端点的线段 以无轨迹方程为椭圆21212121212121,2, 2, 2F F F F a PF PF F F a PF PF F F a PF PF ==+=+=+ ⑴①椭圆的标准方程：i. 中心在原点，焦点在x 轴上：)0(12 222 b a b y a x =+ . ii. 中心在原点，焦点在y 轴上：)0(12 22 2 b a b x a y =+ . ②一般方程：)0,0(122 B A By Ax =+. ③椭圆的标准方程：122 2 2=+ b y a x 的参数方程为?? ?==θ θsin cos b y a x （一象限θ应是属于20π θ ）. ⑵①顶点：),0)(0,(b a ±±或)0,)(,0(b a ±±. > ②轴：对称轴：x 轴，y 轴；长轴长a 2，短轴长b 2. ③焦点：)0,)(0,(c c -或),0)(,0(c c -. ④焦距：2221,2b a c c F F -==. ⑤准线：c a x 2±=或c a y 2 ±=. ⑥离心率：)10( e a c e =. ⑦焦点半径： i. 设),(00y x P 为椭圆 )0(12222 b a b y a x =+ 上的一点，21,F F 为左、右焦点，则 》 ii.设),(00y x P 为椭圆)0(12 22 2 b a a y b x =+ 上的一点，21,F F 为上、下焦点，则 由椭圆第二定义可知：)0()(),0()(0002 200201 x a ex x c a e pF x ex a c a x e pF -=-=+=+=归结起来为“左加右减”. 注意：椭圆参数方程的推导：得→)sin ,cos (θθb a N 方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：),(222 2a b c a b d -=和),(2a b c ⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆 )0(12 22 2 b a b y a x =+的离心率是)(22b a c a c e -== ，方程t t b y a x (2 22 2=+是大于0的参数，)0 b a 的离心率也是a c e = 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆： 12 22 2=+b y a x 上的点.21,F F 为焦点，若θ=∠21PF F ，则21F PF ?的面积为2 tan 2θ b （用 ? -=+=0201,ex a PF ex a PF ? -=+=0201,ey a PF ey a PF
圆锥曲线的概念与几何性质
第十六单元圆锥曲线的概念与几何性质 考点一椭圆的标准方程和几何性质 1.(2017年全国Ⅰ卷)设A,B是椭圆C:+=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是(). A.(0,1]∪[9,+∞) B.(0,]∪[9,+∞) C.(0,1]∪[4,+∞) D.(0,∪[4,+∞) 【解析】当0
【解析】(法一)由题意可设|PF2|=m,结合条件可知|PF1|=2m,|F1F2|=m,故离心率e=====. (法二)由PF2⊥F1F2可知点P的横坐标为c,将x=c代入椭圆方程可解得y=±,所以|PF2|=.又由∠PF1F2=30°可得 |F1F2|=|PF2|,故2c=·,变形可得(a2-c2)=2ac,等式两边同除以a2,得(1-e2)=2e,解得e=或e=-(舍去). 【答案】D 4.(2017年全国Ⅲ卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为(). A.B.C.D. 【解析】由题意知以A1A2为直径的圆的圆心坐标为(0,0),半径为a. ∵直线bx-ay+2ab=0与圆相切, ∴圆心到直线的距离d==a,解得a=b, ∴=, ∴e==- =-= -=.故选A. 【答案】A 考点二双曲线的标准方程和几何性质 5.(2016年全国Ⅰ卷)已知方程- - =1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是(). A.(-1,3) B.(-1,) C.(0,3) D.(0,) 【解析】若已知方程表示双曲线,则(m2+n)(3m2-n)>0,解得-m2
圆锥曲线几何性质总汇
圆锥曲线的几何性质 一、椭圆的几何性质 （以22a x +22 b y =1（a ﹥b ﹥0）为例） 1、⊿ABF 2的周长为4a(定值) 证明：由椭圆的定义 12121212242AF AF a AF AF BF BF a BF BF a +=?? ?+++=?+=?? 即2 4ABF C a = 2、焦点⊿PF 1F 2中： （1）S ⊿PF1F2=2 tan 2θ?b （2）（S ⊿PF1F2）max = bc （3）当P 在短轴上时，∠F 1PF 2最大 证明：（1）在 12AF F 中 ∵ 2 2 21212 4cos 2PF PF c PF PF θ+-=? ∴ () 2 1212 122cos 2PF PF PF PF PF PF θ?=+-?∴ 2 1221cos b PF PF θ ?=+ ∴ 12 22112sin cos tan 21cos 2 PF F b S b θθθθ-=??=?+ （2）（S ⊿PF1F2）max = max 1 22 c h bc ??= （3 ()()() 2 2 22 2 2 22 12002 2222 2 212 00 4444cos 12222PF PF c a ex a ex c a c PF PF a e x a e x θ+-++---= = =-?-+ 当0x =0时 cos θ有最小值22 2 2a c a - 即∠F 1PF 2最大 3、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线，垂足为M 则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2 证明：延长1F M 交2F P 于F ，连接OM x x x
最新圆锥曲线的概念及性质
圆锥曲线的概念及性 质
第二讲 圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1．(2010·安徽)双曲线方程为x 2－2y 2＝1，则它的右焦点坐标为 ( ) A.?? ??22，0 B.????52，0 C.??? ?62，0 D ．(3，0) 解析：∵原方程可化为x 21－y 2 1 2＝1，a 2＝1， b 2＝12， c 2＝a 2＋b 2＝32， ∴右焦点为??? ? 62，0. 答案：C 2．(2010·天津)已知双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线方程是y ＝3x ，它的一 个 焦点在抛物线y 2＝24x 的准线上，则双曲线的方程为 ( ) A.x 236－y 2108＝1 B.x 29－y 2 27＝1 C.x 2108－y 236＝1 D.x 227－y 2 9 ＝1 解析：∵渐近线方程是y ＝3x ，∴ b a ＝ 3.① ∵双曲线的一个焦点在y 2＝24x 的准线上， ∴c ＝6.② 又c 2＝a 2＋b 2，③ 由①②③知，a 2＝9，b 2＝27， 此双曲线方程为x 29－y 2 27＝1. 答案：B
4．(2010·辽宁)设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，P A⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|＝ () A．4 3 B．8 C．8 3 D．16 解析：解法一：AF直线方程为： y＝－3(x－2)， 当x＝－2时，y＝43，∴A(－2,43)． 当y＝43时代入y2＝8x中，x＝6， ∴P(6,43)， ∴|PF|＝|P A|＝6－(－2)＝8.故选B. 解法二：∵P A⊥l，∴P A∥x轴． 又∵∠AFO＝60°，∴∠F AP＝60°， 又由抛物线定义知P A＝PF， ∴△P AF为等边三角形． 又在Rt△AFF′中，FF′＝4，
解析几何专题03圆锥曲线的定义方程及几何性质
解析几何专题03圆锥曲线的定义、方程及几何性质 学习目标 （1）理解圆锥曲线的定义，并能正确运用圆锥曲线的定义解决一些简单的问题； （2）掌握圆锥曲线的标准方程，并能熟练运用“待定系数法”求圆锥曲线的方程； （3）能根据圆锥曲线的方程研究圆锥曲线的一些几何性质（尤其是焦点、离心率以及双曲线的渐近线等）。 知识回顾及应用 1．圆锥曲线的定义 (1)椭圆 (2)双曲线 (3)抛物线 2．圆锥曲线的方程 (1)椭圆的标准方程 (2)双曲线的标准方程 (3)抛物线的标准方程 3．圆锥曲线的几何性质 (1)椭圆的几何性质 (2)双曲线的几何性质 (3)抛物线的几何性质 4．应用所学知识解决问题： 【题目】已知椭圆的两个焦点坐标分别是（-2，0），（2，0），并且经过点53 (,)22 -， 求椭圆的方程。 答案：22 1106 x y + = 【变式1】写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）离心率14 e b = =,焦点在x 轴上； （2）4,a c ==焦点在y 轴上； （3）10,a b c +== 答案：（1）22116x y +=；（2）22 116y x +=；（3）2213616x y + =或2213616 y x +=。 【变式2】写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）3a b =,且经过点(3,0)P ； （2）经过两点3(2-。 答案：（1）22 19x y +=或221819y x +=；（2）2214 x y +=。
问题探究（请先阅读课本，再完成下面例题） 【类型一】圆锥曲线的方程 例1．已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆 和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点．求这三条曲线的方程。 解：设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p = 24y x ∴= 抛物线方程为: 由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1 对于椭圆，1222a MF MF =++(2 2 2222211321 a a b a c ∴=+∴=+=+∴=-=+∴= 椭圆方程为： 对于双曲线，1222a MF MF '=-= 2222221321 a a b c a '∴='∴=-'''∴=-=∴= 双曲线方程为： 练习：1.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为 2 。过1F 的直线L 交C 于,A B 两点，且2ABF 的周长为16，那么C 的方程为 。 答案：22 1168 x y + =求圆锥曲线的方程主要采用“待定系数法” 。需要注意的是在求解此类问题时应遵循“先定位，再定量”的原则。注意：当“焦点所在轴不定”时，要有“分类讨论”意识，
圆锥曲线的定义及几何性质
圆锥曲线的定义及几何性质 1. 椭圆 222 2 1x y a b + =和 222 2 x y k a b + =(0)k >一定具有（ ） A ．相同的离心率 B ．相同的焦点 C ．相同的顶点 D ．相同的长轴长 2. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，若2 ABF ?是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A ． 2 B ． 3 C 2 D 3 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120M F M F ?= 的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的 取值范围是（ ）A ．(01)， B ．1(0]2 ， C ．(02 D ．1)2 4. 过椭圆 222 2 1(0) x y a b a b + =>>的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若 1260F PF ∠=°，则椭圆的离心率为（ ） A ． 2 B ． 3 C ．12 D ．1 3 5. 已知椭圆 2222 1x y a b +=的左、 右焦点分别为1F 、2F ，且12||2F F c =，点A 在椭圆上，1120AF F F ?= ，2 12AF AF c ?= ，则椭圆的离心率e = （ ） A ． 3 B ． 2 C 2 D 2 6. 已知P 是以12F F ，为焦点的椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>上的一点，若 120 PF PF ?= ， 121tan 2 PF F ∠= ，则此椭圆的的离心率为（ ） A ． 12 B ． 23 C ．1 3 D 3 7. 已知椭圆 2 2 15 x y m + = 的离心率e 5 =m 的值为（ ） A ．3 B ． 253 或3 C ． D 8. 椭圆的长轴为12A A ，B 为短轴的一个端点，若∠012120A BA =，则椭圆的离心率为（ ） A ． 12 B 3 C 3 D 2 9. 椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>的四个顶点为A 、B 、C 、D ，若四边形ABC D 的内切圆恰好过椭 圆的焦点，则椭圆的离心率是（ ） A ． 2 B ． 4 C 2 D 4 10. 设12F F ，分别是椭圆 222 2 1x y a b + =（0a b >>）的左、右焦点，若在直线2 :a l x c = 上存在P （其 中c =），使线段1PF 的中垂线过点2F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．0, 2? ?? B ．0, 3? ? ? C ．,12????? D ．,13? ???? 11. 椭圆上一点A 看两焦点的视角为直角，设1AF 的延长线交椭圆于B ，又2||||AB AF =，则椭圆的 离心率e =（ ） A ．2-+ B ． C 1- D 12. 椭圆() 222 2 10x y a b a b + =>>的右焦点F ，其右准线与x 轴的交点为A ，在椭圆上存在点满足线 段AP 的垂直平分线过点F ，则椭圆离心率的取值范围是（ ） 13. A ．02? ? ? B ．102? ? ?? ?， C ．)11 ， D ．112 ???? ??， 14. 已知椭圆() 222 2 10x y a b a b + =>>，A 是椭圆长轴的一个端点，B 是椭圆短轴的一个端点，F 为 椭圆的一个焦点． 若AB BF ⊥，则该椭圆的离心率为 （ ） 224416. 在ABC △中，A B B C =，7cos 18 B =- ．若以A B ，为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离 心率e = ． 17. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆 222 2 1(0) x y a b a b +=>>的焦距为2c ，以点O 为圆心，a 为 半径作圆M ．若过点20a P c ?? ? ?? ，作圆M 的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为 ． 18. 直线:220l x y -+=过椭圆的左焦点1F 和一个顶点B ，该椭圆的离心率为_________． 19. 设12(0)(0)F c F c -，，，是椭圆 222 2 1(0) x y a b a b + =>>的两个焦点，P 是以12F F 为直径的圆与椭 圆的一个交点，若12 21 2PF F PF F ∠=∠，则椭圆的离心率等于________． 20. 椭圆 222 2 1(0)x y a b a b + =>>的半焦距为c ，若直线2y x =与椭圆一个交点的横坐标恰为c ，椭圆 的离心率为_________ 21. 已知1F ，2F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A B ，两点，若 2ABF △是正三角形，则这个椭圆的离心率是_________．
圆锥曲线几何性质总汇
,. 圆锥曲线的几何性质 一、椭圆的几何性质 （以22a x +22 b y =1（a ﹥b ﹥0）为例） 1、⊿ABF 2的周长为4a(定值) 证明：由椭圆的定义 12121212242AF AF a AF AF BF BF a BF BF a +=?? ?+++=?+=?? 即24ABF C a =< 2、焦点⊿PF 1F 2中： （1）S ⊿PF1F2=2 tan 2θ?b （2）（S ⊿PF1F2）max = bc （3）当P 在短轴上时，∠F 1PF 2最大 证明：（1）在12AF F <中 ∵ 2 2 2 1212 4cos 2PF PF c PF PF θ+-= ? ∴ () 2 1212 122cos 2PF PF PF PF PF PF θ?=+-?- ∴ 21221cos b PF PF θ ?=+ ∴ 12 22112sin cos tan 21cos 2 PF F b S b θθθθ-=??=?+ （2）（S ⊿PF1F2）max = max 1 22 c h bc ??= ()()2 2 2 2 2222 12004444PF PF c a ex a ex c a c +-++---x x
,. 当0x =0时 cos θ有最小值22 2 2a c a - 即∠F 1PF 2最大 3、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线，垂足为M 则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2 证明：延长1F M 交2F P 于F ，连接OM 由已知有 1PF FP = M 为1 F F 中点 ∴ 212OM FF = =()121 2 PF PF +=a 所以M 的轨迹方程为 2 2 2 x y a += 4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切 证明：取1PF 的中点M ，连接OM 。令圆M 的直径1PF ，半径为∵ OM =()211111 2222 PF a PF a PF a r =-=-=- ∴ 圆M 与圆O 内切 ∴ 以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2内切 5、任一焦点⊿PF 1F 2的内切圆圆心为I ，连结PI 延长交长轴于则 ∣IR ∣：∣IP ∣=e 证明：证明：连接12,F I F I 由三角形内角角平分线性质有 ∵ 1212121222F R F R F R F R IR c e PI PF PF PF PF a +=====+ x x y x
圆锥曲线定义、标准方程及性质(精)
圆锥曲线定义、标准方程及性质 一．椭圆 定义Ⅰ：若F 1，F 2是两定点，P 为动点，且21212F F a PF PF >=+ （a 为常数）则P 点的轨迹是椭圆。 定义Ⅱ：若F 1为定点，l 为定直线，动点P 到F 1的距离与到定直线l 的距离之比为常数e （0
解析几何-- 圆锥曲线的概念及性质
4.2解析几何--圆锥曲线的概念及性质 一、选择题 1．(2010·安徽双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为 ( A. B. C. D．(，0 解析：∵原方程可化为－＝1，a2＝1， b2＝，c2＝a2＋b2＝， ∴右焦点为. 答案：C 2．(2010·天津已知双曲线－＝1(a>0，b>0的一条渐近线方程是y＝x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为 ( A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：∵渐近线方程是y＝x，∴＝.① ∵双曲线的一个焦点在y2＝24x的准线上， ∴c＝6.② 又c2＝a2＋b2，③ 由①②③知，a2＝9，b2＝27， 此双曲线方程为－＝1. 答案：B
4．(2010·辽宁设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝ ( A．4 B．8 C．8 D．16 解析：解法一：AF直线方程为： y＝－(x－2， 当x＝－2时，y＝4，4A(－2,4． 当y＝4时代入y2＝8x中，x＝6， 4P(6,4， 4|PF|＝|PA|＝6－(－2＝8.故选B. 解法二：5PA∞l，4PA%x轴．
又5 AFO＝60°，4 FAP＝60°， 又由抛物线定义知PA＝PF， 4≥PAF为等边三角形． 又在Rt≥AFF′中，FF′＝4， 4FA＝8，4PA＝8.故选B. 答案：B 5．高8 m和4 m的两根旗杆笔直竖在水平地面上，且相距10 m，则地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹为 ( A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 解析：如图1，假设AB、CD分别为高4 m、8 m的旗杆，P点为地面上观察两旗杆顶端仰角相等的点，由于∠BPA＝∠DPC，则Rt△ABP∽Rt△CDP，＝，从而 PC＝2PA.在平面APC上，以AC为x轴，AC的中垂线为y轴建立平面直角坐标系(图2，则A(－5,0，C(5,0，设P(x，y，得＝2 化简得x2＋y2＋x＋25＝0，显然，P点的轨迹为圆． 答案：A 二、填空题 解析：由题知，垂足的轨迹为以焦距为直径的圆，则c 圆锥曲线的几何性质 西安 刘康宁 一、选择题（' ' 6636?=） 1. 的椭圆称之为“黄金椭圆”.设22 221(0)x y a b a b +=>>为 黄金椭圆，F 、A 分别是它的左焦点和右端点，B 是它的短轴的一个端点，则ABF ∠=（ ） A ，60 B ，75 C ，90 D ， 120 2.已知双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>右焦点为F ，右准线为l ，一直线交双曲线于P ，Q 两点，交l 于R 点，则（ ） A ，PFR QFR ∠>∠ B ，PFR QFR ∠=∠ C ，PFR QFR ∠<∠ D ，PFR ∠与QFR ∠的大小不确定 3.已知点A(0,2)和抛物线2 4y x =+上两点B 、C ，使得AB BC ⊥，当点B 在抛物线上移动时，点C 的纵坐标的取值范围是 （ ） A ，(,0][4,)-∞+∞ B ，(,0]-∞ C ，[4,)+∞ D ，[0,4,] 4.设椭圆方程2 213 x y +=，(0,1)A -为短轴的一个端点，M ，N 为椭圆上相异两点。若总存在以MN 为底边的等腰AMN ?，则直线MN 的斜率k 的取值范围是 （ ） A ，(1,1)- B ，[1,1]- C ，(1,0]- D ，[0,1] 5.已知12,F F 分别为双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任 意一点，若 2 12 PF PF 的最小值为8a ，则双曲线的离心率e 的取值范围是 （ ） A ，(1,)+∞ B ，(1,2] C ， D ，(1,3] 6.已知P 为抛物线2 4y x =上一点，记P 到此抛物线的准线的距离为1d ，P 到直线 2120x y +-=的距离为2d ，则12d d +的最小值为 （ ） 高考专题训练 培优点十七 圆锥曲线的几何性质 1．椭圆的几何性质 例1：如图，椭圆()22 22+10x y a b a b =>>的上顶点、左顶点、左焦点分别为B 、A 、F ，中 心为O ，则:ABF BFO S S =△△（ ） A ．(2:3 B ．() 3:3 C ．(2:2 D ．() 3:2 【答案】B 【解析】由ABF ABO BFO S S S =-△△△，得()():::ABF BFO ABO BFO BFO S S S S S ab bc bc =-=-△△△△△ 而c a = () :3:3ABF BFO S S =△△，故选B ． 2．抛物线的几何性质 例2：已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，准线:1l x =-，点M 在抛物线C 上，点M 在直线:1l x =-上的射影为A ，且直线AF 的斜率为MAF △的面积为（ ） A B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 设准线l 与x 轴交于点N ，所以2FN =，因为直线AF 的斜率为60AFN ∠=?， 所以4AF =， 由抛物线定义知，MA MF =，且60MAF AFN ∠=∠=?，所以MAF △是以4为边长的正三 2 4=．故选C ． 3．双曲线的几何性质 例3：已知点P 是双曲线2213664 x y -=的右支上一点，M ，N 分别是圆()2 2104x y ++=和 () 2 2101x y -+=上的点，则PM PN -的最大值为_________． 【答案】15 【解析】在双曲线22 13664x y -=中，6a =，8b =，10c =， ()110,0F ∴-，()210,0F ，12212PF PF a -==， 11MP PF MF ≤+，22PN PF NF ≥-，112215PM PN PF MF PF NF ∴-≤+-+=． 一、单选题 1．抛物线()220y px p =>上的动点Q 到其焦点的距离的最小值为1，则p =（ ） A ．12 B ．1 C ．2 D ．4 【答案】C 【解析】抛物线()220y px p =>上的动点Q 到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值， 很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知： 12 p =，2p ∴=．本题选择C 选项． 2．设点1F ，2F 是双曲线2 2 13y x -=的两个焦点，点P 是双曲线上一点，若1234PF PF =， 则12PF F △的面积等于（ ） A ． B ． C ． D ．对点增分集训 . . . . 圆锥曲线的几何性质 一、椭圆的几何性质（以22a x +22 b y =1（a ﹥b ﹥0 1、⊿ABF 2的周长为4a(定值) 证明：由椭圆的定义 12121212242AF AF a AF AF BF BF a BF BF a +=?? ?+++=?+=?? 即 2 ABF C 2、焦点⊿PF 1F 2中： （1）S ⊿PF1F2=2 tan 2θ ?b （2）（S ⊿PF1F2）max = bc （3）当P 证明：（1）在 12AF F 中 ∵ 22 2 1212 4cos 2PF PF c PF PF θ+-= ? ∴ () 2 2 1212 122cos 24PF PF PF PF PF PF c θ?=+-?- ∴ 2 1221cos b PF PF θ ?=+ ∴ 122 12sin 21cos PF F b S b θθ=??=+（2）（S ⊿PF1F2）max =max 122 c h bc ??= （3 ()()() 22 22 2 2 22 12002 22212 44cos 22PF PF c a ex a ex c PF PF a e x θ+-++--= = =?+当0x =0时 cos θ有最小值22 2 2a c a - 即∠F 1PF 2最大 3、 过点F 1作⊿PF 1F 2的∠P 的外角平分线的垂线，垂足为M ， 则M 的轨迹是x 2+y 2=a 2 证明：延长1F M 交2F P 于F ，连接OM 由已知有 1PF FP =∴ 212OM FF ==()1212 PF PF +=a 所以M 的轨迹方程为 4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2+y 2=a 2 切 证明：取1PF 的中点M ，连接OM 。令圆M 的直径1PF ，半径为r ∵ OM = ()211111 2222 PF a PF a PF a r =-=-=- ∴ 圆M ∴ 以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x 2 +y 2 =a 2 切 5、任一焦点⊿PF 1F 2的切圆圆心为I ，连结PI 延长交长轴于R ， x x x x圆锥曲线的几何性质
高考数学专题 17 圆锥曲线的几何性质专题
圆锥曲线的几何性质