《解析几何初步》教材分析

教材分析：平面解析几何初步

解析几何是17世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究几何图形的性质，即建立直角坐标系，通过点与坐标、曲线与方程之间的对应关系，将几何问题转化为代数问题，充分体现了数形结合的数学思想。

1．本章教学目标

通过本章的学习，学生初步学会在平面直角坐标系中建立直线和圆的代数方程，体会与感悟运用代数方法研究直线和圆几何性质的思想，了解空间直角坐标系。体会数形结合的思想，初步形成用代数方法解决几何问题的能力。

1.理解直线的斜率和倾斜角的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；

2.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式以及直线方程的几种形式转化(点斜式、两点式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系；

3.掌握利用斜率判定两条直线平行或垂直的方法；能用解方程的方法求两直线的交点坐标；

4.探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离；

5.在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程；能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系；

6.通过具体情境，感受建立空间直角坐标系的必要性，了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标系刻画点的位置；理解空间两点间的距离公式；

7.通过平面解析几何初步的学习，使学生体会用代数方法处理

几何问题的思想，感受“形”和“数”的对立和统一，渗透数学中

普遍存在的动静变化、相互联系、相互转化的辩证观点，提高学生

的数学素养，培养学生良好的思维品质。

2．本章设计意图

本章包含了直线与方程、圆与方程、空间直角坐标系三部分内容。

本章的编写强化了解析几何研究问题的思维和方法：

本章在直线和圆的方程处理上，以学生熟悉的问题(生活实例、数学问题等)为背景，按照“问题情境—数学活动—意义建构—数学理论—数学应用—反思”的顺序结构，引导学生

主动参与探索，通过师生共同对问题的分析，使学生感受用坐标、方程刻画点、直线、圆等图形的一般方法，逐步体会解析几何的基本思想。

本章内容的呈现，通过设计相关的问题情境降低学习的难度，展现知识发生和发展的过程。例如从分析学生最熟悉的例子——坡度入手，通过比较使学生认识到斜率是刻画直线倾斜程度的量。“空间直角坐标系”是新增内容，在编写时除了遵循解析几何研究问题的一般方法外，又通过类比与迁移将平面上的知识推广到空间。这样处理不仅使学生体会到解析法的一般思路，同时也为学生留下了较大的发展空间。

数形结合是本章重要的数学思想。教学时要让学生充分体会“形”的直观性与“数”的抽象性。例如直线和圆是学生熟悉的两种图形，学生已经知道如何从“形”的角度分析直线和圆的位置关系，那么如何从“数”的角度分析它们之间的位置关系呢？教材中对此采用通过方程求直线与圆的交点的方法，也采用比较圆心到直线的距离与半径大小的关系来判断的方法。这样在将学生所学知识加以整合和升华的同时，也为后续内容（直线和圆锥曲线的位置关系）的学习奠定了基础。

解析法的思想是通过代数方法将几何问题变成一种程序方法，以一定的步骤去推导、求解。在编写的过程中体现到这一点，例如在计算点到直线的距离和推导圆的方程的设计中，分别写出了解决这些问题的步骤，为学习算法作了铺垫。

本章还通过设置“思考”、“阅读”等栏目，为引导学生进一步学习增加兴趣，拓宽学生的思路提供了载体，如研究在空间直角坐标系下的球面方程和中点坐标公式等。

为了适应不同层次学生的需要，本章在习题和复习参考题的设置上增加一些探究和拓展类的问题。

本章注意体现数学的应用价值，在设置上不仅充分体现解析法在解决直线和圆的问题中的重要作用，而且充分利用这些知识解决生活中的问题，如市场经济中的平衡价格、桥梁、隧道中的数学、光线的入射和反射等。

本章注意体现数学的文化价值，如通过设置阅读介绍解析几何产生的背景和发展过程；介绍与之有关的重要历史人物——笛卡儿和费马的生平以及他们对解析几何的重要贡献。3．本章内容分析

章头图、引言

章头图中展示了一座跨越长江的雄伟的斜拉桥，美妙的曲线把大桥装点得绚丽多姿。它和引言提供了本章的主背景，从桥梁到彩虹，从流星的飞逝到行星运动，唤起了学生对现实世界中形形色色的曲线的注意，指出了这些奇妙的曲线与方程之间息息相关的联系。

引言进一步提出关于直线与圆的统领本章的中心问题：（１）如何建立曲线的方程？（２）如何通过方程来研究曲线的性质？这两个问题实际上揭示了解析几何研究问题的基本思想方法——通过引进直角坐标系，建立点与坐标、曲线与方程之间的对应关系，将几何问题转化为代数问题，从而用代数方法对几何问题加以研究。为学生的学习活动提供了研究的课题和研究的思想方法。

§2.1直线与方程

§2.1.1直线的斜率

确定直线的几何要素可以是直线上的点和直线的倾斜程度。教材在处理的过程中，直接通过问题的形式提出“直线的倾斜程度如何刻画呢？”揭开了解析几何研究的序幕。

通过分析“坡度”这一学生熟悉的概念，得到研究直线倾斜程度的量——斜率。有了直线的斜率公式后，要注意：①斜率公式与两点的顺序无关；②对于不垂直于x轴的直线，直线的斜率是确定的，与所选择的直线上的两点位置无关；③与x轴垂直的直线，它的斜率不存在。

第72页例1，帮助学生理解经过两点的直线的斜率公式，使学生掌握直线斜率的符号与直线的方向之间的对应关系。教学过程中还可以开展活动：（１）给出斜率，画出符合条件的直线；（２）给出直线，让学生分析给出直线的斜率的特征。

直线的倾斜角和直线的斜率一样，也是刻画直线倾斜程度的量，但直线的倾斜角侧重于几何直观形象，直线的斜率侧重于用数来刻画直线的方向。教学中要让学生知道：任何直线都有倾斜角，但不是任何直线都有斜率。

§2.1.2直线的方程

（１）点斜式

直线是点的集合，求直线的方程实际上是求直线上点的坐标之间所满足的一个等量关系。本节在编写时首先从一个特例出发，通过解决这个问题，再推广到一般情形。在教学过程中建议将研究的过程变成一个一个问题，如：“点在直线上运动时，有什么是不变的？”等。

在求直线方程的过程中，既要说明直线上点的坐标满足方程；也要说明以方程的解为坐标的点在直线上。满足了这两点，我们就可以说这个方程是直线的方程或直线是这个方程的直线，学生只要能感觉到这一点就可以。

直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的一种特殊情形，教学过程中可以与一次函数进行比较，并注意分析方程中k和b的几何意义。

（2）两点式

两点决定了直线的斜率，教材编写时将研究直线的两点式方程转化为点斜式加以研究，体现化归思想。在教学过程中可以让学生讨论并独立得到结论。在求直线方程的过程中，学生有可能直接利用直线上的点和两个已知点的连线的斜率相等来得到方程，也应得到肯定，并让学生分析两种方法之间的联系。

直线的截距式方程是直线的两点式方程的一种特殊情形。教学过程中要注意截距式方程的局限性。

（3）一般式

对于直线的一般式方程0=++C By Ax （A ，B 不全为0）的研究，常常转化为方程的斜截式来研究。在教学过程中可以让学生归纳直线方程的四种形式（点斜式、斜截式、两点式和截距式）和它们的适用范围，并研究它们与直线一般式方程的联系。

§2.1.3 两条直线的平行与垂直

两条直线平行等价于它们的倾斜角相等，这点学生比较熟悉，但用代数方法研究两条直线平行和垂直时，运用斜率比运用倾斜角方便。

由于垂直于x 轴的直线的斜率不存在，因此，应提醒学生判断两直线平行和垂直时，要注意对斜率的存在性进行讨论。

由于学生还没有学习三角函数，所以不便运用两倾斜角之差为?90来研究两直线垂直。本教材通过构造相似三角形得到两直线垂直的条件。其中实际上用到有向线段的概念，只要求学生能够理解，不必深入说明。

§2.1.4两条直线的交点

有了直线的方程，对直线之间位置关系的研究就可以转化为对它们方程的研究。从两条直线的平行、相交、重合问题转化为方程组是否有解的问题中，引导学生领会数与形的转化。 §2.1.5平面上两点之间的距离

以学生熟悉的问题“判断四边形是否为平行四边形”引入两点之间的距离。教学时可以以小组讨论的形式来完成这个问题。在讨论的过程中，学生复习了经过两点的直线的斜率、两直线平行的判定等，同时也遇到一些新的问题：“如何求两点间的距离？”“如何求两点间线段的中点坐标？”等，通过学生的活动，形成对新知识的认识。

在具体研究两点间距离问题时，经历从特殊到一般的过程。

§2.1.6点到直线的距离

本节在编写的过程中设计成一节活动课。首先通过上一节课的情景提出问题，进而给出了两种解决问题的方法，最后留下一个思考：还有解决此问题的其他方法吗？教学过程中，学生可以分成小组，采用讨论、交流，最后由学生汇报的方式进行。其中方法一是常规方法，思路比较清晰，但计算量较大。方法二是将点到直线的距离转化为求与x 轴、y 轴垂直的线段和长度，进而通过面积加以解决。教材中，点到直线的距离公式的推导是沿用方法二的思路，教学过程中应注意对特殊情形（0=A 或0=B ）分类讨论。在推导点到直线的距离公式中，渗透了算法的思想。教学过程中要重视推导过程的分析。建立坐标系是将几何问题转化为代数问题的基础，如何建立坐标系对解题中计算量的大小有一定的影响。教学中可以引导学生在如何合理建立坐标系方面开展讨论。

§2.2圆与方程

§2.2.1圆的方程

圆的方程是本章又一个重要概念，教材在编写时与直线方程的设计相同，也是先设计一个问题情境，提出具体问题，最后上升到知识。教学过程中可以让学生讨论并注意引导学生分析圆上的点在运动时，有什么是不变的。可以让学生先回忆与圆有关的几何性质，如垂径定理等。

教学时要重视一般方程和标准方程互相转化的过程，熟练掌握配方法而不要机械地记忆公式。第104页例3的编写意图是，确定一个圆需要三个独立的条件，反映在圆的标准方程中，有三个参数a ，b ，r ，反映在圆的一般方程中，也有三个参数D ，E ，F ，解题时常常根据所给的三个条件列出方程组，利用定系数法求出圆的方程。

§2.2.2直线与圆的位置关系

在学习本节之前，学生已经知道了如何用方程研究直线间的位置关系及利用半径和圆心到直线的距离间的关系研究直线和圆的位置关系。教材在处理直线和圆的位置关系时，从“形”和“数”两个角度进行了分析，教学时首先引导学生回忆初中研究直线和圆的位置关系的判断方法，再提出问题：如何从“方程”的角度分析直线和圆的位置关系？ §2.2.3圆与圆的位置关系

圆与圆的位置关系的判定只要求从“几何”的角度加以分析。教材中对研究两圆的位置关系的过程给出了判定的程序，渗透了算法思想。第110页例2的编写意图是，两圆相切时两圆圆心的位置和两圆半径的大小关系。

§2.3空间直角坐标系

§2.3.1空间直角坐标系

空间直角坐标系是一个新内容，但学生对它的理解并不困难。编写时一方面通过对一个实际的问题的分析和解决，使学生在活动中掌握新的数学知识。同时本节在编写的过程中，通过与平面直角坐标系类比，学生不仅掌握了知识，而且为学生提供了比较大的思维发展空间。

§2.3.2空间两点之间的距离

在研究空间两点间的距离公式前，学生已经知道平面上两点间的距离公式和长方体等立体图形。教材编写时，通过引导学生回忆、类比，完成对本节知识的理解和应用。

本章回顾

回顾本章学习的内容和知识发生的过程，围绕引言提出的两个问题而展开。结构图不仅表示了本章的知识结构，而且表现了数学知识的生长过程——“数学树”，是怎样通过一个又一个数学化的过程成长起来的，完成了由薄到厚，再由厚到薄的过程。在求直线和圆的方程并通过它研究直线和圆和性质的过程中，加深了对解析几何中重要的研究问题的方法与数学思想的理解与升华。在本章中应要求学生领会：用代数方法研究几何图形性质的基本思想。

本章所涉及的数学思想方法有数形结合的思想、方程的思想、分类讨论的思想等。学习时能够运用平面解析几何中的有关知识简化解题过程，会用待定系数法确定直线和圆的方程。在运用直线方程时，要注意斜率不存在和截距为零的特殊情况。