南开大学数学分析和高等代数初试专业课有效复习范围
南开大学
数学分析和高等代数
初试专业课有效复习范围海文考研专业课教研中心
南开大学数学分析和高等代数初试专业课有效复习范围
. 1真题分析（数学分析）
综合来说，数学分析专业课这几年的题型变化不大，主要有____计算和证明__ 两种题型，难度略有增加，侧重于对基础知识点的灵活应用和推理。在复习时，对于了解的知识点，复习的时候，只需要记住基本公式就可以了。对于掌握的知识点（课本上除了物理上的应用等外基本全是必须掌握的），一方面要将给出定理的证明牢牢掌握，烂熟于心，另一方
面还要学会类比证明相似的题目。此外，一些知识点常考计算，考生应当适当地做些计算题目。
5.2真题分析（高等数学）
综合来说，高等代数专业课这几年的题型变化不大，主要有计算和论述两种题型，难度略有基本没有变化，侧重于对基础知识点的灵活应用。高等代数课本的部分，除了双线性函数一章为了解外，其余全是掌握。对于了解一章，考生只需掌握基本定义和概念即可。对于掌握的部分，考生一方面要对各个定理和性质非常熟悉，最重要的还是掌握它们之间的关系，多总结性质，多研读课本定理的证明，特别的，高等代数的指定参考书是非常重要的，考生要独立思考其中的题目。
5.2参考书目知识点分析
初试专业课《数学分析》总共包括2本书，150分。
初试专业课《高等代数》总共包括1本书，150分。
下面我将主讲每本书的复习概要，同学可以做个标注：
关于南开大学《高等数学》课程安排的方案
关于南开大学《高等数学》课程安排的方案 教务处： 经过数学院高等数学教学部近一年的努力工作，对全校各类《高等数学》教学大纲进行了修订。通过校内外大量的调查研究，结合我校实际情况并经专家论证，各类别《高等数学》教学大纲的修订工作已经完成。并请各单位对与本院（系）有关的公共《高等数学》课程的分类、学时分配方案进行了核准，主管教学领导已签字盖章。此方案已经各单位认可现报教务处批准，从2003级新生开始实施。 一、物理类 课程名称：高等数学（物理类）3－1，3－2，3－3 （总学时280、总学分14）学时分配：3－1 总学时102（讲授68学时，习题34学时），周学时4+2 3－2 总学时102（讲授68学时，习题34学时），周学时4+2 3－3 总学时76，周学时4 授课对象：物理学院各专业的大学本科一、二年级学生 二、信息类 课程名称：高等数学（信息类）3－1，3－2，3－3 （总学时280、总学分14）学时分配：3－1 总学时102（讲授68学时，习题34学时），周学时4+2 3－2 总学时102（讲授68学时，习题34学时），周学时4+2 3－3 总学时76，周学时4 授课对象：软件学院、信息技术学院各专业的大学本科一、二年级学生
三、经济类 课程名称：高等数学（经济类）3－1，3－2，3－3 （总学时246、总学分13）学时分配：3－1 总学时85（讲授68学时，习题17学时），周学时4+1 3－2 总学时85（讲授68学时，习题17学时），周学时4+1 3－3 总学时76，周学时4 授课对象：经济学院各专业（除经管法班）的大学本科一年级和三年级学生（其中3－1和3－2分别在一年级的第一和第二两个学期讲授，3－3在三年级的第一学期讲授） 四、生化类 课程名称：高等数学（生化类）2－1，2－2 (总学时170、总学分9) 学时分配：2－1 总学时85，周学时5 ， 2－2 总学时85，周学时5 授课对象：生命科学学院、五医预科、化学学院、环境科学与工程学院、医学院各专业和法政学院应用心理学专业的大学本科一年级的学生。 五、管理类 课程名称：高等数学（管理类）2－1，2－2 （总学时204、总学分10） 学时分配： 2－1 总学时102（讲授68学时，习题34学时），周学时4+2 2－2 总学时102（讲授68学时，习题34学时），周学时4+2 授课对象：国际商学院各专业、经管法试点班的大学本科一年级学生。 六、法政类 课程名称：高等数学（法政类）2－1，2－2 （总学时136、总学分8）
南开大学 18秋学期(1703)《高等数学(二)》在线作业满分答案
18 悝 ㄗ1703ㄘ▲詢脹杅悝ㄗ媼ㄘ◎婓盄釬珛 A.
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淏 湘偶:A A.A B.B C.C D.D 淏 湘偶:C A.A B.B C.C D.D 淏 湘偶:B A.A B.B C.C D.D 淏 湘偶:D
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南开大学数学分析考研试卷答案
南开大学年数学分析考研试卷答案 一、 设),,(x y x y x f w -+= 其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w . 解：令u =x +y ，v =x -y ，z =x ，则z v u x f f f w ++=； )1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w 二、 设数列}{n a 非负单增且a a n n =∞ →lim ，证明 a a a a n n n n n n =+++∞ →1 21][lim . 解：因为a n 非负单增，故有n n n n n n n n n na a a a a 11 21)(][≤+++≤ . 由a a n n =∞ →lim ；据两边夹定理有极限成立。 三、 设? ??≤>+=0 ,00),1ln()(2 x x x x x f α,试确定α的取值范围，使f (x )分别满足： （1） 极限)(lim 0x f x + →存在 （2） f (x )在x=0连续 （3） f (x )在x=0可导 解：（1）因为 )(lim 0x f x + →=)1ln(lim 2 0x x x ++ →α=)]()1(2[lim 221420n n n x x o n x x x x +-++- -→+ α极限存在，则 2+α0≥知α2-≥. (2)因为)(lim 0 x f x - →=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α . （3）0)0(='- f 所以要使f(x)在0可导则1->α. 四、设f (x )在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径无关. 解；令U =22 y x +，则ydy xdx y x f l ++?)(22=2 1du u f l )(?又f (x )在R 上连续，故存 在F （u ）使d F (u )=f (u )du=ydy xdx y x f ++)(22. 所以积分与路径无关。
南开大学2014(1)大学文科数学试卷(A)
南开大学 2014级大学文科数学统考试卷 （A 卷） 2015年1月19日 一、填空题（每小题3分，共36分） 1．23+5lim 4--x x x →= . 2．3+)3+(lim x x x x ∞→= . 3．已知)1+ln(=x y ，则=|′′0=x y . 4．函数x x y -3=在区间]2,0[上的最小值为 . 5．已知曲线2+=2-x x y 在M 点处切线的斜率为3，则M 点坐标为 . 6．设?+=C x dx x f 2 )(, 则?=dx x x f )(2 . 7．= . 8．由5+4=2x x y -，x 轴，y 轴及x =1围成平面图形的面积= . 9．微分方程22 11=x y dx dy --的通解为 . 10．设行列式3332 3123222113 1211 1=a a a a a a a a a D ，3231333122212321121113112+2+2+2=a a a a a a a a a a a a D ，且m D =1，则=2D . 11. 已知0=4 12111 12 x x ，则=x . 12. 设矩阵???? ??=1101A ，??? ? ??=01-11B ，则=+-1)(A B A . 二、计算题：（每小题8分，共56分） 1．计算)sin 1)+1ln(1(lim 0x x x -→. 2．设函数???????>-=<+=0 sin 010)(x b x x a x x b e x f ax ，在0=x 点处的连续，求a , b 的值. 3. 求函数234x x y +=的单调区间及极值.
4. 求不定积分xdx x arcsin 12?-. 5．计算. 6. 设,001013101????? ??=A ,152130241???? ? ??--=B 求解矩阵方程B AX =. 7. 解齐次线性方程组：?????=++-=++-=++-011178402463035424321 43214321x x x x x x x x x x x x . 三、解答题（每小题4分，共8分） 1. 求不定积分dx x x ?sin cos . 用分部积分法???-?==x xd x x x d x dx x x sin 1sin sin 1sin sin sin 1sin cos dx x x dx x x x ??+=--=sin cos 1)sin cos (sin 12 移项得到0=1. 运算的结果显然是错误的，简单分析产生错误的原因。 2. 设)(x f 在1=x 处连续，且21 )(lim 1=-→x x f x ，求)1(f '.
2015年数学考研数学分析各名校考研真题及答案
2015年考研数学分析真题集 目录 南开大学 北京大学 清华大学 浙江大学 华中科技大学
2014年浙江大学数学分析试题答案 一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<->>?m n a a N n N m ,, 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列 }{k n a ，a a k n k =∞ →lim ， 所以， ε2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时， ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时 ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},min{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)('
南开大学数学分析答案2005
2005年南开大学数学分析试题答案 0D .1为成奇函数，所以该积分轴对称，被积函数关于关于由于y x 2.x z f x y f f dx du z y x ??+??+=，其中x z x y ????,由 00=??+??+=??+??+x z h x y h h x z g x y g g z y x z y x 求出 =??--=??x z h g h g g h g h x y y z z y x z z x ,y z z y x y y x h g h g g h g h -- 3.?∑+=-=-=∞→1021 23234)(411lim πx dx n k n n k n 4.t x dt t M +≤?1,2sin 0在),0(+∞∈x 上单调一致趋于0，则)(x f 在),0(+∞∈x 上一致收敛，又t x t +sin 在),0(+∞∈x 上连续，则)(x f 在),0(+∞∈x 上连续。 5.由泰勒公式)!1(!1!21!111+++++=n e n e ξ ，则 )! 1()!1(!1!21!111+≤+=+++-n e n e n e ξ ，后者收敛，则原级数收敛。 6.由拉格朗日中值定理， ,)('1)(122n M n Mx n x f n n x f n ≤≤=ξ后者收敛，由魏尔特拉斯定理，原级数一致收敛。 由)(x s 一致收敛，则可以逐项求导，∑∞== 12)(')('n n n x f x s 也一致收敛且连续，故)(x s 连续可导 7.反证：设存在),(00y x 有0),)((00≠??-??y x y P x Q ，不妨设0),)((00>??-??y x y P x Q ，由连
数学分析各校考研试题与答案
2003南开大学年数学分析 一、设),,(x y x y x f w -+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数，求xy w 解：令u=x+y,v=x-y,z=x 则z v u x f f f w ++=； )1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w 二、设数列}{n a 非负单增且a a n n =∞ →lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞ →1 21 ] [lim 解：因为an 非负单增，故有n n n n n n n n n na a a a a 1 1 21)(][≤ +++≤ 由 a a n n =∞ →lim ；据两边夹定理有极限成立。 三、设? ? ?≤>+=0 ,00),1ln()(2 x x x x x f α试确定α的取值围，使f(x)分别满足： （1） 极限)(lim 0x f x + →存在 （2） f(x)在x=0连续 （3） f(x)在x=0可导 解：（1）因为 )(lim 0x f x + →=)1ln(lim 20x x x ++ →α=)]()1(2[lim 221420n n n x x o n x x x x +-++--→+ α极限存在则2+α0≥知α2-≥ (2)因为)(lim 0 x f x - →=0=f(0)所以要使f(x)在0连续则2->α （3）0)0(='- f 所以要使f(x)在0可导则1->α 四、设f(x)在R 连续，证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径无关 解；令U=22 y x +则ydy xdx y x f l ++?)(22=2 1du u f l )(?又f(x)在R 上连续故存在F （u ） 使dF(u)=f(u)du=ydy xdx y x f ++)(22 所以积分与路径无关。 （此题应感小毒物提供思路） 五、 设 f(x)在[a,b]上可导， 0)2 (=+b a f 且 M x f ≤')(,证明 2) (4)(a b M dx x f b a -≤?
[南开大学]《高等数学(一)》19秋期末考核(答案参考)
【奥鹏】-[南开大学]《高等数学（一）》19秋期末考核试卷总分:100 得分:100 第1题, A、A B、B C、C D、D 正确答案:A 第2题, A、A B、B C、C D、D 正确答案:A 第3题, A、A B、B C、C D、D 正确答案:D 第4题, A、0 B、1 C、2 D、3 正确答案:B 第5题, A、A B、B C、C D、D 正确答案:D 第6题, A、A
B、B C、C D、D 正确答案:A 第7题, A、0 B、1 C、2 D、3 正确答案:C 第8题, A、A B、B C、C D、D 正确答案:C 第9题, A、1 B、2 C、3 D、0 正确答案:D 第10题, A、A B、B C、C D、D 正确答案:C 第11题, A、A B、B C、C D、D 正确答案:A
第12题, A、A B、B C、C D、D 正确答案:B 第13题, A、A B、B C、C D、D 正确答案:C 第14题, A、1 B、2 C、3 D、4 正确答案:A 第15题, A、A B、B C、C D、D 正确答案:D 第16题, A、A B、B C、C D、D 正确答案:D 第17题, A、A
B、B C、C D、D 正确答案:A 第18题, A、A B、B C、C D、D 正确答案:B 第19题, A、A B、B C、C D、D 正确答案:D 第20题, A、A B、B C、C D、D 正确答案:B 第21题, A、A B、B C、C D、D 正确答案:D 第22题, A、A B、B C、C D、D 正确答案:C
第23题, A、(-1) B、0 C、1 D、2 正确答案:A 第24题, A、A B、B C、C D、D 正确答案:A 第25题, A、0 B、1 C、2 D、3 正确答案:C 第26题,余切函数是无界的函数。 A、错误 B、正确 正确答案:B 第27题,函数在间断点处没有定义。 A、错误 B、正确 正确答案:A 第28题,函数在可导点处必有极限。 A、错误 B、正确 正确答案:B
南开大学某级文科类高等数学统考试卷
南开大学2008级文科类高等数学统考试卷 （A 卷闭卷部分 考试时间60分钟） 2009年6月28日 草稿区 （说明：答案务必写在装订线右侧，写在装订线左侧无效。影响成绩后果自负。） 一、(本题10分)袋中装有10个号码球，分别标有1~10号。现从袋中任取3个球， 记录下其号码，求（1）最小号码为5的概率；（2）中间号码为5号的概率. 二、(本题 10分)由现在的天气状况分析，政府有90％的概率进行人工降雨，10%的概率不进行人工降雨。 若进行人工降雨后下雨的概率为0.8, 不进行人工降雨而下雨的概率为0.15， 试求 （1）下雨的概率；（2）在已知没有下雨的条件下，求没有进行人工降雨的概率.
文科类A4—1 草稿区 三、(本题 8分)若随机事件A , B , C 为相互独立事件, 且2.0)(=A P ，4.0)(=B P ，5.0)(=C P ， 求事件A , B , C 中至少有一个发生的概率. 四、(本题12分)若随机变量X 的分布函数为 ????? ????≥<≤<≤<≤<=31 328.0212.01000 )(x x x x a x x F 且已知10 19 ) (= X E ，求（1）常数a 的值；（2）D (X ); (3) )25.0(≤≤X P .
文科类A4—2 草稿区 五、(本题12分)设随机变量X 的密度函数为?? ?<<=其他 2 0)(2 x cx x f ，求（1）c 的值； （2）)11(<<-X P ; (3) E (2X -1). 六、(本题6分)设A ，B 为两个随机事件，已知3 1 )()(= =B P A P ，且)|()|(A B P A B P =，求)|(A B P .
南开大学《高等数学(二)》期末考试备战考题全集 5
《高等数学（二）》复习资料 一、客观部分：（单项选择、多项选择、不定项选择、判断） （一）、单项选择部分 1．12 x dx =?（ ）。 （A ）22x C + （B ）33x C + （C ）3 223x C + （D ）122x C -+ ★考核知识点: 不定积分的计算 附1.1.1（考核知识点解释及答案）： 函数)(x f 在I 上的全体原函数称为)(x f 在I 上的不定积分,记作 ?dx x f )(，其中?称为积分号； )(x f 称为被积函数；dx x f )(称为 被积表达式.x 称为积分变量. 显然,若)(x F 为)(x f 在I 上的一个原函数,则 C x F dx x f +=?)()(,C 为任意常数. 基本积分表： C kx kdx +=?)1( (k 为常数)； );1(1 )2(1 -≠++=+?μμμμC x dx x ;||ln ) 3(?+=C x x dx =+?dx x 211)4(;arctan C x +
=-?dx x 211 )5(;arcsin C x + ?=xdx cos )6(;sin C x + ?=xdx sin ) 7(;cos C x +- =?x dx 2cos )8(?=xdx 2sec ;tan C x + =?x dx 2sin )9(?=xdx 2csc ;cot C x +- ?=xdx x tan sec ) 10(;sec C x + ?=xdx x cot csc ) 11(;csc C x +- =? dx e x )12(;C e x + =?dx a x )13(.ln x a C a + 上述“基本积分表”是各种积分计算的基础，要求熟练掌握。在这里 作为复习我们一次性给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。 本题利用了基本积分公式：1 (1)1x x dx C μμμμ+=+≠-+?。 答案：（C ）3 223 x C +。 2．2sin 2 x dx =? （ ）。 11() (x-sinx) (B) cotx-x () secx+C () tanx-x 22 A C C C D C +++ ★考核知识点: 不定积分的计算 附1.1.2（考核知识点解释及答案【解答过程】）： 不定积分的计算需要运用不定积分的性质： ???±=±dx x g dx x f dx x g x f )()()]()([，
南开大学数学分析考研试题
南开大学2008年数学分析考研试题 一．计算题 1．求极限2 1lim[ln(1)]x x x x →∞ -+ 。 2．求和()() ∑∞ =-+-1121n n n n 。 3．已知()()() 1f x x f x ''-=-，求()x f ？ 4 ．设 2ln 2 6 x π = ? ，则x =？ 5．设区域()[][]{} 1,1,2,0,-∈∈=y x y x D ，求D 。 二．设61-≥x 61+= +n n x x ，(1,2,)n =，证明数列{}n x 收敛，并求其极限。 三．设()[]b a C x f ,∈，并且[]b a x ,∈?，[]b a y ,∈?，使()()x f y f 2 1 ≤， 证明[]b a ,∈?ξ，使得()0=ξf . 四．设()x f 在[)+∞,a 一致连续，且广义积分 ()a f x dx +∞ ? 收敛，求证()0lim =+∞ →x f x 。 五．设()x f 在(,)-∞+∞上可微，对任意(,)x ∈-∞+∞，()0f x >， ()()f x mf x '≤， 其中10< 南开大学（2020-2021 ）《高等数学（一）》在线作业 提示：本科目有多套试卷，请认真核对是否是您需要的材料！！！ 一、单选题 (共 30 道试题,共 60 分) 1.{图} [A.]0 [B.]1 [C.]2 [D.]3 提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目 【参考选择】：C 2.{图} [A.]A [B.]B [C.]C [D.]D 提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目 【参考选择】：B 3.{图} [A.]0 [B.]1 [C.]2 [D.]3 提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目 【参考选择】：A 4.{图} [A.]0 [B.]1 [C.]2 [D.]3 提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目 【参考选择】：C 5.{图} [A.]A [B.]B [C.]C [D.]D 提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目 【参考选择】：B 6.{图} [A.]0 [B.]1 [C.]2 [D.]3 提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B 7.{图} [A.]A [B.]B [C.]C [D.]D 提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：B 8.{图} [A.]A [B.]B [C.]C [D.]D 提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：D 9.{图} [A.]A [B.]B [C.]C [D.]D 提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：D 10.{图} [A.]A [B.]B [C.]C [D.]D 提示：认真复习课本知识302，并完成以上题目【参考选择】：A 11.{图} [A.]0 南开大学2003年数学分析考研试题及解答 一．设(),,w f x y x y x =+-，其中(),,f u v s 有二阶连续偏导数，求xy w . 解：令u x y =+，v x y =-，s x =， 则x u v s w f f f =++； ()()()111xy uu uv vu vv su sv w f f f f f f =+-++-++-. 二．设数列{}n a 非负单增，且lim n n a a →∞ =，证明：() 1 12lim n n n n n n a a a a →∞+++=L . 证明：因为 {}n a 非负单增， 所以有()() 1111 2 n n n n n n n n n n n a a a a na n a ≤+++≤=L ， 由lim n n a a →∞ =，1lim n n n n a a →∞ =， 根据夹逼定理，得() 11 2 lim n n n n n n a a a a →∞ +++=L . 三．设 ()()2ln 1,00, 0x x x f x x α?+>?=?≤??，试确定α的取值范围，使()f x 分别满足： （1）极限()0 lim x f x + →存在； （2）()f x 在0x =处连续； （3） ()f x 在0x =处可导. 解（1）因为()()2 lim lim ln 1x x f x x x α+ + →→=+ ()2 2 2 ln 1lim x x x x α+ +→+=， ()22 0ln 1lim 1x x x + →+=， 极限存在的条件为20α+≥，即2α≥-， 所以当2α ≥-时，极限()0 lim x f x + →存在； （2）因为()()0 lim 00x f x f -→==， 所以要使()f x 在0x =处连续， 需要求20α+>，2α>-， 所以当2α >-时，()f x 在0x =处连续； （3）显然 ()00f -'=， ()()()12 000lim lim ln 1x x f x f x x x α++ -→→-=+ ()2 1 2 ln 1lim x x x x α+ +→+=， 要使其存在且为0，必须10α+>，1α>-， 所以当1α>-时，()f x 在0x =处可导. 四．设 ()f x 在(),-∞+∞上连续， 证明积分()()22 L f x y xdx ydy ++?与积分路径无关. 证明：设()()22 01,2 x y U x y f t dt +=?， 则有()()()22,dU x y f x y xdx ydy = ++， 即存在势函数， 所以 ()()22L L f x y xdx ydy dU ++=? ?与积分路径无关. 五．设 ()f x 在[],a b 上可导，02a b f +?? = ??? ，且()f x M '≤， 证明： ()()2 4 b a M f x dx b a ≤ -? . 证明：因为 ()f x 在[],a b 上可导， 则由拉格朗日中值定理，存在ξ在x 与2 a b +之间，使得 考研数学分析真题集 目录 南开大学 北京大学 清华大学 浙江大学 华中科技大学 一、,,0N ?>?ε当N n >时，ε<>?m a N m , 证明：该数列一定是有界数列，有界数列必有收敛子列 }{k n a ，a a k n k =∞ →lim ， 所以， ε 2<-+-≤-a a a a a a k k n n n n 二 、,,0N ?>?ε当N x >时，ε<-)()(x g x f ，,0,01>?>?δε当1'''δ<-x x 时， ε<-)''()'(x f x f 对上述,0>ε当N x x >'','时，且1'''δ<-x x ε3)''()'()''()''()'()'()''()'(<-+-+-≤-x f x f x f x g x g x f x g x g 当N x x <'','时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，所以,0,02>?>?δε2'''δ<-x x 时 ε<-)''()'(x g x g ，当'''x N x <<时，由闭区间上的连续函数一定一致收敛，在 ],['','22δδ+-∈N N x x 时，ε<-)''()'(x g x g ，取},m in{21δδδ=即可。 三、由,0)('',0)('<>x f a f 得,0)(' 又2))((''2 1 ))((')()(a x f a x a f a f x f -+ -+=ξ，所以-∞=+∞→)(lim x f x ，且0)(>a f ，所以 )(x f 必有零点，又)(x f 递减，所以有且仅有一个零点。 四、? ?==1 ,)(1)()(x dt t f x dt xt f x ?2 )()()('x dt t f x x f x x ? -=?， 2 2)(lim )(lim ) (lim )0('0 2 A x x f x dt t f x x x x x x ====→→→???， 2 )(lim ) (lim )() (lim )('lim 2 002 00A x dt t f x x f x dt t f x x f x x x x x x x = -=-=? ? →→→→?，)('x ?在0=x 连续。 五、当k m ≠时，不妨设k m <， ??--+--=1 111) (2)(2])1[(])1[(!!21)()(dx x x k m dx x P x P k k m m k m k m = --? -dx x x k k m m 1 1 )(2)(2])1[(])1[(dx x x x x m m k k k k m m ?-+--------1 1 )1(2)1(211 ) 1(2)(2])1[(])1[(])1[(])1[(= 0])1][()1[()1(])1[(])1[(11 )(221 1 )1(2)1(2=---==---??-+-+-dx x x dx x x k m m k k m m k k Λ 当k m =时， ?? ----= 1 11 1 )(2)(22 2])1[(])1[(!21)()(dx x x m dx x P x P m m m m m k m ?? -+---------=--1 1 )1(21211 1 221 1 )(2)(2])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(])1[(dx x x x x dx x x m m m m m m m m m m m m =?-+----1 1)1(212])1[(])1[(dx x x m m m m =?----=1 1 )2(22])1][()1[()1(dx x x m m m m Λ= ? ---1 1 2])1[()!2()1(dx x m m m =?--1 2])1[()!2()1(2dx x m m m 六、J 是实数，,0,0>?>?δε当δ 共 4 页 第 1 页 东 南 大 学 考 试 卷（ A 卷） 3 一. 填空题 1. _______dz ),y x ln(xe z ),(y =++=0122则设. 2. .n x n n 1的收敛域为 幂级数∑∞ = 3. 求曲线???=++=1 2 2z y y x z 在xoy 面上的投影曲线方程 . 4. _____dxdy ]xy cos y [},y x )y ,x ({D D =??+≤+=212 2则设区域 5. 交换积分次序: .dy )y ,x (f dx dy )y ,x (f dx )x (x 2 2 11 0 2 1 0 1 0 =??+??-- 6.曲线?? ???===32 t z t y t x 在1=t 对应的点处的切线方程_________ 二. 单项选择题 1. .设直线 L:?? ?=-+=-+0 230 12z x y x 与平面π：12=-+z y x ,则L （ ） A.平行于π B.在π上 C.垂直于π D. 与π斜交.. 2. 为轴旋转而成的曲面方程绕曲线x z b y a x 0,122 22==+ ( ) (A) 122222=++b z y a x ; (B) 122 2 22=++b y a z x ; (C) 2222b y a x z +=; (D) 122 22-+=b y a x z . 3. 则下述结论正确的是 都发散和设级数 ,1 1 ∑∑∞ =∞=n n n n b a ( ) (A) 必发散)(1∑∞ =+n n n b a ; (B) 必发散∑∞ =1n n n b a ; (C) 必发散∑∞=+1 )(n n n b a ; (D) 必发散∑∞ =+1 2 2)(n n n b a . 南开20春学期（1709、1803、1809、1903、1909、2003）《高等数学（一）》在线作业 提示：每科有多套在线试卷，请确认本套与您的是否一致，本学习资料只做参考学习使用！！ 一、单选题 (共 30 道试题,共 60 分) 1.{图} --[A]D --[B]C --[C]B --[D]A --提示：运用所学知识，完成以上试题 参考选择是:D 2.{图} --[A]D --[B]C --[C]B --[D]A --提示：运用所学知识，完成以上试题 参考选择是:A 3.{图} --[A]4 --[B]3 --[C]2 --[D]1 --提示：运用所学知识，完成以上试题 参考选择是:D 4.{图} --[A]D --[B]C --[C]B --[D]A --提示：运用所学知识，完成以上试题 参考选择是:A 5.{图} --[A]D --[B]C --[C]B --[D]A --提示：运用所学知识，完成以上试题 参考选择是:A 6.{图} --[A]D --[B]C --[C]B --[D]A --提示：运用所学知识，完成以上试题参考选择是:B 7.{图} --[A]D --[B]C --[C]B --[D]A --提示：运用所学知识，完成以上试题参考选择是:A 8.{图} --[A]D --[B]C --[C]B --[D]A --提示：运用所学知识，完成以上试题参考选择是:B 9.{图} --[A]D --[B]C --[C]B --[D]A --提示：运用所学知识，完成以上试题参考选择是:D 10.{图} --[A]3 --[B]2 --[C]1 --[D]0 --提示：运用所学知识，完成以上试题参考选择是:A 11.{图} --[A]D --[B]C --[C]B 南开大学高等数学考研参考书及真题资料含教材封面图 南开大学高等数学考研参考书是什么呢？南开大学高等数学考研相关的真题资料在哪里找呢？大家都是知道的，教材是复习的根本材料，也是答题的根本依据，考生在选择教材时应参照两个标准：一要准确。这里所说的准确不单指知识点无误，而且还指该教材为报考院校所指定的教材，或是有关导师主编、参与编写的教材，或是该院校学生使用的教材。二要新颖。目前教材更新较快，所以大家要密切关注新版教材的，尽可能以新教材为准。那么你所了解到的参考书是最正确的那本吗？光凭借名字找不到资料的话，封面图是什么样的呢？ 南开大学高等数学考研参考书是 1、《微积分》经济应用数学基础（一）赵树嫄主编中国人民大学出版社1994年版 大家可以参照这个图去找参考书哦，一般京东啊当当孔夫子会有的，没有的话可以在天津考研网资料赠送的电子版看看。专业课每门的分值在考试中占据着很大的分量，很大程度上决定着考生能否成功，因此如何复习好专业课就成为考研复习的重中之重。专业课的知识点也是比较多的，考生们必须要做一些准备工作，把重点的书目读的很精很细，吃透了才能在专业课考试中占有优势，尽力考出高分。 关于使用专业课参考书，很多考生一拿到专业课参考书，就开始往死里背诵，希望可以把它们全都背下来，尤其是习惯各种背诵的文科生，觉得这样才有成就感，如果考研只是为了选拔会背书的学生，关注公众号天津考研网那么其实高中生直接考研可能成功率会更高，显然，考研并没有这么简单，除了考察基本知识的掌握，更看重的是对于知识运用的能力。 在看南开大学高等数学参考书的时候要对知识点进行逐个的学习，在这个过程中明确什么是重点，哪些是难点，哪几个考点会在一起出现。对于那些重点内容一定要反复多次的理解揣摩，一定要做到理解透彻，你要进行大量的相关练习，不断强化记忆，理清知识结构。找一本最权威的考研辅导资料，认真研读，就够了，推荐《南开大学高等数学考研真题宝典》。资料中包含本专业详细介绍，以 及针对参考书的详细分析，按章节重点知识整理。可谓是考研必需品。历年真题 南开大学2009 一、 计算()cos d x y dxdy +??, D 由y x =，0y =，2 x π = 围成．（15分） 二、 计算1 110 1 dx -?? ．(15分) 三、 计算l ydx zdy xdz ++?，l 为 222 2 2 2 1x y z a b c + + =，1x z a c +=，0x ≥，0y ≥，0z ≥从点(),0,0a 到()0,0,c 的部分，其中a ， b ， c 为正的常数．（20分） 四、 求21 1 212 n n n n x ∞ ++=+∑ 的收敛域与和函数．（15分） 五、 求( )1 f t +∞ =? 的表达式．（20分） 六、 设()a f x dx +∞?收敛， ()f x x 在[),a +∞单调下降，试证：()lim 0x xf x →+∞ =．（15 分） 七、 已知()f x 在()1,1-内有二阶导数， ()()000f f '== ， () ()()2 f x f x f x '''≤?，证明：存在0δ>，使在(),δδ-内()0f x ≡．（15 分） 八、 设(),f x y 在0P 的邻域()0U P 内存在连续的三阶偏导数，并且所有三阶偏 导数的绝对值不超过常数M ，1P 与2P 关于0P 对称，并且()120,P P U P ∈，1P 与0 P 的距离为l ，l 为0P 指向1P 的方向，试证： ()() () 12 2 23 f P f P f P M l l l -?- ≤ ? ．（20分） 九、 证明：若1lim n n n u a u +→∞ =，0n u > ，则lim n a →∞ =．利用这一结论，分析达朗 贝尔判别法与柯西判别法在判别正项级数的敛散性时的关系，可以获得怎样的经验？（15分） 20０3南开大学年数学分析 一、设),,(x y x y x f w -+=其中),,(z y x f 有二阶连续偏导数,求xy w 解：令u=ｘ+ｙ，v=x —y ，z=ｘ则z v u x f f f w ++=; )1()1()1(-++-++-+=zv zu vv vu uv uu xy f f f f f f w 二、设数列}{n a 非负单增且a a n n =∞ →lim ，证明a a a a n n n n n n =+++∞ →1 21 ] [lim 解：因为ａｎ非负单增，故有n n n n n n n n n na a a a a 1 1 21)(][≤ +++≤ 由 a a n n =∞ →lim ；据两边夹定理有极限成立. 三、设? ? ?≤>+=0 ,00),1ln()(2 x x x x x f α试确定α的取值范围，使ｆ(x ）分别满足： （1） 极限)(lim 0x f x + →存在 （2） f(ｘ)在x=0连续 （3） f （x)在x=0可导 解:（1)因为 )(lim 0x f x + →=)1ln(lim 20x x x ++ →α＝)]()1(2[lim 221420n n n x x o n x x x x +-++--→+ α极限存在则2＋α0≥知α2-≥ (2)因为)(lim 0 x f x - →＝0=f （0)所以要使f （x ）在0连续则2->α （3）0)0(='- f 所以要使f(ｘ)在０可导则1->α 四、设f （ｘ）在Ｒ连续，证明积分ydy xdx y x f l ++?)(22与积分路径无关 解;令Ｕ=22 y x +则ydy xdx y x f l ++?)(22=2 1du u f l )(?又ｆ （ｘ）在R 上连续故存在F(ｕ）使dF （u)=ｆ(u ）du=ydy xdx y x f ++)(22 所以积分与路径无关. （此题应感谢小毒物提供思路) 五、 设 f(x)在［a,b ］上可导， 0)2 ( =+b a f 且M x f ≤')(，证明 2) (4)(a b M dx x f b a -≤? 证：因f(x)在［ａ,b ］可导,则由拉格朗日中值定理，存在南开大学(2020-2021 )《高等数学(一)》在线作业-答案
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