2021年高二下学期第一次段考数学文试题 含答案
x ?
a
b
x y)
(
f
y=
O
年高二下学期第一次段考数学文试题含答案
黄泳如参考公式：线性回归系数
一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．双曲线的渐近线方程为( )
A．3x±4y=0 B． 4x±3y=0 C． 3x±5y=0 D．5x±3y=0
2 抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，其上一点P(m，1)到焦点距离为5，则抛物线方程为
（）
A．B．C．D．
3.函数lnx的单调递减区间是（）
A.()
B. () C （） D （0，e）
4.函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极值点（）
A．1个B．2个
C．3个D．4个
5．对100只小白鼠进行某种激素试验，其中雄性小白鼠、雌性小白鼠对激素的敏感情况统计得到如下列联表
由
附表：
正
视图侧视图俯视图
则下列说法正确的是( )
A ．在犯错误的概率不超过的前提下认为“对激素敏感与性别有关”；
B ．．在犯错误的概率不超过的前提下认为“对激素敏感与性别无关”；
C ．有以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”；
D ．有以上的把握认为“对激素敏感与性别无关”；
6.对于上的任意函数，若满足，则必有 （ ）Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
7．对两个变量y 和x 进行回归分析，得到一组样本数据：(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，则下列说法中不正确的是( )
A ．由样本数据得到的回归方程必过样本点的中心(x ，y )
B ．残差平方和越小的模型，拟合的效果越好
C ．用相关指数R 2来刻画回归效果，R 2
的值越小，说明模型的拟合效果越好
D ．在残差图中，残差点比较均匀地落在水平带状区域中，说明选用的模型比较合适，带状区域越
窄，说明回归方程的预报精确度越高；
8. 如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的可能图像是（ ）
A B C D 9．函数y=f(x) 的图象过原点且它的导函数y=f ′(x)的图象是如
图所示的一条直线，y=f(x)的图象的顶点在 （ ） A ．第I 象限 B ．第II 象限 C ．第Ⅲ象限 D ．第IV 象限 10. 已知点P 在曲线y ＝x 3－3x 上移动，在点P 处的切线倾斜角为α，则α的取值范围是( )
A ．[0，π
2
]
B ．[2π
3，π)
C ．[0，π2)∪[2π
3
，π)
D ．[0，π2)∪[5π
6
，π)
二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）
O t h h t O h t O O t h
11.函数y ＝1
3x 3－ax 2＋x －2a 在R 上不是单调函数，，则a 的取值范围是________．
12如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________.
13. 曲线上的点到直线的最短距离是______________
14.求曲线过原点的切线方程
三、解答题：（本大题共6小题，共80分．）
15．（12分）某产品的广告支出x(单位：万元)与销售收入y(单位：万元)之间有下表所对应的数据.
(1)画出表中数据的散点图； (2)求出y 对x 的线性回归方程；
(3)若广告费为9万元，则销售收入约为多少万元？()
16．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝1
3x 3－ax 2＋(a 2－1)x ＋b (a ，b ∈R )，其图象在点(1，f (1))处的
切线方程为x ＋y －3＝0.
(1)求a ，b 的值；
(2)求函数f (x )的单调区间、极值点，并求出f (x )在区间[－2,4]上的最大值．
17．（本小题共14分）已知椭圆的离心率为，右焦点为（,0），斜率为1的直线与椭圆G 交与A 、B
两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P （-3,2）. （I ）求椭圆G 的方程； （II ）求的面积.
18. （本题满分14分）某园林公司计划在一块为圆心,(为常数，单位为米)为半径的半圆形（如
图）地上种植花草树木，其中弓形区域用于观赏样板地，区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本．．是每平方米2元，花木的利润．．
是每平方米8元，草皮的利润．．
是每平方米3元.
（1）设, ,用表示弓形的面积;
（2）园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大? 并求相对应的 (参考公式:扇形面积公式，表示扇形的弧长)
19. （本题满分14分）已知函数f (x )＝x 2＋ax －ln x ，a ∈R ；
(1)若函数f (x )在[1,2]上是减函数，求实数a 的取值范围；
(2)令g (x )＝f (x )－x 2，是否存在实数a ，当x ∈(0，e ](e 是自然对数的底数)时，函数g (x )的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．
20. （本题满分14分） 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程；
（2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：
xx 一选择题
题号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
二、填空题
11． 、12． 、13． 、14． 。
三、解答题 15．（12分）
B
试室号：
16．（12分）17．（14分）
18.（14分）
19.（14分）
20.（14分）
xx 学年度下学期第一次段考高二级文科数学答案 一：选择题 C C D C C D C B A C
二：填空题 11. (－∞，－1)∪(1，＋∞) 12. 2 13.
14. ，
三：解答题
15.（12分） (1)散点图如图：
散点图2分
(2)观察散点图可知各点大致分布在一条直线附近，列出下列表格，以备计算、.于是，，代入公式得： 4分 ， 8分
9分
故y 与x 的线性回归方程为，其中回归系数为， 10分 它的意义是：广告支出每增加1万元，销售收入y 平均增加万元. (3)当x=9万元时，(万元). 12分
16.（12分） (1)f ′(x )＝x 2－2ax ＋a 2－1， 1分
∵(1，f (1))在x ＋y －3＝0上，∴f (1)＝2， 2分 ∵(1,2)在y ＝f (x )上，∴2＝1
3－a ＋a 2－1＋b ， 3分
又f ′(1)＝－1，∴a 2－2a ＋1＝0， 解得a ＝1，b ＝8
3. 4分
(2)∵f (x )＝13x 3－x 2＋8
3，∴f ′(x )＝x 2－2x ， 5分
、、的变化情况表： 表 7分
x
(－∞，0)
(0,2)
2
(2，＋∞)
f ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋
f (x )
极大值
极小值
所以f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和(2，＋∞)，单调递减区间是(0,2)． （9分） ∵f (0)＝83，f (2)＝4
3，f (－2)＝－4，f (4)＝8， (11分)
∴在区间[－2,4]上的最大值为8. 12分
（17）（14分）解：（Ⅰ）由已知得解得，又
所以椭圆G 的方程为
（3分）
（Ⅱ）设直线l 的方程为 （ 4分）
由得 5分
设A 、B 的坐标分别为AB 中点为E ， 则；（7分） 因为AB 是等腰△PAB 的底边，
所以PE ⊥AB.所以PE 的斜率解得m=2。 （10分） 此时方程①为解得所以 （11分）
所以|AB|=.此时，点P （—3，2）到直线AB ：的距离 （12分） （13分） 所以△PAB 的面积S= （14分）
18. （14分）解：（1），,
. ……………3分
(2)设总利润为元，草皮利润为元，花木地利润为，观赏样板地成本为 ，，,
22221231111
3()sin 8(sin )22222
y y y y R R R R πθθθθ∴=+-=-+?--? .
………8分 设 .
上为减函数；
上为增函数. ……………12分 当时，取到最小值,此时总利润最大.
答：所以当园林公司把扇形的圆心角设计成时，总利润最大. ……………14分
19. f ′(x )＝2x ＋a －1x ＝2x 2
＋ax －1
x
≤0在[1,2]上恒成立 （1分）
令h (x )＝2x 2＋ax －1，x ∈[1,2]，∴h (x )≤0在[1,2]上恒成立 (2分)
∴?????
h (1)＝1＋a ≤0h (2)＝7＋2a ≤0得?????
a ≤－1a ≤－72
，∴a ≤－7
2. （5分） (2)假设存在实数a ，使g (x )＝f (x )－x 2，x ∈(0，e ]有最小值3 g (x )＝ax －ln x ，x ∈(0，e ]，g ′(x )＝a －1x ＝ax －1x （6分）
①当a ≤0时，g ′(x )<0，g (x )在(0，e ]上单调递减
∴g (x )min ＝g (e )＝ae －1＝3，∴a ＝4
e (舍去) (8分)
②当0<1a
a ，e ]上，g ′(x )>0
∴g (x )在(0，1a ]上单调递减，在(1
a
，e ]上单调递增
∴g (x )min ＝g ????1a ＝1＋ln a ＝3，∴a ＝e 2满足条件 （11分） ③当1a ≥e 即0 e 时，g ′(x )<0，g (x )在(0，e ]上单调递减 g (x )min ＝g (e )＝ae －1＝3 ∴a ＝4e >1 e (舍去) （13分） 综上所述，存在a ＝e 2使得当x ∈(0，e ]时，g (x )有最小值3. （14分） 20.（14分）解：（1）求函数的导数；．(1分) 曲线在点处的切线方程为： ， （2分） 即 ． （4分） （2）如果有一条切线过点，则存在，使．（5分） 于是，若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．（6分）记，则．（（7分） 当变化时，变化情况如下表： 当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根； 当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根． 综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则（13分）即．（14分）