2021届高三数学之函数与导数(文理通用)专题04 函数与导数之零点问题

专题04 函数与导数之零点问题

一．考情分析

零点问题涉及到函数与方程，但函数与方程是两个不同的概念,但它们之间有着密切的联系,方程f (x )＝0的解就是函数y ＝f (x )的图像与x 轴的交点的横坐标,函数y ＝f (x )也可以看作二元方程f (x )－y ＝0通过方程进行研究.就中学数学而言,函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：

①是借助有关初等函数的性质,解有关求值、解(证)不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题：②是在问题的研究中,通过建立函数关系式或构造中间函数,把所研究的问题转化为讨论函数的有关性

质,达到化难为易,化繁为简的目的.

许多有关方程的问题可以用函数的方法解决,反之,许多函数问题也可以用方程的方法来解决.函数与方程的思想是中学数学的基本思想,也是各地模考和历年高考的重点.

二．经验分享

1.确定函数f (x )零点个数(方程f (x )＝0的实根个数)的方法：

(1)判断二次函数f (x )在R 上的零点个数，一般由对应的二次方程f (x )＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．

(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．

(3)若函数f (x )在[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f (a )·f (b )＜0，则y ＝f (x )在区间(a ，b )内有唯一零点．

2.导数研究函数图象交点及零点问题

利用导数来探讨函数)(x f y =的图象与函数)(x g y =的图象的交点问题，有以下几个步骤： ①构造函数)()()(x g x f x h -=； ②求导)('x h ；

③研究函数)(x h 的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）； ④画出函数)(x h 的草图，观察与x 轴的交点情况，列不等式； ⑤解不等式得解.

探讨函数)(x f y =的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.

三、题型分析

（一）确定函数的零点与方程根的个数问题

例1.【四川省成都七中2020届高三上半期考试，理科数学，12】

函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，周期是4，当[]2,0∈x 时，3)(2

+-=x x f ，则方程

0log )(2=-x x f 的根个数为（ ）

A.3

B.4

C.5

D.6 【答案】C

【解析】)(x f 是定义在R 上的偶函数，周期是4，当[]2,0∈x 时，3)(2

+-=x x f ，根据

性质我们可以画出函数图像，方程0log )(2=-x x f 的根个数转化成?

?

?==x y x f y 2log )

(的交点个

数，有图像可以看出，一共有5个交点，ABCDE.其中我x=8处是要仔细看图，是易错点。

我们将图像放大在8=x 时，

可以看到有两个交点。

【变式训练1】【2017中原名校高三上学期第三次质量考评】定义在实数集R 上的函数()f x ,满足()()()22f x f x f x =-=-,当[]0,1x ∈时,()2x

f x x =?.则函数

()()lg g x f x x =-的零点个数为（ ）

A ．99

B ．100 C.198 D ．200 【答案】B

【解析】()f x 是偶函数,图象关于直线1x =对称,周期是2,画图可得,零点个数为100,故选B.

【变式训练2】 【2017河南百校联盟高三11月质检】已知函数()f x 满足()14f x f x ??

=

???

,当1,14x ??

∈????时,()ln f x x =,若在1

,44??????

上,方程()f x kx =有三个不同的实根,则实数k 的

取值范围是（ ）

A.44ln 4,e ??--????

B.[]4ln 4,ln 4--

C.4,ln 4e ??--????

D. 4,ln 4e ??

--????

【答案】D 【解析】

由

题

意

,

1,14x ??

∈????

时

()ln f x x

=,当

(]

1,4x ∈时,

()1111,1,44ln 44f x f x x x x ??

??

∈===-? ??????

,如图 4ln x kx -=在

(]1,4x ∈有两解,4ln x

k x

-=

有两解,设函数

()()24ln 1n ,4x l x

g x g x x x

--'=

=-g x （）在(]1,e 上单调递减,在[],4e 上单调递增,4

ln 4k e

∴-

≤≤-.故选：D ．

【变式训练3】已知函数32

()f x x ax bx c =+++有两个极值点12,x x ，若

112()f x x x =<，则关于x 的方程23(())2()0f x af x b ++=的不同实根个数为（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6 【答案】A

【解析】2

'()32f x x ax b =++，12,x x 是方程2

320x ax b ++=的两根，

由2

3(())2()0f x af x b ++=，则又两个()f x 使得等式成立，

11()x f x =，211()x x f x >=，其函数图象如下：

x

21)=x 1

如图则有3个交点，故选A.

【变式训练4】若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（ ）

A ．(),a b 和(),b c 内

B ．(),a -∞和(),a b 内

C ．(),b c 和(),c +∞内

D ．(),a -∞和(),c +∞内 【答案】A

【解析】由a b c <<，可得()()()0f a a b a c =-->，()()()0f b b c b a =--<，

()()()0f c c a c b =-->．显然()()0f a f b ?<，()()0f b f c ?<，

所以该函数在(,)a b 和(,)b c 上均有零点，故选A ．

（二）根据函数零点个数或方程实根个数确定参数取值范围

例2.已知关于x 的方程22||ln 0x x ax x +-=恰有两解，则实数a 的取值范围为（ ） （A ）132

2

(,2)

(2,)e e -

-

-∞--+∞

（B ）312

2

(2,2)e

e -

-

（C ）132

2

(2,2)[0,)e e ----+∞

（D ）132

2

(2,2)e

e -

-

--

【答案】C

【解析】由已知得：求定义域()()+∞?∞-∈,00,x ， ①当0>x 时，0)ln(2

2

=-+x ax x x 整理，分离常数x x a ln 21-=

，令x

x

x g ln 21)(-=， 求导)('

x g 23ln 2x x -=，令导函数等于0，得到23

e x =，在???

? ??230e ，，x x x g ln 21)(-=递减，

在???

? ??∞+，23e 单增，==)()(

23

e g x g 极小值232--e ；

②当0

2

=++x ax x x 整理，分离常数x x a 1ln 2+=，令x

x x h 1ln )(2+=，

求导2

2

'

ln 1)(x x x h -=，令导函数等于0，得到21

e x -=，在???

? ??-∞-21e ，，)(x h 单调递减，

在???

? ??-021，e 单调递增，21

212)()(--=-=e e h x h 极小值，

恰好有两个解，结合函数图像得a 的取值范围为（C ）1

32

2

(2,2)[0,)e e ----+∞，所以正确

答案是C 。

【变式训练1】【高2020届泸州高三第一次教学质量诊断性考试数学文科理科试题，12题】 已知函数x x f 3log )(=的图像与函数)(x g 的图像关于直线x y =对称，函数)(x h 的最小正周期为2的偶函数，且当[]1,0∈x 时，1)()(-=x g x h ，若函数)()(x h x kf y +=有三个零点，则实数k 的取值范围（ ）

A.(

)

3

7log 1， B.()35log 2,2-- C.()

1,log 235-- D.??

? ??

-

-21,log 37 【解析】因为函数x x f 3log )(=的图像与函数)(x g 的图像关于直线x y =对称； 所以：x

x g 3)(=，

再根据：13)(-=x x h ，()10≤≤x 且周期4=T ，画出图像：

函数)()(x h x kf y +=有三个零点???-=-=?x

x k x kf x h 3

log )(1

3)(有三个交点， 讨论k 的不同情况：

①0=k ，此时会有无数多的交点，不符合题意，舍去； ②0>k ，此时只会有一个交点，也不符合题意，舍去； ③0

由图像可以得出：

35log 220

)5(0

)3(-<<-????>

【变式训练2】 【第12题】已知偶函数)(x g 满足)1()1(--=-x g x g ，当[]1,0∈x 时，

12)(-=x x g ；若函数)()1(log k 2x g x y -+=有3个零点，则k 的取值范围（ ）

A.???

??1,21 B.[

)1,log 2

3 C.??? ??32log 21， D.??? ?

?21log 26，

【解析】由已知得：偶函数)(x g 满足)1()1(--=-x g x g ，满足)()(x g x g =- 所以)1()1()1(+=--=-x g x g x g )2()(+=?x g x g 周期是2，然后是偶函数。

12)(-=x x g 的函数图像为图中红色部分；

函数)()1(log k 2x g x y -+=有3个零点?()

()

???-==+，偶函数周期为212)(log )(12x

x x g k x h 有三个交点；

分类讨论k 的不同情况：

①0=k ，此时会有无数多的交点，不符合题意，舍去； ②0k ,要保证有三个交点，我们做出图像：

由图像可以知道：

??

?>+<+.

1)13(log ;1)11(log 22k k ?121

<

=f x x ．又函数()()=cos g x x x π，则函数()()()h x g x f x =-在13

[,]22

-上的零

点个数为（ ）

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8 【答案】B

【解析】由题意()()f x f x -=知，所以函数()f x 为偶函数，所以

()(2)(2)f x f x f x =-=-，所以函数()f x 为周期为2的周期函数，

且(0)0f =，(1)1f =，而()|cos()|g x x x π=为偶函数，

且1

13(0)()()()0222

g g g g ==-==，在同一坐标系下作出两函数在13[,]22

-上的图像，发

现在13[,]22-内图像共有6个公共点，则函数()()()h x g x f x =-在13

[,]22

-上的零点个数

为6，故选B ．

（三）根据函数零点满足条件解不等式或证明不等式

例3.已知函数321()e 2(4)243x f x x x a x a ??

=-++--????

，其中a ∈R ，e 为自然对数的底数．

（1）若函数()f x 的图象在0x =处的切线与直线0x y +=垂直，求a 的值； （2）关于x 的不等式4

()e 3

x f x <-在(2)-∞，上恒成立，求a 的取值范围； （3）讨论函数()f x 极值点的个数． 【解析】

(1) 由题意，321()e 3x f x x x ax a ??

'=-+- ???

， 因为()f x 的图象在0x =处的切线与直线

0x y +=垂直，

所以(0)=1f '，解得1a =-.

(2) 【法一】：由4()e 3x f x <-，得3214e 2(4)24e 33x x x x a x a ??

-++--<-????

，

即326(312)680x x a x a -++--<对任意(2)x ∈-∞，恒成立， 即()32636128x a x x x ->-=-对任意(2)x ∈-∞，恒成立，

因为2x <，所以()()322

612812323

x x x a x x -++>

=----， 记()2

1()23

g x x =-

-，因为()g x 在(2)-∞，

上单调递增，且(2)0g =， 所以0a ≥，即a 的取值范围是[0)+∞，．

【法二】：由4()e 3x f x <-，得3214e 2(4)24e 33x x x x a x a ??-++--<-????

，

即326(312)680x x a x a -++--<在(2)-∞，上恒成立，

因为326(312)680x x a x a -++--<等价于2(2)(434)0x x x a --++<， ①当0a ≥时，22434(2)30x x a x a -++=-+≥恒成立， 所以原不等式的解集为(2)-∞，，满足题意．

②当0a <时，记2()434g x x x a =-++，有(2)30g a =<， 所以方程24340x x a -++=必有两个根12,x x ，且122x x <<， 原不等式等价于12(2)()()0x x x x x ---<，解集为12()

(2)x x -∞，，，与题设矛盾，

所以0a <不符合题意．综合①②可知，所求a 的取值范围是[0)+∞，．

(3) 因为由题意，可得321()e 3x f'x x x ax a ??=-+- ???

，

所以()f x 只有一个极值点或有三个极值点. ……11分 令321

()3

g x x x ax a =-+-， ①若()f x 有且只有一个极值点，所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且只穿过一次， 即()g x 为单调递增函数或者()g x 极值同号．

ⅰ）当()g x 为单调递增函数时，2()20g'x x x a =-+≥在R 上恒成立，得1a ≥．………12分

ⅰ）当()g x 极值同号时，设12,x x 为极值点，则12()()0g x g x ?≥，

由2()20g'x x x a =-+=有解，得1a <，且21120,x x a -+=22220x x a -+=， 所以12122,x x x x a +==，

所以3211111()3

g x x x ax a =-+-211111(2)3

x x a x ax a =--+- 11111(2)33x a ax ax a =---+-[]12

(1)3a x a =--，

同理，[]222

()(1)3

g x a x a =--，

所以()()[][]121222

(1)(1)033

g x g x a x a a x a =--?--≥，

化简得221212(1)(1)()0a x x a a x x a ---++≥，

所以22(1)2(1)0a a a a a ---+≥，即0a ≥， 所以01a <≤． 所以，当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点；

②若()f x 有三个极值点，所以函数()g x 的图象必穿过x 轴且穿过三次，同理可得0a <； 综上，当0a ≥时，()f x 有且仅有一个极值点， 当0a <时，()f x 有三个极值点．

【变式训练1】【2017浙江杭州地区重点中学期中】已知函数2||

()2

x f x kx x =-+（x R ∈）有四个不同的零点,则实数k 的取值范围是（ ） A ．0k <

B ．1k <

C ．01k <<

D ．1k >

【分析】把函数2||

()2

x f x kx x =

-+（x R ∈）有四个不同的零点转化为方程1(2)k x x =

+有三个不同的根,再利用函数图象求解

【点评】()()y f x g x =- 零点问题也可转化为方程()()f x g x =的根的问题,

()()f x g x =的根的个数问题,可以转化为函数()y f x =和()y g x =图象交点的个数问题,

通过在直角坐标系中作出两个函数图象,从而确定交点的个数,也就是方程()()f x g x =根的个数．

【变式训练2】【2018届北京北京师大附中高中三年级期中】已知函数

()()221,1

{

log 1,1

x x f x x x +≤=+>, ()2221g x x x m =-+-.若函数()y f g x m ??=-?? 恰有6个不同的零点,则m 的取值范围是( )

A. (]

0,3 B. (),1-∞ C. ()0,1 D. 30,5?

? ???

【答案】D

【解析】∵函数()()2211{

log 11

x x f x x x +≤=->，，, ()2221g x x x m =-+-．∴当

()()2

1221g x x m =-+-≤时,即()2

132x m -≤-时,则

()()()()2

212143y f g x g x x m ==+=-+-,当()()2

1221g x x m =-+->时,即

()

2

132x m ->-时,则()()()22log 123y f g x x m ??==-+-??,①当320m -≤,即3

2

m ≥

时, y m =只与()()

()2

2log 123y f g x x m ??==-+-??

的图象有两个交点,不满足题意,应

该舍去；②当3

2

m <

时, y m =与()()()22log 123y f g x x m ??==-+-??的图象有两个交

点,需要直线y m =与函数()()

()()2

212143y f g x g x x m ==+=-+-的图象有四个交点时才满足题意,∴034m m <<-,又32m <

,解得3

05

m <<,综上可得： m 的取值范围是3

05

m <<,故选D ．

【变式训练3】【2017中原名校高三上学期第三次质量考评】已知定义在()0,+∞的函数

()()41f x x x =-,若关于x 的方程()()()2320f x t f x t +-+-=有且只有3个不同的

实数根,则实数t 的取值集合是 ． 【答案】{}

2,522-

【解析】设()()2

32g y y t y t =+-+-,当2t =时,0y =,1y =显然符合题意.2t <时,一正

一负根,()()00,10g g <<,方程的根大于1,()()()2

220f

x t f x t +-+-=只有1根；

2t >时,两根同号,只能有一个正根在区间()0,1,而()()02,1240g t g t =-=->,对称轴

()30,12

t

y -=

∈,13t <<,0522t ?=?=±所以522t =-所以取值集合为{}2,522-,故答案为{}2,522-.

四、迁移应用

1.设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8

()9

f x ≥-，则m 的取值范围是 A ．9,4

??-∞ ??

?

B ．7,3

??-∞ ??

?

C ．5,2

??-∞ ??

?

D ．8,3

??-∞ ??

?

【答案】B

【解析】：因为(1)2()f x f x +=，所以()2(1)f x f x =-，

当(0,1]x ∈时，1()(1),04f x x x ??

=-∈-

????

， 当(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x ??=-=--∈-????

， 当(2,3]x ∈时，1(1,2]x -∈，[]()2(1)4(2)(3)1,0f x f x x x =-=--∈-， 当(2,3]x ∈时，由84(2)(3)9x x --=-

解得73x =或8

3x =， 若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x -

，则7

3m ．

故选B ．

2.已知,a b ∈R ，函数32

,0

()11(1),03

2x x f x x a x ax x

=?-++≥??，若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则 A ．a <-1，b <0

B ．a <-1，b >0

C ．a ＞-1，b <0

D ．a ＞-1，b >0

【答案】C

【解析】：当0x <时，()(1)y f x ax b x ax b a x b =--=--=--，最多一个零点； 当0x 时，32321111

()(1)(1)3232

y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=

-++--=-+-， 2(1)y x a x '=-+，

当10a +，即1a -时，0y '>，()y f x ax b =--在上递增，()y f x ax b

=--最多一个零点不合题意；

当

10a +>，即1a >-时，令0y '>得(1,)x a ∈++∞，函数递增，令0y '<得(0,1)x a ∈+，函数递减；函数最多有2个零点；

根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个

零点，在[0,)+∞上有2个零点， 如下图：

所以01b a <-且32

11(1)(1)(1)03

2b a a a b ->???+-++-，3

1

(1)6

b a >-+． 故选C ．

3．已知函数0()ln 0?=?

>?，≤，

，，

x e x f x x x ()()=++g x f x x a ．若()g x 存在2个零点，则a 的取值范围是

A ．[1,0)-

B ．[0,)+∞

C ．[1,)-+∞

D ．[1,)+∞

【答案】C

【解析】函数()()=++g x f x x a 存在 2个零点，即关于x 的方程()=--f x x a 有2 个不同的实根，即函数()f x 的图象与直线=--y x a 有2个交点，作出直线=--y x a 与函数()f x 的图象，如图所示，

由图可知，1-≤a ，解得1≥a ，故选C ．

4．已知当[0,1]x ∈时，函数2

(1)y mx =-的图象与y m =的图象有且只有一个交点，

则正实数m 的取值范围是 A ．(]

)

0,123,?+∞

?

B ．(][)0,13,+∞

C ．

(

)

23,?+∞?

D ．(

[)3,+∞

【答案】B

【解析】当01m <≤时，

1

1m

≥，函数2()(1)y f x mx ==-，在[0,1]上单调递减，函数()y g x m ==，在[0,1]上单调递增，因为(0)1f =，(0)g m =，2(1)(1)f m =-，

(1)1g m =+，所以(0)(0)f g >，(1)(1)f g <，此时()f x 与()g x 在[0,1]x ∈有一个交点；当1m >时，1

01m

<

<，函数2()(1)y f x mx ==-，在 1[0,]m 上单调递减，在1[,1]m 上单调递增，此时(0)(0)f g <，在1

[0,]m

无交点， 要使两个函数的图象有一个交点，需(1)(1)f g ≥，即2

(1)1m m -+≥，解得3m ≥． 选B ．

5．已知函数()f x =2(4,0,

log (1)13,0

3)a x a x a x x x ?+,且1a ≠）在R 上单调递减，且关

于x 的方程|()|2f x x =-恰好有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是 A ．(0，

23] B ．[23，34] C ．[13，23

]{

34} D ．[13，23）{3

4

} 【答案】C

【解析】当0x <时，()f x 单调递减，必须满足4302

a --

，

故3

04a <，此时函数()f x 在[0,)+∞上单调递减，若()f x 在R 上单调递减，还需31a ，即1

3

a

，所以13

3

4

a

．当0x 时，函数|()|y f x =的图象和直线2y x =-只有一个公共点，即当

0x 时，方程|()|2f x x =-只有一个实数解．因此，只需当0x <时，方程

|()|2f x x =-只有一个实数解，根据已知条件可得，当0x <时，方程2(43)x a x +-+

32a x =-，即22(21)320x a x a +-+-=在(,0)-∞上恰有唯一的实数解．判别式24(21)4(32)4(1)(43)a a a a ?=---=--，当34a =

时，0?=，此时1

2

x =-满足题意；令2

()2(21)32h x x a x a =+-+-，由题意得(0)0h <，即320a -<，即23a <时，

方程2

2(21)320x a x a +-+-=有一个正根、一个负根，满足要求；当(0)0h =，即23

a =

时，方程2

2(21)320x a x a +-+-=有一个为0、一个根为23

-，满足要求；当(0)0h >，

即320a ->，即2334

a <<时对称轴(21)0a --<，此时方程2

2(21)320

x a x a +-+-=有两个负根，不满足要求；综上实数a 的取值范围是123

[,]{}334

．

6．若,a b 是函数()()2

0,0f x x px q p q =-+>> 的两个不同的零点，且,,2a b - 这三个

数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于 A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 【答案】．D

【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ?=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ?==，4

b a

=

．当适当排序后成等差数列时，2-必

不是等差中项，当a 是等差中项时，4

22a a

=-，解得1a =，4b =； 当

4a 是等差中项时，8

2a a

=-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==， 所以p q +9=，选D ．

7．对二次函数2

()f x ax bx c =++（a 为非零整数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是

A ．－1是()f x 的零点

B ．1是()f x 的极值点

C ．3是()f x 的极值

D ．点(2,8)在曲线()y f x =上 【答案】A

【解析】由A 知0a b c -+=；由B 知()2f x ax b '=+，20a b +=；由C 知

()2f x ax b '=+，令()0f x '=可得2b x a =-

，则()32b

f a

-=，则2434ac b a -=； 由D 知428a b c ++=，假设A 选项错误，则20

20434428

a b c a b ac b a a b c -+≠??+=??

?-=??++=??，得5108a b c =??=-??=?，满足题意，

故A 结论错误，同理易知当B 或C 或D 选项错误时不符合题意，故选A ． 8．已知函数()26

log f x x x

=

-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是 A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()2,4 D ．()4,+∞ 【答案】C

【解析】∵2(1)6log 160f =-=>，2(2)3log 220f =-=>，

231

(4)log 4022

f =

-=-<，∴()f x 零点的区间是()2,4．

9．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()=3f x x x -．则函数()()+3g x f x x =-的零点的集合为

A ．{1,3}

B ．{3,1,1,3}-- C

．{23} D

．{21,3}-

【答案】D

【解析】当0x ≥时，函数()g x 的零点即方程()3f x x =-的根，由2

33x x x -=-，解得

1x =或3；当0x <时，由()f x 是奇函数得2()()3()f x f x x x -=-=--，

即()f x =2

3x x --，由()3f x x =-得2x =-．

10．若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间

A ．(),a b 和(),b c 内

B ．(),a -∞和(),a b 内

C ．(),b c 和(),c +∞内

D ．(),a -∞和(),c +∞内 【答案】A

【解析】由a b c <<，可得()()()0f a a b a c =-->，()()()0f b b c b a =--<，

()()()0f c c a c b =-->．显然()()0f a f b ?<，()()0f b f c ?<，

所以该函数在(,)a b 和(,)b c 上均有零点，故选A ． 11．函数0.5()2|log |1x f x x =-的零点个数为 A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

【答案】B

【解析】令()0f x =，可得0.51

log 2x

x =

，由图象法可知()f x 有两个零点． 12．函数1

2

1()()2

x

f x x =-的零点个数为

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3 【答案】B

【解析】因为()f x 在[0,)+∞内单调递增，又1

(0)10,(1)02

f f =-<=>， 所以()f x 在[0,)+∞内存在唯一的零点．

13．设函数)(x f ()x R ∈满足()()f x f x -=，()(2)f x f x =-，且当[]0,1x ∈时，

()3=f x x ．又函数()()=cos g x x x π，则函数()()()h x g x f x =-在13

[,]22

-上的零点个

数为

A ．5

B ．6

C ．7

D ．8 【答案】B

【解析】由题意()()f x f x -=知，所以函数()f x 为偶函数，所以

()(2)(2)f x f x f x =-=-，所以函数()f x 为周期为2的周期函数，

且(0)0f =，(1)1f =，而()|cos()|g x x x π=为偶函数，

且1

13(0)()()()0222

g g g g ==-==，在同一坐标系下作出两函数在13[,]22

-上的图像，发

现在13[,]22-内图像共有6个公共点，则函数()()()h x g x f x =-在13

[,]22

-上的零点个数

为6，故选B ．

14．对实数a 与b ，定义新运算“?”：,1,

, 1.

a a

b a b b a b -≤??=?

->? 设函数

()()22()2,.f x x x x x R =-?-∈若函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是 A ．(]3,21,

2?

?-∞-?- ??? B ．(]3,21,4?

?-∞-?-- ??

?

C ．11,,44?

???-∞?+∞ ? ????? D ．311,,44????

--?+∞ ???????

【答案】B

【解析】由题意知，若22

2()1x x x ---≤，即312

x -≤≤

时，2

()2f x x =-；当222()1x x x --->，即1x <-或32

x >

时，2

()f x x x =-，要使函数()y f x c =-的图像与x 轴恰有两个公共点，只须方程()0f x c -=有两个不相等的实数根即可，即函数

()y f x =的图像与直线y c =有两个不同的交点即可，画出函数()y f x =的图像与直线