高一物理圆周运动

14圆周运动

【考纲要求】

1、知道匀速圆周运动的定义及相关物理量；

2、知道匀速圆周运动的动力学特征；

3、会正确分析向心力的来源；

4、知道向心力的公式；

5、理解圆周运动的临界条件；

6、掌握利用牛顿运动定律分析匀速圆周运动问题。【知识网络】

角速度

2v

t T r

θπ

ω===

线速度

2

s r

v r t T

π

ω===

向心加速度

22

2

2

4

v r

a r v

r T

π

ωω====

运行周期

22r T

v

ππ

ω

==

向心力

22

2

2

4

v

F ma m m r mr

r T

π

ω

====

【考点梳理】

考点一、描述圆周运动的物理量

1、描述圆周运动的物理量

描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周期、频率、转速、向心加速度、向心力等。

2、匀速圆周运动

特点：线速度的大小恒定，角速度、周期和频率都是恒定不变的，向心加速度和向心力的大小也都是恒定不变的。

要点诠释：1、匀速圆周运动是速度大小不变而速度方向时刻在变的变速曲线运动，并且是加速度大小不变、方向时刻变化的变加速曲线运动。2、只存在向心加速度，向心力就是做匀速圆周运动的物体所受的合外力。3、质点做匀速圆周运动的条件（1）物体具有初速度；（2）物体受到的合外力F的方向与速度v的方向始终垂直。（匀速圆周运动）

考点二、向心力的性质和来源

要点诠释：向心力是按力的效果命名的，它可以是做圆周运动的物体受到的某一个力或是几个力的合力或是某一个力的分力，要视具体问题而定。

在匀速圆周运动中，由于物体运动的速率不变，动能不变，故物体所受合外力与速度时刻垂直、不做功，其方向指向圆心，充当向心力，只改变速度的方向，产生向心加速度。考点三、传动装置中各物理量之间的关系

在分析传动装置中各物理量的关系时，一定要明确哪个量是相等的，哪个量是不等的。

1、角速度相等：同轴转动的物体上的各点角速度相等。

2、线速度大小相等：（要求：在不打滑的条件下）

（1）皮带传动的两轮在皮带不打滑的条件下，皮带上及两轮边缘各点的线速度大小相等；

（2）齿轮传动；（3）链条传动；（4）摩擦轮传动；

（5）交通工具的前后轮（自行车、摩托车、拖拉机、汽车、火车等等）

考点四、圆周运动实例分析 1、火车转弯

在转弯处，若向心力完全由重力G 和支持力N F 的合力F 合来提供，则铁轨不受轮缘的挤压，此时行车最安全。R 为转弯半径，θ为斜面的倾角， 2=tan v F F mg m R

θ==临

向合，

所以=tan v gR θ临。

（1）当v v >临时，即2

tan v m mg R

θ>，重力与支持力N F 的合力不 足以提供向心力，则外轨对轮缘有侧向压力。（2）当v v <临时，即2

tan v m mg R

θ<，重力与支持力N F 的合力大于所需向心力，则内轨对轮缘有侧向压力。（3）当v v =临时，

2

tan v m mg R

θ=，火车转弯时不受内、外轨对轮缘的侧向压力，火车行驶最安全。

2、汽车过拱桥

如汽车过拱桥桥顶时向心力完全由重力提供（支持力为零），则据向心力公式

2

=v F mg m R

=向得： v gR =R 为圆周半径），故汽车是否受拱桥桥顶作用力的临界条

件为：v gR =

临，此时汽车与拱桥桥顶无作用力。

3、航天器中的失重现象

航天员在航天器中绕地球做匀速圆周运动时，航天员只受地球引力，座舱对航天员的支持力为零，航天员处于完全失重状态。引力提供了绕地球做匀速圆周运动所需的向心力。

4、离心运动

做圆周运动的物体，当提供的向心力等于做圆周运动所需要的向心力时，沿圆周运动。

当提供的向心力小于做圆周运动所需要的向心力时，物体沿切线与圆周之间的一条曲线运动。当产生向心力的合外力消失，F=0，物体便沿所在位置的切线方向飞出去。

【典型例题】

类型一、传动装置中各物理量之间的关系 【高清课堂：圆周运动例1】

例1、如图所示的皮带传动装置，左边是主动轮，右边是一个轮轴，R A ：R C =1：2， R A ：R B =2：3。假设在传动过程中皮带不打滑，则皮带轮边缘上的A 、B 、C 三点的角速度之比是__________；线速度之比是_________； 向心加速度之比是_________。

【答案】3:2:3 1:1:2 3:2:6

【解析】A 、C 角速度相等，写着1: ：1， A 、B 线速度相等，v r ω=，可知角速度与

半径成反比，::3:2A B B A R R ωω==, 代入上面的空格，即得三点的角速度之比是3:2:3。

求线速度之比，写着1:1： ，就是要求A 、C 的线速度之比，而A 、C 的角速度相等，同理，由v r ω=可知线速度与半径成正比，即:1:2A C v v =,所以，线速度之比是1:1:2。

求向心加速度之比，a v ω=（2

a r r v ωωωω==?=?）将已求出的角速度之比、线速度之

比代入，可知向心加速度之比3:2:6。

【总结升华】这类问题必须首先抓住是线速度相等还是角速度相等，再根据公式按比例计算。 举一反三

【变式】如图中，A 、B 为啮合传动的两齿轮，2A B R R =，则A 、B 两轮边缘上两点的（ ） A ．角速度之比为2:1 B ．周期之比为1:2 C ．向心加速度之比为1:2 D ．转速之比为2:1

【答案】C

【解析】本题是齿轮传动问题，A 、B 两轮边缘上两点线速度相等

由公式v r ω=有：:1:2A B B A R R ωω==：，A 项错；由公式2r

v T

π=

有 ::2:1A B A B T T R R ==，B 项错；由公式2

v a r

=有：::1:2A B B A a a R R ==，

C 项正确；由公式2v rn π=有：::1:2A B B A n n R R ==，

D 项错。

类型二、向心力来源分析

向心力不是和重力、弹力、摩擦力相并列的一种性质力，而是根据力的效果命名的。在分析做圆周运动的质点受力情况时，切不可在物体所受的作用力（重力、弹力、摩擦力、万有引力等）以外再添加一个向心力。向心力可能是物体受到的某一个力，也可能是物体受到的几个力的合力或某一个力的分力。

例2、圆锥摆如图所示，小球质量为m ，绳长为l ，一端固定在天花板上，绳与竖直方向成θ角，求小球在水平面内转动的周期。

【答案】cos 2l T g

θ

π

= 【解析】 作出力的平行四边形，拉力与重力的合力F 提供向心力 tan F

mg

θ=

即 tan F mg θ= （也可以这样分析：轻绳竖直方向的分力与重力平衡，轻绳水平方向的分力提供向心力。

cos T mg θ= sin T ma F θ== 解得 tan F mg θ=） 所需要的向心力为 2

2m r T π??

???

sin r l θ=（r 为做圆周运动的半径）

提供的向心力=所需要的向心力 2

24tan sin mg m l T

πθθ=

解得cos 2l T g θπ

=

【总结升华】只有当物体做匀速圆周运动时，向心力才是物体所受所有力的合力。当物体做变速圆周运动时不能认为向心力一定是物体所受外力的合力。要分析清楚提供的向心力、所需要的向心力，再将未知量用已知量表示出来。 举一反三

【变式1】杂技演员在表演“水流星”的节目时（如图），盛水的杯子经过最高点杯口向下时，水也不洒出来。对于杯子经过最高点时水的受力情况，下面说法正确的是（ ） A ．水处于失重状态，不受重力的作用 B ．水受平衡力的作用，合力为零

C ．由于水做圆周运动，因此必然受到重力和向心力的作用

D ．杯底对水的作用力可能为零

【答案】D

【解析】当杯子在最高点时，有向下的加速度，因此处于失重状态，但仍受重力作用，故A 错。又因圆周运动是曲线运动，其合外力必不为零。因此杯子不可能处于平衡状态，故B 项错误。由于向心力并非独立于重力、弹力、摩擦力、电场力等之外的另一种力。因此杯子不能同时受重力和向心力两个力作用，而是重力是向心力的一部分，还有可能受杯底对水的作用力，故C 错、D 正确。

【变式2】质量不计的轻质弹性杆P 插在桌面上，杆端套有一个质量为m 的小球，今使小球沿水平方向做半径为R 的匀速圆周运动，角速度为ω，如图所示，则杆的上端受到的作用力大小为（ ）

A ． 2

m R ω

B ．222

42m g m R ω-

C ．22242

m g m R ω+

D ．不能确定

【答案】C

【解析】小球受重力和杆的作用力做匀速圆周运动，这两个力的合力 充当向心力必指向圆心，如图用合成法可得杆的作用力

2

222

42()F mg F m g m R ω=+=

+向 。

类型三、圆周运动的连接体问题

例3、如图所示是用以说明向心力和质量、半径之间关系的仪器，球p 和q 可以在光滑水平杆上无摩擦地滑动，两球之间用一条轻绳连接，m p ＝2m q ，当整个装置绕中心轴以角速

度ω匀速旋转时，两球离转轴的距离保持不变，则此时( )

A ．两球均受到重力、支持力和向心力三个力的作用

B ．p 球受到的向心力大于q 球受到的向心力

C ．ｒp 一定等于

2

q r

D ．当ω增大时，p 球将向外运动

【答案】C

【解析】向心力不是单独的一个力，A 错。由于两球离转轴的距离保持不变，而且球p 和q 可以在光滑水平杆上无摩擦地滑动，所以绳子的拉力提供了两个小球的向心力，可知两个小

球的向心力大小相等，B 错。由向心力公式2=F m r ω向

，22p p q q m r m r ωω=，得到p p q q m r m r = 即

1

2

p q q

p

r m r m =

=

，所以C 对。p p q q m r m r =说明了两球的质量与运动半径的乘积始终相等， 与角速度的大小无关，D 错。故正确选项为C 。

举一反三

【变式】如图所示，两物块A 、B 套在水平粗糙的CD 杆上，并用不可伸长的轻绳连接，整 个装置能绕过CD 中点的轴OO'转动，已知两物块质量相等，杆CD 对物块A 、B 的最大静 摩擦力大小相等，开始时绳子处于自然长度（绳子恰好伸直但无弹力），物块A 到OO'轴的 距离为物块B 到OO'轴距离的两倍，现让该装置从静止开始转动，使转速逐渐增大，在从绳 子处于自然长度到两物块A 、B 即将滑动的过程中，下列说法正确的是（ ）

A ．

B 受到的静摩擦力一直增大

B ．B 受到的静摩擦力是先增大后减小

C ．A 受到的静摩擦力是先增大后减小

D ．A 受到的合外力一直在增大

【答案】D

【解析】在转动过程中，两物体都需要向心力，开始时是静摩擦力提供向心力，当静摩擦力不足以提供向心力时，绳子的拉力就会来做补充，速度再快，当这2个力的合力都不足以提

供向心力时，物体将会发生相对滑动。根据向心力公式，2

=v F m R

向，在发生相对滑动前物

体的半径是不变的，质量也不变，随着速度的增大，向心力增大，而向心力就是物体的合力，D 对。由于A 的半径比B 大。根据向心力2

=F m r ω向可知 A 、B 的角速度相同，所以A 所需向心力比B 大，因为两物体的最大静摩擦力一样，所以A 物体的静摩擦力会先不足以提供向心力而使绳子产生拉力，之后随着速度的增大，静摩擦力已经最大不变了，绳子拉力不断增大来提供向心力，所以A 所受静摩擦力是先增大后不变的，C 错。再看B ，因为是A 先使绳子产生拉力的，所以当绳子刚好产生拉力时B 受静摩擦力作用且未到最大静摩擦力，此后B 的向心力一部分将会由绳子拉力来提供，静摩擦力会减小，而在产生拉力前B 的静摩擦力是一直增大的，B 对A 错。故选D 。

类型四、圆周运动的临界问题 【高清课堂：圆周运动例3】

例4、（1）长为l 的轻绳拉着小球在竖直面内转动，要使小球能做完整的圆周运动，那 么小球最高点的速度必须满足的条件是什么？若在最高点时小球对绳的拉力等于重力的一 半，则小球的速度是多少？（2）长为l 的轻杆拉着小球在竖直面内转动，要使小球能做完 整的圆周运动，那么小球最高点的速度必须满足的条件是什么？若在最高点时小球对杆的弹 力等于重力的一半，则小球的速度是多少？

【答案】（1）v gR gl ≥

= 3

2

v gl '=

（2）0v > 当支持力方向向下时， 32v gl = 1

2

v gl '=【解析】（1）“使小球能做完整的圆周运动”意思是速度小于某一值，小球就不能通过最高

点，即临界速度，向心力完全由重力提供，2

v mg m R

≤,解得v gR gl

当 12T mg =时，根据牛顿第二定律 212v mg mg m l '+=， 解得 3

2

v gl '=

（2）轻杆与轻绳是有区别的，杆对小球有支撑作用，

2

v mg N m R

-= ，可以看出只要0v >即可。

当12N mg =时，设方向向下， 2v mg N m l += 解得3

2

v gl =

（支持力与重力方向相同时，提供的向心力较大，因此速度较大）

当支持力方向向上时 2v mg N m l '-= 解得1

2

v gl '=

（支持力与重力方向相反时，提供的向心力较小，因此速度较小）

【总结升华】要准确理解临界条件的物理意义，轻绳拉小球作圆周运动，到最高点的最小速度是

v gR =（类似的物体在轨道内侧）

，把这种情况叫做“绳球模型”。轻杆：到最高点的最小速度是零（类似的圆管道内，小球穿在环上），叫做“杆球模型”。

举一反三

【变式】有一轻质杆，长l =0.5m ，一端固定一质量m=0.5kg 的小球，轻杆绕另一端在竖直面内做圆周运动。（1）当小球运动到最高点的速度大小为4m/s 时，求小球对杆的作用力；（2）当小球运动到最低点时，球受杆的拉力为41N ，求此时小球的速度大小。

【答案】（1）11.1F N =，方向向上。（2）6/v m s '=。

【解析】做匀速圆周运动的物体所受合外力提供向心力，合外力指向圆心；轻杆上的小球在竖直面内做的是非匀速圆周运动。其合外力并不总指向圆心，只有在运动到最高点或最低点时，合外力才指向圆心，提供向心力。

（1）当小球运动到最高点时，小球受重力mg ，和杆对球的作用力F （设为拉力），合力作向心力。

根据牛顿第二定律 2

v mg F m l

+=

2

11.1v F m mg N l

=-= 0F >说明所设拉力是正确的，即小球受到杆的拉力。

根据牛顿第三定律，小球对杆的作用力大小为11.1N ，方向向上。

（2）当小球运动到最低点时，小球受到重力mg 、杆对小球的拉力F 指向圆心，合力提供

向心力。 根据牛顿第二定律 2

v F mg m l

''-= 41F N '=

()/(410.510)0.5/0.56/v F mg l m m s ''-=-??=

【总结升华】这是典型的“杆球模型”。杆或管对物体能产生拉力，也能产生支持力。当物体通

过最高点时有2

N v F mg m r

+=，因为N F 可为正（拉力），也可以为负（支持力），还可

以为零，故物体通过最高点的速度可为任意值。有以下四种情况：

（1）0v =时，N F mg =-，负号表示支持力。

（2）v

gr =

时，0N F =，杆对物体无作用力

（3）0v gr <<时，0N F <，杆对物体为支持力

（4）v gr >

时，0N F >，杆对物体产生拉力

例5、一光滑圆锥体固定在水平面上，OC ⊥AB ， ∠AOC=30o ，一条不计质量，长为l （l

（1）当物体线速度gl v 6

1

=

时，分别求出绳和圆锥体对物体的作用力； （2）当物体刚好不压圆锥体时线速度v 0； （3）gl v 2

3

=

时，求绳子的拉力是多少？

【答案】（1）)63

31(

+=mg T ；)633(-=mg N ；（2）gl v 6

3

0=；

（3）mg T 2= 【解析】（1）当物体刚好不压圆锥体时，受力如图：

O

A

B

C

l 30

由牛顿运动定律有： 20

tan 30sin 30v mg m l =o

o

03

tan 30sin 306

v gl gl ==

o o

（2）当物体线速度03

6

v gl v =

<， 所以物体仍与圆锥面接触，受力如图：由牛顿运动定律：

y 方向： cos30sin 300T N mg +-=o o

x 方向： 2

sin 30cos30sin 30v T N m l -=o

o

o

解得131`33

()626T mg mg +=+= 1333()()266N mg mg

-=-=

（3）gl v 2

3

=

>0v , 小球已经飞离斜面， 设绳与水平方向夹角为θ， 提供的向心力tan mg

F θ

= 所需的向心力2v m r

cos r l θ= 所以 tan mg

F θ

=

=2v m r 化简得 23

sin sin 102

θθ+-= 解得

30θ=o 所以拉力 2T mg =