求值域的方法大全及习题
求值域方法
常用求值域方法
（1）、直接观察法：利用已有的基本函数的值域观察直接得出所求函数的值域
对于一些比较简单的函数，如正比例,反比例,一次函数,指数函数,对数函数,等等, 其值域可通过观察直接得到。
例1、求函数
1
,[1,2]y x x =
∈的值域。
例2、 求函数x 3y -=的值域。 【同步练习1】函数2
21x
y
+=
的值域.
（2）、配方法：二次函数或可转化为形如c x bf x f a x F ++=)()]([)(2
类的函数的值域问题，均可用配方法，而后一情况要注意)(x f 的范围；配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例1、求函数
225,y x x x R =-+∈的值域。 例2、求函数
]2,1[x ,5x 2x y 2-∈+-=的值域。 例3、求()()22log 26log 62log 22
222
2-+=++=x x x y 。（配方法、换元法）
例4、设02x ≤≤，求函数1
()4321x x f x +=-+的值域．
例5、求函数13432-+
-=x x y 的值域。（配方法、换元法）
例6、求函数x x y 422+--=的值域。（配方法） 【同步练习2】
1、求二次函数2
42y x x =-+-（[]1,4x ∈）的值域.
2、求函数342-+-=x x e y 的值域.
3、求函数4
21,[3,2]x
x y x --=-+∈-的最大值与最小值.
4、求函数])8,1[(4
log 2log 22∈?=x x
x y 的最大值和最小值.
5、已知[]0,2x ∈，求函数1
2
()4
325x x f x -=-?+的值域.
6、若,42=+y x 0,0>>y x ,试求y x lg lg +的最大值。
（3）、换元法：（三角换元法）有时候为了沟通已知与未知的联系，我们常常引进一个（几个）新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”往往可以暴露已知与未知之间被表面形式掩盖着的实质，发现解题方向，这就是换元法．在求值域时，我们可以通过换元将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域．
例1、
求()f x x =+
【同步练习3】求函数x x y 21--=的值域。 例2、求函数221x x x y +-=的值域。
【同步练习4】求函数2
x 54x y -++=的值域。
【同步练习5】
1、求函数x x y 21-+=的值域.
2、求函数2
)1x (12x y +-++=的值域。
3、已知函数)(x f 的值域为??
????95,83，求函数)(21)(x f x f y -+=的值域.
（4）、函数有界性法（方程法）
直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。 我们所说的单调性，最常用的就是三角函数的单调性。
例1、求函数3sin 3
sin +-=
x x y 的值域。
例2、求函数3
cos 21
sin 3+-=x x y 的值域。
【同步练习6】求函数
11x x e y e -=+，2sin 11sin y θθ-=+，2sin 11cos y θθ-=
+的值域. （5）、数形结合法（函数的图像）：对于一些函数（如二次函数、分段函数等）的求值域问题，我们可
以借助形象直观的函数图象来观察其函数值的变化情况，再有的放矢地通过函数解析式求函数最值，确定函数值域，用数形结合法，使运算过程大大简化．
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。
例1、 求函数22
23(20)()23(03)
x x x f x x x x ?+--
≤ ≤≤的值
域．
例2、 求函数2
2)8x ()2x (y ++-=的值域.
例3、求函数5x 4x 13x 6x y 2
2++++-=的值域. 例4、求函数5x 4x 13x 6x y 22++-+-=的值
域.
【同步练习7】
1、求函数13y x x =-+-的值域.
2、求函数31y x x =--+的值域.
3、
求函数y =
.
4、求函数()225222++-++=
x x x x x f 的最大值.
（6）均值不等式法：利用基本关系,0)]([2
≥x f 两个正数的均值不等式ab b a 2≥+在应用时要注意“一
正二定三相等”；
利用基本不等式abc 3c b a ,ab 2b a 3
≥++≥+)R c ,b ,a (+∈，求函数的最值，其题型特征解析式是和式时
要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项和两边平方等技巧。
例1、求函数)1(1
2
22->+++=
x x x x y 的值域 例3、 求函数
4)x cos 1x (cos )x sin 1x (sin y 2
2-+++
=的值域.
（7）、根判别式法：对于形如2111
2
222
a x
b x
c y a x b x c ++=++（1a ，2a 不同时为0）的函数常采用此法，就是把函数转化成关于x 的一元二次方程（二次项系数不为0时），通过方程有实数根，从而根的判别式大于等于零，求得原函数的值域．
对二次函数或者分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其他方法进行化简 如:
例1、求函数2
2
11x x y x ++=+的值域．
例2、求函数
)
x 2(x x y -+=的值域.
【同步练习8】
1、求函数22
585
1
x x y x ++=+的值域. 2、求函数2
212+++=x x x y 的值域.
3、函数2281
3()log ax x b
x f x +++=的定义域为(,)-∞+∞，值域为[0,2]，求,a b 的值.
4、设函数 ()22
ax b y f x x +==
+的值域为 []51,-，求a ,b . 5、已知函数y =f (x)=()01
222<+++b x c bx x 的值域为[1,3],求实数b ,c 的值. （8）、分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，因为分子分母都有变量，利用函数单调性确定其值域较困难，因此，我们可以采用凑配分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，而此时的分式，只有分母上含有变量，进而可利用函数性质确定其值域．
例1、求函数221
x
x y =+的值域．
例2、求2
1
+-=
x x y 的值域. （9）、倒数法
有时，直接看不出函数的值域时，把它倒过来之后，你会发现另一番境况
例1、
求函数
3y x =
+的值域.
多种方法综合运用
总之，在具体求某个函数的值域时，
首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择恰当的方法，
一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他各种特殊方法。 【例题综合分析】
例1、求下列函数的值域：
（1）2
32y x x =-+； （2
）y ； （3）31
2
x y x +=
-； （4
）y x =+ （5
）y x = （6）|1||4|y x x =-++；
（7）22221x x y x x -+=++； （8）2211()212x x y x x -+=>-； （9）1sin 2cos x
y x
-=-
解：
（1）法一：公式法（略）
法二：（配方法）
2212323
323()61212
y x x x =-+=-+≥
， ∴2
32y x x =-+的值域为23[,)12
+∞．
【拓展】求函数2
32y x x =-+，[1,3]x ∈的值域．
解：（利用函数的单调性）函数2
32y x x =-+在[1,3]x ∈上单调增， ∴当1x =时，原函数有最小值为4；当3x =时，原函数有最大值为26． ∴函数2
32y x x =-+，[1,3]x ∈的值域为[4,26]．
（2）求复合函数的值域：设2
65x x μ=---（0μ≥）
，则原函数可化为y
又∵2
2
65(3)44x x x μ=---=-++≤，∴04μ≤≤
[0,2]，
∴y =的值域为[0,2]． （3）（法一）反函数法：312x y x +=-的反函数为21
3
x y x +=-，其定义域为{|3}x R x ∈≠， ∴原函数31
2
x y x +=
-的值域为{|3}y R y ∈≠． （法二）分离变量法：313(2)77
3222
x x y x x x +-+===+
---， ∵
702x ≠-，∴7
332
x +≠-，
∴函数31
2
x y x +=
-的值域为{|3}y R y ∈≠． （4）换元法（代数换元法）
：设0t =≥，则2
1x t =-，
∴原函数可化为22
14(2)5(0)y t t t t =-+=--+≥，∴5y ≤， ∴原函数值域为(,5]-∞．
说明：总结y ax b =++
2y ax b =+
2
y ax b =+（5）三角换元法：∵2
1011x x -≥?-≤≤，∴设cos ,[0,]x ααπ=∈，
则cos sin )4
y π
ααα=+=
+
∵[0,]απ∈，∴5[,]444
π
ππ
α+∈
，∴sin()[42πα+∈-
，
)[4
π
α+
∈-，
∴原函数的值域为[-．
（6）数形结合法：23(4)
|1||4|5
(41)23(1)x x y x x x x x --≤-??
=-++=-<
，∴5y ≥， ∴函数值域为[5,)+∞．
（7）判别式法：∵2
10x x ++>恒成立，∴函数的定义域为R ．
由22221
x x y x x -+=++得：2
(2)(1)20y x y x y -+++-= ①
①当20y -=即2y =时，①即300x +=，∴0x R =∈
②当20y -≠即2y ≠时，∵x R ∈时方程2
(2)(1)20y x y x y -+++-=恒有实根， ∴22
(1)4(2)0y y =+-?-≥，∴15y ≤≤且2y ≠， ∴原函数的值域为[1,5]．
（8）2
1
21(21)1111
2121212122
2
x x x x y x x x x x x -+-+===+=-++----，
∵12x >，∴102
x ->，
∴112122x x -+≥-当且仅当11
2
122
x x -
=
-时，
即12
x =
时等号成立．∴12y ≥
，∴原函数的值域为1
,)2
+∞．
（9）（法一）方程法（函数有界性）：原函数可化为：sin cos 12x y x y -=-，
)12x y ?-=-
（其中cos ??=
=
），
∴sin()[1,1]x ?-=
-
，∴|12|y -≤2340y y -≤，∴403
y ≤≤
， ∴原函数的值域为4[0,]3
．
（法二）数形结合法：可看作求点(2,1)与圆2
2
1x y +=上的点的连线的斜率的范围，解略． 例2、若关于x 的方程|3|2
(22
)3x a ---=+有实数根，求实数a 的取值范围．（综合） 解：原方程可化为|3|2
(22)3x a --=--，
令|3|
2
x t --=，则01t <≤，2
()(2)3a f t t ==--，又∵()a f t =在区间(0,1]上是减函数，
∴(1)()(0)f f t f ≤<，即2()1f t -≤<， 故实数a 的取值范围为：21a -≤<．
例3、 求函数
3x 2
x y ++=
的值域。（换元法、不等式法）
解：令)0t (2x t ≥+=，则1t 3x 2
+=+
（1）当0t >时，
21
t 1t 11t t y 2≤
+=+=
，当且仅当t=1，即1x -=时取等号，所以
21y 0≤
< （2）当t=0时，y=0。
综上所述，函数的值域为：?
????
?21,0 注：先换元，后用不等式法
【拓展练习】（共11题，附答案） 一、选择题
1、下列函数中，值域是（0，+∞）的函数是
A ．1
51+=
-x y B ．x
y 2
1-= C ．1)21(-=x y D ．x y -=1)31( 2、已知3
2
()26f x x x a =-+（a 是常数），在[]2,2-上有最大值3，那么在[]2,2-上的最小值是
A ．5-
B ．11-
C ．29-
D ．37-
3、已知函数322
+-=x x y 在区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是 A 、[ 1，+∞） B 、[0，2] C 、（-∞，2] D 、[1，2]
4、（04年天津卷.文6理5）若函数)10(log )(<<=a x x f a 在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a=
A.
42 B.
2
2 C.
41 D. 21
5、（04年湖北卷.理7）函数()log (1)[0,1]x
a f x a x =++在上的最大值与最小值之和为a,则a 的值为
（A ）41 （B ）2
1
（C ）2 （D ）4
6、若12
2=+y x ，则12--x y 的最小值是__________4
3y x +的最大值是______________
7、已知函数)12lg(2
++=x ax y 的值域为R ，则实数a 的取值范围是_____________ 8、下列函数的值域分别为：
（1） （2） （3） （4） . （1）1
1+-=
e
e x
x y （2） x
x y 2225
.0-= （3）3
3x x y -= （4）4
52
2++=
x x y
9、已知函数)0(1
2)(2
2<+++=b x c
bx x x f 的值域为]3,1[，求实数c b ,的值。 10、已知二次函数)0()(2
≠+=a bx ax x f 满足条件：)3()5(-=-x f x f 且方程x x f =)( 有等根，⑴ 求
)(x f 的解析式；⑵ 是否存在实数)(,n m n m <，使得)(x f 的定义域为],[n m ，值域为]3,3[n m 。 11、已知函数),1[,2)(2+∞∈++=
x x
a
x x x f （1） 当2
1
=
a 时，求函数)(x f 的最小值 ； （2）
若对任意),1[+∞∈x ，)(x f 0>恒成立，试求实数a 的取值范围。
答案：同步练习 g3.1011函数的最值与值域 1—5、DDDAB 6、
34；512
7、[0,1] 8(1)(-1,1) (2)(]0,4 (3)R (4)5,2
??+∞????
9、2,2b c =-= 10(1)21()2f x x x =-
+ (2)4,0m n =-= 9(1)7
2
(3)3a >- 1、函数221
x
x y =+的值域为(0,1)．（分离常数法）
2、若函数()log a f x x =在[2,4]上的最大值与最小值之差为2，则a =．（函数单调性法） 【拓展练习】（★★★★） 一、选择题
1、函数y =x 2
+
x
1 (x ≤－21
)的值域是( )（函数单调性法）
A.(－∞,－47]
B.［－47
,+∞)
C.［2233,+∞)
D.(－∞,－322
3］
2、函数y =x +x 21-的值域是( )（换元法）（配方法） A.(－∞,1] B.(－∞,－1] C.R
D.［1,+∞)
1、函数f(x)＝a x
+log a (x+1)在［0,1］上的最大值和最小值之和为a,则a 的值为( )（★★★★） A.
41 B.2
1
C.2
D.4 2、函数y ＝log 2x+log x (2x)的值域是( ) （★★★★）
A.(-∞,-1］
B.［3,+∞)
C.［-1,3］
D.(-∞,-1］∪［3,+∞)
3、已知f(x)是奇函数,且当x ＜0时,f(x)＝x 2
+3x+2.若当x∈［1,3］时,n ≤f(x)≤m 恒成立,则m-n 的最小值为( ) A.
49 B.2 C.43 D.4
1 4、把长为1
2 cm 的细铁丝截成两段,各自围成一个正三角形,那么这两个正三角形面积之和的最小值是( ) A.
2
33 cm 2 B.4 cm 2 C.23 cm 2 D.32 cm 2
5、在区间［1.5,3］上,函数f(x)＝x 2
+bx+c 与函数1
1
)(-+
=x x x g 同时取到相同的最小值,则函数f(x)在区间［1.5,3］上的最大值为( )
A.8
B.6
C.5
D.4
6、若方程x 2+ax+b ＝0有不小于2的实根,则a 2+b 2
的最小值为( ) A.3 B.
516 C.5
17 D.518 7、函数∑=-=
19
1
||)(n n x x f 的最小值为( )
A.190
B.171
C.90
D.45
8、设a ＞1,函数f(x)＝log a x 在区间［a,2a ］上的最大值与最小值之差为
2
1
,则a 等于( ) A.2 B.2 C.22 D.4 9、设a 、b∈R,a 2
+2b 2
＝6,则a+b 的最小值是( ) A.22- B.335-
C.-3
D.2
7
- 10、若动点(x,y)在曲线
1422
2=+b
y x (b ＞0)上变化,则x 2+2y 的最大值为( ) A.?????≥<<+4,240,442b b b b B.??
???≥<<+2
,22
0,442
b b b b C.442+b D.2b 11、设a,b∈R,记max{a,b}＝?
?
?<≥.,,
,b a b b a a 函数f(x)＝max{|x+1|,|x-2|}(x∈R)的最小值是_________.
12、规定记号“Δ”表示一种运算,即b a ab b a ++=
?,a 、b∈R +.若1Δk＝3,则函数f(x)＝kΔx 的值
域是__________.
13、已知函数f(x)＝2+log 3x,x∈［1,9］,则函数y ＝［f(x)］2+f(x 2
)的值域为___________. 14、若变量x 和y 满足条件??
?≥-≥-+,
02,03y x y x 则z ＝2x+y 的最小值为_______;x y
的取值范围是_________.
15、求下列函数的值域:（ ）
(1)y ＝x 2
-4x+6,x∈［1,5); (2)2
41
5+-=
x x y ;
(3)12--
=x x y .
16、(2009山东烟台高三模块检测,20)设函数bx ax x x g -+=
2
32
131)((a,b∈R),在其图象上一点P(x,y)处的切线的斜率记为f(x).
(1)若方程f(x)＝0有两个实根分别为-2和4,求f(x)的表达式;
(2)若g(x)在区间［-1,3］上是单调递减函数,求a 2+b 2
的最小值. 【答案】
1、解析:f(x)＝a x +log a (x+1)是单调递增(减)函数〔原因是y ＝a x
与y ＝log a (x+1)单调性相同〕,且在［0,1］
上的最值分别在两端点处取得,最值之和为f(0)+f(1)＝a 0
+log a 1+a+log a 2＝a, ∴log a 2+1＝0.∴2
1
=
a . 答案:B 2、解析:y ＝log 2x+log x (2x)＝1log 1
log log log 1log 22222++=++
x
x x x x .
∵2|
log |1
|log ||log 1log |2222≥+=+
x x x x ,
∴1log 1
log 22++
x
x ∈(-∞,-1］∪［3,+∞).故选D.
3、解析:设x ＞0,则-x ＜0,
∴f(x)＝-f(-x)＝-［(-x)2+3(-x)+2］＝-x 2
+3x-2.
∴在［1,3］上,当23=
x 时f(x)max ＝4
1
,当x ＝3时f(x)min ＝-2. ∴m≥41且n ≤-2.故m-n ≥4
9
. 答案:A
4、解析:设其中一段长为3x,则另一段为12-3x,则所折成的正三角形的边长分别为x,4-x,它们的面积分别为
24
3x ,2)4(43
x -,则它们的面积之和为22)4(4343x x S -+= ]4)2[(2
3)1682(4322+-=+-=
x x x ,可见当x ＝2时,两个正三角形面积之和的最小值为32 cm 2. 答案:D
5、解析:311
1
)1(21111)(=+-?-≥+-+
-=x x x x x g ,当且仅当x ＝2时,g(x)min ＝3, ∴f(x)＝(x-2)2
+3.
∴在区间［1.5,3］上,f(x)max ＝f(3)＝4. 故选D.
6、解析:将方程x 2+ax+b ＝0看作以(a,b)为动点的直线l:xa+b+x 2＝0的方程,则a 2+b 2
的几何意义为l 上的
点(a,b)到原点O(0,0)的距离的平方,由点到直线的距离d 的最小性知a 2+b 2≥d 2
＝
211)1(1)1
00(
22242
22
-+++=+=+++x x x x x x (x ≥2), 令u ＝x 2
+1,易知21)(-+=u u u f (u ≥5)在［5,+∞)上单调递增,则f(u)≥f(5)＝5
16
, ∴a 2
+b 2
的最小值为
5
16
.故选B. 7、解析:f(x)＝|x-1|+|x-2|+…+|x -9|+|x-10|+|x-11|+…+|x -18|+|x-19|, 由|a-b|≤|a|+|b|(当且仅当a·b≤0时取等号), 得|x-1|+|x-19|≥|x-1-x+19|＝18, |x-2|+|x-18|≥|x-2-x+18|＝16,… |x-9|+|x-11|≥|x-9-x+11|＝2, |x-10|≥0.
上面各式当x ＝10时同时取等号, ∴f(x)最小值为18+16+…+2+0＝
902
)
018(10=+?. 答案:C
8、解:由a ＞1知f(x)为增函数,所以log a 2a-log a a ＝
21,即log a 2＝2
1
,解得a ＝4.所以选D. 9、解析:∵13
62
2=+b a ,故令αcos 6=a ,αsin 3=b , ∴)sin(3sin 3cos 6?ααα+=+=
+b a .
∴a+b 的最小值为-3. 答案:C
10、解析:令x ＝2cosθ,y＝bsinθ,则x 2+2y ＝4cos 2θ+2bsinθ＝-4sin 2
θ+2bsinθ+4＝
-4(4sin b -θ)2+4+42b ;当4b ＜1即0＜b ＜4时,x 2
+2y 取最大值442b +,此时4sin b =θ;当14
≥b 即b ≥4
时,x 2
+2y 的最大值为2b,此时sinθ＝1.故选A.
11、解析:如右图所示,函数y ＝max{|x+1|,|x-2|}的图象为图中实线部分, ∴max{|x+1|,|x -2|}的最小值为23. 答案:2
3 12、解析:由题意311=++=?k k k ,解得k ＝1,
∴x x x f ++=
1)(.
而1)(++
=x x x f 在［0,+∞)上递增,
∴f(x)≥1. 答案:［1,+∞)
13、解析:∵f(x)＝2+log 3x,x∈［1,9］,
∴y＝［f(x)］2
+f(x 2
)的定义域为?
??≤≤≤≤.91,
912
x x 解得1≤x ≤3,即定义域为［1,3］.
∴0≤log 3x ≤1.
又y ＝［f(x)］2+f(x 2
)
＝(2+log 3x)2+2+log 3x 2
＝(log 3x)2
+6log 3x+6
＝(log 3x+3)2
-3, ∵0≤log 3x ≤1, ∴6≤y ≤13.
故函数的值域为［6,13］. 答案:［6,13］
14、解析:如图作出可行域,易知将直线DE:2x+y ＝0平移至点A(2,1)时目标函数z ＝2x+y 取得最小值,
即z min ＝2×2+1＝5,
x
y
表示可行域内点与原点连线的斜率,由图形知,直线从GH 绕原点逆时针方向转动到AB 位置,斜率变得越来越大,故-1＝k GH ＜x
y
≤k AB ＝21. 答案:5 (-1,21］
15、解:(1)y ＝x 2
-4x+6＝(x-2)2
+2,
∵x∈［1,5),
∴由图象知函数的值域为{y|2≤y ＜11}.
(2)2
41
5+-=
x x y
＝24251)24(4
5+-
-+x x ＝2
427)24(4
5+-
+x x ＝
)24(2745+-x . ∵
)
24(27
+x ≠0,
∴y≠
4
5. ∴函数的值域为{y∈R|y≠
4
5}. (3)令t x =-1,则x ＝t 2
+1(t ≥0),
∴y＝2(t 2+1)-t ＝2t 2
-t+2＝2(41-t )2+8
15. ∵t≥0, ∴y≥
8
15
. ∴函数的值域是［
8
15
,+∞). 16、解:(1)根据导数的几何意义知f(x)＝g′(x)＝x 2
+ax-b,
由已知-2、4是方程x 2
+ax-b ＝0的两个实数, 由韦达定理,?
?
?-=?--=+-,42,
42b a
∴??
?=-=,
8,2b a f(x)＝x 2
-2x-8.
(2)g(x)在区间［-1,3］上是单调减函数,
∴在［-1,3］区间上恒有f(x)＝g′(x)＝x 2
+ax-b ≤0,
即f(x)＝x 2
+ax-b ≤0在［-1,3］上恒成立,
这只需满足???≤≤-0)3(,0)1(f f 即可,也即?
??≥-≥+,93,
1a b b a
而a 2
+b 2
可视为平面区域??
?≥-≥+,
93,
1a b b a 内的点到原点距离的平方,其中点(-2,3)距离原点最近,∴当
??
?=-=3
,2b a 时,a 2+b 2
有最小值13. 【拓展练习】
1、函数1
1
22+-=x x y 的值域是（ ）（★★★）
A ．[-1，1]
B ．[-1，1）
C ．（-1，1]
D ．（-1，1）
2、若函数
1)1(2
1
)(2+-=x x f 的定义域和值域都是)1(],,1[>b b ，则b 的值为（ ）（★★★★）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
3、已知定义在闭区间[0,a]上的函数y=x 2
-2x+3，若y 的最大值是3，最小值是2，则a 的取值范围是 . （★★★）
5、函数y=x 2
-2x+a 在[0,3]上的最小值是4，则a= ；若最大值是4，则a= .
6、已知函数12
79,432
2
+--=-+=x x x y x x y 的值域分别是集合P 、Q ，则（ ）
（★★★）（根判别法） A ．p ?Q
B ．P=Q
C ．P ?Q
D ．以上答案都不对
7、函数])4,0[(422∈+--=x x x y 的值域是（ ）（★★★）（配方法）
A ．[0，2]
B ．[1，2]
C ．[－2，2]
D ．[－2，2]
8、若函数)(},4|{}0|{1
1
3)(x f y y y y x x x f 则的值域是≥?≤--=
的定义域是( ) A ．]3,3
1[ B ．]3,1()1,3
1[? C ．),3[]3
1,(+∞-∞或 D ．[3,+∞)
9、求下列函数的值域：
①)1(3
55
3>-+=
x x x y ②y=|x+5|+|x-6| ③242++--=x x y ④x x y 21-+= ⑤4
22+-=x x x
y
10、设函数4
1)(2
-+=x x x f .
（Ⅰ）若定义域限制为[0，3]，求)(x f 的值域； （Ⅱ）若定义域限制为]1,[+a a 时，)(x f 的值域为]16
1
,21[-
，求a 的值. 11、若函数1
2
)(22+--+=x x ax x x f 的值域为[－2，2]，求a 的值.
一、选择题
1．若函数y ＝2x
的定义域是P ＝{1,2,3}，则该函数的值域是
( )
A ．{2,4,6}
B ．{2,4,8}
C ．{1,2，log 32}
D ．{1,2，log 23}
2．定义在R 上的函数y ＝f (x )的值域为[a ，b ]，则y ＝f (x ＋1)的值域为
( )
A ．[a ，b ]
B ．[a ＋1，b ＋1]
C ．[a －1，b －1]
D ．无法确定
3．函数y ＝
x
x 2＋x ＋1
(x >0)的值域是
( )
A ．(0，＋∞)
B ．(0，1
3
)
C ．(0，13]
D ．[1
3
，＋∞)
4．函数y ＝x 2
－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0,2] C ．(－∞，2] D ．[1,2]
5．若函数y ＝f (x )的值域是[12，3]，则函数F (x )＝f (x )＋1
f (x )
的值域是( )
A ．[12，3]
B ．[2，103]
C ．[52，103]
D ．[3，103
]
6．(2009·海南/宁夏高考)用min{a ，b ，c }表示a ，b ，c 三个数中的最小值．设f (x )＝min{2x
，x ＋2,10－x }(x ≥0)，则f (x )的最大值为 ( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 二、填空题(每小题5分，共20分)
7．函数y ＝2x －5
x －3
的值域是{y |y ≤0或y ≥4}，则此函数的定义域为__________．
8．已知f (x )的值域是[38，4
9]，g (x )＝f (x )＋1－2f (x )，则y ＝g (x )的值域是__________．
9．函数f (x )＝x 2
－2x ＋2x 2
－5x ＋4的最小值为__________．
10．(2009·泉州质检)在实数的运算法则中，我们补充定义一种新运算“”如下：当a ≥b 时，a b ＝a ；
当a
；则函数f (x )＝(1x )·x －(2x )，(x ∈[－2,2])的最大值是__________． 【答案】
1、解析：由题意得，当x ＝1时，2x ＝2，当x ＝2时，2x ＝4，当x ＝3时，2x
＝8，即函数的值域为{2,4,8}，故应选B. 答案：B
2、解析：∵函数y ＝f (x ＋1)的图象是由函数y ＝f (x )的图象向左平移1个单位得到的，其值域不改变，∴其值域仍为
[a ，b ]，故应选A. 答案：A
3、解析：由y ＝x x 2＋x ＋1(x >0)得0 ＋1≤12x ·1 x ＋1＝13，因此该函数的值域是(0，1 3]， 选C. 4、解析：x ＝1时，y 取最小值2；令y ＝3，得x ＝0或x ＝2.故1≤m ≤2. 答案：D 5、解析：令t ＝f (x )，则t ∈[12，3]，F (t )＝t ＋1 t ，根据其图象可 知： 当t ＝1时，F (x )min ＝F (t )min ＝F (1)＝2； 当t ＝3时，F (x )max ＝F (t )max ＝F (3)＝10 3， 故其值域为[2，10 3]． 答案：B 6、解析：令2x ＝x ＋2?x 1<0(舍)或x 2＝2， 令2x ＝10－x 即2x ＋x ＝10，则2 故f (x )≤6，即选C. 答案：C 7、解析：y ＝2x －5x －3＝2＋1 x －3 ， 即1x －3≤－2或1x －3≥2， 由1x －3≤－2?52≤x <3， 由1x －3≥2?3 ] 8、解析：∵f (x )∈[38，49]，则2f (x )∈[34，8 9 ]， 1－2f (x )∈[19，1 4 ]． 令t ＝1－2f (x )∈[13，1 2]， 则f (x )＝1－t 22，g (x )＝1－t 2 2＋t ， 即g (x )＝－t 2 ＋2t ＋1 2，对称轴t ＝1， g (x )在t ∈[13，12]上单调递增，g (x )∈[79，78]．答案：[79，7 8 ] 9、解析：由? ???? x 2 －2x ≥0 x 2 －5x ＋4≥0?? ?? ?? x ≥2或x ≤0， x ≥4或x ≤1， ∴x ≥4或x ≤0. 又x ∈[4，＋∞)时，f (x )单调递增?f (x )≥f (4)＝1＋22；而x ∈(－∞，0]时，f (x )单调递减?f (x )≥f (0)＝0＋4＝4. 故最小值为1＋2 2. 答案：1＋2 2 10、解析： 【拓展练习】 一、选择题 1.函数y ＝x 2 －2x 的定义域为{0,1,2,3}，那么其值域为 ( ) A.{－1,0,3} B.{0,1,2,3} C.{y |－1≤y ≤3} D.{y |0≤y ≤3} 2.若函数f (x )＝(a 2－2a －3)x 2 ＋(a －3)x ＋1的定义域和值域都为R ，则a 的取值范围是( ) A.a ＝－1或a ＝3 B.a ＝－1 C.a ＝3 D.a 不存在 3.已知函数f (x )＝lg(4－x )的定义域为M ，g (x )＝0.5x －4的定义域为N ，则M ∩N ＝( ) A.M B.N C.{x|2≤x<4} D.{x|－2≤x<4} 4.(2009·江西高考)函数y ＝－x 2 －3x ＋4 x 的定义域为 ( ) A.[－4,1] B.[－4,0) C.(0,1] D.[－4,0)∪(0,1] 5.若函数f (x )的值域为[12，3]，则函数F (x )＝f (x )＋1 f (x ) 的值域是 ( ) A.[12，3] B.[2，103] C.[52，102] D.[3，103 ] 6.(2010·南通模拟)若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是( ) A.[－5，－1] B.[－2,0] C.[－6，－2] D.[1,3] 二、填空题 7.函数f (x )＝ln(2＋x －x 2 ) |x |－x 的定义域为 . 8.函数的值域：y ＝－x 2 －6x －5为 . 9.已知函数f (x )＝4 |x |＋2 －1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z)，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b ) 共有 个. 三、解答题 10.求下列关于x 的函数的定义域和值域： (1)y ＝1－x －x ； (2)y ＝log 2(－x 2 ＋2x )； （3） 【答案】 1、解析：把x ＝0,1,2,3分别代入y ＝x 2 －2x ， 即y ＝0，－1,3. 答案：A 2、解析：依题意应有2230 , 1.30a a a a ?--==-?-≠? 解得 答案：B 3、解析：M ＝{x |4－x >0}＝{x |x <4}， N ＝{x |0.5x －4≥0}＝{x |x ≤－2}， 则M ∩N ＝N . 答案：B 4、解析：要使y ＝－x 2 －3x ＋4 x 有意义， 只要2340,0 x x x ?--+?≠?≥ 所以所求定义域为[－4,0)∪(0,1]. 答案：D 5、解析：令f (x )＝t ，t ∈[12，3]，问题转化为求函数y ＝t ＋1t 在[12，3]的值域.又y ′＝1－1t 2＝t 2 －1 t 2，当 t ∈[12，1]，y ′≤0，y ＝t ＋1t 为减函数， 在[1,3]，y ′≥0，y ＝t ＋1 t 在[1,3]上为增函数，故t ＝1时y min ＝2，t ＝3时y ＝10 3 为最大. ∴y ＝t ＋1t ，t ∈[12，3]的值域为[2，10 3 ]. 答案：B 6、解析：∵1≤f (x )≤3，∴1≤f (x ＋3)≤3， ∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2，∴－5≤F (x )≤－1. 答案：A 7、解析：由2 20, 12,0,0,x x x x x x ?+->-< 解得 即－1 8、解析：设μ＝－x 2－6x －5(μ≥0)，则原函数可化为y ＝μ.又∵μ＝－x 2 －6x －5＝ －(x ＋3)2 ＋4≤4， ∴0≤μ≤4，故μ∈[0,2]， ∴y ＝－x 2 －6x －5的值域为[0,2]. 答案：[0,2] 9、解析：由0≤4|x |＋2－1≤1，即1≤4 |x |＋2 ≤2得0≤|x |≤2，满足整数数对的有(－2,0)， (－2,1)，(－2,2)，(0,2)，(－1,2)共5个. 答案：5 10、解：（1）要使函数有意义，则10,x x -?? ? ≥0, ≥∴0≤x ≤1 函数的定义域为[0,1].[来源:学科网] ∵函数y ＝1－x －x 为减函数， ∴函数的值域为[－1,1]. (2)要使函数有意义，则－x2＋2x>0，∴0 ∴函数的定义域为(0,2). 又∵当x∈(0,2)时，－x2＋2x∈(0,1]， ∴log2(－x2＋2x)∈(－∞，0]. 即函数的值域为(－∞，0]. (3)函数定义域为{0,1,2,3,4,5}， 函数值域为{2,3,4,5,6,7}.一、函数的概念与表示 1、映射 （1）映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B以及A到B的对应法则f）叫做集合A 到集合B的映射，记作f：A→B。 注意点：（1）对映射定义的理解。（2）判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射 2、函数 构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域 两个函数是同一个函数的条件：三要素有两个相同 二、函数的解析式与定义域 1、求函数定义域的主要依据： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； （3）对数函数的真数必须大于零； （4）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1； 三、函数的值域 1求函数值域的方法 ①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围，适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域，适合根式内外皆为一次式； ③判别式法：运用方程思想，依据二次方程有根，求出y的取值范围；适合分母为二次且∈R的分式； ④分离常数：适合分子分母皆为一次式（x有范围限制时要画图）； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数 ⑧几何意义法：由数形结合，转化距离等求值域。主要是含绝对值函数 四．函数的奇偶性 1．定义: 设y=f(x)，x∈A，如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为偶函数。 如果对于任意∈A，都有，则称y=f(x)为奇 函数。 2.性质： ①y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称, y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称, ②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0 ③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称] 3．奇偶性的判断 ①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系 五、函数的单调性 1、函数单调性的定义： 2 设 是定义在M 上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则 在M 上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则 在M 上是增函数。 例说函数奇偶性的几种判断方法 在函数奇偶性概念的学习中，应多方面、多角度地思考概念的内涵，要掌握函数奇偶性定义的等价形式，注重寻求简捷的解题方法，函数奇偶性的定义是：如果对于函数定义域内任意一个x ，都有)x (f )x (f -=-（或)x (f )x (f =-） ，那么函数)x (f 就叫做奇函数（或偶函数）。函数奇偶性的定义反映在定义域上：若)x (f 是奇函数或偶函数，则对于定义域D 上的任意一个x ，都有D x ∈-，即定义域是关于原点对称的。函数奇偶性定义给出了判断奇偶函数的方法。 下面给出函数奇偶性判断的其他等价形式，寻求比较简便的判别方法。 1. 相加判别法 对于函数定义域内的任意一个x ，若0)x (f )x (f =+-，则)x (f 是奇函数；若)x (f 2)x (f )x (f =+-，则)x (f 是偶函数。 例1 判断函数)1x x lg()x (f 2++=的奇偶性。 解法1：利用定义判断，由)1)x (x lg()x (f 2+-+-=- )x (f )1x x lg()x 1x lg(212-=++-=++=-，可知)x (f 是奇函数。 解法2：由x ∈R ，知R x ∈-。因为)1)x (x lg()1x x lg()x (f )x (f 22+-+-+++=-+ 01lg )]1)x (x )(1x x lg[(22==+-+-++=，所以)1x x lg()x (f 2++=是奇函数。 2. 相减判别法 对于函数定义域内任意一个x ，若)x (f 2)x (f )x (f =--，则)x (f 是奇函数；若0)x (f )x (f =--，则 )x (f 是偶函数。 例2 判断函数2 x 12x )x (g x + -= 的奇偶性。 解：由x ∈R ，知R x ∈-。因为12)12(x 2x 12x 2x 12x )x (g )x (g x x x x --=?? ? ??+--??? ??---=--- 0x x x =-=-，所以)x (g 是偶函数。 3. 相乘判别法 对于函数定义域内任意一个x ，若)x (f )x (f )x (f 2-=-?，则)x (f 是奇函数；若)x (f )x (f )x (f 2=-?，则)x (f 是偶函数。 例3 证明函数)1a 0a (1 a ) 1a (x )x (f x x ≠>+-=，是偶函数。 证明：由x ∈R ，知R x ∈-。因为1 a ) 1a (x 1a )1a )(x (1a )1a (x )x (f )x (f x x x x x x +-=+--?+-=-?-- )x (f 1a )1a (x a 1)a 1)(x (2 2 x x x x =??????+-=+--?，所以)x (f 是偶函数。 4. 相除判别法 对于函数定义域内任意一个x ，设0)x (f ≠-，若 1)x (f )x (f -=-，则)x (f 是奇函数；若1) x (f ) x (f =-，则)x (f 是偶函数。 例4 证明函数)1a 0a (1 a 1 a )x (f x x ≠>-+=，是奇函数。 证明：由01a x ≠-，知0x ≠且R x ∈，所以定义域关于原点对称。 因为1a a a a )1a )(1a ()1a )(1a (1a 1a 1a 1a )x (f )x (f 0)x (f x x x x x x x x x x x x -=-+-=+--+=+-?-+=-≠-------，，所以)x (f 是奇函数。 点评：上述各例，若用定义判定，则困难程度可想而知。用等价定义判断解析式较为复杂的函数 的奇偶性时，方便快捷，可化繁为简，会使大家感到思路清晰，目标明确，思维视野大为开阔，值得同学们注意。 练一练： 已知)x (f 是定义在R 上的函数，1)1(f =，且对任意的x ∈R ，都有5)x (f )5x (f +≥+， 1)x (f )1x (f +≤+。若x 1)x (f )x (g -+=，则=)2006(f ________。 答案：1（提示：由)1 + + ≤ + ≤ ≤ + ≤ + + ≤ )x(f+ + + 2 )3 5 )2 x(f 3 x(f x(f x(f )5 x(f 1 )4 1 +。由1 )1(f )1(f=得2 + = =， )2(f=≤ 5 x(f+ 4+ )x(f +，所以其中等号均成立，1 )x(f )1 (f ) ) 2006 + =） 1 - (g= 2006 ) )2(f 1 3 )3(f= + (f=，从而有1 2006 =，…，2006 2006