小学数学综合与实践

小学数学综合与实践

张丹北京教育学院

刘延革北京东城区教育研究学院

李宁北京大学附属小学

一、“综合与实践”的内涵及教育价值

“综合与实践”是指一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。在学习活动中，学生将综合运用“数与代数”“图形与几何”“统计与概率”等知识和方法解决问题。

“综合与实践”是积累数学活动经验的重要载体。在经历具体的“综合与实践”问题的过程中，引导学生体验如何发现问题，如何选择适合自己完成的问题，如何把实际问题变成数学问题，如何设计解决问题的方案，如何选择合作的伙伴，如何有效地呈现实践的成果，让别人体会自己成果的价值。通过这样的教学活动，学生会逐步积累运用数学解决问题的经验。

（一）“综合与实践”的内涵

1. 综合与实践活动要突出“综合”

这种综合不仅表现为数学内部各分支（如几何、代数、三角）之间的综合，数学与其他学科的综合、数学与学生日常生活实际的综合；还表现为解决问题的过程要求学生的各种能力、各种方法、各种工具的综合。它不应该是一个具体知识点的直接应用，不应该是已有数学知识、方法反射式的套用，它应该给学生一个综合应用学生以往学过的所有数学知识、方法（甚至可以是跨学科的知识），去实际解决一个数学内部或生活实际问题的机会，条件未必可丁可卯，线索未必清晰可见，问题本身和结果可能还需要另外的解读。当然，“综合”的结果也应该是“综合”的，它应该提升学生的综合素质，为学生的发展奠基。

案例：《标准》中的例 44 象征性长跑。

为了迎接奥运会的召开，某小学决定组织“迎接圣火、跑向北京”的象征性长跑活动，学校向同学们征集活动方案，请你参与设计，其中要解决的问题有：

（ 1 ）调查你所在的学校到北京天安门的距离约有多少千米？

（ 2 ）如果一个人每天跑一个“马拉松”，要几天能完成这项长跑？

（ 3 ）如果全班用接力方式开展这项活动，请你设计一个合理的活动方案。

（ 4 ）全班交流、展出同学们的不同方案，说明各个方案的特点，同学之间评价方案的优缺点，推荐本班的最佳活动方案。

点评：对于这个问题的完成，学生不仅需要一些相应的数学知识，还要利用一定的地理知识以及对“马拉松”活动了解等体育知识。由于问题较复杂需要小组合作，这就需要同学具有小组合作的能力，以及根据自己班级特点、小组特点、男女生的特点合理设计、规划方案的能力等等。由于这是一个灵活开放的问题。解决问题完后，同学之间的交流、评价、反思的过程，也是很好的丰富学生解决问题体验的过程。

2. 综合与实践活动要突出“过程”

“综合与实践”的实施是以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。它有别于学习具体知识的探索活动，更有别于课堂上教师的直接讲授。教师通过问题引领，让学生全程参与、实践过程，经历相对完整的学习活动。它的核心是学生在老师的引导和帮助下有目标的、自主的实践活动。

学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。在活动形式上要鼓励学生独立思考、多采用诸如小组合作、实景观察、实地测量、动手操作、直接收集数据、问卷调查、真实数据计算等活动形式，使学生能真正“动起来”，在活动中积累数学活动经验，提升数学能力和素养。在实施过程中，教师要注意观察、积累、分析、反思，使“综合与实践”的实施成为提高教师自身和学生素质的互动过程。

（二）“综合与实践”的教育价值

1. 综合与实践有助于学生的发展。《标准》指出：“综合与实践”是指一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。在教学建议部分还指出：“综合与实践”的教学，重在实践、重在综合。重在实践是指在活动中，注重学生自主参与、全过程参与，重视学生积极动脑、动手、动口。在学生自主、积极主动参与活动的过程中，可以发展学生的动手、动口能力；培养学生学习数学的兴趣；增强学生学习数学的信心等。

表现在以下几方面：

①培养学生的应用意识。在义务教育阶段，应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一

方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学方法予以解决。综合与实践是培养学生应用意识很好的载体。

②培养学生的创新意识。学生自己发现和提出问题是创新的基础；问题意识、独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。在综合与实践的过程中，给学生自己发现和提出问题、独立思考、归纳猜想等提供了更大的空间，所以，综合与实践有助于培养学生的创新意识。

③培养学生的模型思想。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。综合与实践有助于培养学生的模型思想。

2. 综合与实践有助于学生对数学全面理解。20 世纪数学分为很多学科，而且越分越细，有积极的一面，也有需要警惕的问题，太细就会影响对数学整体认识，“综合与实践”是避免这种倾向的措施，通过问题让学生把学习的数学整合起来，在解决问题过程中体会数学，比较完整理解数学。了解数学的应用是全面了解数学另一个重要方面，数学不仅仅是自成逻辑体系学科，应用广泛、与其他学科密切联系是数学最主要的特点，“综合与实践”可以帮助学生了解这些，不是字面上的理解，而是感悟、体验数学应用，不做就不能有真切体会，学生需要在这方面积累经验。

3. 综合与实践有助于学生情感态度价值观的形成。

积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲。

在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心。

体会数学的特点，了解数学的价值。

养成认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯。形成坚持真理、修正错误、严谨求实的科学态度。

《课标》在学生情感价值观这些方面的要求，通过综合与实践的过程都能得以很好的形成和培养。

4. 综合与实践有助于教师的发展。《标准》在教学建议部分指出：要使学生能充分、自主地参与“综合与实践”活动，选择恰当的问题是关键。这些问题既可来自教材，也可以由教师、学生开发。提倡教师研制、开发、生成出更多适合本地学生特点的、有利于实现“综合与实践”课程目标的好问题。对问题的选择有利于教师开阔视野，提升自己

的知识及素养。同时“综合与实践”重在实践，注重学生自主参与、全过程参与，重视学生积极动脑、动手、动口。因此，“综合与实践”的实施有助于教师改变教学方式，转变教育理念。

5. 综合与实践有助于课程的建设。“综合与实践”是数学课程中的一个较新的领域，这一领域的设置沟通了生活中的数学与课堂上数学的联系，使得数与代数、几何与图形、统计与概率的内容以综合的形式出现，丰富和完善了课程的结构。通过“综合与实践”，会帮助、探索创造一些新的教、学的模式。

二、如何解读第一学段“综合与实践”的定位

作为教师，有必要整体理解和把握课程总目标，认识学段目标与总体目标之间的联系，再把学段目标分解到单元教学和每一节课教学目标，这是做好教学设计的前提和基础。所以，准确把握“综合与实践”总体目标和分段目标是极为重要的。

（一）《课标》各级目标的制定

1. 总体目标：

《标准》在总体目标中提出：通过义务教育阶段的数学学习，学生能：

（ 1 ）获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

（ 2 ）体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力。

（ 3 ）了解数学的价值，提高学习数学的兴趣，增强学好数学的信心，养成良好的学习习惯，具有初步的创新意识和科学态度。

具体表现在综合与实践的方面的要求应为：

（ 1 ）参与综合与实践活动，积累综合运用数学知识、技能和方法等解决简单问题的数学活动经验；

（ 2 ）在综合与实践活动中，发展合情推理与演绎推理能力，清晰地表达自己的想法；

（ 3 ）初步学生从数学的角度发现问题和提出问题，增强创新意识；综合运用数学知识解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力；

（ 4 ）获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识；

（ 5 ）学会与他人合作交流；积极参与数学活动，保持对数学的好奇心和求知欲；

（ 6 ）在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心；

（ 7 ）体会数学的特点，了解数学的价值。

2. “综合与实践”分段教学目标

《标准》针对第一、二学段设定的“综合与实践”的教学要求是

第一学段：

（ 1 ）通过实践活动，感受数学在日常生活中的作用，体验运用所学的知识和方法解决简单问题的过程，获得初步的数学活动经验。

（ 2 ）在实践活动中，了解要解决的问题和解决问题的办法。

（ 3 ）经历实践操作的过程，进一步理解所学的内容。

第二学段：

（ 1 ）经历有目的、有设计、有步骤、有合作的实践活动。

（ 2 ）结合实际情境，体验发现和提出问题、分析和解决问题的过程。

（ 3 ）在给定目标下，感受针对具体问题提出设计思路、制定简单的方案解决问题的过程。

（ 4 ）通过应用和反思，进一步理解所用知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验。

（二）针对第一学段的定位

1. 从外显目标上看：

（ 1 ）经历运用知识解决问题的过程，初步获得活动经验

?在解决问题过程中要能获取一些解决问题的办法

?帮助学生进一步理解和掌握所学的数学知识

案例 1 ：《课标》中的例 21 生活中的轴对称图形。

组织学生分组收集日常生活中常见的图形（如图标），观察它们是否有对称轴，若有对称轴，数出或说出有几条对称轴。尝试画出它们的对称轴。在课堂中展示交流大家的发现，并尝试设计出一些轴对称图形。

点评：这个活动可以鼓励学生主动观察，设法收集（如可以使用数码相机或现场素描等）。学生可以结合自己的生活环境发现、找到他们熟悉的图形对象中隐藏的对称轴，并在交流过程中展示自己收集的成果。如下图所示：

此过程不仅巩固学生对“对称图形”的理解与辨认，同时积累了观察、收集、交流的活动经验。老师可以在此基础上，进一步鼓励学生自己设计轴对称图形，并交流自己图形所表达的意思。学习收集的方法和设计、绘图的方法。

2. 从活动形式上看：

综合与实践的教学实施基本上有以下几个环节：

（ 1 ）选一选、问一问：由于小学生年龄比较小，综合与实践的问题可以由老师事先给出。教师要注意引导学生认真读题，真正理解题意再往下进行。要使学生能充分、自主地参与“综合与实践”活动，选择恰当的问题是关键。

（ 2 ）想一想、议一议、说一说：有了好问题，不等于有好结果。要特别提倡上手解决问题之前，让学生想一想、说一说、碰一碰，应该如何做。让学生之间有个交流。

（ 3 ）试一试、做一做：教师要放手让学生参与，启发和引导学生进入角色，组织好学生之间的合作，照顾到所有的学生，及时帮助鼓励学生克服困难，自主地做出力所能及的结果。同时要提醒学生感悟数学的功能、价值，培养学生学习数学的好习惯和兴趣。

（ 4 ）讲一讲、评一评：教师不仅要关注结果，更要关注过程，不要急于求成，要鼓励引导学生充分利用“综合与实践”的过程，积累活动经验。要鼓励学生在交流展示中，展现思考过程、交流收获体会、表现创造潜能、体现合作成果。教师的评价应积极向上，形成对学生学习数学所取得进步的激励和肯定。

3. 从隐性目标（情感目标）上看：

体验与他人合作交流解决问题的过程。

对身边与数学有关的事物有好奇心，能参与数学活动。

在他人帮助下，感受数学活动中的成功，能尝试克服困难。

了解数学可以描述生活中的一些现象，感受数学与生活有密切联系。

在观察、操作等活动中，能提出问题和一些简单的猜想。

三、如何解读第二学段“综合与实践”的定位

（一）第二学段教学目标：

1. 经历有目的、有设计、有步骤、有合作的实践活动。

2 ．结合实际情境，体验发现和提出问题、分析和解决问题的过程。

3 ．在给定目标下，感受针对具体问题提出设计思路、制定简单的方案解决问题的过程。

4. 通过应用和反思，进一步理解所用知识和方法，了解所学知识之间的联系，获得数学活动经验。

（二）针对第二学段的定位

1. 从外显目标上看：

（ 1 ）学生在已有知识经验的基础上，经历自主选题、自主设计、自主实施和自主分析的综合实践全过程。

（ 2 ）在解决问题过程中学生需利用已有的学习经验，自主寻找解决问题的方法和策略。

（ 3 ）学生在进行综合实践的过程中综合运用已有的知识经验或在教师引导下通过自主学习获取数学活动的经验，感受数学知识间的联系和价值。

（ 4 ）学生研究的问题既可以从所学的数学知识背景中提取，也可以源于学生的实际生活经验。

案例：【案例 7 】煮米饭如何确定米和水的比

在家长的协助下，试着煮米饭，记录下每次米和水的量，找到煮出软硬适中的米饭的最佳米水比。

点评：现在的学生对于做米饭没有实际的概念，多少米可以做多少饭？需要加多少水？甚至需要做多长时间大都一无所知。而通过设计午餐等类似的活动，引导学生通过多种学习途径，获取生活经验，并通过有效地实验尝试，并记录试验的结果，利用自己的知识经验和已有的研究方法，自主获取生活经验。同时也对所学知识和方法有了进一步的认识和体验。

2. 从活动形式上看：

综合与实践的教学实施基本上有以下几个环节：

（ 1 ）确定研究题目：第二学段的选题不同于第一学段，由于学生已经在第一学段积累了一定的经验和方法，因此，可以逐步向学生自主选题进行过渡，但是学生自主选题并不意味着不需要教师的引导，由于小学生在选择研究题目的最初阶段还难于把控恰当的研究的题目，因此教师的适当引导和同伴的共同参与，还是非常必要的，但是这阶段的选题已经给学生提供更大的自主空间。

（ 2 ）研究操作实施：好的题目是研究的重要前提，在第二学段教师可以在学生选题的基础上，让学生自主设计研究实施的方案，并根据自己的设计独立的加以实施。与第一阶段由教师设计组织学生实施研究相比，已经有了很大程度上的改变。但是由于小学生的年龄特点，在这一阶段教师也要及时关注学生设计和实施中的问题，及时的加以引导，并提出建设性的意见。

（ 3 ）设计研究报告：由于在第二学段学生的知识方法储备已经具有了一定的基础，因此可以有学生逐步独立的对实践活动的结果进行分析，对自己所研究的数据进行处理，并以自己恰当的方式进行总结和汇报。学生汇报实践活动的方式可以是多种多样的如：手抄报、 PPT 、实验报告和小论文等方式均可。

例如：《楼梯的设计》（插入学生部分文本和部分 PPT 作品）

从学生研究报告的目录中可以看到学生在进行这样一个实践活动时，从选题、设计、分工、实施、分析和结论，这些环节经历了完整的综合实践的活动的全过程，甚至还通过调查日志和心得记录下了自己的研究体会。

从学生的前言中可以看到学生是从上下楼的拥挤的现象出发，考虑到要研究楼梯设计合理性的问题，能够看出学生的安全意识和对学校生活的关注。

从孩子们的分工可以看出，在进行实践活动的过程中，他们设计了调查问卷，并进行了问卷调查，进行了实际的测量，结合调查和测量的数据进行了分析。在研究的初期他们还查询了有关楼梯设计的相关资料。并根据自己的研究设计，对学校楼梯的设计提出了自己的方案，并撰写了研究的报告。

3. 从隐性目标（情感目标）上看：

提高了学生自主研究和团队协作的意识。

利用所学的数学知识经验和方法，对感兴趣的问题和社会现象开展研究。

在研究的过程中提升了对数学的理解，感受到了数学应用的价值。

提升了解决问题的自信心和克服困难的勇气。

丰富了学习的路径，拓展了学习的方式。

加深了对社会以及对人的进一步了解。

四、对“综合与实践”教学和评价的思考与建议

“综合与实践”的实施是以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。“综合与实践”的教学，重在实践、重在综合。所以，教师在教学设计和实施时应特别关注的几个环节是：问题的选择，问题的开展过程，学生参与的方式，学生的合作交流，活动过程和结果的展示与评价等。

（一）确定研究问题

纵观各实施环节，问题的选择确定又是活动实施的重要前提和关键。问题的选择从何而来，一方面来自与教材也可以由教师和学生自主开发。

1. 关注取向生活实践的真实问题。

让学生用数学的眼光观察身边的现象，在平凡的事件中运用数学。生活实践中数学无处不在。根据问题与学生生活距离的远近，问题可以来自学生个人成长、家庭生活、学校生活、社会生活等领域。

（ 1 ）个人成长

学生个人成长过程中，有很多问题可以引起学生的关注，从数学的角度，综合运用数学的知识和方法来分析。如关于学生的身高，学生就需要运用恰当的工具进行测量，运用统计表等方式记录，还可将几年的身高数据绘制成折线统计图，进行分析。学生的体重是否合乎标准？学生一日三餐食品营养成分的计算等等，都可以作为讨论的问题。

（ 2 ）家庭生活

学生家庭中的重要成员，多观察、多思考不仅可以丰富生活经验，而且有利于学生数学素养的提高。生活中粉刷墙壁时需要计算涂料的用量，学生就要综合运用图形的知识和运算技能等综合起来解决问题。设计有关家庭用电、用水的活动，学生要记录数据，要从资料中查找到水、电的单价，要计算出水费、电费，还可以分析人均用水、用电情况，树立节约用水、用电的意识。家庭中的很多物品中有数学，如自行车中的数学问题等。家庭旅游等活动的设计都需要数学。

（ 3 ）学校生活

学生校园生活中处处有数学。课标中，例 22 ，上学时间的记录，体现数据的随机性和规律性。例 42 绘制学校平面图，体现综合运用“方向与位置知识”解决问题的意识。

低年级学生统计操场上跳绳的有多少人，踢球的有多少人，参加两项运动的人数比较等。中年级的学生可以讨论篮球场、足球场的形状和面积等问题，体育比赛中，根据不同赛制比赛场次问题等等，课标中，例 44 就是这样问题：象征性长跑问题。高年级同学可以用打电话产生数学问题，例如，老师要发紧急通知，怎样可以在最短时间内通知到全班同学。

学校生活中到处可以发现问题，例如，评选班委、庆祝节日布置教室、图书管理等等，都有很多可以综合运用数学知识和方法解决的问题。

（ 4 ）社会生活

放眼世界，社会生活中更是有很多问题可以综合运用数学知识和方法来解决。如交通问题，学生配合统计的学习，可以统计一个路口各个方向 3 分钟内通过各种车的数量，进

而思考不同方向红绿灯时间长短的设置问题。在课标中，例 45 就是估计高度的问题。这样问题比比皆是。

由于这部分内容是整个研究的起点，学生也不能很好的掌握和操作，因此需要教师发挥很大的作用，也就形成了这流程的不同之处。

2. 流程的操作

针对第二学段的“综合与实践”操作流程应是以下几个环节：

第一，自主选择的课题的过程，依赖于了学生的经验、能力、知识和兴趣等各个方面因素的综合，其中突出体现了学生的创造力和观察力，能否将身边的问题，有效的转化成研究的课题。

第二，随着初选的结束，选题将进入小组甄选这一环节。教师也将重点参与其中，关注并引导学生进行第二次选择，进一步明确研究的目标，排除无关的问题。它也成为了整个研究的核心点。

第三，在讨论分析环节，学生将进一步明确研究活动的目的，分析研究的背景及可行性，为研究的开始寻找依据。

第四，教师要有目的引导学生，开始预设活动开展的计划，通过计划的预设达到对题目的再次理解和甄别。在初步确定研究活动计划的前提下，进行小组分工，明确小组成员的任务和职责，这是研究活动得以顺利开展的重要保障。

第五，在预设活动计划的过程中，教师还要让学生去关注，活动实施过程中可能遇到的各类困难，以及相关的应对方法。一方面可以为研究活动的实施提供保障；另一方面，也有助于自命题研究的学生，对研究内容的补充与完善，做出必要的调整。

每个环节都需要学生的积极参与，但教师只需要在个别环节辅助即可。

（二）设计与操作实施

研究的操作和实施是实践活动的核心，在这个阶段学生才真正置身活动之中。分工协作克服困难使综合实践活动得以顺利完成，是学生获取综合实践活动经验的最重要一环。

自主学习是开展综合实践活动开展初始阶段，教师和学生都会遇到一些知识层面或经验层面的一些问题，这就要求教师要引导学生，利用各种资源进行有效的自主学习，为实践活动的顺利开展做好储备。

研究路径的确定是指学生根据实践活动的计划，在众多的研究方法中，选择出适合自己使用的研究方法，并设计出具体的研究方案。

尝试反馈是学生在确定研究方案后，可以在较小的范围，进行实践尝试，从而发现自己设计的方案中，是否存在问题，以便对研究的方案做出必要的调整。结合实践初期，所发现的问题，对研究的法案及方法，及时的做出调整。为解决实践过程的难点问题，找到办法和依据，以确保活动顺利的得以实施。

小组成员在进行综合实践的过程中，需要有明确的分工，并应结合实施过程中遇到的各种问题，适当的进行人员上的调整，从而发挥每一名研究成员的最大潜能，确保实践活动顺利开展。

（三）成果交流与反思

基于前面的认识与实践，我们逐渐确立了一套结题阶段的基本操作流程，在这个操作流程中，包含了学生研究分析、设计报告和交流分享。如图所示，围绕下面的流程图，完成结题环节中的各项任务。

学生完成实践活动后，教师一定要有目的的引导学生完成研究报告的撰写，学生在撰写研究报告的过程中，不仅可以再次加深对活动的认识和理解，而且可以通过反思发现研究过程中的问题，以便在后续的实践活动借鉴和调整。

第一，数据整理。数据整理是对学生研究过程中所获得数据进行有效处理的重要一环，它不仅是制作报告的重要前提，也是学生对活动实践再认识的基础。

第二，数据甄别。在学生进行数据整理的基础上，学生对整理后的数据应该进行必要的甄别，排除无关数据，选择相关数据，以便为报告的撰写提供依据。这个环节可以提高学生对活动的理解，提高学生研究能力。

第三，数据分析。面对众多的数据，小学生如何进行有效的分析是学生在撰写报告中，普遍存在的难点问题，需要教师有针对性的进行指导，以提高学生分析能力。

第四，补充研究。在对数据的分析过程中，学生经常会发现自己在研究中忽略或疏漏的一些问题。为确保研究的科学性和准确性，教师会引导学生对较大的一些问题进行补充性的研究，以确保研究的可靠性（对于小学生而言应根据学生的实际能力和认知水平适当的进行把控）。

第五，确定报告。教师引导学生在确定研究结果的举出上完成研究报告的制作。

第六，交流共享。学生在活动后的交流形式可以不拘一格，但是，这一环节是十分重要的一个环节。通过交流学生不仅可以学习和借鉴别人成功的经验，发现自身研究中存在的问题。以便对今后的活动做出必要的调整。最为重要的是通过交流可以开拓学生的眼界，树立学生参与活动的信心。

通过解析结题过程中的各环节，使我们再次认识了结题过程。学生在这个过程中不仅完成了结题中的各项任务，更重要的是在这个过程中学生需要运用数学知识分析、解决实际问题，体会了数学的应用价值。

其实结题并不意味着研究的结束，它更是学生提出新问题，解决新问题的起点，是学生进行新研究的启航之地。

（四）关于评价问题

对于评价我们认为《课标》中更关注学生参与“综合与实践”全过程，以及在参与过程中的收获与体验，因此对于学生的评价可以是多元的，以激励性的评价为主，因此我们设计了评价的表格供大家参考。表格可以由教师进行评价，也可以通过交流有学生互评，当然还可以由家长参与，如果需要甚至可以从分利用社会资源邀请相关人士参与评价。