复变函数与积分变换试题B卷答案

临沂大学2010—2011学年第一学期

《复变函数与积分变换》试题（B 卷）答案

一、填空题（共8题，每空3分，共30分） 1．i

i 2)1(+的值为2

ln )42

(i k e ++-ππ

，主值为2ln 2

i e

+-π

.

2．

3

arg 4

π

π

<

连域还是多连域？ 单连域 。 3．?

==-?1||4

3

)2(sin C z dz z z

z e 0 。

4．在映射iz w =下，集合}arg 0,2||1|{π≤≤≤≤=z z z D 的像集为：

}2

3

arg 2,2||1|{ππ

≤≤≤≤=w w w w 。

5．)2,1,0(2

±±=+=k k z π

π为z tan 的 1 阶极点。

6．

)

34(1

z z -在i z +=10 处展开成Taylor 级数的收敛半径为

3

10

。 7．)(sin )(t t t f δ+=的频谱密度函数()F ω=[(1)(1)]1j πδωδω+--+ 。

8．已知)()(),()(21t u t f t u e t f t

==-，其中?

??<>=000

1)(t t t u ，则

=*)()(21t f t f )1(t

e --)(t u 。

二、证明题（共1题，每题12分，共12分）

验证xy y x y x u 2),(22+-=是调和函数，并求以),(y x u 为实部的解析函

数)(z f ，使i i f 21)(+-=.

解：（1）02,2=+?-==yy xx yy xx u u u u 故),(y x u 是调和函数。 （2）利用C —R 条件，先求出),(y x v 的两个偏导数。

y x x

u y v y x y u x v 2222+=??=??+-=??-=?? 则 C dy y x dx x y y x v y x +++-=?)22()22(),(),()0,0(

??+++-=x

y C dy y x dx x 0

)22()2(

C y xy x +++-=222

)2()2()(2222C y xy x i xy y x z f +++-++-=

C i y i x i y i x ++-+=22)()( 2(1)i z iC =-+

由 121121)(=?+-=+-?+-=C i iC i i i f

故 i z i z f +-=2)1()(

三、计算题（共4题，每题8分，共32分）

1．?C z dz z z

e 2

sin ，C 为正向圆周2||=-i z . 解：令 z e z f z sin )(=，则由高阶求导公式得：

原式i z e z e i f i z z z πππ2|)cos sin (2)0(20=+='?==

2．?

-C z

dz z e 11，C 为正向圆周2

1

||=z . 解: 在C 内，z e

z

-11

有本性奇点0=z ，由留数定理：原式

]}0,1[{Re 21z

e

s i z

-=π

在 2

1

||0<

-11 展为Laurent 级数：

)!1

!2111)(1(1221 ++++++++++=-n

n z

z n z z z z z z e

++++++=)!

1

!31!211(1n z

故：1!

1

!31!211]0,1[Re 1

-=+++++=-e n z e s z

?=-==-2

1||1)1(221z z

e i i dz z e ππ

3．?

++π

θθ

θ0cos 451

cos 2d

解：由于θ

θcos 451

cos 2++是偶函数，故??-++=++00cos 451cos 2cos 451cos 2ππθθθθθθd d 原式?

-++=ππθθ

θd cos 451

cos 221 令 πθπθ≤<-=,z e i 则定积分可化为复积分

?=---+=++++1||1

11)2

(cos )(251z z z z i dz z z z z θ

?=++++-=1||2)

2)(12(1

z dz z z z z z i

令 )

2)(2

1

(2

/)1()(2++++=z z z z z z f 则)(z f 在 1||=z 内有2个简单极点

0=z 与2

1

-=z

21

)

2)(2

1(2/)1(lim ]0),([Re 20=++++=→z z z z z f s z

212

1(1)/21

Re [(),]lim 2(2)2

z z z s f z z z →-++-==-+

由留数定理知：?==-??-=-1

||0]2

1

21[

2)(z i i dz z f i π

故原式002

1

=?=

4．dx x x x

?

∞

∞-++)

1)(4(cos 22

解：令 )

1)(4()(2

2++=z z e z f z

i 容易验证)(z f 满足若尔当引理 )(z f 在上半平面有两个简单极点 i z i z 2,21==

?∞

∞-+=++]}2),([Re ]),([{Re 2)1)(4(22i z f s i z f s i dx x x e ix

π

])

2)(1()

)(4([222

2

i

z z

i i

z z

i i z z e i z z e i ==+++++=π

21216

3)126(2-----=-+=e e i e i e i πππ

原式2

1

2

1

6

3]63[Re -----=-=e e e e π

π

π

π

四、计算题（共1题，每题12分，共12分）

用Laplace 变换求解常微分方程：???='==+'-''1)0(,0)0(232y y e y y y t

解：在方程两边取拉氏变换，并用初始条件得 ))0()0()((3)0()0()0()(223y Sy S Y S y y S y S S Y S '---''-'--

S S Y y S SY 1

)())0()((3-=--+

)3(

)33(21

1)()1

33(22

3-++-

+-=-+

-S S S S

S Y S S S

)1452(1

23-+-=S S S S

2)1)(12(1

--=S S S

即 1

1

1)1(12)(-+=--=S S S S S S Y

故 1)]([)(1

+==-t e S Y t y L

五、证明题（共·题，每题14分，共14分）

设)(z f 在1||

?=--?=

-1||2)

1()(21)()||1(ξξξξξπd z

z f i z f z

000000100000

00001

001()()(*)

2()11

1()()

()111

()()

1()1

()()2()k n

n n n n n n k

n f z k f z d i z z z z k k z z z z z z z z z z z z z z z z z z f z f i

z ζζ

πζζζζζζζζζζζπζ∞

∞+==∞

+=∈=--∈∈<=-------=-=

=--------=

-?∑∑∑证明：对任何，有柯西积分公式由于内，上，所以有，则将其代入（*）式中，得：1

010001

0()1000

01

01

()[]()

2()1

() [()]2()

()

()()()(**)!

1

()()[()]2()

lim (N n

n k n n

n k

n N n N n N n n

N n k

n N N N f d d z z i z f z z d i

z f z f z z z R z n f R z z z d i

z R z ζζζπζζζπζζζπζ-+=∞

+=-=∞

+=→∞=--+

--=-+=

--∑?

?∑

?

∑∑

?

由高阶导数公式得：其中，下面证明00

0)0.1()0()()N z z z z q z r

f z k D k k M k f M R z ζζ--===<-?>≤令，

而函数在内解析，从而在上连续，于是在上有界，即存在一个，在上，由表达式得：

01

000

1

()000

()1

()1()()[]2()

2112221lim lim 0lim ()11()

K ()()!

n

n

N n k

k n N n N

N

n n k n N n N N q N

N N x N n n n f z z f R z z z ds ds z z z M M Mq q ds q r r

r

q Mq M q k R z q q f z f z z z n ζζπζπζζππ

π∞

∞

+==∞

∞

==<→∞→∞

→∞∞

=-≤

-≤----≤=?=-===--=-∑∑

?

?∑∑?因为，所以在内从而在内有：()

0.1(),0,1,2,!

n n C f z n n =

=∑

令得证命题。