数学建模作业：影院座位选择

标准实用

影院座位选择

摘要

看电影是众多大学生所喜爱的业余享受，怎样选择一个好位子观影也是大

家所关心的一个问题。

本文针对如何在敬文讲堂选择一个好位子看电影，建立模型进行分析。由于座位的满意程度主要取决于视角和仰角，视角越大，仰角越小越合适.因此是一

个多目标规划问题。本文先建立了模型1，采用主目标法找出了讲堂最优的一个位子。而后就"怎样选择一个好位子"的问题，建立模型2，分析了讲堂中央部

分座位的满意程度，因为这个问题涉及的目标较多，即要考虑水平和垂直两种情况，相对复杂。模型 2 作了巧妙的假设，提出了"基本视效"的概念将目标化为

单一的一个，运用几何的方法，给出了各个座位的基本视效值，从而基本视效值大的座位满意度高，反之，满意度低。模型 2 的优点在于避免了其他方法，如权重法的主观性。因此模型也更加可信。

关键词

多目标规划视角仰角几何基本视效m a t l a b

一、问题的背景

看电影一直是广大学生所偏好的业余活动，将自己隐藏在一片漆黑之中，心随画面变换，感受视听震撼，仿佛置身另一个世界，一时间忘却所有烦恼。在师范大学，每到周末便可看到各个海报栏贴着电影放映的信息，其中每周敬文讲堂放映的英文电影，因其免费放映、效果良好、寓教于乐，更是成为多年来的保留节目。每每放映之前，讲堂门口都聚集着众多同学，排着长队，准备争抢观影好地形。

二、问题的提出

有效视角是指人的有效视觉范围，一般，双眼正常有效视角大约为水平90°，垂直70°，考虑双眼余光时的视角大约为水平180°，垂直90°。观影

时的视角是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角。经医学实验得知：10°以内是视力敏锐区，即中心视野，对图像的颜色及细节部分的分辨能力最强。20°以内能正确识别图形等信息，称为有效视野。*0°～30°，虽然视力及色辨别能力

开始降低，但对活动信息比较敏感，30°之外视力就下降很低了。但是人们又发现，若观看一幅宽大的画面时，视角大到一定值后，观看者会感到和画面同处一个空间，给人带来一种身临其境的艺术效果。即虽然图像内容是二维平面的，但结合在一起后，平面的图像能呈现出立体感，这种效果在观察大画面图像时，会令人感觉出画面有自然感和动人逼真的临场感。也就是说观影时，视角越大，越能达到一种身临其境的满足感。

但是观影时若只考虑视角的大小而忽略了仰角、斜角也是不行的，其中仰角指观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角。例如，坐在第一排看电影，虽然视角很大，但观影者须在这个观影过程中仰头，整个过程也不一定享受，一般仰角越小，观影过程越舒适。同样，定义斜角为观众眼睛到屏幕左、右边缘视线与水平线的夹角中大的角度值，那么坐的越偏，斜角越大，座位过偏时，也会导致颈部向一侧扭曲，甚是难受，无疑坐的越靠近影院中轴线，斜角越小，越舒适。

由上面的分析，在敬文讲堂看电影时，座位过偏、过前，整个过程要么扭颈斜视，要么"曲项向天"，着实难受，座位太后，又视觉不够震撼，不够享受。

怎样选择一个好座位呢，下面我们就进行建模，找出其尽量的实际的答案。

考虑到讲堂的400 个座位分为左侧、中央和右侧三个部分，其中中央部分约2*0 个座位，两侧约各200 个。由于敬文讲堂，只有一个小的投影屏幕，宽度远小于正规电影院的屏幕，两侧的座位的观影效果在各个方面都比中央部分的座位差很多，又考虑到中央的近200 个座位可以满足占座位同学的需求，所以下面的讨论都只限于中央的座位。

下图为敬文讲堂剖面简图，只画出中央部分的座位，且台阶型座位只简化为3 级。

三、模型的建立

模型1：寻找最优位置

显然，最优的位置一定位于讲堂最中央的一列座位，所以这个模型所选择的范围就缩小了，只用考虑一列14 个座位。

1) 模型的假设

A. 假设敬文讲堂的座位面为与水平面夹角为θ的倾斜面（如下图所示）

B. 不考虑人们视力的影响，即坐在后排的人与坐在前排的人的观影清晰度

相同。

C. 不考虑中间座位与旁边座位进出方便程度的影响。

D. 只从中间部分的座位选择。

*. 忽略观众头顶到眼睛的距离。

F. 忽略观众两眼间的距离。

*. 将每个座位所在区域视为一个矩形，观众的眼睛位于矩形的上面一条边的垂直地面的中线上。

下图为敬文讲堂侧面简图

2) 参量变量

H ：屏幕上边缘到地面的高度

h ：屏幕的高度

H1 : 最后一排距地面的高度

α ：观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的有向夹角

β ：观众眼睛到屏幕下边缘视线与水平线的有向夹角

θ ：近似座位面与水平面所夹的二面角

* ：第一排座位与屏幕的水平距离

D ：最后一排座位与屏幕的水平距离

*1 ：观众眼睛到屏幕的水平距离

l ：观众所处的座位面上的点到水平面的距离

* ：观众眼睛到水平面的距离

a ：观众平均坐高

λ线 ：观众眼睛所在位置构成的直线

经过实地测量，讲堂中中央部分的座位有14 排×13 列，座位与座位之间左右间隔0.54 米，前后间隔 1 米。并测量、计算得到了下列参数的具体数值（长度单位均为米）：

3) 模型的求解

因为经过如上假设，最佳的位置一定位于讲堂最中央的一列座位，所以问题便转化成一个平面几何问题。为达到"视角尽可能大，仰角尽可能小"的目的，

就是在λ线上选择合适的点使得角（α + β）尽量大，但角α尽量小。由于α和 β的变化范围都在-90°-90°之间，所以可以用函数arctan 来衡量角的大小。如

图所示，tanα=H-L

, tanβ =

L-(H-h) L+h-H H-L

= 。所以 α = arc*an，s1 s1 *1 s1

β=arctan L+h-H （注意，L+h>H 时为正），那么，问题进一步转化为s1

H-L L+h-H H-L

arc*a* + arctan尽量大，而ar*ta*尽量小。而后一目标可简化为s1 s1 s*

*-L s1

尽量小，即尽量大。

s1 H-L

用数学语言写为：

s1

f1(s)=

*-*

H-L L+h-H

f2(s)=ar*tan+arctan

s* s1

F（s）=[*1(*1),f2(s1)] T

在解的可行域R 内,求多目标的极值问题可记为：

m*x F(s1)

s1∈R

这是一个典型的多目标优化问题，一般，在解决这类问题时，要用"化多为

单"的方法。下面就用"主目标优化法"对模型进行求解。所谓"主目标法"就

是分清目标的主要与次要，主要的目标必须达到，所以这种方法就是使主目标优

化，而使其他的目标降为约束条件。

进一步分析，人们在观影时，视角大能达到更好的震撼效果，这也是人们进

电影院看电影的原因，而通过调整颈部的扭转角度，只要角度不是很大，是不会 给人的身体带来太大的不适感的，特别是当电影内容比较精彩时，人们更会忽略 颈部的不适感，而更追求观影的视觉效果。查资料知，当仰角不大于 20°时， 短时间的观影不会给人体带来太大的不适感。也就是说，视角大给人们带来的满 足感比仰角小给人们带来的舒适感更重要。所以 f*(*1)为主要目标，f1(s*)降 为约束条件 f2(s1)

那么问题转化为一个非线性规划： max*2(s1) d ≤ s*≤ D *1(s1)

在求 f2(s1)极值时，利用 f2'(s1)=0,即：

H-L L+h-H

(ar*ta* )'+ (arctan )' =0 s1 s1 - H - L - * + * - * 2 s 1 + s 1 2

= 0 1+ (* - L ) 2 1+

(L + h - H ) 2 s 1 2 s 1

2 * - H H - L - h

+

= 0 s 1 + (H - *) 2 2 s 1 + (L + h - H ) 2 2

将 L=（*1-d ）*tan θ +a=(s1-4)*3/14+1.1,*=4,h=*,代入整理得

3(s 1- 4) - 2.9 3(s 1- 4)

+ 0.1 1* - 14 = 0 s 1 + ( 3(s 1- *) 3(s *- 4) 2 - 2.9) 2 s 1 + ( * + *.1)

2 14 14

用 *at*ab 解得 s1=1.6223<4

*-L *+*-H

画出 f=(arcta*

)'+ (arctan )' 的图像（见下图） s1 s1

H-L L+h-*

由图像看出 f*(s)=arctan +a*ctan 的导数值恒负 s1 s1

进一步，算出各排的视角值

以及各排的仰角值

视角是依排数递减的，再由约束条件*2(s1)

第* 排中央的位子。这是一个有效解。即在所有可行解中找不到比它更好的解。

4) 模型的分析

*-L L+h-*

f=(arctan)' (*rctan )'在求导时没有在[4，17]的区间内出现理想s* *1

零值，主要跟敬文讲堂的设置有关，它并不是专门的电影院，屏幕高度不够，悬挂的很低，这就导致了仰角主要决定视角的大小，从第一排向后视角依次递减。所以由敬文讲堂的这种设置，看电影时最好应该坐在第 5 排中央，这是一个有效解。

下面关心此模型用在正规电影院的情形。广州最豪华的飞扬影城设计采用国

际标准，屏幕高10 米，宽14 米。而观众席全部采用高角度斜坡式，从第一行到最后一行的坡度高达 4.* 米。它的其他数据与敬文讲堂相同，套用此模型解得从一到十四排的视角为：

仰角为：

得到在此电影院观影，最优位置为第*4 排中央的位置，这主要是由它宽大的屏幕决定的，坐的靠后，反而观影满意度高，而影院也大力宣传："最后一排

的观众感觉尤其奇妙，由于坡度高，会产生一种'空中看电影'的感觉"。这点

验证了模型的合理性。上述数据摘自新快报文章---《到天河城"空中看电影"》。

模型2：寻找好位置

最优位置只有一个，去抢座位看电影的同学能竞争到那个位子可谓十分不易，那么下面我们就来进一步分析，在抢不到最优位置的情况下，再选择哪里的位子可以达到一个也算不错的观影效果。

下图为敬文讲堂俯视图：

这样，问题就不能只考虑垂直的情况，还要考虑水平的情况，具体的说，就是如果最佳位置已有人坐了，而它旁边和后面的位置都还空着，那么是坐在最佳位置的后面还是坐在最佳位置的旁边，可以更好的享受这次观影呢？

同样，在考虑水平的情况时，根据人的视觉感受，坐的太偏离屏幕中心，需扭转颈部才能达到更好的观影效果，因此，和水平情况的讨论结果相同，水平视角δ越大越好，斜角ξ越小越好。于是，问题就变成一个空间立体几何问题，考虑到对称性，我们只讨论最中间一列位置和它左边区域的位置。而同时讨论水平视角δ、水平斜角ξ、垂直视角η、垂直仰角α，就是说有四个目标要优化，无疑使问题得讨论非常复杂，在衡量目标的主次上也会比两两比较困难。

所以，为化简问题，我们将四个目标化简为 1 个------"基本视效"。定义

为：人直视屏幕时，屏幕在人的视野中所占比例。

1) 模型的假设

A. 人的观影感受只与视觉感受与颈部舒适度有关。

B. 忽略人头顶到眼镜的距离，忽略人两眼之间的距离。

C. 人的有效视野为椎定为20°的正4 棱锥，人只能看见以其眼睛为锥

定，锥角为20°的 4 棱锥范围内的事物。且忽略围墙和屋顶的阻挡

作用（如下图所示）

*. 将每个座位所在区域视为一个矩形，观众的眼睛位于矩形的上面一条边的垂直地面的中垂线上。

2) 比模型1 增加的参量、变量

w ：屏幕宽

W ：一排座位的总宽度

s* ：观众眼睛到讲堂中轴面的距离

σ ：屏幕所在的区域

? ：屏幕所在的平面

ψ ：观众眼睛所在的平面

S σ ：视线* 棱锥在平面的投影与σ区域重合部分的面积

S P：视线锥在屏幕所在平面的投影面积

L2 ：观众眼睛距屏幕中截面的高度

k : 基本视效值Sσ S P/

测量得*=3 米W=7 米

3) 模型的解释

此模型将人的视线看成光线，于是眼睛被看成一个特殊的光源，只能射出一

个正4 棱锥形的光束，锥角固定为2*°。那么，看电影的问题就转化成投影问题。即光源垂直地向屏幕所在的平面?发射光线，最终在?平面上得到一个正方形光区，那么屏幕与光区重合部分在光区中所占比例越大，基本视效越好。

依据此思想，建立 3 维直角坐标系，分析此问题。

o

如上图，以屏幕的中心为坐标原点O,建立{O；i, j,k }单位右手标架。使向

量i, j张成平面?，空间中任一点A（s*，s1，L2）关于单位右手正交基{i, j,k }

的分量就为三元有序实数组（s2，s1，L2）。其中s2 的几何意义为观众眼睛到讲堂中轴面的距离，s1 的几何意义为观众眼睛到屏幕的水平距离，L* 的几何意义为观众眼睛距屏幕中截面的有向高度。观众的眼睛P 在平面ψ上移动，由模型 1

的假设ψ面可以参数化：r=r(s2,s1)=(*2,s1,*-h/*-(s1-d)ta*θ )，那么当观众

眼睛在ψ面上移动时，以P 为定点的 4 棱锥在空间内做平移运动，图中阴影部分为4 棱锥在?平面的投影与σ区域的重合部分，则随点P 的运动，阴影与投影部分的面积及其二者的比例比值k 也会发生变化。

4) 模型的求解

为使基本视觉效果

达到最好，则只需在ψ面

上找一点P，使得其对应的

k 值最大。左图为s2oL2

平面图：

空间内一点P（s2,s1,*2）

o

在该平面的投影点为

（s2,L2），由于只考虑讲

堂最中间一列位置和它左

边区域的位置，所以

0≤ s*≤ 3.5,4≤ s1≤ 17,

-1.4≤ L2≤ 1.5。且投影点只在Ⅰ、Ⅳ象限运动。以P 点为顶点的上述4 棱锥在

此平面截出一个正方形，其边长为**s1*t*n(10°)=1.4*s1,其到屏幕上、下、

左、右边的距离为：

1.5-L2，L2+*.5，|1.5-s2|,s2+1.5

其中,L2=[(s1-d)**a*θ +*]-[h/2+(*-h)]=[(s1-4)*3/14+1.*]-2.5

由此可以给出阴影部分面积计算方法：

图中标明了4 个变量x1,x2,y1,y*,为正数，表示分别表示投影点到阴影部分，

左、右、上、下4 边的距离：

x1=*in{|1.5-s2|,0.699**s1}

x2=min{s2+*.5,0.6997*s1}

y1=min{1.5-L2,0.6997*s1}

*2=m*n{L*+1.5,0.6997*s1}

当s2≤ 1.5 时

阴影部分的面积为Sσ =（x1+x2）(y1+y2)

当s2〉*.5 时

阴影部分的面积为Sσ =（x2-x*）(y1+y*)

4 棱锥在屏幕所在平面的投影面积为S =（1.4*s1） 2

P

S

则基本视效 k=

S P

用 Matlab 软件可计算出有 14 排×*3 列，282 个座位的 k 值,下表为中央一列和 他右侧共 98 个座位的基本视效值，表格安排与座位安排相同：

并画出 14 排×*3 列，*82 个座位 k 值的三维图形，可更直观的看出各个座 位的观影适合程度，图形中方格的分布与敬文讲堂俯视图中座位的分布相同。其 中越突出的地方越适合观影：

从上面表格及图形可看出，前9 排靠近中央的座位都比较适合观影，其中 3 到7 排中央 3 列的座位观影满意度更佳。因此在敬文讲堂看电影时，可优先选择这些位子。且最佳的那*5 个位子满意度相差不多，选择时不必过度苛求。而对

于相对较偏的位子，靠后坐一些可以得到比坐在前排可好的视觉效果。

5) 模型的分析

我们定义"基本视效"这一标准来衡量座位的优良是有其合理性的。因为观

众在观看电影时，视野中屏幕所占的比例越大，视觉效果越好，它与专业上所说的视角越大，视效越好是同理的，只不过一个用的是角度的度量，一个用的是比例系数的度量。当观众的基本视效较小时，他总会通过扭转颈部的方法使基本视效最大化。例如，坐在第一排的观众没有谁是不仰头看电影的，而坐在边上的观众也都不是直视前方的。因此，这一模型就是将视角和仰角整合成一个变量，"基本视效"值k 小既意味着视角不够大，也暗含着，你需要更大地扭转颈部来达到

满意的视效，从而要影响观影的舒适度。这样，模型就很好地把一个多目标规划变成了一个单目标的规划。

而假设人的水平和垂直有效视角均为20°，将人的有效视觉区域看成一个 4 棱锥，虽然看似荒唐，但对问题的解决上是不存在太大影响的，因为这是一个比较问题，只需比较座位之中哪个的"基本视效"最大。而采取20°，而不是其

他角度，是与医学上认为，2*°以内能正确识别图形等信息，并称为有效视野相

符合的，后来带入程序也验证采用其他角度建立模型，得到的结果并不满意。

从模型 2 的结果，光看中央一列的基本视效* 值，正好是第* 排达到最优，与模型1 的结果一致，可以说相互作了验证，模型是合理的。

四、参考文献

［１］刘来福，曾文艺.数学模型与数学建模.北京师范大学出版社

［２］席少霖，赵凤治.最优化计算方法.上海科学技术出版社

［３］范玉妹，徐尔，周汉良.数学规划及其应用（第 2 版）.冶金工业出版社

［４］欧阳崇森.实用最优化技术.湖北科学技术出版社

［５］清源计算机工作室.Ma*lab 基础及其应用.机械工业出版社

五、心得体会

经过了两周的奋战，终于完成了这篇凝聚了自己心血的论文。一周的选题，大海捞针，头晕眼花，一周的写论文，反复推敲，辛酸苦辣。最后近20 页沉甸甸、思想不是*trl+C 加Ct**+V 的论文，还是带给自己非凡的满足感。

选题时阶段，无论何时何地，都在想眼前的东西，可不可以建模分析一下，道边的垃圾桶、教九楼的电梯、耳中的音乐、超市发的商品价格 最后选择了看电影的题目，还算比较适合自己的能力。

初次接触这种多目标规划的题目，首先联想到了微观经济学中学到的"效

用函数"的概念，后来查找资料，真的有类似的分析方法---权重法。但仔细思

考，发现此种方法的主观性太大，不易把握，所以换了一个角度思考，使得模型的准确性更高。特别是模型* 的建立，将它转化成一个单目标规划，依据了医学的一些基本原理，提出了大胆的假设，可以说尽量少的掺杂主观成分。开始，模型2 是用圆锥形来做的，后来在计算上过于复杂，因而改用 4 棱锥。在角度的选择上也费了不少心思，最后还是发现用医学上的有效视野的角度数最合适。模型的结果还是和平时的经验比较符合的，因此对于模型 2 这个灵感迸发，还是十分满意的。

写论文过程中，每晚对着电脑，有一种探索的感觉，不知道模型是否合理，所有努力是否会付之东流，只是一步步地前进着，期待着一个满意的结果。其中也出现了反复，因为忘了一种的情况的讨论，而怀疑整个模型的正确性，一时间万念俱灰，因为打错了一个字母，对着短短的程序发了一下午呆，欲哭无泪。所以作完了这次论文，也使自己充分领悟了细心的重要性。

总之，感谢这学期开设的数学模型课，让我们体验到了数学的魔力与探索

的乐趣，让我对着家教的学生可以讲出数学的万般用处，感谢老师和助教的辛勤辅导，让我们的建模和建算机能力都有了提高。

最后对于论文中众多的不足之处，还恳请老师指正。

附录：

附Matl*b 程序如下：

模型1 程序：

建立M-文件

function f=f(s)

f=(3*(s-4)/14-3.*)/(s^2+(3*(s-4)/14-3.2)^2)-(3*(s-4)/14-0.2)/(s^2+(3*

(s-4)/14-0.2)^2)

fz*ro('f',4)

fplot('f',[4,17])

建立M-文件

function y=*(x)

y=atan((4.3-((x-4)*3/14+1.1))./x)+atan((((x-4)*3/14+1.1)-1.*)./x)

func*ion y2=y2(x)

y2=atan((4.3-((x-4)**/14+1.1))./x)

s=4:1:*7；

y=y(*);

y=y.*180/*.1*

Colu*ns 1 through 7

35.8156 31.**27 2*.9878 23.699* 21.0296 18.846* 17.0420

Columns 8 through 14

15.5332 14.2**2 13.1666 12.2252 11.*054 10.6858 10.0496

y1=*1(s)

y1=y*.*180/3.14

Columns 1 t*rough 7

38.6794 30.8589 24.8050 2*.0777 16.*313 *3.3131 10.8424

Columns 8 *hrough *4

8.7898 7.06*4 5.5887 4.32*4 3.21*7 2.25*9 1.396*

建立M-文件

function y3=y3(x)

y3=a*an((12-((x-4.5)*0.3214+1.1))./x)+a*an((((*-4.5)*0.3214+1.1)-3.2)

./*)

y3=y3(s)

y3 =

Columns 1 th*ough 7

0.7094 *.7651 0.7849 0.78*4 0.7636 0.7375 0.*069 Columns 8 throu** 14

0.6744 0.641* 0.6095 0.5788 0.*498 0.5225 0.4970 模型2 程序：

tan(1**3.*4/180)

a*s =

*.1762

k=[];

s2=linspace(0,3.5,*);

s1=4:1:17;

fo* i=1:14

for j=1:7

a=s1(i)

b=*2(j)

c=(*-4)**/*4+1.1-2.5

x1=0.1762*a

*2=0.176**a

y1=0.1762**

y2=0.176**a

if abs(1.5-b)

x1=abs(1.5-b)

*nd

*f *+1.5

x2=b+1.5

e*d

if 1.5-c

y1=1.5-c

e*d

i* c+1.5

y2=1.5+c

end

if *<1.5

*1=(x1+x*)*(y1+y2)

els*

m1=(*2-x1)*(y1+y2)

end

m2=(0.**62*2*a)^2

k1=**/m2

k=[k,k1]

end

end

* =

C*lumns 1 thr*ugh *

0.5**9 0.5709 0.4205 0.18*2 * 0 0

Columns 8 through 14

0.6*84 0.6784 0.46*5 0.2429 0.0184 * 0

Column* 15 through *1

0.*500 *.7001 0.*932 0.2863 0.07*4 0 0

Co*umns 22 through 28

0.*011 0.*98* 0.50*8 0.3194 0.129* 0 0

Colu*ns 29 *h*ough 35

0.839* 0.*92* 0.*190 0.*453 0.1716 * 0

标准实用

数学模型期末论文

Colum*s 36 thr*ugh 42

0.82*3 0.6859 0.5260 0.3661 0.20*3 0.0464 0

Co*umns 43 t*rough 49

0.7247 0.6471 0.5**2 0.3653 0.224* 0.0834 0

C*lumns 50 through 56

0.5989 0.5700 0.453* 0.3370 0.220* 0.1041 *

*ol*mns 57 through *3

0.5033 *.**33 0.41*6 0.3128 0.*149 0.1171 0.0192

Co*umns *4 *hrough *0

*.42*8 0.4*88 0.3*5* 0.2917 0.2083 0.1249 0.0415 Columns *1 through 77

0.3**8 0.3698 0.3451 0.27*2 0.2013 0.129* 0.05*5

Colu**s *8 through 8*

0.3221 0.32*1 0.3196 0.2569 0.1*43 *.1317 0.0690

Columns 85 thro*gh 9*

0.2831 0.*831 0.2831 0.2*24 0.1874 0.1**3 0.0773

*olumns 9* throu*h 98

0.2508 0.2508 0.2508 0.2295 0.18*7 0.132* *.0832

>> x=resha*e(k,7,14);

>> *=x'

>> *=**i*l*(x)

>> k=[y,x]

>> *a*3(k)