中考数学数学二次根式的专项培优练习题(附解析
一、选择题
1．下列计算正确的是（ ） A ．916916+=+ B ．2222-=
C ．()
2
23
6
=
D ．
1515533
==
2．下列运算中，正确的是 ( ) A ．53－23=3 B ．22×32=6 C ．33÷3=3
D ．23＋32=55
3．下列各式成立的是（ ） A ．2(3)3-=
B ．633-=
C ．222
()33
-
=- D ．2332-=
4．下列计算正确的是（ ） A ．42=±
B ．
()
2
33-=- C ．()
2
5
5-= D ．()
2
33
-=-
5．下列运算正确的是（ ） A ．52223-=y y B ．428x x x ?= C ．（-a-b ）2=a 2-2ab+b 2 D ．27123-=
6．若
1
x +有意义，则字母x 的取值范围是( ) A ．x≥1 B ．x≠2
C ．x≥1且x ＝2
D ．.x≥-1且x ≠2
7．若a ＝
3
235
++，b ＝2+610-，则a b 的值为（ ）
A ．1
2
B ．14
C ．321
+
D ．610
+
8．已知a 为实数，则代数式227122a a -+的最小值为( ) A ．0 B ．3
C ．33
D ．9
9．将1、
、
、
按图2所示的方式排列，若规定（m ，n ）表示第m 排从左到右第
n 个数，则（4,2）与（21,2）表示的两数的积是（ ）
A ．1
B ．2
C ．
D ．6
10．如果实数x，y满足23
x y xy y
=-，那么点(),x y在（）
A．第一象限B．第二象限C．第一象限或坐标轴上D．第二象限或坐标轴上
二、填空题
11．能力拓展：
1:21
21
A-=
+；2:32
32
A-=
+
；3:43
43
A-=
+
；
4:54
A-=________．
…
n
A：________．
()1请观察1A，2A，3A的规律，按照规律完成填空．()2比较大小1A和2A
∵32
+________21
+
∴
32
+________
21
+
∴32
-________21
-
()3同理，我们可以比较出以下代数式的大小：43
-________32
-；
76
-________54
-；1
n n
+-________1
n n
--
12．（1）已知实数a、b在数轴上的位置如图所示,化简
()222
144
a a a
b b
+--+=_____________；
（2）已知正整数p，q32016
p q=()
p q，的个数是
_______________；
（3）△ABC中,∠A=50°,高BE、CF所在的直线交于点O,∠BOC的度数__________.
13．当x3x2﹣4x+2017=________．
14．甲容器中装有浓度为a40kg，乙容器中装有浓度为b90kg，两个容器都倒出m kg，把甲容器倒出的果汁混入乙容器，把乙容器倒出的果汁混入甲容器，混合后，两容器内的果汁浓度相同，则m的值为_________．
15．已知函数
1
x
f x
x
，那么21
f_____．
16．已知|a﹣20072008
a-=a，则a﹣20072的值是_____．
17．已知x，y为实数，y=
22
991
3
x x
x
--
-
求5x+6y的值________.
18．计算：
2008
2009
?-=_________．
19．
=_______．
20．观察分析下列数据：0
，
，-3
，
的规律得到第10个数据应是__________．
三、解答题
21．计算及解方程组： （1
-1-） （2
)
2
+
（3）解方程组：25103
2x y x y x y -=??
+-?=??
【答案】（1
）2
）7；（3）102x y =??=?
．
【分析】
（1）首先化简绝对值，然后根据二次根式乘法、加减法法则运算即可； （2）首先根据完全平方公式化简，然后根据二次根式加减法法则运算即可； （3）首先将第二个方程化简，然后利用加减消元法即可求解． 【详解】
（1
1-
1+（
1
1
=1 （2
2
+）
=34-
=7-
=7-
（3）251032x y x y x y
-=??
?+-=??
①②
由②得：50x y -= ③ ②-③得： 10x = 把x=10代入①得：y=2
∴原方程组的解是：10
2x y =??=?
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，加减消元法解二元一次方程，熟练掌握二次根式的运算法则是本题的关键．
22．小明在解决问题：已知a
2a 2－8a ＋1的值，他是这样分析与解答的：
因为a
＝2，
所以a －2
所以(a －2)2＝3，即a 2－4a ＋4＝3. 所以a 2－4a ＝－1.
所以2a 2－8a ＋1＝2(a 2－4a)＋1＝2×(－1)＋1＝－1.
请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)计算：= － .
(2)
…
(3)若a ，求4a 2－8a ＋
1的值．
【答案】 ，1；(2) 9；(3) 5
【分析】
（1
1==；
（2）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类项二次根式即可求解； （3）首先化简a ，然后把所求的式子化成()2
413a --代入求解即可. 【详解】
(1)计算：1
=； (2)原式
)
1...11019=
+
+
++
==-=；
(3)1
a =
==，
则原式(
)
()2
2
4213413a a a =-+-=--，
当1a =
时，原式2
435=?
-=.
【点睛】
本题考查了二次根式的化简求值，正确读懂例题，对根式进行化简是关键.
23．已知x=2，求代数式（7+x 2+（2）x
【答案】2【解析】
试题分析：先求出x 2，然后代入代数式，根据乘法公式和二次根式的性质，进行计算即可.
试题解析：x 2=（2）2=7﹣
则原式=（7﹣+（2
=49﹣
24．计算（11)1)?； （2）
【答案】（12+；（2）. 【解析】
分析：先将二次根式化为最简，然后再进行二次根式的乘法运算.
详解：（1)
1
1+；
＝()31-
2 ；
（2）原式＝(22
?,
＝
＝3?
＝
＝
点睛：此题考查了二次根式的混合运算，熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．
25．计算下列各式：
（1；
（2
【答案】（12；（2）
【分析】
先根据二次根式的性质化简，再合并同类二次根式即可.
【详解】
（1）原式2
=-
2
=；
（2）原式=
=.
【点睛】
本题考查了二次根式的加减，熟练掌握性质是解答本题的关键
(0)
(0)
a a
a
a a
≥
?
==?
-<
?
，
)
0,0
a b
=≥≥=（a≥0，b>0）.
26．计算（1
（2）(()21
-
【答案】（1）；（2）24+
【分析】
（1）先将各二次根式化为最简二次根式，再进行合并即可得到答案；
（2）原式运用平方差公式和完全平方公式把括号展开后，再合并同类二次根式即可得到答
案． 【详解】
解：（1
=2
+
=(2
-+
=2
（2）(()
2
1-
=22(181)---
=452181--+
=24+． 【点睛】
此题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答此题的关键．
27．（1）计算：21)-
（2）已知a ，b 是正数，4a b +=，8ab =
【答案】（1）5-2 【分析】
（1）根据完全平方公式、平方差公式可以解答本题；
（2）先将所求式子化简，然后将a+b=4，ab=8代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】
解：（1）原式21)=-
(31)(23)=---
5=-；
（2）原式=
=
= a ，b 为正数，
∴原式
=
把4a b +=，8ab =代入，则
原式
=
= 【点睛】
本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式、平方差公式，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法．
28．计算：
（1 （2）（
)()
2
2
21-
【答案】2）1443 【分析】
(1)先化成最简二次根式，然后再进行加减运算即可； (2)套用平方差公式和完全平方式进行运算即可． 【详解】
解：(1)原式＝23223323，
(2)原式(34)(12
431)1124311443，
故答案为：1443． 【点睛】
本题考查二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的四则运算是解决本题的关键．
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．D 解析：D 【解析】
5=
=，
=，(2
4312=?=，选项D 正确．
2．C
解析：C
【分析】
根据二次根式的加减法对A、D进行判断；根据二次根式的乘法法则对B进行判断；根据二次根式的除法法则对C进行判断．
【详解】
A、A选项错误；
B、×=12，所以B选项错误；
C、3，所以C选项正确；
D、，不能合并，所以D选项错误；
故选：C．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．
3．A
解析：A
【分析】
根据各个选项中的式子，可以计算出正确的结果，从而可以解答本题．
【详解】
解：A3
=，故A正确；
B-不能合并，故B错误；
C、22
(
3
=，故C错误；
D、=D错误；
故选：A．
【点睛】
本题考查二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确二次根式混合运算的计算方法．4．C
解析：C
【分析】
直接利用二次根式的性质分别求解，即可得出答案．
【详解】
解：A，故A选项错误；
B，故B选项错误；
C选项：2=5，故C选项正确；
D选项：2=3，故D选项错误，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了二次根式的性质，正确求解二次根式是解题的关键．
5．D
解析：D 【分析】
由合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式、以及二次根式的加减运算，分别进行判断，即可得到答案． 【详解】
解：A 、222523y y y -=，故A 错误； B 、426x x x ?=，故B 错误；
C 、222()2a b a ab b --=++，故C 错误； D
==D 正确； 故选：D ． 【点睛】
本题考查了合并同类项、同底数幂乘法、完全平方公式、以及二次根式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题．
6．D
解析：D 【分析】
直接利用二次根式的有意义的条件分析得出答案． 【详解】
有意义，则x+1≥0且x-2≠0， 解得：x≥-1且x≠2． 故选：D ． 【点睛】
本题考查了二次根式有意义的条件，正确把握相关性质是解题关键．
7．B
解析：B 【解析】 【分析】 将a
可化简为关于b 的式子，从而得到a 和b 的关系，继而能得出
a b 的值． 【详解】 a
=
b 4
4
=．
∴
14a b =． 故选：B ． 【点睛】
本题考查二次根式的乘除法，有一定难度，关键是在分母有理化时要观察b 的形式．
8．B
解析：B 【解析】
根据题意，由227122a a -+=22(69)9a a -++=22(3)9a -+，可知当（a ﹣3）
2
=0，即a=3时，代数式227122a a -+的值最小，为9=3.
故选B ．
9．D
解析：D 【解析】
（4，2）表示第4排从左向右第2个数是：
，
（21，2）表示第21排从左向右第2个数，可以看出奇数排最中间的一个数都是1， 第21排是奇数排，最中间的也就是这排的第1个数是1，那么第2个就是：，
?
=6,故选D
10．D
解析：D 【分析】
先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限或坐标轴． 【详解】
23x y xy y =- ∴x 、y 异号，且y>0，
∴x<0，或者x 、y 中有一个为0或均为0． ∴那么点(),x y 在第二象限或坐标轴上． 故选：D ． 【点睛】
根据二次根式的意义，确定被开方数的取值范围，进而确定a 、b 的取值范围，从而确定点的坐标位置．
二、填空题
11．(1)、；(2);(3) 【解析】 【分析】
（1）观察A1，A2，A3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；
（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等
解析：(1)
=
；(2),,><<;(3)
,,<<< 【解析】 【分析】
（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知将等式的右边乘以分母的有理化分式，即可得到左边的代数式；
（2）先根据不等式的性质等式的两边同时加上或減去一个数，等式仍成立，求得
>1）的结论解答；
（3）利用（2）的结论进行填空. 【详解】
解：（1）观察A 1，A 2，A 3的规律可知，将等式右边的分式分母有理化，即得等式左边的代数式，所以
=
，
（2>
1>>，
<
<
（3）由（1）、（2<，
故答案为：
=；(2),,><<;(3),,<<<
【点睛】
主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同.
12．（1）2a －2b ＋1；（2）3；（3）130°或50°. 【解析】
（1）∵-1
∴
＝|a+1|-|a-2b| =1+a-2b+a =2a-2b+1. (2)∵， ∴，p=20
解析：（1）2a －2b ＋1；（2）3；（3）130°或50°. 【解析】
（1）∵-1
∴
20163p q =-，p=2016-62016+9q,
∴p=14x 3
(其中x 为正整数)， 同理可得：q=14y 2（其中y 为正整数）, 则x+3y=12(x 、y 为正整数) ∴963
,,123
x x x y y y ===????
??===???, ∴整数对有（p,q ）=(14?81,141?),或（1436,144)?? ,或（149,149??）。 ∴满足条件的整数对有3对.
(3)①当交点在三角形内部时（如图1），
在四边形AFOE 中，∠AFC=∠AEB=90°，∠A=50°， 根据四边形内角和等于360°得， ∠EOF=180°-∠A=180°-50°=130°， 故∠BOC=130°；
②当交点在三角形外部时（如图2），
在△AFC中，∠A=50°，∠AFC=90°，
故∠1=180°-90°-50°=40°，
∵∠1=∠2，
∴在△CEO中，∠2=40°，∠CEO=90°，
∴∠EOF=180°-90°-40°=70°，
即∠BOC=50°，
综上所述：∠BOC的度数是130°或50°．
故答案是：(1). 2a－2b＋1 (2). 3 (3). 130°或50°．
13．2016
【解析】
把所求的式子化成（x﹣2）2+2013然后代入式子计算，即可得到：x2﹣
4x+2017=（x﹣2）2+2013 =（）2+2013=3+2013=2016．
故答案是：2016．
解析：2016
【解析】
把所求的式子化成（x﹣2）2+2013然后代入式子计算，即可得到：
x2﹣4x+2017=（x﹣2）2+2013 =32+2013=3+2013=2016．
故答案是：2016．
点睛：此题主要考查了配方法的应用，解题关键是把式子配成完全平方，然后整体代入即可求解，考查了学生对整体思想的认识和应用，学生对整体思想不熟时出错的主要原因. 14．【分析】
分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利用混合后果汁的浓度相等列出关系式，求出m即可．
【详解】
解：根据题意，甲容器中纯果汁含量为akg，乙容器
610
【分析】
分别求出甲，乙容器中原溶液中纯果汁的含量，再求出mkg溶液中纯果汁的含量，最后利
=，求出m即
可．
【详解】
，
甲容器倒出mkg果汁中含有纯果汁makg，乙容器倒出mkg果汁中含有纯果汁mbkg，
，
=，
整理得，-6b=5ma-5mb，∴（a-b）=5m（a-b），
∴m
故答案为：
5
【点睛】
本题考查二次根式的应用，能够正确理解题意，化简二次根式是解题的关键．15．【分析】
根据题意可知，代入原函数即可解答.
【详解】
因为函数，
所以当时，．
【点睛】
本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键.
解析：2+
【分析】
根据题意可知1
x=，代入原函数即可解答.
【详解】
因为函数
1
x
f x
x
，
所以当1
x=时，
211
()22
21
f x．
【点睛】
本题主要考查了代数式求值问题，熟练掌握相关知识点以及二次根式的运算是解题关键. 16．2008
【解析】
分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a的取值范围；再根据a的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．
详解：∵|a﹣2007|+=a，∴a≥2008，
解析：2008
【解析】
分析：本题首先能够根据二次根式的被开方数为非负数的条件，得到a的取值范围；再根据a的取值范围，化简去掉绝对值；最后进行整理变形．
详解：∵|a﹣2007=a，∴a≥2008，∴a﹣2007=a，
=2007，两边同平方，得：a﹣2008=20072，∴a﹣20072=2008．
故答案为：2008．
点睛：解决此题的关键是能够得到a的取值范围，从而化简绝对值并变形．
17．-16
【解析】
试题分析：根据分式的有意义和二次根式有意义的条件，可知x2-9=0，且x-3≠0，解得x=-3，然后可代入得y=-，因此可得5x+6y=5×（-3）+6×（-）=-15-1=-16
解析：-16
【解析】
试题分析：根据分式的有意义和二次根式有意义的条件，可知x2-9=0，且x-3≠0，解得
x=-3，然后可代入得y=-1
6
，因此可得5x+6y=5×（-3）+6×（-
1
6
）=-15-1=-16.
故答案为：-16.
点睛：此题主要考查了分式的有意义和二次根式有意义，解题关键是利用二次根式的被开方数为非负数和分式的分母不为0，可列式求解.
18．【解析】原式==
19．【分析】
设，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．
【详解】
解：设，由算术平方根的非负性可得t≥0，
则
．
故答案为：．
【点睛】
此题考查的是二
【分析】
t=，将等式的两边平方，然后根据完全平方公式和二次根式的性质化简即可得出结论．
【详解】
t=，由算术平方根的非负性可得t≥0，
则244
t=+
=+
8
=+
8
=+
81)
=+
6
2
=
1)
t
∴=．
1
．
【点睛】
此题考查的是二次根式的化简，掌握完全平方公式和二次根式的性质是解题关键．
20．6
【分析】
通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：，，…，可以得到第13个的答案．
【详解】
解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：，，…，
∴第13个答案为：．
故答案为6．
解析：6
【分析】
通过观察可知，根号外的符号以及根号下的被开方数依次是：11(1)30，
21(1)31，31(1)32…1(1)3(1)n n ，可以得到第13个的答案．
【详解】
解：由题意知道：题目中的数据可以整理为：11(1)30，2
1
(1)31，
31(1)32…1(1)3(1)n n ，
∴第13个答案为：131(1)3(131)6．
故答案为6． 【点睛】
此题主要考查了二次根式的运算以及学生的分析、总结、归纳的能力，规律型的习题一般是从所给的数据和运算方法进行分析，从特殊值的规律上总结出一般性的规律．
三、解答题 21．无 22．无 23．无 24．无 25．无 26．无 27．无 28．无