新课标广西2019高考数学二轮复习专题对点练257.1~7.3组合练

专题对点练25　7.1~7.3组合练

(限时90分钟,满分100分)

一、选择题(共9小题,满分45分)

1.直线x-3y+3=0与圆(x-1)2+(y-3)2=10相交所得弦长为( )

A .

B .

C .4

D .33053

223

2.圆x 2+y 2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,则a=( )

A .-

B .-

C .

D .2

43

34

33.圆x 2+y 2-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是( )A .18B .6C .5D .4222

4.已知直线l :mx+y-1=0(m ∈R )是圆C :x 2+y 2-4x+2y+1=0的对称轴,过点A (-2,m )作圆C 的一条切线,切点为B ,则|AB|为( )A .4B .2C .4D .3

525.若直线2x+y-4=0,x+ky-3=0与两坐标轴围成的四边形有外接圆,则此四边形的面积为( )

A .

B .

C .

D .5

114

55

44120

6.已知点P (x ,y )是直线kx=y+4(k>0)上一动点,PA ,PB 是圆C :x 2+y 2-2y=0的两条切线,A ,B 为切点,若四边形PACB 面积的最小值是2,则k 的值是( )

A .

B .

C .2

D .22

21

2

2

7.(2018全国Ⅲ,文10)已知双曲线C :=1(a>0,b>0)的离心率为

,则点(4,0)到C 的渐近线的

x

2a 2

-

y

2

b 22距离为( )

A .

B .2

2C .

D .232

2

2

8.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F ,点A 在双曲线的渐近线上,△OAF 是边长为2的等边x

2a

2

-

y

2

b 2三角形(O 为原点),则双曲线的方程为( )A .=1B .=1

x 24-y 2

12

x 212

-

y 24C .-y 2=1

D .x 2-=1

x

23y 2

39.已知离心率为

的双曲线C :=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为

F 1,F 2,M 是双曲线C 的一条

5

2

x 2

a 2

-

y 2

b 2渐近线上的点,且OM ⊥MF 2,O 为坐标原点,若=16,则双曲线C 的实轴长是( )S

△OMF 2A .32B .16C .8D .4二、填空题(共3小题,满分15分)

10.设抛物线y 2=4x 的焦点为F ,准线为l ,已知点C 在l 上,以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A ,若∠FAC=120°,则圆的方程为　.

11.(2018江苏,8)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点

F (c ,0)到一条渐

x 2

a 2

-

y 2

b 2近线的距离为

c ,则其离心率的值为 .

3

2

12.(2018浙江,17)已知点P (0,1),椭圆+y 2=m (m>1)上两点

A ,

B 满足=2,则当m= 时,x 2

4点B 横坐标的绝对值最大.

三、解答题(共3个题,满分分别为13分,13分,14分)

13.已知在三角形ABC 中,B (-1,0),C (1,0),且|AB|+|AC|=4.(1)求动点A 的轨迹M 的方程;

(2)P 为轨迹M 上动点,△PBC 的外接圆为☉O 1(O 1为圆心),当P 在M 上运动时,求点O 1到x 轴的距离的最小值.

14.已知点A (0,-2),椭圆E :=1(a>b>0)的离心率为,F 是椭圆E 的右焦点,直线AF 的斜率为

x 2

a

2

+

y 2b

2

3

2,O 为坐标原点.233

(1)求E 的方程;

(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求l 的方程.

15.已知椭圆=1(a>b>0)的左焦点为

F (-c ,0),右顶点为A ,点E 的坐标为(0,c ),△EFA 的面积为

x 2

a 2

+

y 2

b 2.

b 2

2(1)求椭圆的离心率;

(2)设点Q 在线段AE 上,|FQ|=c ,延长线段

FQ 与椭圆交于点P ,点M ,N 在x 轴上,PM ∥QN ,且直线PM 3

2与直线QN 间的距离为c ,四边形PQNM 的面积为3c.①求直线FP 的斜率;②求椭圆的方程.

专题对点练25答案

1.A 解析 圆(x-1)2+(y-3)2=10的圆心坐标为(1,3),半径r=,

10圆心到直线x-3y+3=0的距离d=

,故弦|AB|=2,故选A .

|1-9+3|

10=

5

1010-

2510

=30

2.A 解析 由x 2+y 2-2x-8y+13=0,

得(x-1)2+(y-4)2=4,所以圆心坐标为(1,4).

因为圆x 2+y 2-2x-8y+13=0的圆心到直线ax+y-1=0的距离为1,

所以=1,解得a=-,故选

A .

|a +4-1|

a 2

+12

4

33.B 解析 由x 2+y 2-4x-4y-10=0,得(x-2)2+(y-2)2=18,∴圆半径r=3.

2圆上的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离分别是d+r ,d-r ,其两者之差即为圆的直径,故圆的点到直线x+y-8=0的最大距离与最小距离的差是6,故选B .24.A 解析 由x 2+y 2-4x+2y+1=0,得(x-2)2+(y+1)2=4,∴圆心C (2,-1),r=2.由题意可得,直线l :mx+y-1=0经过圆C 的圆心(2,-1),则2m-1-1=0,∴m=1,故点A (-2,1).∵|AC|=,|CB|=r=2,

20∴切线的长|AB|==4.

20-45.C 解析 圆的内接四边形对角互补,因为x 轴与y 轴垂直,所以2x+y-4=0与x+ky-3=0垂直.所以2×1+1×k=0,解得k=-2,直线2x+y-4=0与坐标轴的交点为(2,0),(0,4),

x+ky-3=0与坐标轴的交点为,(3,0),两直线的交点纵坐标为-,

(0,-32)2

5所以四边形的面积为×3××1×,故选C .

1232-1225=

41

206.C 解析 ∵圆的方程为x 2+(y-1)2=1,∴圆心C (0,1),半径

r=1.

根据题意,若四边形面积最小,当圆心与点P 的距离最小时,

即距离为圆心到直线l 的距离最小时,切线长PA ,PB 最小.切线长为2,∴|PA|=|PB|=2,∴圆心到直线l 的距离为d=.直线方程为y+4=kx ,5即kx-y-4=0,

∴

,解得k=±2,5=

|-4-1|

1+k 2∵k>0,∴所求直线的斜率为2.故选C .

7.D 解析 ∵双曲线C 的离心率为,∴e=,即c=a ,∴a=b.∴其渐近线方程为y=±x ,故

2c

a

=

2

2(4,0)到C 的渐近线的距离d=

=2

.

|4|

228.D 解析 ∵双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F (c ,0),点

A 在双曲线的渐近线上,且△OAF 是

x

2

a 2-

y

2

b 2边长为2

的等边三角形,不妨设点A 在渐近线y=x 上,

b

a ∴解得∴双曲线的方程为x 2-=1.故选D .

{

c =2,b

a

=tan60°,a 2+b 2=c 2,{a =1,b = 3.y 2

39.B 解析 设F 2(c ,0),双曲线C 一条渐近线方程为y=x ,可得|F 2M|==b.

b

a bc a 2

+b 2∵OM ⊥MF 2,∴|OM|==a ,由

=16,可得ab=16,即ab=32,又a 2+b 2=c 2,且,

c 2-b 2

S △OMF 212c

a =

52

解得a=8,即有双曲线的实轴长为16.故选B .

10.(x+1)2+(y-)2=1　解析 ∵抛物线y 2=4x 的焦点F (1,0),准线l 的方程为x=-1,3由题意可设圆C 的方程为(x+1)2+(y-b )2=1(b>0),则C (-1,b ),A (0,b ).∵∠FAC=120°,∴k AF =tan 120°=-,直线AF 的方程为y=-x+.333∵点A 在直线AF 上,∴b=.则圆的方程为(x+1)2+(y-)2=1.3311.2　解析 因为双曲线的右焦点F (c ,0)到渐近线y=±x

的距离为

=b ,所以b= c.

b

a |bc ±0|

a 2+b

2

=

bc c

3

2因为

a 2=c 2-

b 2=

c 2-c 2=c 2,

341

4

所以

a=c ,e=2.

1

212.5　解析 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).

∵P (0,1),∴=(-x 1,1-y 1),=(x 2,y 2-1).∵=2,∴

{-x 1=2x 2,1-y 1=2(y 2-1),即

{x 1=-2x 2,y 1=3-2y 2.又=m ,∴+(3-2y 2)2=m ,

x 21

4

+

y 21

(-2x 2)2

4即+4-12y 2+9=m.4x 224y 2

2又=m ,∴4m-12y 2+9=m ,x 22

4+y 22即12y 2=3m+9,4y 2=m+3.

∴=m ,x 22

4+

(m +34)

2即=4m ,

x 22+m 2+6m +9

4即=-m-.x 22m 24+5294

∴当m=5时,的最大值为4,即点B 横坐标的绝对值最大.

x 2

213.解 (1)根据题意知,动点A 满足椭圆的定义,设椭圆的方程=1(a>b>0

且y ≠0),

x 2

a 2+

y 2

b 2所以,有|F 1F 2|=|BC|=2c=2,|AF 1|+|AF 2|=|AB|+|AC|=2a=4,且a 2=b 2+

c 2,解得a=2,b=,3所以,动点A 的轨迹M

满足的方程为=1(y ≠0).

x 2

4

+

y 2

3(2)设P (x 0,y 0),不妨设0

3线段PB 的垂直平分线方程为y-=-,

y 0

2x 0+1

y 0(

x -x 0-1

2

)

线段BC 的垂直平分线方程为x=0,两条垂线方程联立求得y=

.

(

-

x 0+1y 0)·(

-

x 0-12)

+

y 02

=

x 20-12y 0

+

y 02因为=1,所以

y=,

x 20

4

+

y 20

33

2y 0

-

y 0

6所以☉O 1的圆心O 1到x 轴的距离d=.

|

32y 0

-

y 06

|又知

y=在(0,

)内是单调递减函数,所以当y 0=时,y min =

32y 0

-y 0

63333

所以d min =.

33

14.解 (1)设

F (c ,0),由条件知,得c=.

2

c

=

233

3又,所以a=2,b 2=a 2-c 2=1.c a

=32故E

的方程为+y 2=1.

x 2

4(2)当l ⊥x 轴时不合题意,故设l :y=kx-2,P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2).将y=kx-2

代入+y 2=1,得(1+4k 2)x 2-16kx+12=0.

x 2

4当Δ=16(4k 2-3)>0,即k 2>时,x 1,2=

.

3

48k ±24k 2-34k 2+1

从而|PQ|=|x 1-x 2|=.

k 2

+14k 2

+1·4k 2

-3

4k 2+1又点O 到直线PQ 的距离d=

,

2k 2+1

所以△OPQ 的面积

S △OPQ =d·|PQ|=.

1

244k 2-34k 2+1设=t ,则t>0,S △OPQ =.

4k 2

-34t t 2+4

=

4

t +4t

因为

t+≥4,当且仅当

t=2,即k=±时,等号成立,且满足Δ>0,

4

t 7

2所以,当△OPQ 的面积最大时,l 的方程为y=

x-2或y=-x-2.

7

27

2

15.解 (1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a )c=.1

2b 22又由b 2=a 2-c 2,可得2c 2+ac-a 2=0,即2e 2+e-1=0.

又因为0

e=.所以,椭圆的离心率为.

1212(2)①依题意,设直线FP 的方程为x=my-c (m>0),则直线FP

的斜率为.

1

m 由(1)知a=2c ,可得直线AE 的方程为=1,即x+2y-2c=0,x 2c

+y c 与直线FP 的方程联立,可解得x=,y=,即点Q

的坐标为.

(2m -2)c m +23c

m +2(

(2m -2)c m +2

,3c

m +2

)由已知|FQ|=c ,有,32[(2m -2)c m +2+c ]2

+(3c m +2)2=(3c 2)

2整理得3m 2-4m=0,所以m=,即直线FP 的斜率为.

433

4②由a=2c ,可得b=c ,故椭圆方程可以表示为=1.

3x 24c 2+

y 2

3c 2由①得直线FP 的方程为3x-4y+3c=0,

与椭圆方程联立

消去y ,整理得7x 2+6cx-13c 2=0,{

3x -4y +3c =0,

x 24c 2

+

y 23c 2

=1,

解得x=-(舍去)或x=c.

13c

7因此可得点P ,进而可得|FP|=

,

(c,3c 2

)(c +c)2+

(3c 2

)2

=

5c 2所以|PQ|=|FP|-|FQ|==c.5c 2

-3c

2由已知,线段PQ 的长即为PM 与QN 这两条平行直线间的距离,故直线PM 和QN 都垂直于直线FP.因为QN ⊥FP ,

所以|QN|=|FQ|·tan∠QFN=,3c 2

×34=9c

8所以△FQN 的面积为|FQ||QN|=,同理△FPM 的面积等于,

1

227c 23275c 232由四边形PQNM 的面积为3c ,得=3c ,整理得c 2=2c ,又由c>0,得c=2.所以,椭圆的方程为

75c 232-27c 2

32

=1.

x 216+y

212