2015年湛江一中高一实验班招生考试数学科试节选

2015年湛一中高一实验班招生考试数学科试节选

1、如果一个直角三角形的两条长分别是5和12，另一个与它相似的直角三角形边长分别为6和8及x ，那么x 的值（ ）

A.有且仅有1个

B.有且仅有2个

C.有3个及以上但个数有限

D.无数个 解：第一个直角三角形的第三边可能是13或22125119-=； 而x 可能为10或228628-=；相似？ 我想下结论：本题是错题！

2、如图，在长方体包装盒中，AB=5，BC=4，CC 1=3，为只蚂蚁从点A 出发沿盒子的表面爬到点C 的最短距离为（ ）

A.90

B.80

C.78

D.74 解：选D ，如图. 立体改为平面 两点之间，线段最短.

3、已知关于x 的函数()2

21002y mx x x =-+≤≤，下列说法中，正确的是（ ）

A.当0m =时，没有最小值

B.当1m ≥时，max 43y m =-

C.当0m <时，max 11y m =-

D.当1

12

m ≤<时，min 1y = 解：①当0m =时，函数为10y x =-+在02x ≤≤时，y 随x 的增大而减小， 显然当2x =时，有最小值为8；

②当0m <时，二次函数()2

21002y mx x x =-+≤≤开口向下，且对称轴1

0x m

=

< 位于y 轴左侧，在02x ≤≤区间，y 随x 的增大而减小，此时，显然当2x =时，有最大值为max 1y =；

③当

112m ≤<时，二次函数()221002y mx x x =-+≤≤开口向上，且对称轴11x m

=> 显然，对称轴正好在02x ≤≤区间，则当1x m =时，有最小值，即min 1

1y m

=-；

④当1m ≥时，二次函数()221002y mx x x =-+≤≤开口向上，且对称轴1

1x m

=≤，

显然，当2x =时，有最大值，则max 43y m =-.故选B. 5、已知关于x 的方程

231

2x x x x x

+=+

，则该方程实数解的个数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 解：显然0x >，则原方程可化为2

1

23x x x

--=- 设2123y x x =--或21y x

=-

画草图，显然也看出抛物线1y 的最低点为()1,4- 当1x =时，21y =-4>- 则在第四象限两函数有两个交点， 所以当0x >时，方程有两个实数根；选B

6、如图是HZ 区地图的一部分，有一条江穿过该区，江的两岸分别为折线A —B —C 和折线D —O —E ，另有两地M 、N ，现要在江面上修建两座垂直于江岸的大桥及公路将M 、N 两地和江岸连通起来，使M 、N 间的桥路长最短。若A ()3,15、B ()3,3、C ()15,3、D ()0,15、E ()15,0、M ()16,12-、N ()11,1-

解：将点M ()16,12-向右平移动3个单位，得 到点M 1()13,12-，将点N ()11,1-向上平移3 个单位，得到点N 1()11,2，连结M 1N 1与AB 、BC 交于点P 、Q ，则桥架在P 、Q 处

则公路的最小值为M 1N 1=

()()

22

131112226--+-=；

所以桥和公路长的最小值为32.

7、8人每人同时得到一条消息，而且任意两人所得消息不同，他们两两电话相互告诉对方所知的全部消息，每次电话恰好用武之地分钟，为使每人都知道所有消息至少需（）分钟.

A.6

B.9

C.12

D.15 解：用表格整理：

第1对通话组 第2对通话组 第3对通话组 第4对通话组 第一次通话 1和2（2） 3和4（2） 5和6（2） 7和8（2） 第二次通话 1和3（4） 2和4（4） 5和7（4） 6和8（4） 第三次通话

1和5（8）

2和6（8）

3和7（8）

4和8（8）

故通话3次即可，33＝9分钟

8、如图，在四边形ABCD 中，已知△ABC 是等边三角形，∠ADC=30°，AD=3，BD=5，则边CD 的长是（ ）

A.32

B.25

C.4

D.4.5 解：如图，将△ACD 绕点C 旋转60°到△ACE 位置； 则AE ＝BD ＝5，CE ＝CD ，∠DCE ＝60°

连接DE ，则△DCE 是等边三角形，即DE ＝CD ， 所以∠CDE ＝60°，又∠ADC ＝30°， 所以∠ADE ＝90°，

所以CD ＝DE ＝22534-=.

本题主要用到的解题思想是边边相等，联想旋转，将交错在一起的图形展转到外去探究。 你能想到些什么吗？

正方形、等边三角形、等腰（直角）三角形背景下……

9、长为了4米的梯子搭在墙上与地面成45°角，作业时调整为60°角，如图，则梯子的顶端没墙面升高了 米. 解：考查三角函数而已， 调整前，梯子的高度是22米； 调整后，sin 604

h

?=

，即此时高度43h = 所以梯了升高了()

4322-米.

10、如图，有一所正方形的学校，北门（点A ）和西门（点B ）各开在北、西面围墙的正中间，在北门的正北方30米处（点C ）有一棵大榕树，如果一个学生从西门出来，朝正西走750米（点D ），恰好见到学校北面的大榕树，那么这所学校占地 平方米. 解：本题考查相似三角形， 设正方形边长为x ，则

130217502

x

x

=， 则S ＝2

43075090000x =??=

11、如图是某抛物线拱桥的示意图，已知该抛物线的函数表达式为2

11248

y x =-

+，为保护该桥的安全，在该抛物线上的点E 、F 处安装两盏警示灯（点E 、F 关于y 轴对称），这两盏灯的水平距离EF 是24米，则警示灯F 距水面AB 的高度是 米. 解：当12x =时，

21

1212948

y =-

?+= 这几道题是竞赛题？

应该是中考题中基础题和中档题！ 12、若1

2x x

-

=-，则221x x -=

.

解：122x x +

-=，则1

4x x

+=， 所以2

410x x -+=，解得23x =±， 显然01x <<（怎么得到呢？） 所以23x =-，

所以()

()

22

2

211

238323

x x -=--

=--.

13、在□ABCD 中，已知E 、F 分别为AB 、BC 的中点，CE 与DF 交于点G ， 若S △CGF ＝2，则S □ABCD ＝ . 解：连接AC 交DF 于点I ， 连接FE 并延长交DA 的延长于点H 则AI ∥FH ，且△AEH ≌△BEF 则可设BF ＝AH ＝x ，EF ＝FH ＝y 由

DA AI DH FH =，得223AI x y x

=，则AI ＝43y

又因为AC ＝2y ，则CI ＝2

3

y 所以

2

3

CG CI GE EF ==，则25CG CE = 所以

2

5

CGF CEF S S ??=，则5CEF S ?=，所以10BCE S ?=，所以S □ABCD ＝40. 14、已知抛物线2

y ax bx c =++与双曲线2

k y x

=有三个交点，A ()4,m -，B ()2,n -，

C ()3,p ，则不等式3

2

0ax bx cx k ++->的解集为 .

解：显然双曲线位于第一、三象限，两者在第三象限有两个交点，第一象限有一个交点，显然有抛物线开口向上，可画出草图啦！

（1）当0x <时，显然42x -<<-满足条件；（2）当0x >时，显然3x >满足条件.

15、以△ABC 的三边a 、b 、c 为边长分别向形外作正方形，其面积分别记作a S 、b S 、

c S ，若9a b c ++=，则a b c S S S ++的最小值是 .

解：显然a b c S S S ++＝222

a b c ++，

因为()()()222

0a b b c c a -+-+-≥

所以()

222

2222a b c ab bc ca ++≥++

因为()2

81a b c ++=，

所以222

2281a b c ab abc ca +++++=

所以()

222

22281ab bc ca a b c ++=-++

所以()

222381a b c ++≥，即222

27a b c ++≥

16、如图，已知AOM ＝60，在射线OM 上有点B ，使得AB 与OB 长度都是整数，由此称B 是“优雅点”，若OA ＝8，则图中的优雅点B 的个数为 . 解：过点B 作直线OA 的垂线BC ，连接BA ，分两种情况：

（1）如图1，点C 在线段OA 上； 显然OC ＝

12OB ，CA ＝1

82

-OB 设OB ＝x ，AB ＝y

则22

2

211822y x x x ????

--=- ? ?????

所以()2

2

448y x --=

即()()4448y x y x +--+=，显然8x y +>，即44y x +->且它们同为偶数

所以42442y x y x +-=??-+=?或41244y x y x +-=??-+=?或4846y x y x +-=??-+=?或4648y x y x +-=??-+=?

另一种情况也如此讨论，结论不影响

17、某公司n名员工准备外出旅游，有两项支出需提前预算：

（1）备用食品费：购买备用食品共花费510元，在出发前时，又有2名员工要加入（不再增加备用食品费），因此，先参加的员工平均每人比原来少分摊4元，现在每人需分摊多少元食品费？

（2）租车费：现在有两种车型可供租用，座数和租车费如下表所示：

车型座数租车费（元/辆）

A 7 500

B 10 600

请选择最合算的租车方案（仅从租车费角度考虑），并说明理由．

18、已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点D是优弧ABC的中点，弦DE⊥AB，

垂足为F，DE交AC于点G.

（1）证明AC＝DE；

（2）×××

19、已知△ABC ，AB ＝AC ＝2，∠A ＝90°，取含45°角的直角三角尺，将45°的顶点放在BC 中点O 处，并绕点O 处顺时针旋转三角尺，当45°角的两边分别与AB 、AC 交于点E 、F 时，如图2，设CF ＝x ，BE ＝y ． （1）求y 与x 的函数解析式，并写出x 的范围；

（2）三角尺绕点O 旋转过程中，△OEF 能否成为等腰三角形？如果能，求出相应的x 值；如果不能，请说明理由；

（3）如果以O 为圆心的圆与AB 相切，探究三角尺绕点O 旋转的过程中，EF 与圆O 的位置关系．

20、已知m 是实数，函数2

45y mx x m =+--在[]2,2-内有实数，求实数m 的取值范

围.

注意：[]2,2-表示22x -≤≤；类似有，(2,2]-表示22x -<≤