量子力学导论 第九章 chap9 力学量本征值问题的代数解法范文
第九章 力学量本征值问题的代数解法
§9.1 一维谐振子的Schr?dinger 因式分解法 升、降算符
一、Hamilton 量的代数表示 一维谐振子的Hamilton 量可表为
2222
1
21x p H μωμ+=
采用自然单位（1===ωμ ），
（此时能量以ω 为单位，长度以μω/ 为单位，动量以ωμ 为单位）
则
2
22
121x p H +=
而基本对易式是[]i p x =,。 令)(2
1
ip x a +=
，)(21ip x a -=+ 其逆为)(21a a x +=
+，)(2
a a i
p -=+。 利用上述对易式，容易证明(请课后证明)
1],[=+a a
将两类算符的关系式)(21a a x +=
+，)(2
a a i
p -=+ 代入一维谐振子的Hamilton 量2
22
121x p H +=
，有 ??? ??+=??? ?
?
+=+21?21N a a H
上式就是Hamilton 量的因式分解法，其中a a N
+
=?。 由于N N
??=+，而且在任何量子态ψ下 0),(),(≥==+ψψψψa a a a N
所以N
?为正定厄米算符
二、Hamilton 量的本征值
下面证明，若N ?的本征值为n ， ,2,1,0=n ，则H 的本征值n
E 为（自然单位，ω ） ??? ?
?
+=21n E n ， ,2,1,0=n
证明：设|n >为N
?的本征态( n 为正实数)，即 n n n N
=? 利用1],[=+a a 及a a N
+
=?容易算出 ++=a a N
],?[，a a N -=],?[ 因此n a n a N
-=],?[。 但上式 左边n na n a N n N a n a N
-=-=??? 由此可得n a n n a N
)1(?-=。 这说明，>n a |也是N
?的本征态，相应本征值为)1(-n 。 如此类推，从N
?的本征态>n |出发，逐次用a 运算，可得出N ?的一系列本征态 >n |，>n a |，>n a |2，…
相应的本征值为
n ，1-n ，2-n ，…
因为N
?为正定厄米算子，其本征值为非负实数。 若设最小本征值为0n ，相应的本征态为0n ，则
00=n a
此时
0000?n n a a n N ===+ 即0n 是N ?的本征值为0的本征态，或00
=n 。此态记为>0|，又称为真空态，亦即谐振子的最低能态(基态)，对应的能量本征值 ( 加上自然单位)为2/ω 。
利用
++=a a N
],?[ 同样可以证明
n a n n a N
+++=)1(? 这说明n a +也是N
?的本征态，本征值为)1(+n 。 利用上式及000?=N
， 从0出发，逐次用+
a 运算，可得出N
?的全部本征态： 利用1],[=+a a ，有N
a a aa ?11+=+=+
+
。 已知0是N
?的本征态，本征值是0 由n a n n a N
+++=)1(?可知 010?++?=a a N
即0+a 也是N
?的本征态，本征值是1。 下面看02+a 是否也是N
?的本征态，本征值是多少？ 显然
2000?00)?1(000?22222+++++++++++++++=+=+=+=?=?=a a a a a N a a a N a a a a a a a a a N
故02
+a
也是N
?的本征态，本征值是2。 这样
对本征态 >0|，>+0|a ，>+0|2
a ，…
N
?本征值为0， 1， 2，… H 本征值为2/1， 2/3， 2/5，…
所以，+
a 可以成为上升算符，a 可以称为下降算符。证毕。 这种描述体系状态的表象叫粒子数表象。
利用归纳法可以证明（课下证）：
N
?（即H ）的归一化本征态可表为（为什么？）
0)(!
1
n a n n +=
且满足
n n n H ??? ?
?
+=21，n n n n '='δ
由0)(!
1
n a n n +=
得 0)()!
1(1
11+++=
+n a n n
所以
>
++=>++=
>
>=
+++++1|10|)()!
1(10|)(!
1|11n n a n n a n n a n n
从而有
>>=-+n n n a |1|
而由n n n a a n N
>=>=+||?得 n n n a a n
>=+
|1 所以>>=
-++
n a a n
n a |11|
或>->=++1||n n a n a a 上式作用任一左矢|m <，有
>->=<<++1||||n n a m n a a m
利用1],[=+a a ，有1-=+
+aa a a ，代入上式，即
>->=<-<++1|||1|n n a m n aa m
或>->=<<-><++1|||||n n a m n m n aa m 利用>++>=+1|1|n n n a ，上式变为
>>=<<->++ 移项，得>+>=<+ 上式对任意m 都成立，所以 >+>=+n n n a |11| 或>->= 1||n n n a 。 连同>++>=+1|1|n n n a ， 这就是下降和上升算符的定义,很有用处。 三、升降算符的应用 1. 坐标和动量算符的矩阵元计算 利用>++>=+1|1|n n n a >->=1||n n n a 以及)(21a a x += +，)(2 a a i p -=+ 容易证明： ??? ??? ? -+=++=-'+''-'+'' μωδδμωδδ)1(2 , )1(211111n n n n n n n n n n n n n n i p n n x 拿第一式的证明为例。 因为)(2 1 a a x +=+， 所以 ) 1(2 1)1|'1|'1(21)1||'1|1|'(21) ||'||'(21||'1,'1,''-++++=>-<+>+<+=>-<+>++<=><+><=> = 00|>=a 即00)(=+ip x 。 在坐标表象中，上式可以写为 00|'=+ 插入完备性关系1|''''|''d =<>? x x x 得 00|''''||'''d >=<>+ 已经知道 )'''(' ''||'x x x i x p x -?? ->=<δ 令1= ，代入前式可以得出 00|'')]}'''(' d d [)'''('{''d >=<--+-?x x x x i i x x x x δδ 利用积分中δ函数的性质可得 00|''d d '>= ? +x x x 把x x →'，并注意)(0|0x x ψ>=<，有 0)(d d 0=??? ? ? +x x x ψ 解出得 2 02)(x e x -∝ψ 添上自然单位，可得出在坐标表象中的归一化基态波函数为 2 24 10)(x e x ω μπμωψ-?? ? ??= 而坐标表象中激发态的波函数为 0! 1 )(n n a x n n x x += =ψ 由于)(2 1 ip x a -=+ ，添上长度的自然单位μωα/1 =， 可得 ??? ? ?-= +x x a d d 121αα 所以 2 4 1222d d 1!1)(x n n e x x n x αααπαψ-?? ? ??-???? ??= 上次课复习 )(2 1 ip x a += ，)(21ip x a -=+ )(21a a x += +，)(2 a a i p -=+ 222121x p H += ，??? ??+=??? ? ? +=+21?21N a a H ， ??? ? ? +=21n E n ， ,2,1,0=n >++>=+1|1|n n n a ，>->=1||n n n a ， 0)(! 1 n a n n += 升降算符的应用 四、S-方程因式分解的条件 上述的因式分解法是Schr?dinger 提出来的。 可以证明，对于存在束缚态的一维势阱()x V ，只要基态能量0E 有限, ' 0ψ存在,则可定 义相应的升降算符，并对Hamilton 量进行因式分解。 另外还可以证明，对于r 幂函数形式的中心势)(r V ，只当r r V /1~)(（Coulomb 势）或2~)(r r V (各向同性谐振子势)时，径向S-方程才能因式分解。 总之，S -方程的因式分解与经典粒子束缚运动轨道的闭合性有某种关系。 §9.2 角动量算符的本征值和本征态 前面我们学习了轨道角动量、自旋角动量的性质（本征值和本征态）以及它们之间的耦合问题。 下面我们对角动量算符的本征值和本征态作一般的讨论。 一、一般角动量算符的对易关系 如果算符j ，其三个分量z y x j j j ,,满足下列对易关系 z y x j i j j =],[，x z y j i j j =],[，y x z j i j j =],[ 则以z y x j j j ,,作为三个分量的矢量算符j 称为角动量算符。且式 z y x j i j j =],[，x z y j i j j =],[，y x z j i j j =],[ 称为角动量的基本对易式。 轨道角动量l ，自旋角动量s 以及总角动量j s l =+的各分量都满足此基本对易式。 以下根据此基本对易式及角动量算符的厄米性来求出角动量的本征值和本征态。 定义 22 22z y x j j j j ++= 利用角动量分量间的一般对易式容易证明： 0],[2=αj j ，z y x ,,=α 定义 y x j j j i ±=± 其逆表示为 )(21-++= j j j x ，)(i 21 -+-=j j j y 同样可以证明： ±±±=j j j z ],[ z z j j j j j ±-=±22 z j j j j j 2=-+--+ )(222z j j j j j j -=++--+ 利用角动量的定义及分量的对易关系，上述几个式子是很容易证明的。 利用y x j j j i ±=±，有 ) (2)(2i i i i ) i )(i ()i )(i (2222 2222z y x y y x x y x y y x x y x y x y x y x y x j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j -=+=++-++-+=+-+-+=++--+ 所以)(22 2z j j j j j j -=++--+。 二、角动量本征值和本征态的代数解法 1. 声子的概念 前面我们在粒子数表象时所用的对易关系式 1],[=+a a 是针对玻色子体系而言的。 我们知道，光是玻色子，在被量子化后形成“光子”的概念。 同样，晶体里的格波（其实就是一种声波）的能量也是量子化的。人们把量子化了的格波叫做“声子”。声子和光子一样都是玻色子。 2. 角动量本征值和本征态的代数解法 考虑二维各向同性谐振子，相应的两类声子产生和湮灭算符用+ 1a ，1a 和+ 2a ，2a 表示,并满足 j i j i a a δ=+],[，0],[],[==+ +j i j i a a a a ，2,1,=j i 定义正定厄米算符 111?a a N +=，2 22?a a N += 其本征值分别为1n 和2n ， ,2,1,0,21=n n 它们分别表示两类声子的数目。 1?N 和2 ?N 的归一化共同本征态可表为 0! !)()(2121212 1n n a a n n n n ++= 定义算符 +++=+= x x j a a a a j )(211221 + ++=-=y y j a a a a i j )(211221 )??(2 1)(21212211N N j a a a a j z z -==-=+++ 由此定义角动量升降算符 21)i (a a j j j y x ++=+= +++-==-=)()i (12j a a j j j y x 利用对易式 j i j i a a δ=+],[，0],[],[==++j i j i a a a a ，2,1,=j i 容易证明 γαβγβαεj i j j =],[，z y x ,,,,=γβα 这正是角动量的基本对易式（1= ）。 因为 j i j i a a δ=+],[，0],[],[==+ +j i j i a a a a ，2,1,=j i 所以 [][][][]{} [ ][]{} [] 2 1121 22121121 21212212112212112211221,i 21,,i 41,,,,i 41)(i 21),(21],[a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a j j y x +++++++++++++++ +++=-=--+=? ? ????-+= 即 [][]{} [][][][]{} z y x j a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a j j i )(21i )(i 21) 00(i 21,,,,i 21,,i 21],[22111122121122121 21212212112211212122112=-=-=?+?-?+?=+++=+= ++++++ ++++++++++++ ++ 同理可证其它几个分量对易式。 同样可证明关系式 ??? ? ??+=++=12?2?222 2 N N j j j j z y x 其中2 21121???a a a a N N N +++=+=， 其本征值为 ,2,1,021=+=n n n 。 这样，2j 的本征值可表为)1(+j j ，且 ?? ?== ,25,23,21,2,1,02n j （？） 即角动量量子数j 只能取非负整数或半整数。 由前述可知，21n n 是1?N 、2 ?N 和N ?的共同本征态， 但 ??? ? ??+=12?2?2 N N j ，)??(2121N N j z -= 故21n n 也是),(2z j j 的共同本征态，且 ()??? ??? ?-=??? ??+=2 121212*********n n n n n n j n n n n n n j z 考虑到角动量本征态的习惯写法，不妨将21n n 改写为jm ，并定义 ()2121 n n j += ，()212 1n n m -= 现在的问题是，对于给定的()221n n j +=，即212n n j +=， m 可以取那些值？下面予以分析： 01=n ，1，…，j 2 j n 22=，12-j ，…，0 而j j j m ,,1, +--=， 即m 可以取),,1,(j j j +--这)12(+j 个值。 式()2121 n n j += ，()212 1n n m -=的逆可表示为 m j n +=1，m j n -=2 因而 0! !)()(2121212 1n n a a n n n n ++= 可改写为 0)! ()!()()(21m j m j a a jm m j m j -+=-+++ 相应地，利用 ()2121 n n j += ，()212 1n n m -=，21n n n += 式 ()??? ??? ?-=??? ??+=2 121212*********n n n n n n j n n n n n n j z 可改写为 ???? ?=+=jm m jm j jm j j jm j z )1(2 其中 ?? ?= ,25,23,21,2,1,0j ，j j j m ,,1, +--= 另外，请同学们课下证明一个非常重要的关系式 1))(1(±+±=±jm m j m j jm j 提示： 1.首先证明jm j ±是z j 的属于本征值1±m 的本征函数； 2.利用z j 本征值的非简并性，即 >±>=±1||jm jm j λ 得出λ的值。 请参阅陈鄂生《量子力学习题与解答》 p55 作业：p260 2, 3 §9.3 两个角动量的耦合与CG 系数 前面我们讨论过两个具体角动量的耦合 自旋与轨道角动量的耦合s l j += 自旋与自旋角动量的耦合21s s S += 下面讨论两个一般角动量的耦合 一、两个角动量的耦合 设1j 与2j 分别表示第一和第二粒子的角动量，即（取1= ） γβγαβαε111i ],[j j j =，γβγαβαε222],[j i j j =，z y x ,,,,=γβα 这两个角动量分别对不同粒子的态矢运算，属于不同的自由度，因而是彼此对易的： 0],[21=βαj j ，z y x ,,,=βα 定义两个角动量之和21j j j +=， 这就是两个角动量耦合的一般定义。 利用两个角动量各分量满足的基本对易式，同上节介绍的方法可以证明 γβγαβαεj j j i ],[= 或表成j i j j =?。 设),(12 1z j j 的共同本征态记为11m j ψ，即)1(= ???? ?=+=1 1111 111111121)1(m j m j z m j m j m j j j j ψψψψ 类似地，),(22 2z j j 的共同本征态记为22m j ψ ???? ?=+=222 22 22222222 2)1(m j m j z m j m j m j j j j ψψψψ 对两个粒子组成的体系，如果只考虑角动量所涉及的自由度，其任何一个态必然可以用 )2()1(2 2 1 1m j m j ψψ来展开。 即),,,(22 2121z z j j j j 可作为体系力学量完全集, 而)2()1(2211m j m j ψψ是它们的共同本征 态。 1. 非耦合表象 以共同本征态)2()1(2211m j m j ψψ为基矢的表象称为非耦合表象。 在给定1j ，2j 的情况下， ?? ?-+-=-+--=2 22221 1111,1,1,,1,,1,j j j j m j j j j m 所以)2()1(2211m j m j ψψ有)12)(12(21++j j 个，即它们张开)12)(12(21++j j 维子空间。 2. 耦合表象 考虑到0],[21=αj j ，0],[2 2=αj j ，0],[21=βαj j ，0],[2=αj j ，z y x ,,=α ),,,(22221z j j j j 也构成两粒子体系的一组力学量完全集，共同本征态记为)2,1(21jm j j ψ， 即 ? ??????=+=+=+=jm j j jm j j x jm j j jm j j jm j j jm j j jm j j jm j j m j j j j j j j j j j 2121212121212121)1()1()1(2 222 21121ψψψψψψψψ 以共同本征态)2,1(21jm j j ψ为基矢的表象称为耦合表象，基矢简记为)2,1(jm ψ。 问题： 当给定1j ，2j ，j 可取哪些值？基矢)2,1(jm ψ与)2()1(2211m j m j ψψ之间的关系如何？ 二、两种耦合表象基矢之间的关系—CG 系数 1. Clebsch-Gordan 系数 令 )2()1()2,1(2 2 1 12 12211m j m j m m jm jm m j m j ψψψ∑= 上式的物理意义是明显的。 我们将展开系数jm m j m j 2211称之为Clebsch-Gordan 系数，简称CG 系数。 显然CG 系数是)12)(12(21++j j 维子空间中耦合表象基矢与非耦合表象基矢之间的幺正变换矩阵元。 考虑到z z z j j j 21+=，将上式两边分别作用到下式两边 )2()1()2,1(2 2 1 12 12211m j m j m m jm jm m j m j ψψψ∑= 有 ∑∑ ∑∑ += +=+=+= 2 1221122112 1221122112 1221122112 1) 2()1()()] 2()1()2()1([)]2()1()2()1([) 2()1()()2,1(221121 212211************m m m j m j m j m j m m m j m j m j m j z m m m j m j z m j m j z z m m jm z jm m j m j m m m m jm m j m j j j jm m j m j j j jm m j m j j ψψψψψψψψψψψψψ 对 ∑+= 2 12211)2()1()()2,1(221121 m m m j m j jm z jm m j m j m m j ψψψ 因为)2,1()2,1(jm jm z m j ψψ=，所以 )2()1() ()2,1(22112 122112 1 m j m j m m jm jm m j m j m m m ψψψ∑+= 将)2()1()2,1(22112 12211m j m j m m jm jm m j m j ψψψ∑ = 代入上式左边，并移项得 0)2()1() (22112 122112 1 =--∑m j m j m m jm m j m j m m m ψψ 由于2211m j m j ψψ是正交归一完备基矢，上式要成立，展开系数必然要满足下列条件 0)(221121=--jm m j m j m m m 而jm m j m j 2211是不能为0的？ 所以只有021=--m m m ，即 21m m m += 故在式 )2()1()2,1(2 2 1 12 12211m j m j m m jm jm m j m j ψψψ∑= 的两个求和指标中，只有一个是独立的，从而上式可以写成如下的形式 )2()1()2,1(1 2 1 11 1211m m j m j m jm jm m m j m j -∑-=ψψψ 第一次课遗留的问题： 如何由升算符的定义式导出降算符的定义式？ 上次课复习 z y x j i j j =],[，x z y j i j j =],[，y x z j i j j =],[ 则以x j ，y j ，z j 作为三个分量的矢量算符j 称为角动量算符。 21)i (a a j j j y x ++=+= +++ -==-=)()i (12j a a j j j y x 0],[2=αj j ，z y x ,,=α ±±±=j j j z ],[ z z j j j j j ±-=±22 z j j j j j 2=-+--+ )(222z j j j j j j -=++--+ 定义正定厄米算符 111?a a N +=，2 22?a a N += 1?N 和2 ?N 的归一化共同本征态可表为 0! !)()(2121212 1n n a a n n n n ++= ??? ? ??+=++=12?2?222 2 N N j j j j z y x 221121???a a a a N N N +++=+= ?? ?== ,25,23,21,2,1,02n j ()??? ??? ?-=??? ??+=2 121212*********n n n n n n j n n n n n n j z ()2121 n n j += ，()212 1n n m -=，21n n n += ???? ?=+=jm m jm j jm j j jm j z )1(2 0)! ()!()()(21m j m j a a jm m j m j -+=-+++ 1))(1(±+±=±jm m j m j jm j )2()1()2,1(2 2 1 12 12211m j m j m m jm jm m j m j ψψψ∑= 我们将展开系数jm m j m j 2211称之为Clebsch-Gordan 系数，简称CG 系数。 )2()1()2,1(1 2 1 11 1211m m j m j m jm jm m m j m j -∑-=ψψψ CG 系数有什么性质？ 2. Clebsch-Gordan 系数的性质 1）Clebsch-Gordan 系数的实数性 由前所述可知, CG 系数实际上是两个表象基矢的幺正变换或重叠积分，它可能是复数。 根据基函数的性质，表象的基矢具有相位不定性，从而两个表象之间的幺正变换也有一个相位不定性。 如果相位选择适当, 就可以使CG 系数成为实数。 在此情况下,有下两式 )2()1()2,1(1 2 1 11 1211m m j m j m jm jm m m j m j -∑-=ψψψ 及 )2()1(''''')2,1('''' 1211''1 2 1 11m m j m j m m j m j m m j m j -∑-=ψψψ 代入正交归一关系 m m j j jm m j ''''=δδψψ),( 有 m jm j m m m j m j m m m j m j jm m m j m j m j m m j m j ''1211'''12111121111211,'δψψψψ=??? ?- ??''-'∑∑-'-' 或 '''1211'121 1),(''121112111 1m m j j m m j m j m m j m j m m jm m m j m j m j m m j m j '--'=?-''-'∑ δψψψψ 即 '''1211'121 1),)(,(''121211111 1m m j j m m j m m j m j m j m m jm m m j m j m j m m j m j '--'=?-''-'∑ δψψψψ 当m m ='时，给出 j j m m j m m j m j m j m m jm m m j m j m j m m j m j '--'=?-''-'∑ δψψψψ),)(,(121211111 1'1211'1211 利用波函数的正交归一性，显然有 j j m jm m m j m j m j m m j m j '=-'-∑ δ121112111 2）Clebsch-Gordan 系数的幺正性 由于CG 系数是实数，所以由式 )2()1()2,1(2 2 1 12 12211m j m j m m jm jm m j m j ψψψ∑= 取逆得 () )2,1()2()1(212 2 1 12211jm m m m jm m j m j jm m j m j ψψψ∑ +== 上式很容易理解：两个表象基矢的转换是相互的，不过要利用条件 S S S ~ 1==+- 将上式代入正交归一性关系 221122112211),(''m m m m m j m j m j m j ''=δδψψψψ 得 j 2 j 1 j 22112121),(''221 12211m m m m m j jm m m m m m m m m j j m j m j m j jm m j m j ''''? ?? ? ?'+'=+=''=''∑ δδψψ 或 22112121''221 12211''m m m m m m m m m m m m j j mm jj m j m j m j jm m j m j ''??? ? ? '+'=+=''=''∑ δδδδ 当22'm m =时，上式进一步写为 '121 1121111m m jm jm m m j m j jm m m j m j δ='-'-∑ 上式正是CG 系数幺正性的体现。 三、j 的取值范围 已经知道，给定1j 和2j ，有 ?? ?-+-=-+--=2 22221 11111,1,,1,,1,j j j j m j j j j m 即 2max 21max 1)(,)(j m j m == 所以 21max 21max )()(j j m m m +=+= 按照角动量的矢量耦合性质，给定1j 和2j 21max j j j += 见右图。 除此之外，j 还可以取哪些值？min j 是多少？ 这可以从21m m m +=及下两式 ? ?? -+--=-+--=2222211111,1,,1,,1,,1,j j j j m j j j j m 定出的m 值给出： ) 2() 1() ()1()1()2()1()1()2()2() 1()1()2()1()1(212121212 1212 121212 12121212121-+-++=------------------+--+--++--++j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j 上表中箭头方向表示m 的一组取值。由 j j j j m -+--=,1,,1, 这个规律可以定出, 对每一组m 值，j 取什么值。 从上表中可以看出，j 的取值除)(21max j j j +=之外，还可以取 ,121-+j j ，依次递减1，直到0min ≥j 问题：=min j ？ 方案：由空间维数确定。 非耦合表象基矢2211m j m j ψψ维数： )12)(12(21++j j 耦合表象基矢jm ψ维数可以这样计算： 对于一个j ，m 取12+j 个值；而j 的取值从max j 到min j ，故总的维数是 ) 1)(1(12]12[]1)(2[2]12[]1)(2[] 12[]3)(2[]1)(2[]1)(2[)12(min 21min 21min 21min 21min 212121 max min +-++++=? ? ? ???++-++?++++= +++-++-++++=+∑=j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j j (实际上是等差数列的求和) 而作表象变换时，空间维数是不可能变化的，则有 )12)(12()12(2 1 )(21m in ++=+∑+=j j j j j j j 即 第六章 中心力场 6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式 相对动量 ()21121p m p m M r p -==? μ （1） 总动量 1p p R M P +==? （2） 总轨迹角动量p r P R p r p r L L L ?+?=?+?=+=221121 （3） 总动能 μ 22222 22 221 21p M P m p m p T + =+= （4） 反之，有 ,11r m R r μ+ = r m R r 2 2μ-= （5） p P m p +=2 1μ ，p P m p -= 1 2μ （6） 以上各式中，()212121 ,m m m m m m M +=+=μ 证： 2 12 211m m r m r m R ++= ， （17） 21r r r -=， （18） 相对动量 ()211221212 11p m p m M r r m m m m r p -=??? ? ??-+= =? ?? μ （1’） 总动量 ()212 1221121p p m m r m r m m m R M P +=+++==? ?? （2’） 总轨迹角动量 221121p r p r L L L ?+?=+= )5(2211p r m u R p r m u R ???? ? ??-+????? ?? += () () 2112 211p m p m M r p p R -? ++?= ) 2)(1(p r P R ?+?= 由（17）、(18)可解出21,r r ，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。 总动能()22 11 2 262221212222m p P m m p P m m p m p T ??? ? ??-+ ? ?? ? ??+=+= μμ 2 12 2 2 2 2 122 11 2 2 2 2 12 2222m m p P u m p P m m u m m p P u m p P m m u ?- + + ?+ + = 《量子力学》课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称、所属专业、课程性质、学分； 课程名称：量子力学 所属专业：物理学专业 课程性质：专业基础课 学分：4 （二）课程简介、目标与任务； 课程简介： 量子理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人 类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。 本课程着重介绍《量子力学》（非相对论）的基本概念、基本原理和基本方法。课程分为两大部分：第一部分主要是讲述量子力学的基本原理（公 设）及表述形式。在此基础上，逐步深入地让学生认识表述原理的数学结构， 如薛定谔波动力学、海森堡矩阵力学以及抽象表述的希尔伯特空间的代数结 构。本部分的主要内容包括：量子状态的描述、力学量的算符、量子力学中 的测量、运动方程和守恒律、量子力学的表述形式、多粒子体系的全同性原 理。第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。在分析清楚各类基 本应用问题的物理内容基础上，掌握量子力学对一些基本问题的处理方法。 本篇主要内容包括：一维定态问题、氢原子问题、微扰方法对外场中的定态 问题和量子跃迁的处理以及弹性散射问题。 课程目标与任务： 1. 掌握微观粒子运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方 法。 2．掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理。 3．了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 本课程需要学生先修《电磁学》、《光学》、《原子物理》、《数学物理方法》和《线性代数》等课程。《电磁学》和《光学》中的麦克斯韦理论最终统一 了光学和电磁学；揭示了任意温度物体都向外辐射电磁波的机制，它是19 世纪末人们研究黑体辐射的基本出发点，对理解本课程中的黑体辐射实验及 紫外灾难由于一定的帮助。《原子物理》中所学习的关于原子结构的经典与 半经典理论及其解释相关实验的困难是导致量子力学发展的主要动机之一。 《数学物理方法》中所学习的复变函数论和微分方程的解法都在量子力学中 有广泛的应用。《线性代数》中的线性空间结构的概念是量子力学希尔伯特 空间的理论基础，对理解本课程中的矩阵力学和表象变换都很有助益。 （四）教材与主要参考书。 [1] 钱伯初, 《理论力学教程》, 高等教育出版社; （教材） [2] 苏汝铿, 《量子力学》, 高等教育出版社; [3] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Non-relativistic Quantum Mechanics; [4] P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press 1958; 二、课程内容与安排 第一章微观粒子状态的描述 第一节光的波粒二象性 第二节原子结构的玻尔理论 第三节微观粒子的波粒二象性 第四节量子力学的第一公设：波函数 （一）教学方法与学时分配：课堂讲授；6学时 （二）内容及基本要求 主要内容：主要介绍量子力学的实验基础、研究对象和微观粒子的基本特性及其状态描述。 【重点掌握】： 1.量子力学的实验基础：黑体辐射；光电效应；康普顿散射实验；电子晶体衍射 实验; 第六章 中心力场 6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式 相对动量 ()21121p m p m M r p -==? μ （1） 总动量 1p p R M P +==? （2） 总轨迹角动量p r P R p r p r L L L ?+?=?+?=+=221121 （3） 总动能 μ 22222 22 221 21p M P m p m p T + = + = （4） 反之，有 ,11r m R r μ+ = r m R r 2 2μ-= （5） p P m p += 2 1μ ，p P m p -= 1 2μ （6） 以上各式中，()212 121 ,m m m m m m M +=+=μ 证： 2 12211m m r m r m R ++= ， （17） 21r r r -=， （18） 相对动量 ()211221212 11p m p m M r r m m m m r p -=??? ? ??-+= =? ?? μ （1’） 总动量 ()212 1221121p p m m r m r m m m R M P +=+++==? ?? （2’） 总轨迹角动量 221121p r p r L L L ?+?=+= )5(2211p r m u R p r m u R ????? ? ?-+????? ?? += () () 2112 211p m p m M r p p R -? ++?= ) 2)(1(p r P R ?+?= 由（17）、(18)可解出21,r r ，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。 总动能()2 2 11 2 262221212222m p P m m p P m m p m p T ??? ? ??-+ ? ?? ? ??+=+= μμ 2 12 2 2 2 2 122 11 2 2 2 2 12 2222m m p P u m p P m m u m m p P u m p P m m u ?- + + ?+ + = 量子力学试题(1)(2005) 姓名 学号 得分 一. 简答题（每小题5分，共40分） 1. 一粒子的波函数为()()z y x r ,,ψψ=? ，写出粒子位于dx x x +~间的几率。 2. 粒子在一维δ势阱 )0()()(>-=γδγx x V 中运动，波函数为)(x ψ，写出)(x ψ'的跃变条件。 3. 量子力学中，体系的任意态)(x ψ可用一组力学量完全集的共同本征态)(x n ψ展开： ∑=n n n x c x )()(ψψ， 写出展开式系数n c 的表达式。 4. 给出如下对易关系： [][][] ?,? ,? ,===z x y z L L p x p z 5. 何谓几率流密度？写出几率流密度),(t r j ? ?的表达式。 6. 一维运动中，哈密顿量)(22 x V m p H +=，求[][]?,?,==H p H x 7. 一质量为μ的粒子在一维无限深方势阱?? ?><∞<<=a x x a x x V 2,0, 20,0)( 中运动，写出其状态波函数和能级表达式。 8. 已知厄米算符A 、B 互相反对易：{}0,=+=BA AB B A ；b 是算符B 的本征态： b b b B =，本征值 0≠b 。求在态b 中，算符A 的平均值。 二. 计算和证明题 1. 设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。 2. 考虑如下一维波函数：0/0()n x x x x A e x ψ-?? = ??? ， 其中0,,A n x 为已知常数。利用薛定谔 方程求位势()V x 和能量E 。对于它们，该波函数为一本征函数（已知当,()0x V x →∞→）。 3.一质量为m 的粒子沿x 正方向以能量E 向0=x 处 的势阶运动。当0≤x 时，该势为0；当0>x 时，该势为 E 4 3 。问在0=x 处粒子被反射的的几率多大？（15分） 0 X 4.设粒子处于()?θ,lm Y 状态下， 1)证明在的本征态下，0==y x L L 。（提示：利用x y z z y L i L L L L η=-， []y L i η=-=z x x z x z L L L L L ,L 求平均。） 2)求()2 x L ?和() 2 y L ? (附加题)5. 设),(p x F 是p x ,的整函数，证明 [][]F , F,,p i F x x i F p ?? =?? -=η η 整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞ ==0 ,),(n m n m mn p x C p x F 。 第五章 力学量随时间的变化与对称性 5.1）设力学量A 不显含t ，H 为本体系的Hamilton 量，证明 [][]H H A A dt d ,,2 2 2 =- 证.若力学量A 不显含t ，则有[]H A i dt dA ,1 =, 令[]C H A =, 则 [][]H C H C i dt C d i dt A d ,1 ,112 22 -===, [][]H H A A dt d ,, 2 2 2 =-∴ 5.2）设力学量A 不显含t ，证明束缚定态，0=dt dA 证：束缚定态为:：() () t iE n n n e t -=ψψ,。 在束缚定态()t n ,ψ，有()()()t E t t i t H n n n n ,,,ψψψ=?? = 。 其复共轭为()()()t r E e r t i t r H n n t iE n n n ,,** * * ψψψ=?? -= 。 ??? ??=n n dt dA dt dA ψψ,()??? ??-??? ??-=??n n n n n n A A A dt d ψψψψψψ,,, ?? ? ??-??? ??-= n n n n H i A A H i dt dA ψψψψ 1,,1 []()()n n n n AH i HA i H A i t A ψψψψ,1 ,1,1 -++??= []()()n n HA AH i H A i ψψ--= ,1,1 [][]() 0,,1=-=A H H A i 。 5.3）(){} x x iaP x a a D -=? ?? ??? ??-=exp exp 表示沿x 方向平移距离a 算符.证明下列形式波函数（Bloch 波函数）()()x e x k ikx φψ=,()()x a x k k φφ=+ 是()a D x 的本征态，相应的本征值为ika e - 证：()()()() ()a x e a x x a D k a x ik x +=+=+φψψ ()()x e x e e ika k ikx ika ψφ=?=,证毕。 第三章 力学量用算符表达 §3.1 算符的运算规则 一、算符的定义： 算符代表对波函数进行某种运算或变换的符号。 ?Au v = 表示?把函数u 变成 v ， ?就是这种变换的算符。 为强调算符的特点，常常在算符的符号上方加一个“^”号。但在不会引起误解的地方，也常把“^”略去。 二、算符的一般特性 1、线性算符 满足如下运算规律的算符?，称为线性算符 11221122 ???()A c c c A c A ψψψψ+=+ 其中c 1, c 2是任意复常数，ψ1, ψ2是任意两个波函数。 例如：动量算符?p i =-?， 单位算符I 是线性算符。 2、算符相等 若两个算符?、?B 对体系的任何波函数ψ的运算结果都相同，即??A B ψψ=，则算符?和算符?B 相等记为??A B =。 3、算符之和 若两个算符?、?B 对体系的任何波函数ψ有：?????()A B A B C ψψψψ+=+=，则???A B C +=称为算符之和。 ????A B B A +=+，??????()()A B C A B C ++=++ 4、算符之积 算符?与?B 之积，记为??AB ，定义为 ????()()AB A B ψψ=?C ψ= ψ是任意波函数。一般来说算符之积不满足交换律，即????AB BA ≠。 5、对易关系 若????AB BA ≠，则称?与?B 不对易。 若A B B A ????=，则称?与?B 对易。 若算符满足????AB BA =-， 则称?A 和?B 反对易。 例如：算符x , ?x p i x ?=-?不对易 证明：(1) ?()x xp x i x ψψ?=-?i x x ψ?=-? (2) ?()x p x i x x ψψ?=-?i i x x ψψ?=--? 显然二者结果不相等，所以： ??x x xp p x ≠ ??()x x xp p x i ψψ-= 因为ψ是体系的任意波函数，所以 ??x x xp p x i -= 对易关系 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足 ??y y yp p y i - =，??z z zp p z i -= 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。 ??0??0y y z z xp p x xp p x -=??-=?，??0??0x x z z yp p y yp p y -=??-=?，??0??0x x y y zp p z zp p z -=???-=?? ????0x y y x p p p p -=，????0y z z y p p p p -=，????0z x x z p p p p -= ????0xy yx -=，????0y z z y p p p p -=，????0z x x z p p p p -= 写成通式(概括起来)： ??x p p x i αββααβδ-= (1) ????0x x x x αββα-= ????0p p p p αββα-= 其中,,,x y z αβ=或1,2,3 量子力学中最基本的对易关系。 注意：当?与?B 对易，?B 与?对易，不能推知?与?对易与否。 6、对易括号(对易式) 为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号： ??????[,]A B AB BA ≡- 这样一来，坐标和动量的对易关系可改写成如下形式： ?[,]x p i αβαβδ= 不难证明对易括号满足下列代数恒等式： 1) ????[,][,]A B B A =- 2) ???????[,][,][,]A B C A B A C +=+ 3) ?????????[,][,][,]A BC B A C A B C =+ ，?????????[,][,][,]AB C A B C A C B =+，]?,?[]?,?[B A k B k A = 4) ?????????[,[,]][,[,]][,[,]]0A B C B C A C A B ++= ——称为 Jacobi 恒等式。 初等量子力学的四块容 一、薛氏方程 C1：波函数与薛氏方程 1、付氏变换：（动量→坐标为正） /332 1()()(2)i p r r p e d p ψψπ+∞ ?-∞ = ? 2、δ函数的两个重要极限及一个积分公式 1()2i x x e d αδαπ∞ -∞ = ? （相当于物理中的波粒转换） 其推导过程： 000() 0()()()1 ()()2i x x f x f x x x dx f x dx d f x e αδαπ ∞ -∞ ∞ ∞ --∞ -∞ =-= ? ? ?两式比较得出。 2 4()lim i i x x e πααδ-=（试题1.5用到） 2 4 i i e d ξπ ξ∞ -∞ =? （好像与某个积分是一样的，只是有些变换） 3、证明技巧 等式一边含有V ，而一边没有。2 22V m ?-?+肯定是作为一个整体消去的。 4、波函数平方可积的要求 2 3(3/2) ,()s d r A r r r ψψ-+=?→∞? 全 （0s >） 可以在证明某些概率守恒的式子时（体积分→面积分 V S AdV A ds ??=???） ，可以得到一些式子的积分为0。 5、(,0) (,)x x t ψψ→ 先将(,0)x ψ展为能量本征态的线性组合（自由粒子时即可以通过付氏化为()p ψ），再 / (,)()iEt E n x t C x e ψψ-=∑。 C2：一维势场中的粒子 1、各种势类型 方势、δ势、谐振子、半壁无限谐振子（谐振子奇数解）、半壁无限方势、不对称方势阱。 2、() ()((),())n n n n n x C x C x x ψ??ψ=?=∑。*()()n n C x x dx ?ψ=?（注 意积分围） 22 11222 2 222 1122H C E C E H C E C E =+=+ 3、无限深势阱的解 )()0 n n x x a πψ=? 。222 2 2n n E ma π=（能量可通过22222P E m m -?==求得） 4、谐振子的解 22 12 ()(!)()n x n n x n e H x αψ α-=?其中α=。 5、递推关系 12()2()2()0n n n H x xH x nH x ----= 1()2()n n H x nH x -'= ()(1)()n n n x x ψψ-=-（所以对于半壁无限高的谐振子只有奇数才可以满足） C5：中心力场 1、径向波函数 ()()R r r r χ= 2 2(1)()[(())]()02l l l l r E V r r r χχμ+''?+--= 0r →时，若有20 lim ()0r r V r →=，则() l l R r r 。 2、无限深球方势阱 ○ 1S 态（0l =），其与无限深方势阱一样。 ○20l ≠时，令kr ρ= 则本征方程 第三章算符与力学量算符 3、1 算符概述 设某种运算把函数u变为函数v,用算符表示为: (3、1-1) 称为算符。u与v中得变量可能相同,也可能不同。例如,,,,,,则,x,,,都就是算符。 1.算符得一般运算 (1)算符得相等:对于任意函数u,若,则。 (2)算符得相加:对于任意函数u,若,则。算符得相加满足交换律。 (3)算符得相乘:对于任意函数u,若,则。算符得相乘一般不满足交换律。如果,则称与对易。 2.几种特殊算符 (1)单位算符 对于任意涵数u,若u=u,则称为单位算符。与1就是等价得。 (2)线性算符 对于任意函数u与v,若,则称为反线性算符。 (3)逆算符 对于任意函数u,若则称与互为逆算符。即,。 并非所有得算符都有逆算符,例如把零作为算符时,称之为零算符,零算符就没有逆算符。 对于非齐次线性微分方程:,其中为与函数构成得线性算符,a为常数。其解u可表示为对应齐次方程得通解u。与非齐次方程得特解之与,即。因,所以不存在使。一般说来,在特解中应允许含有对应齐次方程得通解成分,但如果当a=0时,=0,则中将不含对应齐次方程得通解成分,这时存在使,从而由得:。从上述分析可知,就是否存在逆算符还与算符所作用得函数有关。 (4)转置算符 令,则称与得转置算符,就是一个向左作用得算符。若算符表示一般函数(或常数),由于函数得左乘等于右乘,所以函数得转置就等于它本身。 定义波函数与得标积为: (3、1-2) 与得标积以及与得标积为: 若上两式中得与都就是任意波函数,则称上两式中得与为任意标积中得算符。下面考虑在任意标积中得性质。 波函数与在无限远点也应满足连续性条件: [可都等于零],,所以得: 可见在任意标积中,。 (5)转置共轭算符(也称为厄密共轭算符)与厄密算符 转置共轭算符通常也就是向左作用得算符,同时算符本身要取共轭。以标记得转置共轭算符,则若在任意标积中,,则称为厄密算符。即厄密算符得定义为: 或写为(3、1-3) 可以证明,位置算符与动量算符都就是厄密算符。因x就是实数,而,所以。在任意标积中,因,所以。也可以直接从定义式(3、1-3)出发,来证明就是厄密算符。 ,所以就是厄密算符。 (6)幺正算符 若在任意标积中,,则称为幺正算符。设,若为厄密算符,则必为幺正算符。 (7)算符得函数 设函数F(A)得各阶导数都存在,则定义算符得函数F()为: (3、1-4) 其中表示n个得乘幂,即。例如 3、2 算符得对易关系 定义算符得泊松(Poisson)括号为: (3、2-1) 一般说来,例如,这样得关系或称为对易关系式。就是对易关系式中得特例,这时,称与就是对易得。 1.量子力学中基本对易关系 在位置表象中,,即,此式对任意得都成立,所以得: 在动量表象中 ,即,此式对任意得都成立,所以得: 可见在位置表象中与动量表象中都得: 第一章矩阵 1.1矩阵的由来、定义和运算方法 1.矩阵的由来 2.矩阵的定义 3.矩阵的相等 4.矩阵的加减法 5.矩阵和数的乘法 6.矩阵和矩阵的乘法 7.转置矩阵 8.零矩阵 9.矩阵的分块 1.2行矩阵和列矩阵 1.行矩阵和列矩阵 2.行矢和列矢 3.Dirac符号 4.矢量的标积和矢量的正交 5.矢量的长度或模 6.右矢与左矢的乘积 1.3方阵 1.方阵和对角阵 2.三对角阵 3.单位矩阵和纯量矩阵 4.Hermite矩阵 5.方阵的行列式，奇异和非奇异方阵 6.方阵的迹 7.方阵之逆 8.酉阵和正交阵 9.酉阵的性质 10.准对角方阵 11.下三角阵和上三角阵 12.对称方阵的平方根 13.正定方阵 14.Jordan块和Jordan标准型 1.4行列式求值和矩阵求逆 1.行列式的展开 https://www.360docs.net/doc/5512550144.html,place展开定理 3.三角阵的行列式 4.行列式的初等变换及其性质 5.利用三角化求行列式的值 6.对称正定方阵的平方根 7.平方根法求对称正定方阵的行列之值 8.平方根法求方阵之逆 9.解方程组法求方阵之逆 10.伴随矩阵 11.伴随矩阵法求方阵之逆 1.5线性代数方程组求解 1.线性代数方程组的矩阵表示 2.用Cramer法则求解线性代数方程组 3.Gauss消元法解线性代数方程组 4.平方根法解线性代数方程组 1.6本征值和本征矢量的计算 1.主阵的本征方程、本征值和本征矢量 2.GayleyHamilton定理及其应用 3.本征矢量的主定理 4.Hermite方阵的对角化——计算本征值和本征矢量的Jacobi法1.7线性变换 1.线性变换的矩阵表示 2.矢量的酉变换 3.相似变换 4.等价矩阵 5.二次型 6.标准型 7.方阵的对角化 参考文献 习题 第二章量子力学基础 2.1波动和微粒的矛盾统一 1.从经典力学到量子力学 2.光的波粒二象性 3.驻波的波动方程 4.电子和其它实物的波动性——de Broglie关系式 5.de Broglie波的实验根据 6.de Broglie波的统计意义 7.态叠加原理 8.动量的几率——以动量为自变量的波函数 2.2量子力学基本方程——Schrdinger方程 1.Schrdinger方程第一式 2.Schrdinger方程第一式的算符表示 3.Schrdinger方程第二式 4.波函数的物理意义 5.力学量的平均值(由坐标波函数计算) 6.力学量的平均值(由动量波函数计算) 2.3算符 1.算符的加法和乘法 2.算符的对易 3.算符的平方 4.线性算符 5.本征函数、本征值和本征方程 第九章 力学量本征值问题的代数解法 9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（2 1）与轨迹角动量（l ）耦合成总角动量j 的波函数j ljm φ，这相当于2 1,21===s j l j 的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a ）中的CG 系数 jm m m j 21121 解：8.2节式（21a ）（21b ）: ()21),0( 21+=≠-=m m l l j j j ljm φ???? ??-+++=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??-++---+=+=21,2121,212121,21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l j （21a ） ()21-= j l j ljm φ???? ??++---=+11121 lm lm Y m l Y m l l () ????? ??+++--+++-++=≠-=21,2121,211122121),0( 21j j m j j m j j Y m j Y m j j m j m l l j （21b ） ()21++j l 此二式中的l 相当于CG 系数中的1j ，而2 12==s j ,21,~,,~21±=m m m m j 。 因此，（21a ）式可重写为 jm ∑=222112 211m jm m j m j m j m j 2 12121212121212111111111--+=m j jm m j m j jm m j ??????? ? ??-???? ??++-???? ??++++=+=212112212121122111211111211121121),21(m j j m j m j j m j j l j a （21a ’） 对照CG 系数表，可知：当21121+=+=j j j j ,212=m 时 ， 21111112212121??? ? ??++=＋j m j jm m j 而2 12-=m 时， 第三章一维定态问题 3.1）设粒子处在二维无限深势阱中， ?? ?∞<<<<=其余区域 ,0,0 ,0),(b y a x y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如b a = ，能级的简并度如何？ 解：能量的本征值和本征函数为 m E y x n n 222π = )(2 22 2b n a n y x + ,2,1, ,sin sin 2== y x y x n n n n b y n a x n ab y x ππψ 若b a =，则 )(22 22 22y x n n n n ma E y x +=π a y n a x n a y x n n y x ππψsin sin 2= 这时，若y x n n =，则能级不简并;若y x n n ≠，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如5,10==y x n n 与2,11' ' ==y x n n ） 3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即 ? ??∞<<<<<<=其余区域 ,0,0,0 ,0),,(c z b y a x z y x V 求粒子的能量本征值和本征波函数。如c b a ==，讨论能级的简并度。 解：能量本征值和本征波函数为 )(222 2 222 22c n b n a n m n n n E z y x z y x + +=π , ,3,2,1,, , sin sin sin 8 == z y x z y x n n n c z n b y n a x n abc n n n z y x πππψ 当c b a ==时， )(2222222z y x n n n ma n n n E z y x ++=π a y n a y n a x n a n n n z y x z y x πππψsin sin sin 22 3 ??? ??= z y x n n n ==时，能级不简并； z y x n n n ,,三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。 曾谨言《量子力学导论》习题解答第三章一维定态问题 3.1)设粒子处在二维无限深势阱中， ,,,,0, 0xa,0yb,V(x,y), ,,, 其余区域, a,b求粒子的能量本征值和本征波函数。如，能级的简并度如何, 解:能量的本征值和本征函数为 2222nn,,yx(，)E, nn22xy2mab ny,nx,2yx,sinsin, n,n,1,2,？ ,nnxyxyabab 22,,22a,bE,(n，n)若，则 nnxy2xy2ma ny,nx,2yx,sinsin ,nnxyaaa n,10,n,5这时，若n,n，则能级不简并;若n,n，则能级一般是二度简并的(有偶然简并情况，如xyxyxy ''n,11,n,2与) xy 3.2)设粒子限制在矩形匣子中运动，即 ,,,,,,0, 0xa,0yb,0zc,,V(x,y,z) ,,, 其余区域, a,b,c求粒子的能量本征值和本征波函数。如，讨论能级的简并度。 解:能量本征值和本征波函数为 22222nnn,,yxzE, ,(，，)222nnnm2abcxyz ny,nxnz,,8yxz,sinsinsin,,nnn abcabcxyz n,n,n,1,2,3,？xyz a,b,c当时， 22,,222 E,(n，n，n)xyz2nnn2maxyz 32ny,nxny,,2,,yxz ,sinsinsin,,,nnnaaaaxyz,, n,n,n时，能级不简并; xyz n,n,n三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。 xyz 三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。 n,n,nxyz 222222,5，6，8,3，4，10(1,7,9),(1,3,11)如 ,22222210，12，16,6，8，20(1,5,10),(3,6,9), 3.3)设粒子处在一维无限深方势阱中， 0, 0,x,a,V(x,y), ,,, x,0,x,a, 证明处于定态的粒子 ,(x)n 2aa62x,,,, (x-x)(1) 22212n,讨论的情况，并于经典力学计算结果相比较。n , , 证:设粒子处于第n个本征态，其本征函数 ,2n(x),sinx. ,naa 2aa2n,a分部2 (1) ,,sin xxdxxxdx,n,,002aa 2a2a2222(,),,,,, xxxxxdxn,04 2a212n,xa2,,(1,cos), xdx ,024aa 2a6,,(1) (2) 22n,12 在经典情况下，在区间粒子除与阱壁碰撞(设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改，，0, a dxxxdx,，变，但动能、速度不变)外，来回作匀速运动，因此粒子处于范围的几率为，故 a adxa ， (3) ,,,xx,02a 2adxa22,,,xx， ,03a 222aa22() (4) x,x,x,x,,34 当时，量子力学的结果与经典力学结果一致。 n,, 第三章 算符和力学量算符 算符概述 设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为： ?Fu v = （） ? F 称为算符。u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。例如，11du v dx =，22xu v =3 v =， (,) x t ?∞ -∞ ，(,)x i p x h x e dx C p t -=，则d dx ，x dx ∞ -∞ ，x i p x h e -?都是算符。 1．算符的一般运算 （1）算符的相等：对于任意函数u ，若??Fu Gu =，则??G F =。 （2）算符的相加：对于任意函数u ，若???Fu Gu Mu +=，则???M F G =+。算符的相加满足交换律。 （3）算符的相乘：对于任意函数u ，若???FFu Mu =，则???M GF =。算符的相乘一般不满足交换律。如果????FG GF =，则称?F 与?G 对易。 2．几种特殊算符 （1）单位算符 对于任意涵数u ，若?I u=u ，则称?I 为单位算符。?I 与1是等价的。 （2）线性算符 对于任意函数u 与v ，若**1212 ???()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称?F 为反线性算符。 （3）逆算符 对于任意函数u ，若????FGu GFu u ==则称?F 与?G 互为逆算符。即1??G F -=，111??????,1F G FF F F ---===。 并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。 对于非齐次线性微分方程：?()()Fu x af x =，其中?F 为d dx 与函数构成的线性算符，a 为常数。 第九章 力学量本征值问题的代数解法 §9.1 一维谐振子的Schr?dinger 因式分解法 升、降算符 一、Hamilton 量的代数表示 一维谐振子的Hamilton 量可表为 2222 1 21x p H μωμ+= 采用自然单位（1===ωμ ）， （此时能量以ω 为单位，长度以μω/ 为单位，动量以ωμ 为单位） 则 2 22 121x p H += 而基本对易式是[]i p x =,。 令)(2 1 ip x a += ，)(21ip x a -=+ 其逆为)(21a a x += +，)(2 a a i p -=+。 利用上述对易式，容易证明(请课后证明) 1],[=+a a 将两类算符的关系式)(21a a x += +，)(2 a a i p -=+ 代入一维谐振子的Hamilton 量2 22 121x p H += ，有 ??? ??+=??? ? ? +=+21?21N a a H 上式就是Hamilton 量的因式分解法，其中a a N + =?。 由于N N ??=+，而且在任何量子态ψ下 0),(),(≥==+ψψψψa a a a N 所以N ?为正定厄米算符 二、Hamilton 量的本征值 下面证明，若N ?的本征值为n ， ,2,1,0=n ，则H 的本征值n E 为（自然单位，ω ） ??? ? ? +=21n E n ， ,2,1,0=n 证明：设|n >为N ?的本征态( n 为正实数)，即 n n n N =? 利用1],[=+a a 及a a N + =?容易算出 ++=a a N ],?[，a a N -=],?[ 因此n a n a N -=],?[。 但上式 左边n na n a N n N a n a N -=-=??? 由此可得n a n n a N )1(?-=。 这说明，>n a |也是N ?的本征态，相应本征值为)1(-n 。 如此类推，从N ?的本征态>n |出发，逐次用a 运算，可得出N ?的一系列本征态 >n |，>n a |，>n a |2，… 相应的本征值为 n ，1-n ，2-n ，… 因为N ?为正定厄米算子，其本征值为非负实数。 若设最小本征值为0n ，相应的本征态为0n ，则 00=n a 此时 0000?n n a a n N ===+ 即0n 是N ?的本征值为0的本征态，或00 =n 。此态记为>0|，又称为真空态，亦即谐振子的最低能态(基态)，对应的能量本征值 ( 加上自然单位)为2/ω 。 利用 量子力学数学形式表述的由来和特点 量子力学是用数学语言来调和两种对立的经典概念波和粒子应用到原子现象上描写同一微观客体的佯谬（表观矛盾）的。波概念的用场在于通过波动的各部分振幅的（线性）叠加引起加强削弱的所谓干涉效应来说明原子现象在空间时间上的强弱分布；粒子概念的用场在于说明原子过程的单个性特色。 尽管这两者在表观上是矛盾的，事实表明，两种概仿可借助作用量量子充当调停者的角色对应起来，写出如下两种等式： 普朗克（1900）——爱因斯坦（1905）——玻尔（1913）关系： 能量/h=频率； 爱因斯坦（1909）——德布罗意（1923）——薛定谔（1926）关系： 动量/h=波数 两式的左边由粒子概念组成，右边由波概念组成。象玻恩所说，等式本身就完全不合理。何以有这种对应到今仍是个谜。但是玻恩也认为，如果放弃物理学一向接受的决定论原理，这种等式就通过量子力学的建立而合理化了。 可以认为，为了解释原子现象在表观上的二得性，物理学家面临的问题是要把经典物理学作一个合理的推广，以便把作用量量子以合理的方式合并进去。这一困难任务终于通过引进合适的数学抽象完成了。完成的过程及其特点大致如下： 推导量子论的数学结构，不管用粒子图景还是用波图景，都靠两个来源：经验事实和玻尔的对应原理。但是，这种推导并不是数学意义上的推导，因为所得各方程本身就是所建立理论的假定。虽然这些假定看来很合理，最后的证明还得看它们的预言和实验符合得怎样。 （一）矩阵力学 1925——26年海森堡发起，随后经玻恩和约旦协助，从粒子类似出发，在“试图解开原子谜，必须只考虑可观察的数量”这个观念指导下，试图推出量子力学的数学结构。出发点仍是经典力学的数学结构，即哈密顿的正则运动方程。根据原子物理学中公认的经验事实（里德堡——里兹原子光谱线并合规则，分立的原子能量值的存在，玻尔频率关系），在对应原理的指引下，他们发出原子稳定态的理论要求电子坐标、动量及其函数都可用（厄米）矩阵来表示。这个稳定态理论构成量子力学的初始阶段，在其中分立能量值的存在是通过把多周期性振动这个经典运动固定下来而得到的。 他们不考虑原子内部是否有观察不到的电子轨道的存在，离开在空间时间上的客观过程这个观念，只用和光谱线联系的频率和振幅这两种直接可观测的数值来组成原子内部电子运动的力学量的表示，从而找到了能综合原子光谱线经验事实、确定原子稳定态的量子条件。这个条件相当于位置矩阵q和动量矩阵p的乘积次序不能随意对调的一个神秘方程，即所谓的对易关系： qp= - pq ηi 这个计算规则被认为反映着与q、p相应的测量操作的不可对易性。接受这个规则，稳定态力学性质，包括能量确定值和其他量的平均值，以及两稳定态之间量子跃迁过程发生的几率（相对次数）就都能推算出来，而不带任何任意性。这就是矩阵力学的功效。 第八章 自旋 8.1) 在z σ表象中，求x σ的本征态。 解：在z σ表象中，x σ的矩阵表示为：x σ ??? ? ? ?=0110 设x σ的本征矢（在z σ表象中）为??? ? ??b a ，则有??? ? ??=???? ?????? ??b a b a λ0110 可得a b λ=及b a λ= 1,12±==∴λλ 。 ,1=λ 则; b a = ,1-=λ 则b a -= 利用归一化条件，可求出x σ的两个本征态为 ,1=λ ;1121???? ?? ,1-=λ ??? ? ??-1121 。 8.2) 在z σ表象中，求n ?σ的本征态，()??θ?θcos ,sin sin ,cos sin n 是()?θ,方向的单位矢. 解：在z δ表象中，δ的矩阵表示为 x σ ??? ? ? ?=0110， y σ??? ? ? ?-=00 i i ， z σ??? ? ? ?-=1001 （1） 因此， z z y y x x n n n n n σσσσσ++=?= ??? ? ??-=???? ?? -+-=-θθθθ ?? cos sin sin cos i i z y x y x z e e n in n in n n （2） 设n σ的本征函数表示为Φ??? ? ??=b a ，本征值为λ，则本征方程为 ()0=-φλσn ，即 0cos sin sin cos =? ??? ?????? ??----b a e e i i λθθθλ θ? ? （3） 由（3）式的系数行列式0=，可解得1±=λ。 对于1=λ，代回（3）式，可得 x y x y x x i i n in n in n n e e b a --=++==-=--112sin 2cos cos 1sin ?? θθ θθ 归一化本征函数用()?θ,表示，通常取为 ()???? ? ?=? θθ ?θφi e 2sin 2cos ,1或??? ? ? ? ?-222sin 2cos ? ? θθi i e e （4） 闽江学院 教案 课程名称：原子物理 课程代码： 21100430 授课专业班级： 2010级物理学（师范类）授课教师：翁铭华 系别：电子系 2012年8 月30 日 第三章量子力学导论 教学目的和要求： 1．了解量子化物质波粒二象性的概念。 2．理解测不准原理； 3．掌握波函数及物理意义； 4．了解薛定谔方程；了解量子力学问题的几个简例； 5．了解氢原子的薛定谔方程；了解量子力学对氢原子的描述。 教学重点和难点: 1. 教学重点：波函数及统计解释 2．教学难点：波函数及统计解释 教学内容： 1. 玻尔理论的困难 2. 波粒二象性 3. 不确定关系 4. 波函数及其统计解释 5. 薛定谔方程及应用 19世纪末的三大发现(1896年发现放射性，1897年发现电子，1900年提出量子化概念)为近代物理学的序幕。1905年爱因斯坦在解释光电效应时提出光量子概念，1913年玻尔将普朗克-爱因斯坦量子概念用于卢瑟福模型，提出量子态观念，成功地解释了氢光谱。此外，利用泡利1925年提出的不相容原理和同年乌仑贝克、古兹米特提出的电子自旋假说，可很好地解释元素周期性、塞曼效应的一系列实验事实。至此形成的量子论称为旧量子论，有严重的缺陷。 在“物质粒子的波粒二象性”思想的基础上，于1925-1928年间由海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克等人建立了量子力学，它与相对论成了近代物理学的两大理论支柱。 量子力学的本质特征在1927年海森堡提出的不确定关系中得到明确的反映，它是微观客体波粒二象性的必然结果。量子力学的主要内容：1)相关的几个重要实验；2)有别于经典物理的新思想； 3)解决具体问题的方法。 §3-1玻尔理论的困难 玻尔理论将微观粒子视为经典力学中的质点，把经典力学的规律用于微观粒子，使其理论中有难以解决的内在矛盾，故有重大缺陷。如：为什么核与电子间的相互作用存在，但处于定态的加速电子不辐射电磁波？电子跃迁时辐射（或吸收）电磁波的根本原因何在？……（薛定谔的非难“糟透的跃迁”：在两能级间跃迁的电子处于什么状态？） 玻尔理论在处理实际问题时也“力不从心”，如无法解释氢光谱的强度及精细结构，无法解释简单程度仅次于氢原子的氦光谱，无法说明原子是如何组成分子及构成液体和固体。…… §3-2波粒二象性 1.经典物理中的波和粒子 经典物理学中，波和粒子各自独立，在逻辑上不允许同时用这两个概念描写同一现象。粒子可视为质点，具有定域性，有确定的质量、动量、速度和电荷等，波可以在空间无限扩展，波有确定量子力学导论第6章答案
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