高中数学必修1知识点总结及题型

高中数学讲义必修一第一章复习

知识点一集合的概念

1．集合：一般地，把一些能够________________对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象________构成的集合(或集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…来表示．

2．元素：构成集合的____________叫做这个集合的元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…来表示．3．空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为.

知识点二集合与元素的关系

1．属于：如果a是集合A的元素，就说a________集合A，记作a________A.

2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a________集合A，记作a________A.

知识点三集合的特性及分类

1．集合元素的特性_______、________、________.

2．集合的分类：(1)有限集：含有_______元素的集合；(2)无限集：含有_______元素的集合．

3．常用数集及符号表示

名称非负整数集(自然数集) 整数集实数集

符号N N*或N＋Z Q R

知识点四集合的表示方法

1．列举法：把集合的元素______________，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法

2．描述法：用集合所含元素的________表示集合的方法称为描述法．

知识点五集合与集合的关系

1．子集与真子集

定义符号语言图形语言(Venn图)

子集如果集合A中的________元素都是

集合B中的元素，我们就说这两个

集合有包含关系，称集合A为集合

B的子集

________(或

________)

真子集如果集合A?B，但存在元素

________，且________，我们称集

合A是集合B的真子集

________(或

________)

2.子集的性质

(1)规定：空集是____________的子集，也就是说，对任意集合A，都有________．(2)任何一个集合A都是它本身的子集，即________．(3)如果A?B，B?C，则________．(4)如果A?B，B?C，则________．3．集合相等

知识点六 集合的运算 1．交集 2．并集

自然语言

符号语言

图形语言

由_________________ _________________组成的集合，称为A 与B 的并集

A ∪

B ＝_______________

3.交集与并集的性质

交集的运算性质

并集的运算性质 A ∩B ＝________ A ∪B ＝________ A ∩A ＝________ A ∪A ＝________ A ∩?＝________ A ∪?＝________ A ?B ?A ∩B ＝________

A ?

B ?A ∪B ＝________

4.全集

在研究集合与集合之间的关系时，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的________，那么就称这个集合为全集，通常记作________． 5．补集

文字语言 对于一个集合A ，由全集U 中__________的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作________

符号语言 ?U A ＝________________

图形语言

定义

符号语言

图形图言 (Venn 图)

集合相等 如果集合A 是集合B 的子集(A ?B)，且________________，此

时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等

A ＝B

自然语言

符号语言

图形语言

由___________________ _____________________ 组成的集合，称为A 与B 的交集

A ∩

B ＝_________

典例精讲

题型一*判断能否构成集合

1．在“①高一数学中的难题；②所有的正三角形；③方程x 2－2＝0的实数解”中，能够构成集合的是 。 题型二* 验证元素是否是集合的元素 1、已知集合

{}Z

n Z m n m x x A ∈∈-==,,22，判断3是不是集合A 的元素。

2、集合A 是由形如()Z n Z m n m ∈∈+,3的数构成的，判断

3

21

-是不是集合A 中的元素.

题型三 ** 求集合

1．方程组???

3x ＋y ＝2

2x －3y ＝27

的解集是( )

A.???

x ＝3y ＝－7

B ．{x ，y|x ＝3且y ＝－7}

C ．{3，－7}

D ．{(x ，y)|x ＝3且y ＝－7} 2．下列六种表示法：①{x ＝－1，y ＝2}；②{(x ，y)|x ＝－1，y ＝2}；③{－1,2}；④(－1,2)；⑤{(－1,2)}；⑥{(x ，y)|x ＝－1或y ＝2}．

能表示方程组???

2x ＋y ＝0，

x －y ＋3＝0的解集的是( )

A ．①②③④⑤⑥

B ．②③④⑤

C ．②⑤

D ．②⑤⑥

题型四 ** 利用集合中元素的性质求参数

1．已知集合S ＝{a ，b ，c}中的三个元素是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( )

A ．锐角三角形

B ．直角三角形

C ．钝角三角形

D ．等腰三角形 2.设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a}＝

{}0，b a ，b ，则b －a ＝________.

3.已知P ＝{x|2＜x ＜k ，x ∈N ，k ∈R}，若集合P 中恰有3个元素，则实数k 的取值范围是________.

4.已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素组成的集合，且2∈A ，则实数m 的值为( )

A ．2

B ．3

C ．0或3

D ．0或2或3 题型五 ** 判断集合间的关系 1、设??????∈+==Z k k x x M

,412,?

?????∈+==Z k k x x N ,21

4，则M 与N 的关系正确的是（ ）

A. M=N

B.N M ≠

? C.N M ≠

? D.以上都不对

2．判断下列集合间的关系：

(1)A ＝{x|x －3＞2}，B ＝{x|2x －5≥0}； (2)A ＝{x ∈Z|－1≤x<3}，B ＝{x|x ＝|y|，y ∈A}． 题型六 ** 求子集个数

1．已知集合A ＝{x|ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值构成的集合为________． 2.已知集合A ＝{1，2，3}，写出集合A 的所有子集，非空子集，真子集，非空真子集

题型七** 利用两个集合之间的关系求参数

1.已知集合A＝{1,2，m3}，B＝{1，m}，B?A，则m＝________.

2．已知集合A＝{1,2}，B＝{x|ax－2＝0}，若B?A，则a的值不可能是()

A．0B．1C．2D．3

题型八*** 集合间的基本运算

1．下面四个结论：①若a∈(A∪B)，则a∈A；②若a∈(A∩B)，则a∈(A∪B)；③若a∈A，且a∈B，则a∈(A∩B)；④若A∪B＝A，则A∩B＝B.其中正确的个数为()

A．1B．2C．3D．4

2．已知集合M＝{x|－33}，则M∪N＝()

A．{x|x>－3}B．{x|－3

3．已知集合A＝{2，－3}，集合B满足B∩A＝B，那么符合条件的集合B的个数是()

A．1B．2C．3D．4

4．(2016·全国卷Ⅲ理，1)设集合S＝{x|(x－2)(x－3)≥0}，T＝{x|x>0}，则S∩T＝()

A．[2,3]B．(－∞，2]∪[3，＋∞)C．[3，＋∞) D．(0,2]∪[3，＋∞)

5．下列关系式中，正确的个数为()

①(M∩N)?N；②(M∩N)?(M∪N)；③(M∪N)?N；④若M?N，则M∩N＝M.

A．4B．3C．2 D．1

6．(2016·唐山一中月考试题)已知全集U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2

题型九** 根据集合运算的结果求参数

1．若集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，则x＝________.

2．设A＝{x|x2＋8x＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋2)x＋a2－4＝0}，其中a∈R.如果A∩B＝B，求实数a的取值范围.

3．U＝{1,2}，A＝{x|x2＋px＋q＝0}，?U A＝{1}，则p＋q＝________.

题型十** 集合中的新定义问题

1．集合P＝{3,4,5}，Q＝{6,7}，定义P*Q＝{(a，b)|a∈P，b∈Q}，则P*Q的子集个数为()

A．7B．12C．32 D．64

2．当x∈A时，若x－1?A，且x＋1?A，则称x为A的一个“孤立元素”，由A的所有孤立元素组成的集合称为A的“孤星集”，若集合M＝{0,1,3}的孤星集为M′，集合N＝{0,3,4}的孤星集为N′，则M′∪N′＝()

A．{0,1,3,4}B．{1,4}C．{1,3} D．{0,3}

知识点一函数的有关概念

知识点二两个函数相等的条件

1．定义域________．2．________完全一致．

知识点三区间的概念及表示

1．一般区间的表示

设a，b∈R，且a

定义名称符号数轴表示

{x|a≤x≤b} 闭区间

{x|a

{x|a≤x

{x|a

2.

定义R {x|x≥a} {x|x>a} {x|x≤a} {x|x

符号(－∞，＋∞) a，＋∞) (a，＋∞) (－∞，a] (－∞，a)

知识点四函数的表示方法

函数的三种表示法：解析法、图象法、列表法．

知识点五分段函数

如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的________，那么称这样的函数为分段函数．分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的

________，值域是各段值域的________． 知识点六 映射的概念

设A ，B 是两个________________，如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的________________，在集合B 中都有________确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射． 知识点七 函数的单调性

1．增函数、减函数：设函数f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值x 1，x 2，当x 1f(x 2)，那么就说函数f(x)在区间D 上是减函数．

2．函数的单调性：若函数f(x)在区间D 上是增(减)函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D 叫做f(x)的单调区间．

3．单调性的常见结论：若函数f(x)，g(x)均为增(减)函数，则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数；若函数f(x)为增(减)函数，则－f(x)为减(增)函数；若函数f(x)为增(减)函数，且f(x)>0，则1f (x )为

减(增)函数．

知识点八 函数的最大值、最小值

性质：定义在闭区间上的单调函数，必有最大(小)值． 知识点九 函数的奇偶性 1．函数奇偶性的概念

2.性质

(1)偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称，奇函数在原点有定义，则f(x)=0 (2)奇函数在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的区间上单调性相反．

(3)在定义域的公共部分内，两个奇函数之积与商(分母不零)为偶函数；两个奇函数之和为奇函数；两个偶函数的和、积与商为偶函数；一奇一偶函数之积与商(分母不为零)为奇函数． 知识点十 函数的周期性

若存在非零常数T ，对定义域内任意x ，都有()()f x T f x +=，称这样的函数为周期

函数，T 叫函数的一个周期。

()如：若，则

f x a f x +=-()

典例精讲

题型一*** 函数的定义域 1函数f(x)＝ln(x －3)的定义域为()

A ．{x|x>－3}

B ．{x|x>0}

C ．{x|x>3}

D ．{x|x ≥3} 2．函数f(x)＝1－2x ＋

1

x ＋3

的定义域为() A ．(－3,0] B ．(－3,1]C ．(－∞，－3)∪(－3,0] D ．(－∞，－3)∪(－3,1]

3.函数234

x x y x

--+=的定义域为 （ ）

A ．[4,1]-

B ．[4,0)-

C ．(0,1]

D ．[4,0)(0,1]-

4.已知函数f(x)=12++mx mx 的定义域是一切实数,则m 的取值范围是（） A.0

6、若函数y ＝)13(-x f 的定义域是[1，2]，则y ＝)(x f 的定义域是 题型二***函数概念的考察

1下列图象中，不可能成为函数y ＝f(x)图象的是()

2 下列各组函数中表示同一函数的是（ ）

A.y=55

x

和x

y 2

=

B.y=ln

e

x

和e

x

y ln =

C.()()()()3131+=-+-=

x y x x x y 和 D.x

x y y 0

01

==和

3 下列四组函数中，表示同一函数的是（

）

A.2)1(1-=

-=x y x y 与B ．1

11--=

-=x x y x y 与

C ．2

lg 2lg 4x y x y ==与D ．100

lg 2lg x x y =-=与 4 已知函数y=

22

-x

定义域为{}2,1.0,1-，则其值域为

题型三***分段函数的考察

1、已知函数3log ,0()2,0

x x x f x x >?=?≤?，则1

(())9f f =

A.4

B.

1

4

C.-4 D-

14

2、已知函数f(x)＝???

1－1

2

x ，x ≥0，1

x ，x<0，

若f(a)＝a ，则实数a ＝________.

3、设函数???<+≥+-=0

,60

,64)(2x x x x x x f 则不等式)1()(f x f >的解集是（ ）

A.),3()1,3(+∞?-

B.),2()1,3(+∞?-

C.),3()1,1(+∞?-

D.)3,1()3,(?--∞

4、已知函数???<-≥+=0

,

40,

4)(2

2x x x x x x x f 若2

(2)(),f a f a ->则实数a 的取值范围是（）

A (,1)(2,)-∞-?+∞

B (1,2)-

C (2,1)-

D (,2)(1,)-∞-?+∞ 题型四*** 函数图像的考察

1、设0abc >,二次函数2

()f x ax bx c =++的图像可能是

2、函数y=2x

-2

x 的图像大致是

3、函数x x

x x

e e y e e

--+=-的图像大致为 ( )

4、已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线（假定为直线）行驶．甲车、乙车的速度曲线分别为v v 乙甲和（如图2所示）．那么对于图中给定的01t t 和，下列判断中一定正确的是 （ ）

A. 在1t 时刻，甲车在乙车前面

B. 1t 时刻后，甲车在乙车后面

C. 在0t 时刻，两车的位置相同

D. 0t 时刻后，乙车在甲车前面

题型五***求函数的解析式 1、求下列函数的解析式 ① 已知).(,1

13

3

x f x x f x

x

求+

=??

? ??

+

② ).(lg 12x f x x f ，求已知=??

?

??+

③ 已知f(x)是二次函数，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x).

1x

y 1O

A

x

y

O 11B

x y

O 1

1

C

x y 1

1 D

O

3、设)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，并且x x x g x f -=-2

)()(，求)(x f 。

题型六** 函数的值域与最值

1、函数2

23y x x =-- ，()4,1-∈x 的值域为 ．

2、求函数5

1

)(--=x x x f []4,1∈x 的最大值和最小值。

3、求函数324)(1

--=+x x

x f []4,2-∈x 的最大值和最小值。

题型七 ***函数性质的考察

1、写出函数)34(log )(2

2

1-+-=x x x f 的单调递减区间

2、设二次函数f(x)=x 2

-(2a+1)x+3

(1)若函数f(x)的单调增区间为[)+∞,2，则实数a 的值__________；

(2)若函数f(x)在区间[)+∞,2内是增函数，则实数a 的范围__________。 3、定义在)1,1(-上的奇函数1

)(2

+++=

nx x m

x x f ，则常数=m ____,=n _____ 4、已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当

[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2

5、函数2

2log 2x

y x

-=+的图像 （ ） A.关于原点对称 B.关于主线y x =-对称 C.关于y 轴对称 D.关于直线y x =对称

6、函数()41

2

x x

f x +=的图象（） A. 关于原点对称 B. 关于直线y=x 对称 C. 关于x 轴对称 D. 关于y 轴对称