函数定义五个经典题型

函数

典型例题

题型1：判断两个变量是否具有函数关系

依据：（1）定义域和对应法则是否给出

（2）根据给出的对应法则自变量x 在其定义域中的每一个值，是否都能够确定唯一的函数值y

例1：（1）12+=x y

（2）12

2=+y x

题型2：判断两个函数是否为同一函数 例2：（1）3

92+-=x x y 与3-=x y （2）12-=

x y 与1-=x y

（3）12+=x y 与12+=t y 依据：定义域和对应法则是否相同

题型3：求定义域

1、简单初等函数的定义域

（1） 整式定义域为R

（2） 分式中分母不为0

（3） 偶次根号下大于等于0

（4） 若有0a 形式，则0≠a

（5） 若函数由几个式子构成求其定义域时要满足各式子都有意义（取交集）

（6） 实际问题考虑实际意义

2、由简单函数定义域，求复合函数的定义域.

例3：已知()x f y =的定义域为[)3,1，求()1+=x f y 的定义域

3、由复合函数定义域，求简单函数的定义域.

例4: 已知()2+=x f y 的定义域为[]5,2-，求()x f y =的定义域

4、由复合函数的定义域，求复合函数的定义域

例5：已知()1+=x f y 的定义域为[]1,0，求()

2x f y =的定义域 5、例6：已知()x f y =的定义域为[]1,1-，求()()312+++=x f x f y 的定义域

注：（1）定义域是自变量x 本身的取值范围

（2）注意是谁替换了谁

题型4：求解析式（注意函数定义域）

1、代入法：（由简单函数解析式求复合函数的解析式）

例7：已知()12-=x x f ，求()

2x x f y +=的解析式

2、待定系数法：已知()x f 的函数类型，要求()x f 的解析式时可根据其类型设其解析式，从而确定其系数即可

例8：已知()x f 是一次函数，且满足()()9213+=-+x x f x f ，求()x f 的解析式

例9：已知()x f 是二次函数，且满足()()()242,30+=-+=x x f x f f ，求()x f 的解析式

3、配凑法（由复合的解析式求简单函数的解析式）

例10：已知()2312

+-=+x x x f ，求()x f y =的解析式

例11：已知()

x x x f 21+=+，求()x f y =的解析式

4、换元法（注意换元法前后的定义域的变化）

例12：已知()2312+-=+x x x f ，求()x f y =的解析式

例13：已知()

x x x f

21+=+，求()x f y =的解析式

5、方程组法 例14：已知()()012≠=+??? ??x x x f x f ，求()x f y =的解析式

变式：已知()()x x f x f 63=+-，求()x f y =的解析式

6、取特值法

例15：已知等式()()()12+--=-y x y x f y x f 对一切实数y x ,都成立，且()10=f ，求()x f y =的解析式

变式1：已知定义域为R 的函数()x f 满足()[]

()x x x f x x x f f +-=+-22（1）若()()1,32f f 求= （2）若()()a f a f 求,0=

变式2如果()()()()21,=?=+f y f x f y x f 且，那么

()()()()()()()()=++++19992000563412f f f f f f f f

题型5：求函数值域

1、 基本初等函数的值域（观察法）

（1） 一次函数

（2） 二次函数

（3） 反比例函数

例16：求1-=

x y 的值域

2、 配方法

例17：322-+=x x y

（1）[)2,1∈x

（2）[]2,3--∈x

（3）[]4,0∈x

（4）[]0,3-∈x

（5）R x ∈

例18：32-+=x x y

（1）[)+∞∈,0x

（2）[)4,1∈x

例19：322

4--=x x y

（1）R x ∈

（2）()2,1-∈x

3、换元法（形如d cx b ax y -±+=，d c b a ,,,均为常数0,0≠≠c a ） 注意换元的等价性，使用此方法时需认真分析换元后变量的范围变化

例20: x x y 21--=

4、常数分离法

例21: 312+-=x x y (1) ()()+∞--∞-∈,33, x

(2) []4,1∈x

例22：b

ax d cx y ++=

5、判别式法

例23：1

22+--=x x x x y

6、分段函数法

例24：21++-=x x y

经典好题

1. 已知函数32341++-=

ax ax ax y 的定义域为R ，求实数a 的取值范围

2、已知函数()12++=

mx mx x f 的值域为[)+∞,0，则m 的取值范围是

答案：

例1：（1）是（2）否

例2：（1）否（2）否（3）是

例3：

[)02，

例4：[]07，

例5：11,2????-??

?? 例6：[]1,0-

例7：

()243221f x x x x x +=++- 例8：

()3f x x =+ 例9：()23f x x x =-+

例10：()256f x x x =-+

例11：()()211f x x x =-≥

例12：

()256f x x x =-+ 例13：()()211f x x x =-≥

例14：()()2033

x f x x x =-≠ 变式：()3f x x =

例15：()21f x x x =++

变式1：（1）

()11f =（2）()f a a = 变式2：2000

例16：[)1,-+∞

例17：（1）[)0,5（2）[]3,0-（3）[]3,21-（4）[]4,0-（5）[)4,-+∞ 例18：（1）[)3,-+∞（2）[)0,5

例19：（1）[)3,-+∞（2）[)3,5-

例20：1,

2??-∞ ??? 例21：（1）{}2y y ≠（2）1,14??????

例22：c y y a ??≠???

? 例23：1,13??-???? 例24：[)3,+∞

经典好题1、30,4??????

2、[)4,+∞