指数对数练习题
专题四:指数函数和对数函数
一、知识梳理
1.指数函数
(1)指数函数的定义
一般地,函数y =a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数. (2)指数函数的图象
a > )
1
(0
底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称.
(3)指数函数的性质 ①定义域:R . ②值域:(0,+∞). ③过点(0,1),即x =0时,y =1.
④当a >1时,在R 上是增函数;当0<a <1时,在R 上是减函数.
2. 对数函数
(1)对数函数的定义
函数y =log a x (a >0,a ≠1)叫做对数函数. (2)对数函数的图象
a <11))
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称.
(3)对数函数的性质: ①定义域:(0,+∞). ②值域:R . ③过点(1,0),即当x =1时,y =0.
④当a >1时,在(0,+∞)上是增函数;当0<a <1时,在(0,+∞)上是减函数. 二、基础练习
1.若函数y =a x +b -1(a >0且a ≠1)的图象经过二、三、四象限,则一定有( )
A.0<a <1且b >0
B.a >1且b >0
C.0<a <1且b <0
D.a >1且b <0 解析:作函数y =a x +b -1的图象.答案:C
2. 已知c a b 2
12
12
1log log log <<,则( A )
A . 2b
>2a
>2c
B .2a >2b >2c
C .2c >2b >2a
D .2c >2a >2b
3.函数)
34(log 1
)(22-+-=
x x x f 的定义域为 (1,2)∪(2,3)
4. 若011log 22<++a a a
,则a 的取值范围是 )1,2
1
(
5.若函数)1,0( )(log )(3
≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,2
1
(-
内单调递增,则a 的取值范围是 )1,4
3[
6.方程2
lg lg(2)0x x -+=的解集是 }2,1{- .
7.函数y =(
2
1)222+-x x 的递增区间是___________. 解析:∵y =(2
1
)x 在(-∞,+∞)上是减函数,而函数y =x 2-2x +2=(x -1)2+1
的递减区间是(-∞,1),∴原函数的递增区间是(-∞,1).
8.若f -1(x )为函数f (x )=lg (x +1)的反函数,则f -
1(x )的值域为_(-1,+∞).
解析:f -
1(x )的值域为f (x )=lg (x +1)的定义域. 由f (x )=lg (x +1)的定义域为(-1,+∞),
∴f -
1(x )的值域为(-1,+∞).
三、典型例题
例1.把下面不完整的命题补充完整,并使之成为真命题:若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称,则函数)(x g = 。(注:填上你认为可以成为真命题的一件情形即可,不必考虑所有可能的情形).
答案:①x 轴,-3-log 2x ②y 轴,3+log 2(-x ) ③原点,-3-log 2(x ) ④直
线y=x , 2x -
3
例2. 若函数)1,0( )2(log )(2
≠>+=a a x x x f a 在区间)2
1,0(内恒有f (x )>0,则f (x )的
单调递增区间为( ) 答案:)2
1
,(--∞
例3.若f (x )=x 2-x +b ,且f (log 2a )=b ,log 2[f (a )]=2(a ≠1).
(1)求f (log 2x )的最小值及对应的x 值;
(2)x 取何值时,f (log 2x )>f (1)且log 2[f (x )]<f (1). 解:(1)∵f (x )=x 2-x +b , ∴f (log 2a )=log 22a -log 2a +b . 由已知有log 22a -log 2a +b =b , ∴(log 2a -1)log 2a =0. ∵a ≠1,∴log 2a =1.∴a =2. 又log 2[f (a )]=2,∴f (a )=4. ∴a 2-a +b =4,b =4-a 2+a =2.
故f (x )=x 2-x +2,从而f (log 2x )=log 22x -log 2x +2=(log 2x -21)2+4
7. ∴当log 2x =
21即x =2时,f (log 2x )有最小值4
7
. (2)由题意?????<+->+-2
)2(log 2
2log log 22222x x x x ???
?<<-<<>?21102x x x 或0<x <1. 例4.要使函数y =1+2x +4x a 在x ∈(-∞,1)上y >0恒成立,求a 的取值范围.
解:由题意,得1+2x +4x a >0在x ∈(-∞,1)上恒成立,
即a >-x
x
4
21+在x ∈(-∞,1)上恒成立. 又∵-x
x 421+=-(21)2x -(21)x =-[(21)x +21]2+41,
当x ∈(-∞,1]时值域为(-∞,-
43],∴a >-4
3
. 四、课后练习
1.已知f (x )=a x ,g (x )=-log b x ,且lg a +lg b =0,a ≠1,b ≠1,则y =f (x )与y =g (x )的图象( C )
A.关于直线x +y =0对称
B.关于直线x -y =0对称
C.关于y 轴对称
D.关于原点对称
2.设函数x x x f -+=11ln )(,则函数)1
()2()(x
f x f x
g +=的定义域为_(
2,1)?(1,2)__
3.已知f (x )=log 3
1[3-(x -1)2],则f (x )的值域为 ,单调增区间为 ,
单调减区间为 .
解:∵真数3-(x -1)2≤3,
∴log 3
1[3-(x -1)2]≥log 3
13=-1,即f (x )的值域是[-1,+∞].
又3-(x -1)2>0,得1-3<x <1+3,
∴x ∈(1-3,1]时,3-(x -1)2单调递增,从而f (x )单调递减;x ∈[1,1+3]时,f (x )单调递增.
4.已知函数f (x )=?????<+≥,
4),1(,
4,)21(x x f x x
则f (2+log 23)的值为
剖析:∵3<2+log 23<4,3+log 23>4,∴f (2+log 23)=f (3+log 23)=(
21)3+log 23=24
1
. 5.若直线y =2a 与函数y =|a x -1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点,则a 的取值范围
是______________. 解析:数形结合.由图象可知0<2a <1,0<a <2
1
.
6.若函数f (x )=log a x (0<a <1=在区间[a ,2a ]上的最大值是最小值的3倍,则a 等于 .
解析:∵0<a <1,∴f (x )=log a x 是减函数.
∴log a a =3·log a 2a .∴log a 2a =3
1
.
∴1+log a 2=31.∴log a 2=-3
2
.∴a =42.
7.设f -1(x )是f (x )=log 2(x +1)的反函数,若[1+ f -1(a )][1+ f -
1(b )]=8,则f (a +b )的值为 .
解析:∵f -1(x )=2x -1,∴[1+ f -1(a )][1+ f -
1(b )]=2a ·2b =2a +b .由已知2a +b =8,∴a +b =3.
8. 求函数y =2lg (x -2)-lg (x -3)的最小值.
解:定义域为x >3, 原函数为y =lg 3
)2(2
--x x .
又∵3)2(2--x x =3442-+-x x x =31)3(2)3(2-+-+-x x x =(x -3)+31-x +2≥4,
∴当x =4时,y min =lg4.
9.已知函数f (x )=3x +k (k 为常数),A (-2k ,2)是函数y = f -
1(x )图象上的点.
(1)求实数k 的值及函数f -
1(x )的解析式;
(2)将y = f -
1(x )的图象按向量a =(3,0)平移,得到函数y =g (x )的图象,若2 f
-1
(x +m -3)-g (x )≥1恒成立,试求实数m 的取值范围.
解:(1)∵A (-2k ,2)是函数y = f -
1(x )图象上的点, ∴B (2,-2k )是函数y =f (x )上的点. ∴-2k =32+k .∴k =-3. ∴f (x )=3x -3.
∴y = f -
1(x )=log 3(x +3)(x >-3).
(2)将y = f -
1(x )的图象按向量a =(3,0)平移,得到函数y =g (x )=log 3x (x >0),要使2 f -
1(x +m -3)-g (x )≥1恒成立,即使2log 3(x +m )-log 3x ≥1恒成
立,所以有x +
x m +2m ≥3在x >0时恒成立,只要(x +x m
+2m )min ≥3. 又x +x m ≥2m (当且仅当x =x m ,即x =m 时等号成立),∴(x +x
m +2m )min =4m ,
即4m ≥3.∴m ≥16
9
.