高考导数压轴题处理集锦

导数压轴题题型

1. 高考命题回顾

例1已知函数f(x)＝－(x ＋m)．（2013全国新课标Ⅱ卷）

(1)设x ＝0是f(x)的极值点，求m ，并讨论f(x)的单调性；

(2)当m≤2时，证明f(x)>0.

(1)解 f (x )＝－(x ＋m )?f ′(x )＝－?f ′(0)＝e 0－＝0?m ＝1，

定义域为{>－1}，f ′(x )＝－＝，

显然f (x )在(－1,0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增．

(2)证明 g (x )＝－(x ＋2)，则g ′(x )＝－(x >－2)．

h (x )＝g ′(x )＝－(x >－2)?h ′(x )＝＋>0，

所以h (x )是增函数，h (x )＝0至多只有一个实数根，

又g ′(－)＝－<0，g ′(0)＝1－>0，

所以h (x )＝g ′(x )＝0的唯一实根在区间内，

设g ′(x )＝0的根为t ，则有g ′(t )＝－＝0，

所以，＝?t ＋2＝e －t ，

当x ∈(－2，t )时，g ′(x )

当x ∈(t ，＋∞)时，g ′(x )>g ′(t )＝0，g (x )单调递增；

所以g (x )＝g (t )＝－(t ＋2)＝＋t ＝>0，

当m ≤2时，有(x ＋m )≤(x ＋2)，

所以f (x )＝－(x ＋m )≥－(x ＋2)＝g (x )≥g (x )>0.

例2已知函数)(x f 满足212

1)0()1(')(x x f e f x f x +-=-（2012全国新课标） (1)求)(x f 的解析式及单调区间；

(2)若b ax x x f ++≥22

1)(，求b a )1(+的最大值。 （1）1211()(1)(0)()(1)(0)2

x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+?=-+ 令1x =得：(0)1f =

1211()(1)(0)(1)1(1)2

x f x f e x x f f e f e --'''=-+?==?= 得：21()()()12

x x f x e x x g x f x e x '=-+?==-+ ()10()x g x e y g x '=+>?=在x R ∈上单调递增

()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=?><=?<

得：()f x 的解析式为21()2

x f x e x x =-+ 且单调递增区间为(0,)+∞，单调递减区间为(,0)-∞

（2）21()()(1)02

x f x x ax b h x e a x b ≥++?=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时，()0()h x y h x '>?=在x R ∈上单调递增

x →-∞时，()h x →-∞与()0h x ≥矛盾

②当10a +>时，()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>?>+

令22()ln (0)F x x x x x =->；则()(12ln )F x x x '=-

()00()0F x x F x x ''>?<<

当x =max ()2

e F x =

当1,a b ==(1)a b +的最大值为2

e 例3已知函数ln ()1a x b

f x x x

=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为230x y +-=。（2011全国新课标）

（Ⅰ）求a 、b 的值；

（Ⅱ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x k f x x x

>+-，求k 的取值范围。 解（Ⅰ）22

1(ln )'()(1)x x b x f x x x α+-=-+ 由于直线230x y +-=的斜率为12-， 且过点(1,1)，故(1)1,1'(1),2f f =???=-??即1,1,22

b a b =???-=-?? 解得1a =，1b =。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知ln 1f ()1x x x x =

++，所以 22ln 1(1)(1)()()(2ln )11x k k x f x x x x x x

---+=+--。 考虑函数()2ln h x x =+2(1)(1)k x x

--(0)x >，则22(1)(1)2'()k x x h x x -++=。 (i)设0k ≤，由222(1)(1)'()k x x h x x

+--=知，当1x ≠时，'()0h x <，h(x)递减。而(1)0h = 故当(0,1)x ∈时， ()0h x >，可得2

1()1h x x >-当x ∈（1，+∞）时，h （x ）<0，可得2

11x - h （x ）>0

从而当x>0,且x ≠1时，f （x ）-（

1ln -x x +x k ）>0，即f （x ）>1ln -x x +x

k . （）设0

且244(1)0k ?=-->，对称轴111k >-.

当x ∈（1，k -11）时，（1）（x 2

+1）+2x>0,故'h (x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈（1，k

-11）时，h （x ）>0，可得211x

-h （x ）<0,与题设矛盾。 （）设k ≥1.此时212x x +≥，2(1)(1)20k x x -++>?'h （x ）>0,而h （1）=0，故当x ∈ （1，+∞）时，h （x ）>0，可得211x

- h （x ）<0,与题设矛盾。

综合得，k 的取值范围为（-∞，0]

例4已知函数f(x)＝(x 3+3x 2)e －x . （2009宁夏、海南）

(1)若a ＝b ＝－3,求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)在(－∞,α),(2,β)单调增加,在(α,2),(β∞)单调减少,证明β－α＞6. 解: (1)当a ＝b ＝－3时(x)＝(x 3+3x 2－3x －3)e －x ,故

f′(x)＝－(x 3+3x 2－3x －3)e －x +(3x 2+6x －3)e －x

＝－e －x (x 3－9x)＝－x(x －3)(3)e －x .

当x ＜－3或0＜x ＜3时′(x)＞0;当－3＜x ＜0或x ＞3时′(x)＜0.

从而f(x)在(－∞,－3),(0,3)单调增加,在(－3,0),(3∞)单调减少.

(2)f′(x)＝－(x 3+3x 2)e －x +(3x 2+6)e －x ＝－e －x ［x 3+(a －6)－a ］.

由条件得f′(2)＝0,即23+2(a －6)－a ＝0,故b ＝4－a.

从而f′(x)＝－e －x ［x 3+(a －6)4－2a ］.因为f′(α)＝f′(β)＝0,

所以x 3+(a －6)4－2a ＝(x －2)(x －α)(x －β)＝(x －2)［x 2－(α+β)αβ］.

将右边展开,与左边比较系数,得α+β＝－2,αβ＝a －2. 故a 4124)(2-=-+=-αβαβαβ.又(β－2)(α－2)＜0，

即αβ－2(α+β)+4＜0.由此可得a ＜－6. 于是β－α＞6.

2. 在解题中常用的有关结论※

3. 题型归纳

①导数切线、定义、单调性、极值、最值、的直接应用

（构造函数，最值定位）（分类讨论，区间划分）（极值比较）（零点存在性定理应用）（二阶导转换）

例1（切线）设函数

a x x f -=2)(. （1）当1=a 时，求函数)()(x xf x g =在区间]1,0[上的最小值；

（2）当0>a 时，曲线)(x f y =在点)))((,(111a x x f x P >处的切线为l ，l 与x 轴

交于点)0,(2x A 求证：a x x >>21.

例2（最值问题，两边分求）已知函数1()ln 1a f x x ax x

-=-+-()a ∈R . ⑴当12

a ≤时，讨论()f x 的单调性； ⑵设2()2 4.g x x bx =-+当14

a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数

b 取值范围.

②交点与根的分布

例3（切线交点）已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()1,1f 处的切线

方程为20y +=．

⑴求函数()f x 的解析式；

⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，求实数c 的最小值；

⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．

例4（综合应用）已知函数

.23)32ln()(2x x x f -+= ⑴求f (x )在[0,1]上的极值；

⑵若对任意0]3)(ln[|ln |],31,61[>+'+-∈x x f x a x 不等式成立，求实数a 的

取值范围；

⑶若关于x 的方程b x x f +-=2)(在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b 的取值范围.

③不等式证明

例5 (变形构造法)已知函数1)(+=

x a x ?，a 为正常数． ⑴若)(ln )(x x x f ?+=，且a

29

=，求函数)(x f 的单调增区间；

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⑵在⑴中当0=a 时，函数)(x f y =的图象上任意不同的两点()11,y x A ，()22,y x B ，线段AB 的中点为),(00y x C ，记直线AB 的斜率为k ，试证明：)(0x f k '>．

⑶若)(ln )(x x x g ?+=，且对任意的(]2,0,21∈x x ，21x x ≠，都有1)()(1212-<--x x x g x g ，求a 的取值范围．

例6 (高次处理证明不等式、取对数技巧)已知函数)0)(ln()(2>=a ax x x f .

（1）若2)('x x f ≤对任意的0>x 恒成立，求实数a 的取值范围；

（2）当1=a 时，设函数x x f x g )()(=，若1),1,1(,2121<+∈x x e x x ，求证

42121)(x x x x +< 例7（绝对值处理）已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点，且在

1=x 处取得极大值．

（I ）求实数a 的取值范围； （）若方程9

)32()(2

+-=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式； （）对于（）中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、，求证：81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．

例8（等价变形）已知函数x ax x f ln 1)(--=()a ∈R ．

（Ⅰ）讨论函数)(x f 在定义域内的极值点的个数；

（Ⅱ）若函数)(x f 在1=x 处取得极值，对x ?∈),0(+∞,2)(-≥bx x f 恒成立，

求实数b 的取值范围；

（Ⅲ）当20e y x <<<且e x ≠时，试比较x

y x y ln 1ln 1--与的大小． 例9（前后问联系法证明不等式）已知217()ln ,()(0)22f x x g x x mx m ==++<，

直线l 与函数(),()f x g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1。

（I ）求直线l 的方程及m 的值；

（）若()(1)'()()h x f x g x =+-其中g'(x)是g(x)的导函数，求函数()h x 的最大值。

（）当0b a <<时，求证：()(2).2b a f a b f a a -+-<

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例10 (整体把握，贯穿全题)已知函数ln ()1x f x x

=-． （1）试判断函数()f x 的单调性；

（2）设0m >，求()f x 在[,2]m m 上的最大值；

（3）试证明：对任意*n ∈N ，不等式11ln(

)e n n n n

++<都成立（其中e 是自然对数的底数）． （Ⅲ）证明：2

121111

n n a a a n ++???+>+． 例11（数学归纳法）已知函数()ln(1)f x x mx =++，当0x =时，函数()f x 取得极大值.

（１）求实数m 的值；

（２）已知结论：若函数()ln(1)f x x mx =++在区间(,)a b 内导数都存在，

且1a >-，则存在0(,)x a b ∈，使得0()()()f b f a f x b a

-'=-.试用这个结论证明：若121x x -<<，函数121112

()()()()()f x f x g x x x f x x x -=-+-，则对任意12(,)x x x ∈，都有()()f x g x >；

（３）已知正数12,,,n λλλ，满足121n λλλ+++=，求证：当2n ≥，n N

∈时，对任意大于1-，且互不相等的实数12,,,n x x x ，都有1122()n n f x x x λλλ+++>1122()()()n n f x f x f x λλλ+++.

④恒成立、存在性问题求参数范围

例12（分离变量）已知函数

x a x x f ln )(2+=(a 为实常数). (1)若2-=a ，求证：函数)(x f 在(1∞)上是增函数；

(2)求函数)(x f 在[1]上的最小值及相应的x 值；

(3)若存在],1[e x ∈，使得x a x f )2()(+≤成立，求实数a 的取值范围. 例13（先猜后证技巧）已知函数x

x n x f )1(11)(++= （Ⅰ）求函数f (x )的定义域

（Ⅱ）确定函数f (x )在定义域上的单调性，并证明你的结论.

（Ⅲ）若x >0时1

)(+>x k x f 恒成立，求正整数k 的最大值. 例14（创新题型）设函数f(x)(x)(x)(x)－g(x).

(Ⅰ)若0是F(x)的极值点,求a 的值；

(Ⅱ)当 1时,设P(x 1(x 1)), Q(x 2, g(x 2))(x 1>02>0), 且轴,求P 、Q 两点间的最短距离；

(Ⅲ)若x≥0时,函数(x)的图象恒在(－x)的图象上方,求实数a 的取值范围．