【精品学习】九年级数学下册第3章圆3.8圆内接正多边形导学案
3.8圆内接正多边形
预习案
一、预习目标及范围：
1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．
预习范围：P99-100 二、预习要点
1.正多边形概念：各边相等、各角也相等的多边形叫做 ． 如果一个正多边形有n(n ≥3)条边，就叫 边形．
等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．
2.圆内接正多边形的概念：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做 。 这个圆叫做该正多边形的 .
3.把一个圆n 等分（3≥n ），依次连接各分点，我们就可以作出一个 .
4.如图，五边形ABCDE 是圆O 的内接正五边形，圆心O 叫做这个正五边形的 ；
OA 是这个正五边形的 ；AOB ∠是这个正五边形的 ；BC OM ⊥，垂足为M ，OM 是这个正五边形的的边心距.在其他的正多边形中也有同样的定义.
三、预习检测
分别求出半径为R 的圆内接正三角形、正方形的边长、边心距和面积. 探究案 一、合作探究 活动内容1： 探究1：正多边形
正多边形：
___________，_____________的多边形叫做正多边形.
正n边形：如果一个正多边形有n条边，那么这个正多边形叫做正n边形.
【想一想】
菱形是正多边形吗？矩形是正多边形吗？为什么？
求证：正五边形的对角线相等
怎样找圆的内接正三角形？怎样找圆的外切正三角形？
怎样找圆的内接正方形？怎样找圆的外切正方形？
怎样找圆的内接正n边形？怎样找圆的外切正n边形？
【定理】把圆分成n（n≥3）等份：
依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形；经过各分点作圆的切线，以
相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.
一个正多边形是否一定有外接圆和内切圆？
【类比联想】正三角形：有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？这两个圆有什么位置关系？
正方形：有没有外接圆和内切圆？怎样作出这两个圆？这两个圆有什么位置关系？
那么，正n边形呢？
探究2：正多边形是轴对称图形，正n边形有n条对称轴.若n为偶数，则其为中心对称图形.
活动2：探究归纳
【定理】任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，并且这两个圆是同心圆.
正多边形的中心:一个正多边形的外接圆的圆心.
正多边形的半径:外接圆的半径
正多边形的中心角:正多边形的每一边所对的圆心角.
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离.
以中心为圆心,边心距为半径的圆与各边有何位置关系?
以中心为圆心,边心距为半径的圆为正多边形的内切圆。
活动内容2：典例精析
【例1】把圆分成5等份，求证：
⑴依次连接各分点所得的五边形是这个圆的内接正五边形；
⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的五边形是这个圆的外切正五边形.
证明:(1）∵弧AB=弧BC=弧CD=弧DE=弧EA，
∴AB=BC=CD=DE=EA，
∵BCE=CDA=3AB，
∴∠1=∠2，
同理∠2=∠3=∠4=∠5，
又∵顶点A，B，C，D，E都在⊙O上，
∴五边形AB CDE是⊙O的内接正五边形.
（2）连接OA，OB，OC，则
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB.
∵TP，PQ，QR分别是以A，B，C为切点的⊙O的切线，
∴∠OAP=∠OBP=∠OBQ=∠OCQ.
∴∠PAB=∠PBA=∠QBC=∠QCB.
又∵AB=BC，
∴AB=BC，
∴△PAB与△QBC是全等的等腰三角形.
∴∠P=∠Q,PQ=2PA.
同理∠Q=∠R=∠S=∠T ， QR=RS=ST=TP=2PA ，
∵五边形PQRST 的各边都与⊙O 相切，
∴五边形PQRST 是⊙O 的外切正五边形. 【例2】有一个亭子,它的地基是半径为4m 的正六边形,求地基的周长和面积(精确到0.1m 2).
【解析】如图，正六边形ABCDEF 的中心角为60°，△OBC 是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径.
因此,亭子地基的周长
在Rt △OPC 中,OC=4,PC=2.利用勾股定理,可得边心距m .r ） 亭子地基的面积
211
2441.6(m ).22
S lr =
=?? 二、随堂检测
1.下列图形中：①正五边形；②等腰三角形；③正八边形；④正2n （n 为自然数）边形；⑤任意的平行四边形.是轴对称图形的有__________,是中心对称图形的有_________,既是中心对称图形，又是轴对称图形的有_________.
2.两个正七边形的边心距之比为3:4，则它们的边长比为_____，面积比为_____，外接圆周长比是______，中心角度数比是______.
3.正方形ABCD 的外接圆圆心O 叫做正方形ABCD 的______．
4.正方形ABCD 的内切圆⊙O 的半径OE 叫做正方形ABCD 的 ________．
5.若正六边形的边长为1,那么正六边形的中心角是____度， 半径是___，边心距是 ，它的每一个内角是____．
6.正n 边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．
7.将一个正五边形绕它的中心旋转,至少要旋转 度,才能与原来的图形位置重合.
参考答案
预习检测：
【解析】作等边△ABC 的BC 边上的高AD,垂足为D 连接OB ，则OB=R ， 在Rt △OBD 中,∠OBD=30°, 边心距OD=
1.2
R 在Rt △ABD 中,∠BAD=30°,
1322
AD OA OD R R R =+=+
=， ∴
∴S △ABC
2
3
R 2.24
?=
连接OB ，OC 作OE ⊥BC ，垂足为E ，∠OEB=90°， ∠OBE=∠BOE=45°， Rt △OBE 为等腰直角三角形，
222,BE OE OB += 222,OE OB =
2
2
.2
OB OE =
,22
OE R =
=边心距
22,2
BC BE R ==?
=边长 (
)
2
222.ABCD S AB BC R ==
=正方形
随堂检测
1. ①②③④；③④⑤；③④
2. 3:4；9:16；3:4；1:1
3. 中心
4. 边心距
5.
2
；1 6. 中心 7. 72
初中九年级数学 正多边形和圆
24.3 正多边形和圆 教学任务分 板书设 课后反
问题与情境 师生行为 设计意图 活动一：复习提问 1.什么样的图形叫做正多边形？ 展示图片（课本P 113页图片），你还能举出一些这样的例子吗？ 2.正多边形与圆有什么关系呢？ （引出课题） 活动二：等分圆周 问题：为什么等分圆周就能得到正多边形呢？ 教师提出问题，学生进行回答：各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形．并举出 生活中的例子． 教师可再展示一些图片让学生欣赏． 学生根据教师提出的问题进行思考，回忆圆的有关知识，进而回答教师提出的问题．即等分圆周，就可以得到圆内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆． 教师提出问题后，学生认真思考、交流，充分发表自己的见解，并互相补充．教师在 学生归纳的基础上进行补充，并以正五边形为例进行证明． 复习正多边形的概念，为今天的课程做准备． 激发学生的学习兴趣． 培养学生的思维品质，将正多边形与圆联系起来．并由此引出今天的课题．
问题与情境 师生行为 设计意图 活动三：如何等分圆周呢？ 问题： 已知⊙O 的半径为2cm ，求作圆的内接正三角形． 教师在学生思考、交流的基础上板书证明过程： 如图， ∵AB BC CD DE EA ==== ∴AB BC CD DE EA ==== 3BAD CAE AB == ∴ C D ∠=∠ 同理可证：A B C D E ∠=∠=∠=∠=∠ ∴ 五边形ABCDE 是正五边形． ∵A 、B 、C 、D 、E 在⊙O 上， ∴五边形ABCDE 是圆内接正五边形． 教师提出问题后，学生思考、交流自己 的见解，教师组织学生进行作图，方法不限． 以下为解决问题的参考方案：(上课时 教师归纳学生的方法) (1)度量法：①用量角器或30°角的三角板度量，使∠BAO =∠CAO =30°，如图1． ②用量角器度量，使∠AOB =∠BOC =∠COA =120°，如图2． (2)尺规作图：用圆规在⊙O 上截取长度等 于半径（2cm ）的弦，连结AB 、BC 、 CA 即可，如图3． (3)计算与尺规作图结合法：由正三 角形的半径与边长的关系可得，正三角形的边长=3 R=23（cm ），用圆规在⊙O 使学生理 解、体会圆与正多边形的内在联系． 充分发 展学生的发散思维． 让学生充 分利用手中 的工具，实际 操作，认真思 考，从而培养学生的动手能力． O E D C B A B O C A O B A C O C A B 图1 图2 图3
人教版九年级数学上册 第24章 圆小结与复习 精品导学案 新人教版
圆 课题：第二十四章:小结与复习序号: 学习目标： 1、知识与技能 1、了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、?弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理． 2、探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，?探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线． 3、进一步认识和理解正多边形和圆的关系和正多边的有关计算． 4、熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；?理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算． 2、过程与方法 通过小结与复习，使学生对本章的知识条理化.系统化，在复习巩固所学知识的同时，还要查漏补缺。提高运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识 3、情感.态度与价值观： 学生在应用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的信心。 学习过程： 课前预习： 结合课本的本章结构图，全面复习本章所学内容，并回答“回顾与思考中提出的问题 课堂导学： 1.情景导入 数学24章《圆》的学习内容全面结束，这节课我们共同回顾并整理本章学习的内容 2. 出示任务自主学习 （1）在同圆或等圆中的弧、弦、圆心角、有什么关系？一条弧所对的圆周角和它所对的圆心角有什么关系？ （2）垂径定理的内容是什么？推论是什么？ （3）点与圆有怎样的位置关系？直线和圆呢？圆和圆呢？怎样判断这些位置关系？请你举出这些位置关系的实例？ （4）圆的切线有什么性质？如何判断一条直线是圆的切线？ （5）正多边形和圆有什么关系？你能用正多边形和等分圆周设计一些图案吗？ （6）举例说明如何计算弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积？ 3.合作探究 《导学》难点探究和展题设计 三、展示与反馈 检查自学情况，解决学生疑惑 四、课堂小结 1.圆的有关概念.基本性质和相关的定理及其运用 2.点和圆.直线和圆.圆和圆的位置关系及其所对应的数量关系 3.会进行正多边形.弧长.扇形.圆锥以及简单图形的有关计算。 4.体会并感悟数学思想和方法。 5.养成反思的学习习惯。 五、达标检测： 完成104页《导学案》.自主测评1—9题 课后作业： 教材120页复习题24
2020年九年级数学上册 24.3 正多边形和圆导学案1 新人教版.doc
2020年九年级数学上册 24.3 正多边形和圆导学案1 新人教版 学习目标： 【知识与技能】 1、通过对正多边形与圆的关系的探索，培养学生观察、猜想、推理、迁移及归纳能力，使学生初步掌握正多边形与圆的关系的定理，进一步向学生渗透“特殊—一般”再“一般—特殊”的唯物辩证法思想。 2、通过日常生活中观察到的正多边形的图案及运用正多边形和等分圆周设计图案培养学生的动手能力，体会图形来源于现实，服务于现实。 【过程与方法】 通过利用等分圆周的的方法，探索正多边形与圆的关系，理解正多边形的中心，半径、中心角、边心距等有关概念，从而渗透归纳、分类讨论等数学思想。 【情感、态度与价值观】 经历观察、发现、探索正多边形与圆的关系的数学活动中，感受到数学来源于生活，又服务于生活，体会到事物之间是互相联系，相互作用的。 【重点】 正多边形的概念与正多边形和圆的关系的定理。 【难点】 对正多边形与圆的关系的探索。 学习过程: 一、自主学习 （一）复习巩固 观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？ 提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？ 2．正方形的边、角各有什么性质？ 3、等边三角形与正方形的边角性质有哪些共同点？ （二）自主探究 1、观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念 概念：叫做正多边形。（注：相等与相等必须同时成立） 2、提问：矩形是正多边形吗？为什么？ 菱形是正多边形吗？为什么？
3、如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正边形．等边三角形有三条边叫正角形，正方形有四条边叫正边形． 4、用量角器将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n 边形；圆的内接正n边形将圆n等分； 5、正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的。 6、问题：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出它的对称轴；如果是中心对称图形，找出它的对称中心。 问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？ 发现：正三角形与正方形都有和，并且为．圆心就是正多边形的 分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢？你知道为什么吗？ 思考：任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？ 结论：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是图形，又是图形。 7、用直尺和圆规作出正方形，正六多边形。 8、如何作正八边形正三角形、正十二边形？ （三）、归纳总结： 1、————————————————————————叫正多边形 2、正多边性与圆的关系是—————————————————。 3正多边形的对称性—————————————————————————————（四）自我尝试： 1、已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O，AB=BC=CD=DE=EA． 求证：五边形ABCDE是正五边形．
初中数学圆知识点总结
A 图5 圆的总结 一 集合： 圆：圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 圆的部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合 二 轨迹： 1、到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以定点为圆心，定长为半径的圆； 2、到线段两端点距离相等的点的轨迹是：线段的中垂线； 3、到角两边距离相等的点的轨迹是：角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线 三 位置关系： 1点与圆的位置关系: 点在圆 d D B B A B A 四 垂径定理: 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧 推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： ①AB 是直径 ②AB ⊥CD ③CE=DE ④ ⑤ 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O 中，∵AB ∥CD 五 圆心角定理 六 圆周角定理 圆周角定理：同一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半 即：∵∠AOB 和∠ACB 是 所对的圆心角和圆周角 ∴∠AOB=2∠ACB 圆周角定理的推论： 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧 即：在⊙O 中，∵∠C 、∠D 都是所对的圆周角 ∴∠C=∠D 推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径 即：在⊙O 中，∵AB 是直径 或∵∠C=90° ∴∠ C=90° ∴AB 是直径 推论3：三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形 BC BD =AC AD = 24.6 正多边形与圆 第1课时正多边形的概念及正多边形与圆的关系 ［学习目标］ 1．理解正多边形与圆的关系及正多边形的有关概念； 2．理解并掌握正多边形的有关概念； 3.会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形. ［学法指导］ 本节课的学习重点是理解正多边形与圆的关系及正多边形的有关概念，并能进行计算，学习难点是探索正多边形和圆的关系. ［学习流程］ 一、导学自习 1. 如果一个多边形的顶点都在圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的 . 2.各边，各角也的多边形叫做正多边形. 思考： 正多边形的定义中“各边，各角”是正多边形的两个特征，缺一不可. 3.举例说出生活中常见的正多边形. 二、研习展评 活动1：思考：（1）你知道正多边形和圆有什么关系吗？你能借助圆做出一个正多边形吗？ （2）将一个圆五等分，依次连接各分点得到一个五边形，这五边形一定是正五边形吗？如果是请你证明这个结论． 证明：如图1，把⊙O分成相等的5段弧，依次连接各分点得到五边形ABCDE. ?????, AB BC CD DE EA ==== Q ______________________, ∴ （3）如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形吗？ （4）结论：正多边形和圆的关系：只要把一个圆分成的一些弧，就可以作出这个圆的，这个圆就是这个正多边形的 . 活动2：阅读教材，思考：如何利用等分圆弧的方法来作正n边形？ 方法一、任何正n边形的作法：用量角器作一个等于的圆心角，再等分圆； 方法二、特殊正多边形的作法:正六边形和正方形等的尺规作法. （在此基础上，还可以进一步作出正三角形、正八边形、正十二边形） 做一做：在右图2中，用尺规作图画出圆O的内接正三角形． ［当堂达标］ 1.如图5所示，正六边形ABCDEF内接于⊙O，则∠ADB的度数是（） A、60° B、45° C、30° D、22.5° 2.中华人民共和国国旗上的五角星的画法通常是先把圆五等分，然后连接五等分点 E A C D B O （图1） O （图2） （图5） 第2章圆 2.1 圆的对称性 学习目标： 1．了解圆的定义，理解弧、弦、半圆、直径等有关圆的概念． 2．从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，探索圆的有关概念． 重点、难点 1、重点：圆的相关概念 2、难点：理解圆的相关概念 导学过程：阅读教材 , 完成课前预习 【课前预习】 1：知识准备Array（1）举出生活中的圆的例子． （2）圆既是对称图形， 又是对称图形。 （3）圆的周长公式C= 圆的面积公式S= 2：探究 （1）圆的定义○1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转，另一个端点所形成的图形叫做．固定的端点O叫做，线段OA叫做．以点O为圆心的圆，记作“”，读作“” 决定圆的位置，决定圆的大小。 圆的定义○2：到的距离等于的点的集合． （2）弦：连接圆上任意两点的叫做弦 直径：经过圆心的叫做直径 （3）弧：任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧 半圆：圆的任意一条的两个端点把圆分成两条弧，每一条都叫做半圆 优弧：半圆的弧叫做优弧。用个点表示，如图中叫做优弧 劣弧：半圆的弧叫做劣弧。用个点表示，如图中叫做劣弧 等圆：能够的两个圆叫做等圆 等弧：能够的弧叫做等弧 【课堂活动】 活动1：预习反馈 活动2：典型例题 例1 如果四边形ABCD是矩形，它的四个顶点在同一个圆上吗？如果在，这个圆的圆心在哪 里？ AD//. 例2 已知：如图，在⊙O中，AB，CD为直径.求证：BC Array 活动3：随堂训练 1、如何在操场上画一个半径是5m的圆？说出你的理由。 2、你见过树木的年轮吗？从树木的年轮，可以很清楚的看出树木生长的年轮。把树木的年轮看成是圆形的，如果一棵20年树龄的红杉树的树干直径是23cm，这棵红杉树的半径平均每年增加多少? 活动4：课堂小结 圆的相关概念： 【课后巩固】 一．选择题： 1．以点O为圆心作圆，可以作（） A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个 2．确定一个圆的条件为（） A．圆心 B．半径 C．圆心和半径 D．以上都不对. 3．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于点E，已知DE ， AB2 模板式导学案（正多边形和圆） 学校科目课题课型教师班级小组学生时间编号 一、学习目标 1、学习目标：（1）、知道正多边形的概念、正多边形和圆的关系；正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念 （2）、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形； （3）、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；思考：任何一个正多边形既是轴对称图形，又是中心对称图形吗？跟边数有何关系？ 结论：正多边形都是轴对称图形，一个正n边形有条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的；一个正多边形，如果有偶数条边，那么它既是轴对称图形，又是中心对称图形。 思考：如何作正八边形正三角形、正十二边形？ 二、展示预设 观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？ 提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？ 2．正方形的边、角各有什么性质？对学群学本组疑问四、1：已知：如图，五边形ABCDE内接于⊙O， AB=BC=CD=DE=EA． 求证：五边形ABCDE是正五边形． 拓展2：各内角都相等的圆内接多边形是否为正多边形？ 总结提升（固定环节） 三、学习内容（议一议） 活动一：什么是正多边形？ 活动二用量角器作正多边形，探索正多边形与圆的内在联系 1、用量角器将一个圆n（n≥3）等分，依次连接各等分点所得的n边形是这个圆的内接正n边形；圆的内接正n边形将圆n等分； 2、正多边形的外接圆的圆心叫正多边形的中心。 活动三探索正多边形的对称性 问题：正三角形、正方形、正五边形、正六边形、正八边形中，哪些是轴对称图形？哪些是中心对称图形？哪些既是轴对称图形，又是中心对称图形？如果是轴对称图形，画出它的对称轴；如果是中心对称图形，找出它的对称中心。 问题：正多边形与圆有什么关系呢？什么是正多边形的中心？ 发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．圆心就是正五、达标测试 1、正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______． 2、正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______． 3、若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______． 4、正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等． 个性化辅导教案 正多边形和圆 知识梳理: 1、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形是正多边形。 2、正多边形的外接圆：一个正多边形的各个顶点都在圆上，我们就说这个圆是这个正多边形的外接圆。把一 个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做这个正多边形的半径，正多边形每 一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。 正n 边形的一个中心角的度数为： 型 正多边形的中心角 与外角的大小相等。 3、圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角和相等，都是 4、圆内接正n 边形的性质(nA3，且为自然数)： (1)当n 为奇数时，圆内接正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴；但不是中心对称图形。 接圆的圆心。 的圆n 等分，然后顺次连接各点即可。 (1)用量角器等分圆周。 8、定理1:把圆分成n(n 》3)等份: ⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正 学生姓名: 授课教师: 所授科目: 学生年 级： 上课时间：2016年 月 分至 时 分共 小时 教学重难点 教学标题 正n 边形每一个内角的度数为: n 2 180 180 °。 ⑵ 当n 为偶数时，圆内接正n 边形即是轴对称图形又是中心对称图形, 对称中心是正多边形的中心, 即外 5、常见圆内接正多边形半径与边心距的关系: (1)圆内接正三角形：d 1 —r (2)圆内接正四边形: 2 (设圆内接正多边形的半径为 d 丘 d ——r r ,边心距为d) (3)圆内接正六边形: 43 —r 2 6、常见圆内接正多边形半径 r 与边长x 的关系: (1)圆内接正三角形：x (2)圆内接正四边形: (3)圆内接正六边形: x=r 7、正多边形的画法：画正多边形一般与等分圆正多边形周有关, 要做半径为 R 的正n 边形，只要把半径为 R (2)用尺规等分圆(适用于特殊的正 n 边形)。 (1)依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形; n 边形。 学校_______ 班级_______小组_______ 姓名________小组评价______教师评 价_____ 27.1 圆的认识 第1课时 27.1.1 圆的基本元素 【学习目标】 1．理解圆的两种定义，理解并掌握弦、直径、弧、优弧、劣弧、半圆、 等圆、等弧、圆心角等基本概念，能够从图形中识别； 2．理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等模糊概念； 3．能应用圆的有关概念解决问题. 【学习重难点】 重点：理解圆的定义，并掌握圆的基本元素，能从图形中识别； 难点：理解“直径与弦”、“半圆与弧”、“等弧与长度相等的弧”等模糊 概念； 【学法指导】 通过生活中圆形物体的感性认识，并自己动手操作画图，理解圆的定义，通过阅读教材理解圆的相关概念并在图中识别，澄清相关概念，并能用相关概 念来解决问题． 【自学互助】 一、自学教材P36-37 （一）知识链接 1．自己回忆一下，小学学习过圆的哪些知识？ （图1） 2．结合生活实际，说说生活中有哪些物体是圆形的？并思考圆有什么特征？（二）根据以下题目自主学习并完成 1．理解圆的定义：（自己动手画圆） （1）描述性定义：____________________________________________________。 从圆的定义中归纳：①圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于____ __； ②到定点的距离等于定长的点都在____ _. （2）集合性定义： __________________________________________________。 （3）圆的表示方法：以O点为圆心的圆记作______，读作______. （4）要确定一个圆，需要两个基本条件，一个是______，另一个是_____，其中_____ 确定圆的位置，______确定圆的大小. 2．圆的相关概念：（1）弦、直径；（2）弧及其表示方法；(3)等圆、等弧。 如图1，弦有线段，直径是，最长的弦是，优弧 24.3 正多边形和圆（1） 学习目标： 1.了解正多边形和圆的关系。 2.了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念。 3.能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题。 重点： 1. 探索正多边形与圆的关系 2.运用正多边形的半径、中心角、弦心距、?边长之间的关系进行计算． 难点：探索正多边形与圆的关系。 学习过程： 一、知识频道 忆一忆（知识回顾） 请同学们思考下面两个问题． 1、什么叫正多边形？举出两三个正多边形的实例。 2、正多边形是轴对称图形吗？若是，其对称轴有几条？ 是中心对称图形吗？若是对称中心是哪一点？ 归纳： 1、正多边形的概念中，强调两个条件：①相等，②相等。 2、正多边形是对称图形；当时，?正多边形也是对称图形，对 称轴是对称中心是 . 做一做 （1）将一个圆分成五等份，依次连接各分点得到一个五边形，这个五边形是正五边形吗? 如果是请你证明这个结论。 （2）如果将一个圆分成n等份，依次连接各分点得到一个n边形，这个n边形一定是正n 边形吗？ 总一总：正多边形的有关概念 （1）中心：一个正多边形的叫做正多边形的中心. （2）半径：正多边形叫做正多边形的半径. （3）中心角：正多边形叫做正多边形的中心角. （4）边心距：到的距离叫做正多边形的边心距. 正多边形和圆的关系 （5）只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的，这个圆就是这个正多边形的 （6）正多边形都有个外接圆，反之，圆有个内接正多边形. 正多边形的计算： (7)正n边形的半径和边心距把正n边形分成个全等的直角三角形 由正多边形和圆的关系可知，正n边形的中心角为度；它的每个内角是度；每个外角是度。 二方法频道 1.正多边形和圆的关系： 例1.已知五边形ABCDE内接于⊙O，∠AOB=∠BOC=COD=∠DOE=72°.求证：五边形ABCDE 是正五边形。 E 分析：要证明某多边形是正五边形，必须从两方面进行证明：1.各角，2.各边，而证明角相等和边相等又往往借助于。 证明：∵∠AOB=∠BOC=COD=∠DOE=72°， ∴∠EOA=360°- ＝ . ∴∠AOB=∠BOC=COD=∠DOE=∠EOA, ∴ = = = = ∴AB=BC=CD=DE=EA 弧BCE=弧CDA=3 , ∴∠BAE=∠ABC, 2020年人教版九年级数学上册 24.3《正多边形和圆》随堂练习 基础题 知识点1 认识正多边形 1．下面图形中，是正多边形的是( ) A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．等腰梯形 2．如图，正六边形的每一个内角都相等，则其中一个内角α的度数是( ) A．240° B．120° C．60° D．30° 3．一个正多边形的一个外角等于30°，则这个正多边形的边数为． 4．如图，AC是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠ACB= ． 知识点2 与正多边形有关的计算 5．如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O的半径是( ) A. 3 B．2 C．2 2 D．2 3 6．下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是( ) A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 7．若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为( ) A. 2 B．2 2 C. 2 2 D．1 8．边长为6 cm的等边三角形的外接圆半径是． 9．如图，将正六边形ABCDEF放在直角坐标系中，中心与坐标原点重合．若A点的坐标为(－1，0)，则点C的坐标为( )． 10．将一个边长为1的正八边形补成如图所示的正方形，这个正方形的边长等于 (结果保留根号)． 知识点3 画正多边形 11．如图， 甲：①作OD的中垂线，交⊙O于B，C两点； ②连接AB，AC，△ABC即为所求的三角形. 乙：①以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于B，C两点； ②连接AB，BC，CA，△ABC即为所求的三角形. 对于甲、乙两人的作法，可判断( ) A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误 C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确 12．图1是我们常见的地砖上的图案，其中包含了一种特殊的平面图形——正八边形． 如图2，AE是⊙O的直径，用直尺和圆规作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH(不写作法，保留作图痕迹)． 中档题 13．正三角形内切圆半径r与外接圆半径R之间的关系为( ) A．4R=5r B．3R=4r C．2R=3r D．R=2r 14．如图，正五边形ABCDE放入某平面直角坐标系后，若顶点A，B，C，D的坐标分别是(0，a)，(－3，2)，(b，m)，(c，m)，则点E的坐标是( ) A．(2，－3) B．(2，3) C．(3，2) D．(3，－2) 24．3 正多边形和圆 一、【教学目标】 知识与能力：了解正多边形与圆的关系，以及正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念．经历探索正多边形与圆的关系过程，学会运用圆的有关知识解决问题，并能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题． 过程与方法：学生在探讨正多边形和圆的关系的学习过程中，体会到要善于发现和解决问题，提升学生的观察、比较、分析、概括及归纳的思维能力和推理能力． 情感态度与价值观：学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活，又应用于生活，体会到事物之间是相互联系，相互作用的. 重点：了解正多边形与圆的关系，了解正多边形的有关概念． 难点：探索正多边形与圆的关系． 二、【教学过程】 一、巩固基础，复习回顾 问题1：什么是多边形？ 问题2：多边形的内角和、外角和分别是多少？ 问题3：什么样的多边形是正多边形？ 问题4：正多边形都有哪些性质？（数量关系和对称性） 教师演示课件，提出问题，引导学生观察、思考． 学生独立思考，发表各自见解． 二、情景引入，探索新知 1、提出问题 你知道正多边形与圆的关系吗？ 正多边形和圆的关系非常密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆. 例题：以圆内接正五边形为例证明：如图,把⊙O分成相等的5段弧,依次连接 各分点得到正五边形ABCDE. 问题：如果将圆n等分，依次连接各分点得到一个n边形，这n边形一定是正n边形吗？ 定义：把圆分成n（n≥3）等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内 接正多边形. 教师演示课件，把圆分成相等的5段弧，依次连接各个分点得到五边形． 教师引导学生从正多边形的定义入手，证明多边形各边都相等，各角都相等，引导学生观察、分析． 正多边形和圆 一、选择题 1.下列说法正确的是（） A .各边相等的多边形是正多边形 B .各角相等的多边形是正多边形 C .各边相等的圆内接多边形是正多边形 D .各角相等的圆内接多边形是正多边形 2.（2013?天津）正六边形的边心距与边长之比为（ ） A ．：3 B ．：2 C ． 1：2 D ．：2 3.(2013山东滨州)若正方形的边长为6，则其外接圆半径与内切圆半径的大小分别为 ( ) A ．6，32 B ．32，3 C ．6，3 D ．62，32 4. 如图所示，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ， 则∠ADB 的度数是（）． A ．60° B ．45° C ．30° D ．22．5° 5.半径相等的圆的内接正三角形，正方形，正六边形的边长的比为（） A.1:2:3 B.3:2:1 C.3:2:1 D.1:2:3 6. 圆内接正五边形ABCDE 中，对角线AC 和BD 相交于点P ， 则∠APB 的度数是（）． A ．36° B ．60° C ．72° D ．108° 7.（2013?自贡）如图，点O 是正六边形的对称中心，如果 用一副三角板的角，借助点O （使该角的顶点落在点O 处）， 把这个正六边形的面积n 等分，那么n 的所有可能取值的 个数是（ ） A.4 B.5 C.6 D. 7 8.如图，△PQR 是⊙O 的内接正三角形，四边形ABCD 是⊙O 的内接正方形，BC ∥QR ，则∠AOQ 的度数是（） A.60° B.65° C.72° D.75° 二、填空题 9.一个正n 边形的边长为a ，面积为S ，则它的边心距为__________. 10.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于__________度. 第4题 第6题 第7题 第8题 圆的确定 教学目标 了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念． 教学过程： 一、知识连接： 1、线段的垂直平分线有什么性质？ 2、如何用尺规做线段的垂直平分线？ 3、确定圆的两要素是什么？ 二、探索新知： 1、做一做： (1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？ 友情提示：以点A以外的______点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)． (2)作圆，使它经过已知点A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？ 友情提示：在AB的_________上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)． (3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？ 友情提示：要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的________，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的_________，这两条垂 直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆． 作法图示 1．连结AB、BC 2．分别作AB、BC的垂直 平分线DE和FG，DE和 FG相交于点O 3．以O为圆心，OA为半 径作圆 ⊙O就是所要求作的圆 回思：过已知一点可作_____个圆；过已知两点也可作______个圆，圆心在______；过不在同一条直线上的三点只能作____个圆，圆心在________________。 由此可得到定理：不在同一直线上的三个点确定一个圆． 2、有关定义 由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形． 外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)． 巩固新知： 已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？ 解：如下图． 3.7 正多边形和圆（第一课时） 一、教学目标 1. 了解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念，了解正多边形与圆的关系。 2. 探索正多边形的性质，能利用正多边形的性质进行有关的计算。 二、自学指导： 1、把一个圆分成相等的n 段弧后作出的这个圆的内接多边形是正多边形吗？你会证明吗？（2）正n 边形的对称性如何？ 2、正n 边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？ 注：自学时间为5分钟，5分钟后比谁能更准确快速地完成检测题。 三、检测题： 1、矩形是正多边形吗？菱形呢？正方形呢？为什么？ 2、如图，o 的内接正六边形ABCDEF 中，OP BC ⊥于点 则这个正六边形的中心为 ；它的半径为 ； 中心角是∠ ，是 度；边心距为 。 思考1：正多边形的中心、半径、中心角、边心距的定义是什么？ 讨论1：正n 边形的一个内角的度数是多少？中心角呢？正多边形的中心角与外角的大小有什么关系？（3n ≥） 讨论2：正n 边形的对称性如何？（3n ≥） (3)如图:在O 中，AB BC CD DE EF AF =====,六边形ABCDEF 是O 的内接六边形，求证：六边形ABCDEF 是正六边形. D A 思考2： 1、各边相等的圆内接多边形是正多边形吗？各角相等的圆内接多边形呢？如果是，请说明为什么，如果不是，举出反例. 例：一个正六边形花坛的半径为R ，求花坛的边长a ，周长p 和面积s 。. 四、巩固练习 1、下面的命题是真命题吗？如果不是，请举出一个反例。 （1）正多边形的对称轴是经过正多边形的顶点和中心的直线。 （2）边数为偶数的正多边形，既是轴对称图形又是中心对称图形。 （3）既是轴对称图形又是中心对称图形的多边形是正多边形。 （4）有一个外接圆和一个内切圆的多边形是正多边形。 2、正六边形ABCDEF 的顶点都在以原点为圆心、以2为半径的圆上，点B 在y 轴正半轴上，求六边形ABCDEF 各顶点的坐标。 五、课堂小结： 1.基础知识： 2.基本技能： 3.基本活动经验： 4.基本数学思想 八、布置作业 配套练习册 九、教学反思 D A 圆 24.1.1 圆 知识点一圆的定义 圆的定义：第一种：在一个平面内，线段 OA 绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 A 所形成的图形叫作圆。固定的端点 O 叫作圆心，线段 OA 叫作半径。第二种：圆心为 O，半径为 r 的圆可以看成是所有到定点 O 的距离等于定长 r 的点的集合。 比较圆的两种定义可知：第一种定义是圆的形成进行描述的，第二种是运用集合的观点下的定义，但是都说明确定了定点与定长，也就确定了圆。 知识点二圆的相关概念 （1）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫作直径。 （2）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。（3） 等圆：等够重合的两个圆叫做等圆。 （4）等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。 弦是线段，弧是曲线，判断等弧首要的条件是在同圆或等圆中，只有在同圆或等圆中完全重合的弧才是等弧，而不是长度相等的弧。24.1.2 垂直于弦的直径 知识点一圆的对称性 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。知 识点二垂径定理 （1）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。如图所示，直径为 CD，AB 是弦，且CD⊥AB， C M A B AM=BM 垂足为 M AC =BC AD=BD D 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧如 上图所示，直径 CD 与非直径弦 AB 相交于点 M， CD⊥AB AM=BM AC=BC AD=BD 注意：因为圆的两条直径必须互相平分，所以垂径定理的推论中，被平分的弦必须不是直径，否则结论不成立。 24.1.3 弧、弦、圆心角 知识点弦、弧、圆心角的关系（1）弦、弧、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 （2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余的各组量也相等。 24.3 正多边形和圆教案 教学内容 1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的外接圆，正多边形的中心，?正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边形的边心距． 2．在正多边形和圆中，圆的半径、边长、边心距中心角之间的等量关系． 3．正多边形的画法． 教学目标 了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形． 复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节间的内容． 重难点、关键 1．重点：讲清正多边形和圆中心正多边形半径、中心角、弦心距、?边长之间的关系． 2．难点与关键：通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、?弦心距、边长之间的关系． 教学过程 一、复习引入 请同学们口答下面两个问题． 1．什么叫正多边形？ 2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、?中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？ 老师点评：1．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有无数多条；?正多边形是中心对称图形，其对称中心是正多边形对应顶点的连线交点． 二、探索新知 如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，过点到顶点的连线 为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，?正六边形ABCDEF ，连结AD 、CF 交于一点，以O 为圆心，OA 为半径作圆，那么肯定B 、C 、?D 、E 、F 都在这个圆上． 因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 我们以圆内接正六边形为例证明． 如图所示的圆，把⊙O ?分成相等的6?段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF ，下面证明，它是正六边形． ∵AB=BC=CD=DE=EF ∴AB=BC=CD=DE=EF 又∴∠A= 12BCF=1 2（BC+CD+DE+EF ）=2BC ∠B=12CDA=1 2 （CD+DE+EF+FA ）=2CD ∴∠A=∠B 同理可证：∠B=∠C=∠D=∠E=∠F=∠A 正多边形和圆 一、本节学习指导 本节我们重点了解正多边形的各种概念和性质，在命题中正多边形经常和三角形、圆联合命题，部分地区也会以这部分综合题作为压轴题。 二、知识要点 1、正多边形 （1）、正多边形的定义 各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形。如：正六边形，表示六条边都相等，六个角也相等。 （2）、正多边形和圆的关系 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。 （3）、正多边形的中心 正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。 （4）、正多边形的半径 正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径。 （5）、正多边形的边心距 正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距。 （6）、中心角 正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。 2、正多边形的对称性 （1）、正多边形的轴对称性 正多边形都是轴对称图形。一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心。 （2）、正多边形的中心对称性 边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的对称中心是正多边形的中心。 （3）、正多边形的画法 先用量角器或尺规等分圆，再做正多边形。 24.3正多边形和圆 一、填空题 1． 在一个圆中，如果?60的弧长是π，那么这个圆的半径r=_________. 2． 正n 边形的中心角的度数是_______. 3． 边长为2的正方形的外接圆的面积等于________. 4． 正六边形的内切圆半径与外接圆半径的比等于_________. 二、选择题 5．正多边形的一边所对的中心角与该正多边形一个内角的关系是（ ）. （A ） 两角互余 （B ）两角互补 （C ）两角互余或互补 （D ）不能确定 6．圆内接正三角形的边心距与半径的比是（ ）. （A ）2：1 （B ）1：2 （C ）4:3 （D ）2:3 7．正六边形的内切圆与外接圆面积之比是（ ） （A ）43 （B ）23 （C ）21 （D ）4 1 8．在四个命题：（1）各边相等的圆内接多边形是正多边形；（2）各边相等的圆外切多边形是正多边形；（3）各角相等的圆内接多边形是正多边形；（4）各角相等的圆外切多边形是正多边形，其中正确的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 9．已知：如图48-1，ABCD 为正方形，边长为a ，以B 为圆心，以BA 为半径画弧，则阴影 部分面积为（ ）. （A ）（1-π）a 2 （B ）1-π （C ） 44π- （D ）4 4π-a 2 1. 3； 2. n o 360；3. ∏2；4. 2:3； DBABD 圆的复习专题学案 学习目标： （1）理解圆、等圆、等弧等概念及圆的对称性，掌握点和圆的位置关系； （2）掌握垂径定理及其逆定理和圆心角，弧，弦，弦心距及圆周角之间的主要关系；掌握圆周角定理并会用它们进行计算； （3）掌握圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角的性质。 （4）会计算弧长，扇形面积以及圆锥侧面展开图的相关计算 能力目标： 通过知识点和典型题的讲练，使学生熟练掌握本节课的知识点，再用题图变形与题组训练来培养学生综合运用知识的能力以及思维的灵活性和广阔性。 情感目标： 通过题图变形与题组训练来激发学生学习数学的兴趣；同时将课本的题目与中考题结合在教学当中以进一步向学生强调“依纲靠本”的复习指导思想，强化学生的中考意识。 教学过程： 考点一圆心角、弧、弦之间的关系 例1 (2018·青岛中考)如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠AOC＝140°，点B 是的中点，则∠D的度数是( ) A．70° B．55° C．35.5° D．35° 跟踪练习 如图，P是⊙O外一点，PA，PB分别交⊙O于C，D两点，已知，弧AB,弧CD的度数分 别为88°，32°，则∠P的度数为( ) A．26° B．28° C．30° D．32° 考点二例2 (2015·泰安中考)如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠B＝60°，⊙O的半径为4，则AC的长等于( ) 跟踪练习(2019·德州中考)如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E， CE＝1，AB＝6，则弦AF的长度为________________ ． 考点三圆周角定理及其推论(5年3考) 例3 (2017·泰安中考)如图，△ABC内接于⊙O，若∠A＝α，则∠OBC等于 ( ) A．180°－2αB．2α C．90°＋αD．90°－α 跟踪练习(2018·济宁中考)如图，点B，C，D在⊙O上，若∠BCD＝130°，则 ∠BOD的度数是( ) A．50°B．60°C．80°D．100°正多边形的概念及正多边形与圆的关系
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