最新极坐标与参数方程经典练习题-带详细解答
1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为
极轴.已知直线l
的参数方程为122x t y ?=+??
??=??（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为
2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两
点，求弦长||AB .2．已知直线l 经过点1
(,1)2P ，倾斜角α＝6
π
，圆C 的极坐标方程
为)4
π
ρθ=
-.
(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
已知直线l 的参数方程是)(242
2
2
2
是参数t t y t x ???
?
??
?
+==，圆C 的极坐标方程为
)4
cos(2π
θρ+=．
（I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴
重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y αα=+??=-+?
（α为参数），
点Q
的极坐标为7
)4
π。 （1）化圆C 的参数方程为极坐标方程；
（2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。
5．在极坐标系中，点M 坐标是)2,
3(π
，曲线C 的方程为)4
sin(22π
θρ+
=；以极点
为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ．
（1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；
（2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值．
6．（本小题满分10分） 选修4-4坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为
??
?+==α
α
sin 22cos 2y x ，(α为参数) M 是曲线1C 上的动点，点P 满足2=，（1）求点P 的轨迹方程2C ；（2）在以D 为极点，X 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3
π
θ=与曲线1C ，2C 交于不同于原
点的点A,B 求AB
7．在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐V 标方程为πcos =13ρθ?
?
-
??
?
，M ，N 分别为曲线C 与x 轴、y 轴的交点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标；（2）求直线OM 的极坐标方程．
8．在直角坐标系中，曲线C 1
的参数方程为：2cos x y αα
=???=??（α为参数），以原点为极
点，x 轴的正半轴为极轴，并取与直角坐标系相同的长度单位，建立极坐标系，曲线C 2是极坐标方程为：cos ρθ=， (1)求曲线C 2的直角坐标方程；
(2)若P ，Q 分别是曲线C 1和C 2上的任意一点，求PQ 的最小值.
9．已知圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l
的参数方程为1221122
x x t ?=+???
?=+?? （t 为参数），点A
的极坐标为24π??
? ???
，设直线l 与圆C 交于点P 、Q .
（1）写出圆C 的直角坐标方程；（2）求AP AQ ?的值.
10．已知动点P ，Q 都在曲线C ：2cos 2sin x t
y t
=??
=?（β为参数）上，对应参数分别为t α=
与2t α=（0＜α＜2π），M 为PQ 的中点。 （Ⅰ）求M 的轨迹的参数方程
（Ⅱ）将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数，并判断M 的轨迹是否过坐标原点。
11．已知曲线C 的参数方程为3cos 2sin x y θ
θ
=??
=?（θ为参数），在同一平面直角坐标系中，将曲
线C 上的点按坐标变换13
12
x x y y ?'=????'=??得到曲线C '．（1）求曲线C '的普通方程；
（2）若点A 在曲线C '上，点B (3,0)，当点A 在曲线C '上运动时，求AB 中点P 的轨迹方程．
12．已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，直线l 的参数方程是???
????
=+-=t y t x 5425
3（t 为
参数）.
（I ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设直线l 与x 轴的交点是,M N 为曲线C 上一动点，求MN 的最大值.
13．已知曲线C:ρsin(θ+)=,曲线P:ρ2
-4ρcos θ+3=0,
(1)求曲线C,P 的直角坐标方程.(2)设曲线C 和曲线P 的交点为A,B,求|AB|.
14．极坐标与参数方程： 已知点P 是曲线2cos ,
:(3,
x C y θθπθπθ=??≤≤?=??为参数，2)
上一点，O 为原点．若直线OP 的倾斜角为
3
π
，求点P 的直角坐标． 15．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为??
?-=-=2
cos 3sin 32θα
y x ，（其中α为参
数，R ∈α），在极坐标系（以坐标原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴）中，曲线2C
的极坐标方程为cos()4
a π
ρθ-
=．
（1）把曲线1C 和2C 的方程化为直角坐标方程；
（2）若曲线1C 上恰有三个点到曲线2C 的距离为
3
2
，求曲线2C 的直角坐标方程． 16．已知在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为33cos 13sin x y θ
θ
?=+??=+??（θ为参数），
以Ox 为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos()06
π
ρθ+
=.
⑴写出直线l 的直角坐标方程和圆C 的普通方程；⑵求圆C 截直线l 所得的弦长. 17．圆O 1和O 2的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，． （1）把圆O 1和O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）求经过圆O 1和O 2交点的直线的直角坐标方程．
18．已知曲线C 1的参数方程为(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为.
(1)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(2)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 19．极坐标系的极点是直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴。已知曲线1C 的极坐标方
程
为
θ
ρcos 2=，曲线
2
C 的参数方程为
)),0[(sin 3cos 2πααα
α
∈??
?+=+=为字母常数且为参数，其中t t y t x 求曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程； 当曲线1C 和曲线2C 没有公共点时，求α的取值范围。
20．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
曲线C 1的极坐标方程为：=2cos()3πρθ-，曲线C 2的参数方程为：4cos cos 3
(0)2sin sin 3x t t y t πααπα
?
=+??>?
?=+??
为参数，，点N 的
极坐标为(4)3
π
，．（Ⅰ）若M 是曲线C 1上的动点，求M 到定点N 的距离的最小值；
（Ⅱ）若曲线C 1与曲线C 2有有两个不同交点，求正数t 的取值范围．
21．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐极系，并在两种坐极系中取相同的长度单位．已知直线的极坐标方程为4
π
θ=
（R ∈ρ）,它与曲线
?
?
?+=+=ααsin 22,
cos 21y x （α为参数）相交于两点A 和B,求AB 的长． 22．选修4－4：极坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为?
??==ααsin cos 3y x ，（α为参数），以原点O 为
极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为24)4
sin(=+
π
θρ．
（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；
（2）设P 为曲线1C 上的动点，求点P 到2C 上点的距离的最小值． 23．已知曲线1C 的极坐标方程为82cos 2=θρ，曲线2C 的极坐标方程为6
π
=θ，曲线1C 、2C 相交于A 、B 两点. （R ρ∈）
（Ⅰ）求A 、B 两点的极坐标； （Ⅱ）曲线1C 与直线???
????=+=t y t x 2123
1（t 为参数）分别相交于N M ,两点，求线段MN 的长度.
24．在直角坐标系中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建坐标系,已知曲线()2
:sin 2cos 0C a a ρθθ=>,已知过点()2,4P --的直线l 的参数方程为
:2,4x y ?
=-+???
?=-+??
直线l 与曲线C 分别交于,M N
(1)写出曲线C 和直线l 的普通方程;(2)若||,||,||PM MN PN 成等比数列,求a 的值. 25．设直线l 过点P (－3,3)，且倾斜角为
56
π.
(1)写出直线l 的参数方程；
(2)设此直线与曲线C ：24x cos y sin θθ??
?
＝，
＝ (θ为参数)交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |.
26．平面直角坐标系中，直线l
的参数方程是x t
y =???=??（t 为参数），以坐标原点为极
点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为
2222cos sin 2sin 30ρθρθρθ+--=．
(Ⅰ)求直线l 的极坐标方程；(Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求||AB ．
27． 已知直线l
的参数方程为12(1x t t y ?
=??
?
?=+??为参数), 曲线C
的极坐标方程为4πρθ?
?
=+
??
?
,直线l 与曲线C 交于,A B 两点, 与y 轴交于点P . （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）求
11
PA PB
+的值. 28．已知曲线1C 的极坐标方程为2cos ρθ=，曲线2C 的参数方程为4,5
325x t y t
?=-????=-+??
（t
为参数）．（1）判断1C 与2C 的位置关系；（2）设M 为1C 上的动点，N 为2C 上的动点，求MN 的最小值.
29．已知曲线1C 的参数方程为431x t
y t =??=-?
（t 为参数），当0t =时，曲线1C 上对应的点
为P ，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程
为ρ=
（1）求证：曲线1C 的极坐标方程为3cos 4sin 40ρθρθ--=；
（2）设曲线1C 与曲线2C 的公共点为,A B ，求PA PB ?的值.
30．已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立平面直角坐标系，设直
线l
的参数方程为5212
x t y t ?=+???
?=??（t 为参数）.（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；（2）设曲线C 与直线l 相交于P Q 、两点，以PQ 为一条边作曲线C 的内接矩形，求该矩形的面积.
31．已知直线l 过点(0,4)P -，且倾斜角为
4
π
，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求直线l 的参数方程和圆C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 和圆C 相交于A 、B ，求||||PA PB ?及弦长||AB 的值．
32．在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为112x t y ?=-??
??=??（t 为参数）．以原点
为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C
的方程为ρθ=． （Ⅰ）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P 的直角坐标为(1,0)，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值． 33．以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的
长度单位．已知：直线l 的参数方程为
1122
x t y ?
=+??
??=?? （t 为参数）， 曲线C 的极坐
标方程为（1＋sin 2
θ）ρ2
＝2．
（1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，若点P 为（1，0），求
2
2
11AP
BP
+
34．在直角坐标系xoy 中，以原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已
知曲线
1
C 的极坐标方程为
22
21sin ρθ
=
+，直线l 的极坐标方程
为ρ=
．（Ⅰ）写出曲线1C 与直线l 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设Q 为曲线1C 上一动点，求Q 点到直线l 距离的最小值．
35．在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为：2cos (sin x t t y t α
α
=+???=+??为参数，其中
0)2π
α<<
，椭圆M 的参数方程为2cos (sin x y β
ββ
=??=?为参数)，圆C 的标准方程为()
2
211x y -+=.（1）写出椭圆M 的普通方程；
（2）若直线l 为圆C 的切线，且交椭圆M 于,A B 两点，求弦AB 的长.
36．已知曲线C 的极坐标方程为2cos 4sin ρθθ=-．以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t α
α
=+??
=-+?（t 为参数）．
（1）判断直线l 与曲线C 的位置关系，并说明理由；
（2）若直线l 和曲线C 相交于,A B
两点，且AB =l 的斜率．
37．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为为参数）
t t y t x (,
2,
22???+-=+=,在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C 的方程为θ
ρ2
sin 312+=
.
（1）求曲线1C 、2C 的直角坐标方程；
（2）（2）若A 、B 分别为曲线1C 、2C 上的任意点，求AB 的最小值.
38．已知在直角坐标系x y O 中，曲线C 的参数方程为22cos 2sin x y θ
θ
=+??
=?（θ为参数），
在极坐标系（与直角坐标系x y O 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半
轴为极轴）中，直线l
的方程为sin 4πρθ??
+
= ??
?
（Ⅰ）求曲线C 在极坐标系中的方程；（Ⅱ）求直线l 被曲线C 截得的弦长．
39．已知曲线C 的极坐标方程是θρcos 4=．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是t t y t x (sin cos 1?
?
?=+=αα
是参数)．
（1）写出曲线C 的参数方程；
（2）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，且14=AB ，求直线l 的倾斜角α的值． 40．在直角坐标系中，以原点O 为极点，x 轴为正半轴为极轴，建立极坐标系.
设曲线??
?==α
α
sin cos 3y x C ：（α为参数）； 直线4)sin (cos =+θθρ：l . （Ⅰ）写出曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C 上的点到直线l 的最大距离.
41．在直角坐标系xoy 中，直线l
的参数方程为1
2 (1x t t y ?????=-+??为参数）
，曲线C 的参
数方程为2cos (2sin x y θ
θθ=??=?
为参数）.（Ⅰ）将曲线C 的参数方程转化为普通方程；
（Ⅱ）若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，试求线段AB 的长.
42．在平面直角坐标系中，以为极点，轴非负半轴为极轴建立坐标系，已知曲
线的极坐标方程为，直线的参数方程为: （为参数），两曲线相交于两点. 求：（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若求的值.
xoy O x C 2
sin 4cos ρθθ=
l 22
42
x y ?
=-+???
?=-+??
t ,M N C l (2,4)P --PM PN +
43在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），若以直角坐
标系 的点为极点，为极轴，且长度单位相同，建立极坐标系，得曲线的
极坐标方程为．直线与曲线交于两点，求线段AB 的长.
xoy
l 12x t y ?=??
??=+??t xOy O Ox C 2cos()4
π
ρθ=-l C ,A B
参考答案
1．(Ⅰ) 2
8y x =；（Ⅱ）32
||3
AB =. 【解析】
试题分析：本题考查坐标系和参数方程.考查学生的转化能力和计算能力.第一问利用互化公式将极坐标方程转化为普通方程；第二问，先将直线方程代入曲线中，整理，利用两根之和、两根之积求弦长.
试题解析：（Ⅰ）由2
sin 8cos ρθθ=，得22sin 8cos ρθρθ=，即曲线C 的直角坐标方程
为2
8y x =．
5分
（Ⅱ）将直线l 的方程代入2
8y x =，并整理得，2316640t t --=，12163t t +=，1264
3
t t =-．
所以1232
||||3
AB t t =-==
． 10分
考点：1.极坐标方程与普通方程的互化；2.韦达定理. 2．（1）2
2
1
11()()2
2
2
x y -+-=；（2）14.
【解析】
试题分析：（1）由参数方程的概念可以写成l 的参数方程为1cos 26
1sin
6x t y t ππ?
=+????=+??
，化简为
12112
x y t
?=+???
?=+?? (t 为参数)
；在)4πρθ=-两边同时乘以ρ，且ρ2＝x 2＋y 2，ρcosθ＝x ，ρsinθ＝y ，∴2
2
1
11
()()2
2
2
x y -+-=
.（2）在l
取一点，用参数形式表示12112
x y t
?=+???
?=+??，再代入22111()()222x y -+-=，得到t 2＋12t －14＝0，|PA|·|PB|＝|t 1t 2|
＝
14.故点P 到点A 、B 两点的距离之积为14
. 试题解析：(1)直线l 的参数方程为1cos 261sin 6x t y t ππ?=+????=+??,
即122112
x t y t ?=+???
?=+?? (t 为参数)
由)4
π
ρθ=
-,得ρ＝cosθ＋sinθ，所以ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，
∵ρ2
＝x 2
＋y 2
，ρcosθ＝x ，ρsinθ＝y ，∴2
2
111()()2
2
2
x y -+-=
. (2)
把122112
x y t
?=+???
?=+??代入22111()()222x y -+-=. 得t 2
＋
12t －14＝0，|PA|·|PB|＝|t 1t 2|＝14.故点P 到点A 、B 两点的距离之积为14
. 考点：1.参数方程的应用；2.极坐标方程与直角坐标方程的转化.
3．（I
）22
-；(Ⅱ
)【解析】(I)把圆C 的极坐标方程利用2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==化成普通方程，再求其圆心坐标.
（II ）设直线上的点的坐标
为+,然后根据切线长公式转化为关于t 的函数来研究其最值即可.
解：（I ）θθρsin 2cos 2-=Θ，
θρθρρsin 2cos 22-=∴， ………（2分）
02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆， …………（3分）
即1)22()22(22=++-
y x ，)2
2,22(-∴圆心直角坐标为．…………（5分） （II ）：直线l 上的点向圆C 引切线长是
6224)4(4081)242
222()2222(
2222≥++=++=-+++-t t t t t ， …………（8分） ∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62 …………（10分）
∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=- …………（10分）
4．（1）2
2cos 2sin 20ρρθρθ-+-=（2）40x y --= 【解析】
试题分析：(1) 先化参数方程为普通方程，然后利用平面直角坐标与极坐标互化公式：
222,cos ,sin x y x y ρρθρθ+===即可；（2）先把Q 点坐标化为平面直角坐标，根据圆
的相关知识明确：当直线l ⊥CQ 时，MN 的长度最小，然后利用斜率公式求出MN 斜率. 试题解析：(1)圆C 的直角坐标方程为2
2
2
2
(1)(1)42220x y x y x y -++=?+-+-=，2分
又2
2
2
,cos ,sin x y x y ρρθρθ+=== 4分
∴圆C 的极坐标方程为2
2cos 2sin 20ρρθρθ-+-= 5分
（2）因为点Q 的极坐标为7
)4
π，所以点Q 的直角坐标为（2，-2）7分 则点Q 在圆C 内，所以当直线l ⊥CQ 时，MN 的长度最小 又圆心C （1，-1），∴2(1)
121
CQ k ---=
=--，
直线l 的斜率1k = 9分 ∴直线l 的方程为22y x +=-，即40x y --= 10分
考点：（1）参数方程与普通方程；（2）平面直角坐标与极坐标；（3）圆的性质. 5．解：（1）∵点M 的直角坐标是)3,0(，直线l 倾斜角是ο135， …………（1分）
∴直线l 参数方程是???+==ο
ο
135sin 3135cos t y t x ，即???
????+=-=t y t x 2232
2
， ………（3分） )4
sin(22π
θρ+=即2(sin cos )ρθθ=+，
两边同乘以ρ得22(sin cos )ρρθρθ=+，曲线C 的直角坐标方程
曲线C 的直角坐标方程为02222=--+y x y x ；………………（5分）
（2）??
?
????+=-
=t y t x 22322
代入02222=--+y x y x ，得03232=++t t
∵06>=?，∴直线l 的和曲线C 相交于两点A 、B ，………（7分） 设03232=++t t 的两个根是21t t 、，321=t t ，
∴||||MB MA ?3||21==t t ． ………………（10分）
【解析】略 6．
曲线2C 的极坐标方程为θρsin 8=，它们与射线3
π
θ=
交于A 、B 两点的极径分别是
343
sin
8,323
sin
421====π
ρπ
ρ，因此，3221=-=ρρAB
点评：本题考查坐标系与参数方程的有关内容，求解时既可以化成直角坐标方程求解，也可以直接求解（关键要掌握两种坐标系下的曲线与方程的关系与其他知识的联系） 【解析】略
7．（1）点M 的极坐标为(2,0)，点N 的极坐标为23π2?
????
;（2） 0=θ，ρ∈R ．
【解析】
试题分析：（1）先利用三角函数的差角公式展开曲线C 的极坐标方程的左式，再利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2
=x 2
+y 2
，进行代换即得．（2）先在直角坐标系中算出点M 的直角坐标为(2,0)，再利用直角坐标与极坐标间的关系求出其极坐标和直线OM 极坐标方程即可．
解：（1）由πcos =13ρθ?
?
-
??
?
， 得
1
2
31，
∴曲线C 的直角坐标方程为
1=12x y +，
即x －2＝0．
当θ＝0时，ρ＝2，∴点M 的极坐标为(2,0)；
当π
=2θ时，=ρN 的极坐标为π32?? ? ???
．
（2）由（1）得，点M 的直角坐标为(2,0)，点N 的直角坐标为0,
3?
??
， 直线OM 的极坐标方程为0=θ，ρ∈R ．
考点：1．极坐标和直角坐标的互化；2．曲线的极坐标方程．
8．(1) 2
21124x y ?
?-+= ???
;(2) min 12PQ =
【解析】
试题分析：(1)把222
cos ,x y ρθρ==+代入曲线C 2是极坐标方程cos ρθ=中，即可得到曲线C 2的直角坐标方程；
(2)由已知可知P （ααsin 2,cos 2）,)0,2
1(2C ，由两点间的距离公式求出2PC 的表达式，再根据二次函数的性质，求出2PC 的最小值，然后可得min PQ =2PC min －
12
. 试题解析： (1)θρcos =Θ， 2分
22x y x +=
2
2
1124x y ??-+= ?
??
. 4分 (2)设P （ααsin 2,cos 2）,)0,2
1
(2C
2PC === 6分
1
cos 2
α∴=
时，2min PC =， 8分
min 1
2
PQ =
. 10分 考点：1.极坐标方程和直角坐标方程的互化；2.曲线与曲线间的位置关系以及二次函数的性质.
9．（1）()2
211x y -+=；（2）1
2
. 【解析】
试题分析：（1）在极坐标方程2cos ρθ=的两边同时乘以ρ，然后由2
2
2
x y ρ=+，cos x ρθ=即可得到圆C 的直角坐标方程；
（2）将直线l 的标准参数方程代入圆的直角坐标方程，消去x 、y 得到有关t 的参数方程，然后利用韦达定理求出AP AQ ?的值.
（1）由2cos ρθ=，得2
2cos ρρθ=
222x y ρ=+Q ，cos x ρθ=， 222x y x ∴+=即()2
211x y -+=，
即圆C 的直角坐标方程为()2
211x y -+=；
（2）由点A
的极坐标4π?????
得点A 直角坐标为11,22??
???，
将12211y 22
x t
?=+???
?=+??代入()2211x y -+=消去x 、y
，整理得2102t --=， 设1t 、2t
为方程2
102t -
-=的两个根，则121
2
t t =-， 所以1212
AP AQ t t ?==
. 考点：1.圆的极坐标方程与直角坐标方程之间的转化；2.韦达定理
【答案】（Ⅰ）cos cos 2sin sin 2x y αα
αα=+??=+?
,(α为参数,02απ<<)（Ⅱ）过坐标原点
【解析】（Ⅰ）由题意有,(2cos ,2sin )P αα, (2cos 2,2sin 2)Q αα,
因此(cos cos 2,sin sin 2)M αααα++,
M 的轨迹的参数方程为cos cos 2sin sin 2x y αα
αα=+??
=+?
,(α为参数,02απ<<).
（Ⅱ）M 点到坐标原点的距离为
2)d απ==<<，
当απ=时，0d =，故M 的轨迹过坐标原点.
本题第（Ⅰ）问，由曲线C 的参数方程,可以写出其普通方程,从而得出点P 的坐标,求出答案; 第（Ⅱ）问，由互化公式可得.对第（Ⅰ）问，极坐标与普通方程之间的互化,有一部分学生不熟练而出错;对第(2)问,不理解题意而出错.
【考点定位】本小题主要考查坐标系与参数方程的基础知识,熟练这部分的基础知识是解答好本类题目的关键.
11．（1）2
2
1x y +=；（2）223
1()24
x y -+=. 【解析】
试题分析：本题主要考查参数方程与普通方程的互化、中点坐标公式等基础知识，考查学生
的转化能力、分析能力、计算能力.第一问，将曲线C 的坐标直接代入13
12
x x y y ?'=????'=??中，得到曲
线C '的参数方程，再利用参数方程与普通方程的互化公式，将其转化为普通方程；第二问，设出P 、A 点坐标，利用中点坐标公式，得出00,x y ，由于点A 在曲线C '上，所以将得到的
00,x y 代入到曲线C '中，得到,x y 的关系，即为AB 中点P 的轨迹方程.
试题解析：（1）将3cos 2sin x y θθ=??=? 代入1
3
12
x x y y ?'=????'=?? ，得C '的参数方程为cos sin x y θθ=??=?
∴曲线C '的普通方程为2
2
1x y +=． 5分
（2）设(,)P x y ，00(,)A x y ，又(3,0)B ，且AB 中点为P
所以有：0023
2x x y y
=-??
=?
又点A 在曲线C '上，∴代入C '的普通方程22
001x y +=得2
2
(23)(2)1x y -+=
∴动点P 的轨迹方程为2231
()24
x y -+=
． 10分 考点：参数方程与普通方程的互化、中点坐标公式.
12．（1）22
20x y y +-=；（2
1.
【解析】
试题分析：（1）根据222
,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==可以将极坐标方程转化为坐标方程，（2）将直线的参数方程转化成直角坐标方程，再根据平时熟悉的几何知识去做题. 试题解析：（1）θρsin 2=两边同时乘以ρ得2
2sin ρρθ=，则2
2
2x y y +=
曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程为：22
20x y y +-= （2）直线l 的参数方程化为直角坐标方程得：4(2)3y x =-- 令0y =得2x =，即(2,0)M ，又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为(0,1)，
半径1r =，则5MC =.
51MN MC r ∴≤+=+.
考点：1.极坐标与直角坐标的转化，2.参数方程与直角坐标方程的转化.
13．(1) x 2+y 2-4x+3=0 (2)
【解析】(1)由ρsin(θ+)=,得
ρ[sin θ·(-)+cos θ·]=,
∴ρcos θ-ρsin θ-1=0,
∴x-y-1=0,
由ρ2
-4ρcos θ+3=0,
得x 2+y 2-4x+3=0.
(2)曲线P 表示为(x-2)2+y 2=1表示圆心在(2,0),半径r=1的圆,
由于圆心到直线C 的距离为d==,
∴|AB|=2=. 14．2515(,55-
-
【解析】
试题分析：利用22cos sin 1θθ+=消去参数，得曲线C 的直角坐标方程为
高中数学极坐标与参数方程大题(详解)
参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos=
∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣
4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．
高中数学选修4-4极坐标与参数方程练习题
极坐标与参数方程单元练习1 一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. B. C. D. ?? ? ? ? -355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：? ??==θθ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、 t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（ ） A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分） 1、点()22-， 的极坐标为 。 2、若A ，B ?? ? ? ? -64π， ，则|AB|=___________，___________。（其中O 是极点） 3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。
6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是 3 π ，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。 三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 1、求圆心为C ，半径为3的圆的极坐标方程。 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6 π α=， （1）写出直线l 的参数方程。 （2）设l 与圆42 2=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。 3、求椭圆14 92 2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。 极坐标与参数方程单元练习1参考答案 【试题答案】一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、D 5、B 二、填空题：1、??? ? ?-422π， 或写成?? ? ? ? 4722π，。 2、5，6。 3、。 4、()2 2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。 5、13 13 9±=y 。6、3610+。 三、解答题 1、1、如下图，设圆上任一点为P （ ），则((((2366 OP POA OA π ρθ=∠=- =?=，， ((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中， 6cos 6πρθ? ?∴=- ???而点O )32,0(π A )6 ,0(π符合 2、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,23 1??? ????+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 ),211,231(11t t A ++ )2 1 1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程42 2 =+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。 3、（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）
极坐标与参数方程含答案(经典39题)(整理版)
高考极坐标参数方程(经典39题) 1．在极坐标系中，以点(2,)2 C π 为圆心，半径为3的圆C 与直线:() 3 l R π θρ= ∈交于,A B 两点. （1）求圆C 及直线l 的普通方程. （2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2 :sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α） （α为锐角且3tan 4α= ）作平行于()4 R π θρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直 角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程； (Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2 , 3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =；以 极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值． 4．已知直线l 的参数方程是)(24222 2 是参数t t y t x ??? ??? ?+== ，圆C 的极坐标方程为 )4 cos(2π θρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标； （2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．
5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3?? ?=+=.在极坐标 系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=. （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为 (2, ) 3π ，半径r=1，P 在圆C 上运 动。 （I ）求圆C 的极坐标方程； （II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。 7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C 的圆心坐标为 ) 4,2(C π，半径为2，直线l 的极坐标方程为22)4sin(= θ+πρ. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）若圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 8．平面直角坐标系中，将曲线? ? ?==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变， 横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度．
极坐标与参数方程 经典练习题含答案详解
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．曲线25()12x t t y t =-+?? =-?为参数与坐标轴的交点是（ ）． A ．21(0,)(,0)5 2 、 B ．11(0,)(,0)5 2 、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9 、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）． A ．1 21 2x t y t -?=???=? B ．sin 1sin x t y t =???=?? C ．cos 1cos x t y t =???=?? D ．tan 1tan x t y t =???=?? 3．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（ ）． A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ θ=-+??=? 的（ ）． A ．内部 B ．外部 C ．圆上 D ．与θ的值有关 5．参数方程为1()2 x t t t y ?=+? ??=?为参数表示的曲线是（ ）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 6．两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与? ??==θθ sin 3cos 3y x 的位置关系是（ ）． A ．内切 B ．外切 C ．相离 D ．内含 7 ．与参数方程为)x t y ?=?? =??为参数等价的普通方程为（ ）． A ．22 14 y x + = B ．22 1(01)4y x x +=≤≤ C ．22 1(02)4y x y +=≤≤ D ．22 1(01,02)4 y x x y +=≤≤≤≤
极坐标参数方程试题汇编
C.选修4 – 4 参数方程与极坐标 已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合。若曲线C 1的方程为 2 8sin 15ρρθ=-，曲线C 2 的方程为, (x y ααα ?=?? =??为参数）。 （1）将C 1的方程化为直角坐标方程； （2）若C 2上的点Q 对应的参数为3=4 π α，P 为C 1上的动点，求PQ 的最小值。 提示：（1）228150x y y +-+=． （2）当34 απ = 时，得(2,1)Q -，点Q 到1C ， 所以PQ 1． 在极坐标系中，求经过三点O (0，0)，A (2，2π)，B (4 π )的圆的极坐标方程． 解：设(,)P ρθ是所求圆上的任意一点，则cos()4 OP OB θπ =-， 故所求的圆的极坐标方程为)4 ρθπ =-． 在平面直角坐标系xOy 中，已知曲线C 的参数方程为()2cos sin ， 为参数x y ααα=??=? ．以直角坐标系原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为( ) πcos 4ρθ-=点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值． 解：( ) πcos 4 ρθ-=cos sin 4ρθρθ+=， 则直线l 的直角坐标方程为4x y +=． 设点P 的坐标为()2cos sin ， αα，得P 到直线l 的距离d =， 即 d ，其中cos sin ??== ． 当()sin 1 α?+=- 时，max d = (图 )
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合.若直线l 的极坐标方程为 23)4 sin(=-π θρ. （1）把直线l 的极坐标方程化为直角坐标系方程； （2）已知P 为椭圆19 16: 2 2=+y x C 上一点，求P 到直线l 的距离的最大值. 解：（1）直线l 的极坐标方程sin 4ρθπ? ?-= ??? sin cos θθ-= 即sin cos 6ρθρθ-=，所以直线l 的直角坐标方程为60x y -+=； （2）P 为椭圆22 1169 x y C +=: 上一点，设(4cos 3sin )P αα,，其中[02)α∈π,， 则P 到直线l 的距离 d =4 cos 5?= 所以当cos()1α?+=时，d 在极坐标系中，圆C 的方程为)4 ρθπ=+，以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐 标系，直线l 的参数方程为, 12x t y t =??=+? （t 为参数），判断直线l 和圆C 的位置关系． 解：消去参数t ，得直线l 的直角坐标方程为21y x =+； )4 π ρθ=+即2(sin cos )ρθθ=+， 两边同乘以ρ得22(sin cos )ρρθρθ=+， 得⊙C 的直角坐标方程为：22(1)(1)2x x -+-=, 圆心C 到直线l 的距离 d = 所以直线l 和⊙C 相交．
高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)
高考极坐标与参数方程大题题型汇总 1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ? ?? =+??=?为参数） ．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是 C 的交点为 O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分 (2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有 设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有 由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2. 2．已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+??=-? （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极 点， x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为 26sin 8 ρρθ-=-． （1）求圆M 的直角坐标方程； （2）若直线l 截圆M a 的值． 解：（1）∵2 222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-?=-?+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为2 2 (3)1x y +-=；(5分）
（2）把直线l的参数方程 4 31 x t a y t =-+ ? ? =- ? （t为参数）化为普通方程得：34340 x y a +-+=， ∵直线l截圆M所得弦长 为，且圆M的圆心(0,3) M到直线l的距 离 |163|19 522 a d a - ===?=或 37 6 a=，∴ 37 6 a=或 9 2 a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求曲线c的极坐标方程 （2）若直线l的极坐标方程为 ρ (sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。 解：(1)∵曲线c的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数) ∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 将? ? ? = = θ ρ θ ρ sin cos y x 代入并化简得： ρ =4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为 ρ =4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0 ∴圆心c到直线l的距离为d=2 2 =2∴弦长为22 5-=23 4．已知曲线C： 2 21 9 x y += ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin() 4 π ρθ-= （1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程； （2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.
(完整版)极坐标与参数方程测试题
2018-2019学年下期数学（理）拓展训练评价单（8） 一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．将点P (－2,2)变换为P ′(－6,1)的伸缩变换公式为( ) A.????? x ′＝13x ，y ′＝2y B.????? x ′＝12x ，y ′＝3y C.? ???? x ′＝3x ，y ′＝1 2y D.????? x ′＝3x ， y ′＝2y 2.．极坐标系中，点M ????1，π2与N ????1，3π 2两点间的距离为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．在极坐标系中，ρ1＝ρ2且θ1＝θ2是两点M (ρ1，θ1)和N (ρ2，θ2)重合的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．将点M 的直角坐标(－3，－1)化成极坐标为( ) A.????3，π6 B.????2，7π6 C.? ???－2，7π 6 D.??? ?2，π 6 5.在极坐标系中，点????2，π 3和圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心的距离为( ) A.3 B ．2 C. 1＋π2 9 D. 4＋π29 6．圆心在点(－1,2)，半径为5的圆的参数方程为( ) A.????? x ＝5－cos θ，y ＝5＋2sin θ(0≤θ＜2π) B.????? x ＝2＋5cos θ，y ＝－1＋5sin θ(0≤θ＜2π) C.????? x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜π) D.? ???? x ＝－1＋5cos θ，y ＝2＋5sin θ(0≤θ＜2π) 7．直线3x －4y －9＝0与圆? ???? x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( ) A ．相切 B ．相离 C ．直线过圆心 D ．相交不过圆心 8．曲线的极坐标方程ρ＝4sin θ化为直角坐标方程为( ) A ．x 2＋(y ＋2)2＝4 B ．x 2＋(y －2)2＝4 C ．(x －2)2＋y 2＝4 D ．(x ＋2)2＋y 2＝4 9．已知曲线C 的参数方程为????? x ＝6＋4cos θ， y ＝5tan θ－3(θ为参数，π≤θ＜2π)．已知点M (14，a )在曲线C 上，则a ＝( ) A ．－3－5 3 B ．－3＋53 C ．－3＋53 3 D ．－3－5 3 3 二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上） 10．求 4x 2－9y 2＝1 经过伸缩变换? ???? x ′＝2x ， y ′＝3y 后的图形所对应的方程 ． 11．(2016·高考北京卷)在极坐标系中，直线ρcos θ－3ρsin θ－1＝0与圆ρ＝2cos θ交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 12．在极坐标系中，直线l 的方程是ρsin ????θ－π6＝1，求点P ????2，－π 6到直线l 的距离 ． 13．在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ与直线3ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，则实数a ＝________. 14．在平面直角坐标系x y O 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线 1 C 的极坐标方程为()cos sin 2ρθθ+=-，曲线2C 的参数方程为2 x t y ?=??=??t 为参数），则1C 与2 C 交点的直角坐标为 ． 三、解答题 （本大题共3小题，共30分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 把下列直角坐标方程与极坐标方程进行互化： (1)x 2＋(y －2)2＝4； (2)ρ＝9(sin θ＋cos θ)； (3)2ρcos θ－3ρsin θ＝5.
极坐标与参数方程测试题(有详解答案)
极坐标与参数方程测试题 一、选择题 1.直线12+=x y 的参数方程是（ ） A 、???+==1 222t y t x （t 为参数） B 、???+=-=1412t y t x （t 为参数） C 、 ???-=-=121t y t x （t 为参数） D 、???+==1 sin 2sin θθy x （t 为参数） 2.已知实数x,y 满足02cos 3=-+x x ，022cos 83=+-y y ，则=+y x 2（ ） A ．0 B ．1 C ．-2 D ．8 3.已知??? ? ?-3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( ) A 、??? ?? -3,5π B 、??? ?? 34,5π C 、??? ?? -32,5π D 、?? ? ?? --35,5π 4.极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线 对称的是（ ） A ．（-ρ，θ） B ．（-ρ，-θ） C ．（ρ，2π-θ） D ．（ρ，2π+θ） 5.点()3,1-P ，则它的极坐标是 ( ) A 、??? ?? 3,2π B 、??? ?? 34,2π C 、??? ?? -3,2π D 、?? ? ?? -34,2π 6.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲 线13cos :sin x C y θθ =+??=? （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 7.参数方程为1()2 x t t t y ?=+???=?为参数表示的曲线是（ ） A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 8.()124123x t t x ky k y t =-?+==?=+?若直线为参数与直线垂直，则常数（ ）
极坐标与参数方程经典试题带详细解答
极坐标与参数方程经典试题带详细解答
————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2
1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为 极轴.已知直线l 的参数方程为12232 x t y t ?=+?? ??=??（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两 点，求弦长||AB . 2．已知直线l 经过点1 (,1)2P ，倾斜角α＝ 6 π ，圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=-. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程是)(242 2 2 2 是参数t t y t x ??? ? ?? ? +==，圆C 的极坐标方程为 )4 cos(2π θρ+=． （I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y α α =+??=-+?（α为参数）， 点Q 的极坐标为7(22,)4 π。 （1）化圆C 的参数方程为极坐标方程； （2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。 5．在极坐标系中，点M 坐标是)2, 3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =；以极点 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值．
极坐标与参数方程高考题含答案
极坐标与参数方程高考题 1.在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()2 2 2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()π R 4 θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ? 的面积. 解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. （Ⅱ）将= 4 π θ代入2 2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得 240 ρ-+=，解得1ρ=， 2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN V 的面积o 1 1sin 452 ?=12 . 2.已知曲线194:2 2=+y x C ，直线???-=+=t y t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值. 解：(1)曲线C 的参数方程为(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为 |4cos θ+3sin θ-6|,
则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α= 43 . 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小 值,. 3.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐 标方程为ρ=2cos θ02πθ?? ∈???? ，, (1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标. 解：(1)C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1).可得C 的参数方程为: x 1cos sin y θ θ=+??=? (0≤θ ≤π). (2)设D(1+cos θ,sin θ).由(1)知C 是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆. 因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,tan θ,θ= 3 π .故D 的 直角坐标为32（. 4.将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程; (2)设直线l:2x+y-2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.
2021年极坐标与参数方程含答案经典39题整理版
*欧阳光明*创编 2021.03.07 *欧阳光明*创编 2021.03.07 高考极坐标参数方程(经典 39题) 1． 欧阳光明（2021.03.07） 2．在极坐标系中，以点(2,)2 C π 为圆心，半径为3的 圆C 与直线:()3 l R π θρ=∈交于,A B 两点. （1）求圆C 及直线l 的普通方程. （2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α） （α为锐角且3 tan 4 α=）作平行于()4 R π θρ=∈的直 线l ，且l 与曲线L 辨别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐 标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程； (Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2 ,3(π，曲线C 的方程 为)4 sin(22 π θρ+ =； 以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求 ||||MB MA ?的值． 4．已知直线l 的参数方程是)(242222 是参数t t y t x ??? ??? ?+== ，圆C 的极坐标方程为)4 cos( 2π θρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标； （2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最 小值． 5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为
()为参数t t y t a x ,3? ? ?=+=.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=. （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为 (2, ) 3 π ，半径r=1，P 在圆C 上运动。 （I ）求圆C 的极坐标方程； （II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。 7．在极坐标系中，极点为坐标原点 O ，已知圆C 的 圆心坐标为 ) 4,2(C π ，半径为2，直线l 的极坐标方程为 22 )4sin(= θ+πρ. （1）求圆 C 的极坐标方程； （2）若圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 8．平面直角坐标系中，将曲线?? ?==αα sin cos 4y x （α为参数） 上的每一点纵坐标不变，横坐标变成原来的一半， 然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变成原来的2倍获得曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线 2C 的方程为θ ρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度． 9．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程 是θρcos 4=，直线l 的参数方程是??? ??? ?=+-=. 21, 23 3t y t x （t 为
最新极坐标与参数方程测试题(有详解答案)
2017高二文科极坐标与参数方程测试题 一、选择题 1.直线12+=x y 的参数方程是（ ） A 、???+==1 22 2 t y t x （t 为参数） B 、???+=-=1412t y t x （t 为参数） C 、 ???-=-=121 t y t x （t 为参数） D 、? ? ?+==1sin 2sin θθy x （t 为参数） 2.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ） A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个 3.已知??? ? ? -3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( ) A 、?? ? ? ?- 3,5π B 、?? ? ? ?34, 5π C 、?? ? ? ?- 32,5π D 、?? ? ? ?- -35,5π 4.极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线 对称的是（ ） A ．（-ρ，θ） B ．（-ρ，-θ） C ．（ρ，2π-θ） D ．（ρ，2π+θ） 5.点() 3,1-P ，则它的极坐标是 ( ) A 、?? ? ??3, 2π B 、?? ? ? ?3 4, 2π C 、?? ? ? ?- 3,2π D 、?? ? ? ?- 3 4,2π 6.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲 线13cos :sin x C y θθ =+??=? （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 7.参数方程为1()2 x t t t y ? =+ ???=?为参数表示的曲线是（ ） A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 8.( )124123x t t x ky k y t =-?+==?=+?若直线为参数与直线垂直，则常数（ ）
全国卷极坐标与参数方程高考题汇编
极坐标与参数方程（全国卷高考题） （2007）坐标系与参数方程：1O e 和2O e 的极坐标方程分别为4cos 4sin ρθρθ==-，． （Ⅰ）把1O e 和2O e 的极坐标方程化为直角坐标方程； （Ⅱ）求经过1O e ，2O e 交点的直线的直角坐标方程． （2008）坐标系与参数方程： 已知曲线C 1：cos ()sin x y θθθ=??=?为参数，曲线C 2 ：() x t y ?=??? ?= ?? 为参数 。 （1）指出C 1，C 2各是什么曲线，并说明C 1与C 2公共点的个数； （2）若把C 1，C 2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线1'C ，2'C 。写出1'C ， 2'C 的参数方程。1'C 与2'C 公共点的个数和C 1与C 2公共点的个数是否相同？说明你的理由。
（2009） 已知曲线C 1：4cos ,3sin ,x t y t =-+?? =+? （t 为参数）， C 2：8cos , 3sin , x y θθ=??=?（θ为参数）． （Ⅰ）化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （Ⅱ）若C 1上的点P 对应的参数为2 t π = ，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线 332, :2x t C y t =+?? =-+? （t 为参数）距离的最小值． （2010）坐标系与参数方程：已知直线C 1：????? x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α，(t 为参数)，圆C 2：??? ? ? x ＝cos θy ＝sin θ， (θ为参数)． (1)当α＝π 3 时，求C 1与C 2的交点坐标； (2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
极坐标与参数方程高考题练习含答案
极坐标系与参数方程高考题练习 2014年 一．选择题 1. (2014北京)曲线1cos 2sin x y θ θ =-+?? =+?（θ为参数）的对称中心（ B ） .A 在直线2y x =上 .B 在直线2y x =-上 .C 在直线1y x =-上 .D 在直线1y x =+上 2.(2014安徽)以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线l 的参数方程是? ??-=+=3, 1t y t x (t 为参数)，圆C 的极坐标方程是θρcos 4=,则直线l 被圆C 截得的弦长为（ D ） （A ）14 （B ）214 （C ）2 （D ）22 3(2014江西) (2).（坐标系与参数方程选做题）若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐
标系，则线段()101y x x =-≤≤的极坐标为（ ） A.1,0cos sin 2πρθθθ = ≤≤+ B.1,0cos sin 4 π ρθθθ=≤≤+ C.cos sin ,02 π ρθθθ=+≤≤ D.cos sin ,04 π ρθθθ=+≤≤ 【答案】A 【解析】 1y x =-()01x ≤≤ ∴sin 1cos ρθρθ=-()0cos 1ρθ≤≤ 1 0sin cos 2πρθθθ ? ?∴=≤≤ ?+? ? 所以选A 。 二．填空题 1. (2014湖北)（选修4-4：坐标系与参数方程） 已知曲线1C 的参数方程是??? ??= =33t y t x ()为参数t ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 2C 的极坐标方程是2=ρ，则1C 与2C 交点的直角坐标为_______. 2. (2014湖南)直角坐标系中，倾斜角为4π 的直线l 与曲线2cos 1sin x C y αα=+?? =+? ：，（α为参数）交于A 、B 两点，
极坐标参数方程高考练习含答案解析(非常好的练习题)
极坐标与参数方程高考精练（经典39题） 1．在极坐标系中，以点(2,)2C π 为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R π θρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线 l 的普通方程.（2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α=）作平行于()4 R πθρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半 轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值．
4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ???????+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3???=+=.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长 度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=. （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π，半径r=1，P 在圆C 上运动。 （I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。
极坐标与参数方程题型及解题方法
Ⅰ复习提问 1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？ 答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立： ρθρ θy sin x cos = = 3、 参数方程{ cos sin x r y r θθ ==表示什么曲线？ 4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？ 5、 极坐标系的定义是什么？ 答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ. ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就 确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？
Ⅱ 题型与方法归纳 1、 题型与考点（1） { 极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化 （2） { 参数方程与普通方程互化 参数方程与直角坐标方程互化 (3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程 (),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向 线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程2222 t t t t x t y --?=-? ?=+??（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()() 2 2 2222224t t t t x y ---=--+=-， 即有22 4y x -=，又注意到 202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为 2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B
极坐标与参数方程习题
！ 极坐标与参数方程习题 一、选择题 1.直线12+=x y 的参数方程是（ ） A 、???+==1 22 2 t y t x （t 为参数） B 、???+=-=1412t y t x （t 为参数） C 、 ???-=-=121 t y t x （t 为参数） D 、?? ?+==1 sin 2sin θθy x （t 为参数） 2.已知实数x,y 满足02cos 3=-+x x ，022cos 83=+-y y ，则=+y x 2（ ） A ．0 B ．1 C ．-2 D ．8 3.已知??? ? ? -3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( ) . A 、?? ? ? ?- 3,5π B 、?? ? ? ?3 4, 5π C 、?? ? ? ?- 3 2,5π D 、?? ? ? ?- -35,5π 4.极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线 对称的是（ ） A ．（-ρ，θ） B ．（-ρ，-θ） C ．（ρ，2π-θ） D ．（ρ，2π+θ） 5.点() 3,1-P ，则它的极坐标是 ( ) A 、?? ? ? ? 3, 2π B 、?? ? ? ?34, 2π C 、?? ? ? ?- 3,2π D 、?? ? ? ?- 34,2π 6.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲 线13cos :sin x C y θ θ =+?? =? （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( ). 】 7.参数方程为1()2 x t t t y ?=+? ??=?为参数表示的曲线是（ ）
高中数学选修极坐标与参数方程练习题
极坐标与参数方程单元练习1 。一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是 （ ）。 A. 53，-?? ? ? ?π B. 543， π?? ? ? ? C. 523，- ?? ? ? ?π D. ?? ? ? ?-355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：? ??==θθ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ? ?+=+=θθ sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的 参数值分别为t 1、t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ B ） 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2＋2y 2=6x ，则x 2＋y 2的最大值为（ ） A 、2 7 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分） 1、点()22-， 的极坐标为 ?? ? ? ? 4722π， 。
2、若A 33，π?? ? ? ?，B ?? ? ? ?-64π， ，则|AB|=___5_______，S AOB ?=__6_________。（其中O 是极点） 3、极点到直线( )cos sin ρθθ+________ d ==32 。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是____ （() 2 2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。） 6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是3 π ，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。 三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6 π α=， （1）写出直线l 的参数方程。 （2）设l 与圆422=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。 解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,231??? ????+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 以直线L 的参数方程代入圆的方程422=+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。 3、求椭圆14 92 2=+ y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。 解：（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系） 极坐标与参数方程单元练习2