2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高一(上)期中数学试卷 (含答案解析)
2019-2020学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期中数学试
卷
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分） 1. f(x)=√1?2x +√x+3的定义域为( )
A. (?∞,?3)∪(?3,0]
B. (?∞,?3)∪(?3,1]
C. (?3,0]
D. (?3,1]
2. 函数y =√x +ln(1?x)的定义域为( )
A. (0,1)
B. [0,1)
C. (0,1]
D. [0,1]
3. 设集合A ={0,1，a}，B ={1,3}，若A ∪B ={0,1，3，4}，则实数a 的值是( )
A. 0
B. 1
C. 3
D. 4 4. 已知正实数，b 满足(12)a
=log 2a ，(13
)b
=log 2b ，则( )
A. a
B. 1
C. b D. 1 5. 已知函数f(x)={x 2+2x +m,x <1 2 4x ?3,x ≥1 2 的最小值为?1.则实数m 的取值范围是( ) A. (0,+∞) B. [0,+∞) C. (?9 4,+∞) D. [?9 4,+∞) 6. 已知f(2x +3)=x +5，且f(t)=6，则t = ( ) A. 5 B. 4 C. 2 D. ?1 7. 设f (x )={2x +a (x >2)x +a 2(x ≤2) 的值域为R ，则实数a 的取值范围是( ) A. (?∞,?1] B. [0,4] C. [2,+∞) D. (?∞,?1]∪[2,+∞) 8. 已知函数f(x)=(x ?a)(x ?b)，其中a A. 若函数f(x)在区间(m,n)内只有一个零点，则必有f(m)f(n)<0 B. 若函数f(x)在区间(m,n)内有两个零点，则必有f(m)f(n)<0 C. 若函数y =f(x)?t(t >0)在上有两个零点α，β(α<β)，则必有α D. 若函数y =f(x)?t 在上有两个零点α，β(α<β)，则存在实数t ，使得α+β>a +b 9. 已知函数f (x )=(12 )x ?x 2?2x ，则函数f (x )的大致图象为( ) A. B. C. D. 10.若对任意的x∈R，函数f(x)满足f(x+2012)=?f(x+2011)，且f(2012)=?2012，则 f(?1)=() A. 1 B. ?1 C. 2012 D. ?2012 11.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f(x+1)=0，当x∈[3,5]时，f(x)=2?|x?4|，则() A. f(sin1)>f(cos1) B. f(sin2π 3) 3 ) C. f(sinπ 6) 6 ) D. f(sin2)>f(cos2) 12.已知x>0时，f(x)=x?2016，且知f(x)在定义域上是奇函数，则当x<0时，f(x)的解析式 是() A. f(x)=x+2016 B. f(x)=?x+2016 C. f(x)=?x?2016 D. f(x)=x?2016 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.计算：_______ ；e0+√(1?√2)2?816=_______． 14.若幂函数f(x)=x m2?2m?3(m∈Z)为偶函数，且在区间上递增，则f(?1 2 )=． 15.函数f(x)=lnx?2√x的最大值为______ ． 16.设函数f(x)=asinx+bx+x2，若f(1)=0，则f(?1)=______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17.设全集U=R，集合A={x|?1≤x≤3}，B={x|0 (1)求A∩B，A∪B； (2)求(?U A)∩(?U B) (3)若B?C，求实数a的取值范围． 18.(1)已知f(x+1)=x2?2x，求f(x)． (2)求函数f(x)=1 1?x(1?x) 的最大值． 19.某企业生产一种产品，由于受技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验，其次品率Q与日 产量x(万件)之间满足关系：Q={1 2(12?x) ,1≤x≤a, 1 2,a (其中a为常数，且1 产1万件合格的产品可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元(注：次品率=次品数/生产量，如Q=0.1表示每生产10件产品，有1件次品，其余为合格品)． (1)试将生产这种产品每天的盈利额P(x)(万元)表示为日产量x(万件)的函数; (2)当日产量为多少时，可获得最大利润? 20.已知函数y=f(x)的图象关于直线x=?1对称，且当x>0时f(x)=1 x ，则当x 21.函数f(x)的定义域D={x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2). (1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的奇偶性并证明． 22.已知二次函数y=f(x)对任意x∈R，有f(1+x)=f(1?x)，函数f(x)的最小值为?3，且 f(?1)=5． (1)求函数f(x)的解析式； (2)若方程f(x)=kx?3在区间(0,2)上有两个不相等实数根，求k的取值范围． -------- 答案与解析 -------- 1.答案：C 解析：解：由{1?2x ≥0 x +3>0，解得：?3 ∴f(x)=√1?2x + √x+3 的定义域为(?3,0]． 故选：C ． 由根式内部的代数式大于等于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组得答案． 本题考查函数的定义域及其求法，考查了指数不等式的解法，是基础题． 2.答案：B 解析：解：要使函数有意义，则{x ≥01?x >0得{x ≥0 x <1， 即0≤x <1， 即函数的定义域为[0,1)， 故选：B 根据函数成立的条件进行求解即可． 本题主要考查函数定义域的求解，要求熟练掌握常见函数成立的条件． 3.答案：D 解析：解：集合A ={0,1，a}，B ={1,3}， 若A ∪B ={0,1，3，4}， 则实数a =4． 故选：D ． 根据并集的定义，结合题意求出实数a 的值． 本题考查了并集的定义与应用问题，是基础题． 4.答案：B 解析：解：在同一坐标系中分别作出函数y =(1 2)x ，y =(1 3)x 及y =log 2x 的图象如图： 由图可知，1 由题意画出函数y =(12)x ，y =(1 3)x 及y =log 2x 的图象，数形结合得答案． 本题考查对数值的大小比较，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 5.答案：B 解析：解：函数f(x)={x 2+2x +m,x <1 2 4x ?3,x ≥12 的最小值为?1． 可知：x ≥1 2时，4x ?3=?1，解得x =1 2，因为y =4x ?3是增函数，所以只需y =x 2+2x +m ≥?1，x <1 2恒成立即可． y =x 2+2x +m =(x +1)2+m ?1≥m ?1，所以m ?1≥?1，可得m ≥0． 故选：B ． 利用分段函数的表达式转化求解函数的最小值，求解m 的范围即可． 本题考查分段函数的应用，函数的最值的求法，考查发现问题解决问题的能力． 6.答案：A 解析： 【分析】 本题主要考查复合函数的计算，属于基础题． 【解答】 解：因为f(2x +3)=1 2(2x +3)+7 2， 所以f(x)=1 2x +7 2． 由f(t)=6，得1 2t +7 2=6， 解得t =5． 故选A ． 7.答案：D 解析： 【分析】 本题考查了分段函数的值域，属于中档题． f(x)是分段函数，在每一区间内求f(x)的取值范围，再求它们的并集得出值域，由f(x)的值域为R ，得出a 的取值范围． 【解答】 解：函数f (x )={ 2x +a,(x >2) x +a 2,(x ≤2) , 当x >2时，f(x)=2x +a ， 在(2,+∞)上为增函数，f(x)∈(4+a,+∞)； 当x≤2时，f(x)=x+a2， 在(?∞,2]上为增函数，f(x)∈(?∞,2+a2]； 若f(x)的值域为R， 则(?∞,2+a2]∪(4+a，+∞)=R， 则2+a2≥4+a，即a2?a?2≥0解得a≤?1，或a≥2， 则实数a的取值范围是(?∞,?1]∪[2,+∞)． 故选D． 8.答案：C 解析： 【分析】 本题考查了函数零点存在定理、二次函数的零点与对称性，考查了数形结合的思想方法，考查了推理能力，属于中档题． 根据方程判断函数的零点，再一一判断选项即可． 【解答】 解：由于函数f(x)=(x?a)(x?b)，其中a 令f(x)=0，可得x=a或b，因此函数f(x)有两个零点， A.函数f(x)在区间(m,n)内只有一个零点，则必有f(m)f(n)≤0，因此不正确； B.若函数f(x)在区间(m,n)内有两个零点，则必有f(m)f(n)>0，因此不正确； C.函数f(x)=t(t>0)在上有两个零点α，β(α<β)，则必有α D.函数f(x)=t在上有两个零点α，β(α<β)，则α+β=a+b，因此不存在实数t，使得α+β> a+b，不正确． 故选：C． 9.答案：B 解析： 【分析】 本题考查了函数图象的识别问题，属于基础题． 根据函数的性质和特殊值对函数图象进行排除即可． 【解答】 解：∵f(0)=1，故排除D; ∵f (x )=(12)x ?x 2?2x 在(0,+∞)为减函数，故排除A ，C ； 故选B ． 10.答案：C 解析：解：∵f(x +2012)=?f(x +2011)=f(2010+x)即f(t)=f(t +2) ∴函数的周期为T =2 ∴f(2012)=f(0)=?2012， 对于f(x +2012)=?f(x +2011)，令x =?2012，则可得f(0)=?f(?1)=?2012 ∴f(?1)=2012 故选C f(x +2012)=?f(x +2011)=f(2010+x)可得函数的周期为T =2，从而可求得f(2012)=f(0)=?2012，在f(x +2012)=?f(x +2011)中，可令x =?2012，则可得f(0)=?f(?1)=?2012，从而可求 本题主要考查了抽象函数的函数值的求解，解题中要注意善于利用赋值法进行求解，解题的关键是由已知关系寻求函数的周期 11.答案：B 解析：解：根据题意，函数f(x)满足f(x)+f(x +1)=0，即f(x +1)=?f(x)， 则f(x +2)=?f(x +1)=f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数， 又由当x ∈[3,5]时，f(x)=2?|x ?4|，则函数f(x)的图象关于直线x =4对称， 在[3,4]上为增函数，在[4,5]上为减函数， 则函数f(x)在[0,1]上为减函数， 又由sin 2π3 = √3 2 ，cos 2π3=?12，则0<|cos 2π3 |<|sin 2π3 |<1， 则有f(sin 2π 3 ) )； 故选：B ． 根据题意，由f(x)+f(x +1)=0分析可得f(x +2)=?f(x +1)=f(x)，即函数f(x)是周期为2的周期函数，结合函数的解析式可得函数f(x)的图象关于直线x =4对称，在[3,4]上为增函数，在[4,5]上为减函数，进而可得函数f(x)在[0,1]上为减函数，又由sin 2π3 = √3 2 ，cos 2π3=?1 2，分析可得答案． 本题考查函数的单调性与奇偶性的应用，涉及函数的周期性，注意分析函数的周期，属于基础题． 12.答案：A 解析：设x <0，则?x >0，所以f(?x)=?x ?2016，又因为f(x)是奇函数，所以f(x)=?f(?x)=x +2016． 13.答案：2 ；0 解析： 【分析】 本题考查对数式、指数式化简求值，考查对数、指数性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，属基础题． 利用对数、指数性质、运算法则直接求解． 【解答】 解：log 69+2log 62=log 69+log 64=log 636=2； e 0 +√(1?√2)2?81 6=1+√2?1?√2=0． 故答案为2；0． 14.答案：16 解析： 【分析】 本题考查了幂函数及函数的奇偶性与单调性，属于中档题． 由偶函数得在区间上递减，所以m 2?2m ?3<0，解得?1 解：若幂函数f(x)=x m 2 ?2m?3(m ∈Z)为偶函数，且在区间上递增， 则在区间上递减， 所以m 2?2m ?3<0，解得?1 当m =0时，f(x)=x ?3为奇函数，不满足题意， 当m =1时，f(x)=x ?4为偶函数，满足题意， 当m =2时，f(x)=x ?3为奇函数，不满足题意， 所以m =1，f(x)=x ?4， 所以f(?1 2)=(?1 2)?4=24=16， 故答案为16． 15.答案：?2 解析：解：函数f(x)=lnx ?2√x 的导数为 f′(x)=1 x ? √ x =1?√x x ， 当x >1时，f′(x)<0，f(x)递减；当0 可得f(x)在x =1处取得极大值，也为最大值，且f(1)=ln1?2=?2． 故答案为：?2． 由已知函数f(x)=lnx ?2√x ，我们可以求出函数的导函数的解析式，判断出函数的单调性，进而得出当x =1时，函数f(x)取极大值，且为最大值． 本题考查函数的最值的求法，注意运用导数，求出单调区间，可得极大值且为最大值，考查运算能力，属于基础题． 16.答案：2 解析： 【分析】 本题主要考查了函数与方程，整体代换思想，属于中档题． 根据f(1)=0可得，在求f(?1)，整体带入求值即可． 【解答】 解：根据题意，函数f(x)=asinx +bx +x 2， 若f(1)=0， 则f(1)=asin1+b +1=0， 则， ∴f(?1)=asin(?1)+b ×(?1)+1=?(asin1+b)+1=2． 故答案为2． 17.答案：解：(1)∵A ={x|?1≤x ≤3}，B ={x|0 即实数a 的取值范围[4,+∞)． 解析：(1)根据集合的基本运算即可求A ∩B ，A ∪B ； (2)根据集合的基本运算求(?U A)∩(?U B) (3)根据集合关系，确定满足条件的取值范围即可． 本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交并补运算，比较基础． 18.答案：解：(1)由题意：f(x +1)=x 2?2x ， 令t =x +1，则x =t ?1， 那么：f(x +1)=x 2?2x ， 转化为g(t)=(t ?1)2?2(t ?1)=t 2?4t +3 所以f(x)=x 2?4x +3； (2)f(x)=1 1?x(1?x)， =1 x 2?x+1， = 1 (x?12)2+ 34 ，因为(x ?12)2+34≥3 4， 所以f(x)的最大值为4 3． 解析：本题考查了函数解析式的求法，以及函数的最值问题，属于基础题． (1)利用换元法，令t =x +1，则x =t ?1，带入化简可得f(x)的解析式． (2)根据函数的性质即可求出最值． 19.答案：解：(1)当a 2x. 当1≤x ≤a 时，Q =1 2(12?x)， ∴P(x)=2(1?Q)x ?Qx =2x [1?1 2(12?x)]?x 2(12?x)= 45x?4x 22(12?x) ． 综上，日盈利额P(x)(万元)与日产量x(万件)的函数关系式为P(x)={45x?4x 2 2(12?x) ,1?x ?a x 2