中考数学与相似有关的压轴题及详细答案

一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．已知：如图，在△ABC中，AB=BC=10，以AB为直径作⊙O分别交AC，BC于点D，E，连接DE和DB，过点E作EF⊥AB，垂足为F，交BD于点P．

（1）求证：AD=DE；

（2）若CE=2，求线段CD的长；

（3）在（2）的条件下，求△DPE的面积．

【答案】（1）解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，即BD⊥AC

∵AB=BC，

∴△ABD≌CBD

∴∠ABD=∠CBD

在⊙O中，AD与DE分别是∠ABD与∠CBD所对的弦

∴AD=DE；

（2）解：∵四边形ABED内接于⊙O，∴∠CED=∠CAB，

∵∠C=∠C，∴△CED∽△CAB，∴，

∵AB=BC=10，CE=2，D是AC的中点，

∴CD= ；

（3）解：延长EF交⊙O于M，

在Rt△ABD中，AD= ，AB=10，

∴BD=3 ，

∵EM⊥AB，AB是⊙O的直径，

∴，

∴∠BEP=∠EDB，

∴△BPE∽△BED，

∴，

∴BP= ，

∴DP=BD-BP= ，

∴S△DPE：S△BPE=DP：BP=13：32，

∵S△BCD= × ×3 =15，S△BDE：S△BCD=BE：BC=4：5，

∴S△BDE=12，

∴S△DPE= ．

【解析】【分析】（1）根据已知条件AB是⊙O的直径得出∠ADB=90°，再根据等腰三角形的三线合一的性质即可得出结论。

（2）根据圆内接四边形的性质证得∠CED=∠CAB，再根据相似三角形的判定证出△CED∽△CAB，得出对应边成比例，建立关于CD的方程，即可求出CD的长。

（3）延长EF交⊙O于M，在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长，再证明△BPE∽△BED，根据相似三角形的性质得对应边成比例求出BP的长，然后根据等高的三角形的面积之比等于对边之比，再由三角形面积公式即可求解。

2．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c经过B(－1，0)，D(－2，5)两点，与x轴另一交点为A，点H是线段AB上一动点，过点H的直线PQ⊥x轴，分别交直线AD、抛物线于点Q、P.

（1）求抛物线的解析式；

（2）是否存在点P，使∠APB＝90°，若存在，求出点P的横坐标，若不存在，说明理由；（3）连接BQ，一动点M从点B出发，沿线段BQ以每秒1个单位的速度运动到Q，再沿

线段QD以每秒个单位的速度运动到D后停止，当点Q的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时t最少？

【答案】（1）解：把B（﹣1，0），D（﹣2，5）代入，得：

，解得：，∴抛物线的解析式为：

（2）解：存在点P，使∠APB=90°．

当y=0时，即x2﹣2x﹣3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴OB=1，OA=3．

设P（m，m2﹣2m﹣3），则﹣1≤m≤3，PH=﹣（m2﹣2m﹣3），BH=1+m，AH=3﹣m，∵∠APB=90°，PH⊥AB，∴∠PAH=∠BPH=90°﹣∠APH，∠AHP=∠PHB，∴△AHP∽△PHB，

∴，∴PH2=BH?AH，∴[﹣（m2﹣2m﹣3）]2=（1+m）（3﹣m），解得m1= ，m2= ，∴点P的横坐标为：或

（3）解：如图，过点D作DN⊥x轴于点N，

则DN=5，ON=2，AN=3+2=5，∴tan∠DAB= =1，∴∠DAB=45°．过点D作DK∥x 轴，则∠KDQ=∠DAB=45°，DQ= QG．

由题意，动点M运动的路径为折线BQ+QD，运动时间：t=BQ+ DQ，∴t=BQ+QG，即运动的时间值等于折线BQ+QG的长度值．

由垂线段最短可知，折线BQ+QG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段．

过点B作BH⊥DK于点H，则t最小=BH，BH与直线AD的交点，即为所求之Q点．

∵A（3，0），D（﹣2，5），∴直线AD的解析式为：y=﹣x+3，∵B点横坐标为﹣1，∴y=1+3=4，∴Q（﹣1，4）．

【解析】【分析】（1）把点B，D的坐标代入二次函数中组成二元一次方程组，解方程组即可得到抛物线的解析式；（2）先按照存在点P使∠APB＝90°，先根据抛物线的解析式求得点A，B的坐标，设出点P的坐标，根据点P的位置确定m的取值范围，再证△AHP∽△PHB，从而得到PH2=BH?AH，即可列出关于m的方程，解方程即可得到m即点

P的横坐标，且横坐标在所求范围内，从而说明满足条件的点P存在；（3）先证明∠DAB=45°，从而证得DQ= 2 QG，那么运动时间t值等于折线BQ+QG的长度值，再结合垂线段最短确定点Q的位置，再求得点Q的坐标即可.

3．如图，在中，，于点，点在上，

且，连接．

（1）求证：

（2）如图，将绕点逆时针旋转得到（点分别对应点），设射线与相交于点，连接，试探究线段与之间满足的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）证明：在Rt△AHB中，∠ABC=45°，

∴AH=BH，

在△BHD和△AHC中，

，

∴△BHD≌△AHC，

∴

（2）解：方法1:如图1，

∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到，∴HD=HF，∠AHF=30°

∴∠CHF=90°+30°=120°，

由(1)有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，

∴∠GAH=∠HCG=30°，

∴CG⊥AE，

∴点C，H，G，A四点共圆，

∴∠CGH=∠CAH，

设CG与AH交于点Q，

∵∠AQC=∠GQH，

∴△AQC∽△GQH，

∴，

∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到，由（1）知，BD=AC，

∴EF=AC

∴

即：EF=2HG．

方法2:如图2，取EF的中点K，连接GK，HK，

∵△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到，

∴HD=HF，∠AHF=30°

∴∠CHF=90°+30°=120°，

由(1)有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，

∴∠GAH=∠HCG=30°，

∴CG⊥AE，

由旋转知，∠EHF=90°，

∴EK=HK= EF

∴EK=GK= EF，

∴HK=GK，

∵EK=HK，

∴∠FKG=2∠AEF，

∵EK=GK，

∴∠HKF=2∠HEF，

由旋转知，∠AHF=30°，

∴∠AHE=120°，

由（1）知，BH=AH，

∵BH=EH，

∴AH=EH，

∴∠AEH=30°，

∴∠HKG=∠FKG+∠HKF=2∠AEF+2∠HEF=2∠AEH=60°，

∴△HKG是等边三角形，

∴GH=GK，

∴EF=2GK=2GH，

即：EF=2GH．

【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出AH=BH，然后由SAS判断出△BHD≌△AHC，根据全等三角形对应角相等得出答案；

（2）方法1:如图1，根据旋转的性质得出HD=HF，∠AHF=30°根据角的和差得出∠CHF=90°+30°=120°，由(1)有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，根据等腰三角形若顶角相等则底角也相等得出∠GAH=∠HCG=30°，根据三角形的内角和得出CG⊥AE，从而得出点C，H，G，A四点共圆，根据圆周角定理同弧所对的圆周角相等得出∠CGH=∠CAH，根据对顶角相等得出∠AQC=∠GQH，从而得出△AQC∽△GQH，根据全等三角形对应边成比例得出 A C∶ H G = A Q∶ G Q = 1 ∶sin 30 ° = 2，根据旋转的性质得出EF=BD，由（1）知，BD=AC，从而得出EF=AC

EF=BD，由E F∶ H G = A C∶ G H = A Q∶ G Q = 1∶ sin 30 ° = 2得出结论；

方法2:如图2，取EF的中点K，连接GK，HK，根据旋转的性质得出HD=HF，∠AHF=30°根据角的和差得出∠CHF=90°+30°=120°，由(1)有，△AEH和△FHC都为等腰三角形，根据等

腰三角形若顶角相等则底角也相等得出∠GAH=∠HCG=30°，根据三角形的内角和得出CG⊥AE，由旋转知，∠EHF=90°，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出

EK=HK= EF，EK=GK= EF，从而得出HK=GK，根据等边对等角及三角形的外角定理得出∠FKG=2∠AEF，∠HKF=2∠HEF，由旋转知，∠AHF=30°，故∠AHE=120°，由（1）知，BH=AH，根据等量代换得出AH=EH，根据等边对等角得出∠AEH=30°，∠HKG=∠FKG+∠HKF=2∠AEF+2∠HEF=2∠AEH=60°，根据有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△HKG是等边三角形，根据等边三角形三边相等得出GH=GK，根据等量代换得出EF=2GK=2GH。

4．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的两个交点分别为A （-3，0）、B（1，0），与y轴交于点D(0，3)，过顶点C作CH⊥x轴于点H.

（1）求抛物线的解析式和顶点C的坐标；

（2）连结AD、CD，若点E为抛物线上一动点（点E与顶点C不重合），当△ADE与△ACD面积相等时，求点E的坐标；

（3）若点P为抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），过点P向CD所在的直线作垂线，垂足为点Q，以P、C、Q为顶点的三角形与△ACH相似时，求点P的坐标.

【答案】（1）解：设抛物线的解析式为，

∵抛物线过点A(-3，0),B(1，0)，D(0，3)，

∴，解得，a=-1，b=-2，c=3，

∴抛物线解析式为，顶点C（-1,4）；

（2）解：如图1，∵A(-3，0)，D(0，3),

∴直线AD的解析式为y=x+3，

设直线AD与CH交点为F，则点F的坐标为(-1，2)

∴CF=FH，

分别过点C、H作AD的平行线，与抛物线交于点E，

由平行间距离处处相等，平行线分线段成比例可知，△ADE与△ACD面积相等，

∴直线EC的解析式为y=x+5，

直线EH的解析式为y=x+1，

分别与抛物线解析式联立，得，，

解得点E坐标为(-2，3)，，；（3）解：①若点P在对称轴左侧（如图2），只能是△CPQ∽△ACH，得∠PCQ=∠CAH，

∴，

分别过点C、P作x轴的平行线，过点Q作y轴的平行线，交点为M和N，

由△CQM∽△QPN，

得 =2，

∵∠MCQ=45°，

设CM=m，则MQ=m，PN=QN=2m，MN=3m，

∴P点坐标为(-m-1，4-3m)，

将点P坐标代入抛物线解析式，得，

解得m=3，或m=0(与点C重合，舍去)

∴P点坐标为(-4，-5)；

②若点P在对称轴右侧（如图①），只能是△PCQ∽△ACH，得∠PCQ=∠ACH，

∴，

延长CD交x轴于M，∴M(3，0)

过点M作CM垂线，交CP延长线于点F，作FN x轴于点N，

∴，

∵∠MCH=45°，CH=MH=4

∴MN=FN=2，

∴F点坐标为(5，2)，

∴直线CF的解析式为y= ，

联立抛物线解析式，得，解得点P坐标为( ， )，

综上所得，符合条件的P点坐标为(-4，-5)，( ， ).

【解析】【分析】（1）将A（-3，0）、B（1，0）、D(0，3)，代入y=ax2+bx+3求出即可；(2)求出直线AD的解析式，分别过点C、H作AD的平行线，与抛物线交于点E，利用△ADE与△ACD面积相等，得出直线EC和直线EH的解析式，联立出方程组求解即可;(3) （3）分两种情况讨论：①点P在对称轴左侧；②点P在对称轴右侧.

5．定义：如图，若点D在的边AB上，且满足，则称满足这样条件的点为的“理想点”

（1）如图，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由；

（2）如图，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长；

（3）如图，已知平面直角坐标系中，点，，C为x轴正半轴上一点，且满足，在y轴上是否存在一点D，使点A，B，C，D中的某一点是其余三点围成的三角形的“理想点” 若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）解：结论：点D是的“理想点”.

理由：如图中，

是AB中点，，

，

，，

，

，

，

∽，

，

点D是的“理想点”，

（2）解：如图中，

点D是的“理想点”，

或，

当时，

，

，

，

当时，同法证明：，

在中，，，，

，

，

.

（3）解：如图中，存在有三种情形：

过点A作交CB的延长线于M，作轴于H.

，，

，

，

，，

，

≌，

，，设，

，，

，，，，

，

，

，

解得或舍弃，

经检验是分式方程的解，

，，

①当时，点A是的“理想点” 设，

，，

∽，

，

，

解得，

.

②当时，点A是的“理想点”.

易知：，

，

.

③当时，点B是的“理想点”.

易知：，

，

.

综上所述，满足条件的点D坐标为或或 .

【解析】【分析】（1）结论：点D是的“理想点” 只要证明∽

即可解决问题；（2）只要证明即可解决问题；（3）如图中，存在有三种情形：过点A作交CB的延长线于M，作轴于构造全等三角形，利用平行线分线段成比例定理构建方程求出点C坐标，分三种情形求解即可解决问题；

6．如图1，以□ABCD的较短边CD为一边作菱形CDEF,使点F落在边AD上，连接BE，交AF于点G.

（1）猜想BG与EG的数量关系.并说明理由；

（2）延长DE,BA交于点H，其他条件不变，

①如图2，若∠ADC=60°，求的值；

②如图3，若∠ADC=α（0°<α<90°）,直接写出的值.（用含α的三角函数表示）【答案】（1）解：，

理由如下：

∵四边形是平行四边形，

∴∥， .

∵四边形是菱形，

∴∥， .

∴∥， .

∴ .

又∵，

∴≌ .

∴

（2）解：方法1：过点作∥，交于点，

∴ .

∵，

∴∽ .

∴ .

由（1）结论知 .

∴ .

∴ .

∵四边形为菱形，

∴ .

∵四边形是平行四边形，

∴∥ .

∴ .

∵∥，

∴ .

∴，

即 .

∴是等边三角形。

∴ .

∴ .

方法2：延长，交于点，

∵四边形为菱形，

∴ .

∵四边形为平形四边形，

∴，∥ .

∴ .

,即 .

∴为等边三角形.

∴ .

∵∥，

∴ , .

∴∽，

∴ .

由（1）结论知

∴ .

∴ .

∵ ,

∴ .

如图3，连接EC交DF于O，

∵四边形CFED是菱形，

∴EC⊥AD，FD=2FO，

设FG=a，AB=b，则FG=a，EF=ED=CD=b，

Rt△EFO中，cosα= ，

∴OF=bcosα，

∴DG=a+2bcosα，

过H作HM⊥AD于M，

∵∠ADC=∠HAD=∠ADH=α，

∴AH=HD，

∴AM= AD= （2a+2bcosα）=a+bcosα，

Rt△AHM中，cosα= ，

∴AH= ，

∴ = =cosα

【解析】【分析】（1）利用菱形和平行四边形的性质可得出AB∥CD∥EF，AB=CD=EF，再

利用平行线的性质可证得∠ABG=∠FEG，然后利用AAS可证得△ABG≌△FEG，由全等三角形的性质可证得结论。

（2）①过点 G 作 GM ∥ BH ，交 DH 于点 M ，易证△GME∽△BHE。得出对应边成比例，求出MG与BH的比值，再利用菱形的性质及平行四边形的性质证明DG=MG，即可解答；

②连接EC交DF于O，利用菱形的性质可得出EC⊥AD，FD=2FO，设FG=a，AB=b，可表示出FG，EF=ED=CD=b，Rt△EFO中，利用锐角三角函数的定义可得出OF、DG，过H作HM⊥AD于M，易证AH=HD，AM=a+bcosα，再在Rt△AHM中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，继而可得出DG与BH的比值，可解答。

7．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动，△ABC是边长为2的等边三角形，E 是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF．

（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明；

（2）当点E在线段AC上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为，求AE 的长；

（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系，并说明理由；

（4）如图2，当△ECD的面积S1＝时，求AE的长．

【答案】（1）解：现点E沿边AC从点A向点C运动过程中，始终有△ABE?△CBF.

由图1知，△ABC与△EBF都是等边三角形，∴AB=CB，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°，

∴∠CBF=∠ABE=60°-∠CBE，∴△ABE?△CBF.

（2）解：由（1）知点E在运动过程中始终有△ABE?△CBF，

因四边形BECF的面积等于三角形BCF的面积与三角形BCE的面积之和，

∴四边形BECF的面积等于△ABC的面积，因△ABC的边长为2，则

，

∴四边形BECF的面积为，又四边形ABFC的面积是，

∴，在三角形ABE中，因∠A=60°，∴边AB上的高为AEsin60°,

∴，则AE= .

（3）解： .

由图2知，△ABC与△EBF都是等边三角形，∴AB=CB，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°，

又∠CBF=∠ABE=60°+∠CBE，∴△ABE?△CBF，

∴，∴，

则，则

（4）解：由（3）知，即，

由得，∵△ABE?△CBF，

∴AE=CF，∠BAE=∠BCF=60°，

又∠BAE=∠ABC=60°，得∠ABC=∠BCF，∴CF∥AB，则△BDF的边CF上的高与△ABC的高相等，即为，

则DF= ，设CE=x，则2+x=CD+DF=CD+ ，∴CD=x- ，

在△ABE中，由CD∥AB得，，即，

化简得，∴x=1或x=? （舍），

即CE=1，∴AE=3.

【解析】【分析】（1）不难发现△ABE?△CBF，由等边三角形的性质得到相应的条件，根据“SAS”判定三角形全等；（2）由（1）可得△ABE?△CBF，则，则四边形ABFC= = ，由四边形ABFC的

面积为和等边三角形ABC的边长为2，可求得△ABE的面积，由底AB×AEsin60°，构造方程可解出AE.（3）当E在AC的延长线上时，△ABE?△CBF依然成立，则，即由等量关系即可得答案.（4）由（3）可求出△FBD的面积，由△ABE?△CBF，则AE=CF，∠BAE=∠BCF=60°=∠ABC，则CF//AB,则对于△BDF的边CF上的高等于△ABC的高，则可求

出DF的长度；由AE=CF，可设CE=x，且CD//AB可得，代入相关值解出x即可.

8．如图，在矩形ABCD中，AB=2cm，∠ADB=30°．P，Q两点分别从A，B同时出发，点P 沿折线AB﹣BC运动，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2 cm/s；点Q在BD 上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PN⊥AD，垂足为点N．连接PQ，以PQ，PN 为邻边作?PQMN．设运动的时间为x（s），?PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y

（cm2）

（1）当PQ⊥AB时，x=________；

（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；

（3）直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分时，直接写出x的值．【答案】（1）

（2）解：①如图1中，当0＜x≤ 时，重叠部分是四边形PQMN．

y=2x× x=2 x2．

②如图②中，当＜x≤1时，重叠部分是四边形PQEN．

y= （2﹣x+2tx× x= x2+ x

③如图3中，当1＜x＜2时，重叠部分是四边形PNEQ．

y= （2﹣x+2）×[ x﹣2 （x﹣1）]= x2﹣3 x+4 ；

综上所述，y=

（3）解：①如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件．

则有：tan∠EAB=tan∠QPB，

∴ = ，

解得x= ．

②如图5中，当直线AM经过CD的中点E时，满足条件．

此时tan∠DEA=tan∠QPB，

∴ = ，

解得x= ，

综上所述，当x= s或时，直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分

【解析】【解答】解：（1）当PQ⊥AB时，BQ=2PB，

∴2x=2（2﹣2x），

∴x= s．

故答案为 s．

【分析】（1）由题意BQ=2x,PB=2-2x，当PQ⊥AB时，根据含30°直角三角形的边之间的关系得：BQ=2PB，从而列出方程，求解即可；

（2）①如图1中，当0＜x≤时，重叠部分是四边形PQMN．由题意知：AP=2x，BQ=2x，故平行四边形AP边上的高是，根据平行四边形的面积计算方法得出y与x之间的函数

关系式；②如图②中，当＜x≤1时，重叠部分的面积等于平行四边形APQM的面积减去△AEM的面积，即可得出y与x的函数关系式；③如图3中，当1＜x＜2时，重叠部分是四边形PNEQ．根据相似三角形的性质，分别表示出EQ,ME,NE的长，根据重叠部分等于平行四边形NPQM的面积减去△MNE的面积，即可列出y与x之间的函数关系；

（3）①如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件．根据等角的同名三角函数值相等，即tan∠EAB=tan∠QPB，再根据三角函数的定义即可建立方程，求解得出x的值；

②如图5中，当直线AM经过CD的中点E时，满足条件．根据等角的同名三角函数值相等，即tan∠DEA=tan∠QPB，再根据三角函数的定义即可建立方程，求解得出x的值；综上所述即可得出答案。

9．如图，在△ABC中，∠C=90°,AE平分∠BAC交BC于点E,O是AB上一点，经过A,E两点的⊙O交AB于点D，连接DE，作∠DEA的平分线EF交⊙O于点F，连接AF.