二元域次数为8的不可约多项式
不可约多项式的判定及应用(黄嘉盛)详解
不可约多项式的判定及应用 摘 要 多项式理论是高等代数的重要组成部分，而不可约多项式是多项式中重要的概念. 本文主要对有理数域上不可约多项式的判别方法进行整理归纳, 较为系统的给出不可约多项式的判定方法。对于一般的不可约多项式的判定有Eisenstein 判别法、Kronecker 判别法、Perron 判别法、Browm 判别法等。研究了各判定方法的等价和包含关系。此外，我们还给出了不可约多项式的一些应用。 关键词 不可约多项式；判定方法；应用 2. 不可约多项式的概念及性质 2.1 整除的概念 设P 是一个数域，对于[]P x 中任意两个多项式()f x 与()g x ，其中()0g x ≠，一定有[]P x 中的多项式()q x ，()r x 存在，使得 ()()()()f x q x g x r x =+ 成立，其中(())(())r x g x ?
证明: 如果()r x = 0那么()f x =()()q x g x ,即()g x |()f x 。反过来，如果()g x |()f x ，那么()f x =()()q x g x =()()q x g x +0，即()r x = 0。 注1: 带余除法中()g x 必须不为零。 下面介绍整除性的几个常用性质: （1） 如果()f x |()g x ,()g x |()f x ,那么()()f x cg x =，其中c 为非零常数。 （2）如果()f x |()g x ,()g x |()h x ，那么()f x |()h x （整除的传递性）。 （3） ()f x |()g x ,()f x |()g x 1,2,,i r =，那么 ()f x |()1122()()()()()()r r u x g x u x g x u x g x +++， 其中()i u x 是数域P 上任意多项式。[1] 2.2 本原多项式 若是一个整系数多项式()f x 的系数互素， 那么()f x 叫做一个本原多项式。 2.3 有理数域上多项式的等价 设()g x 有理数域上的一个多项式， 若()g x 的系数不全是整数，那么以()g x 系数分母的一个公倍数乘()g x 就得到一个整系数多项式()f x 。显然，多项式()g x 与()f x 在有理数域上同时可约或同时不可约。 2.4 多项式的不可约相关概念 在中学我们学过一些具体方法，把一个多项式分解为不能再分的因式的乘积，但并没有深入探讨和讨论这个问题，并没有严格地论证它们是否真的不可再分，所谓不可再分的概念，其实不是绝对的，而是相对于系数的数域而言，有例如下 把49x -进行分解，可分解为 49x -()()2233x x =+-
三次正多项式p_不可约的充要条件(精)
第 19卷第 2期宁波大学学报(理工版 V ol.19 No.2 2006年 6月 JOURNAL OF NINGBO UNIVERSITY ( NSEE June 2006 文章编号 :1001-5132(2006 02-0193-03 三次正多项式 p -不可约的充要条件 解烈军 (宁波大学理学院 , 浙江宁波 315211 摘要:通过对所有可能正分解的详细讨论,给出了三次正多项式 p -不可约的显式充要条件, 该条件为由三次正多项式的系数构成的一个简单不等式 . 本文使用的主要工具是笛卡尔符号法则的推论和多项式完全判别系统相关结论等 . 关键字:正多项式; p -不可约;充要条件 中图分类号:O151.1 文献标识码:A 在许多生理过程中都包含所谓的“蛋白质-配位体的键合(protein-ligand binding ”过程 . 在众多的用于描述和解释这个过程的数学模型中, Wyman J [1]引入了键合多项式(binding polyno- mial这个基本工具 . 在生物化学领域,这样的一个事实是熟知的:如果某个大分子的键合多项式是 p -不可约的, 则其所有键合位点组成“联动结构” (linkage , 即配位体在一个位点的键合会加速或抑制其他位点的键合过程 . 反之,如果对应的键合多项式有正分解,则其位点可以分解成若干独立的组,不同组的位点互不影响 . 这样,一个大分子的诸键合位点是否联动的问题就归结为其键合多项式是否有正分解,即是否为 p -不可约的问题, 而键合多项式都是正多项式 . 所以,由一个正多项式的系数直接给出其 p -不可约的充要条件,就显得非常重要 . 关于这个问题,已有不少学者进行了讨论 [1-3]. 但是研究的多项式都是四次正多项式 . 显然,不能将这些结论简单地移植到三次正多项式,相对于四次,讨论三次正多
因式分解定理
§5 因式分解定理 §6 重因式 教学目的：把多项式分解为不可约因式的乘积 教学重点：不可约多项式 重因式 课时：4 教学方式：讲授式 教学内容： 一、不可约多项式 1、定义：数域P 上次数1≥的多项式)(x p 称为不可约多项式，如果)(x p 不能表成数域P 上的两个次数比)(x p 低的多项式的乘积。 问：为什么一定要强调数域P 呢 例： 上不可分了 在复数域上不可分了在实数域上不可分了 在有理数域C i x i x x x R x x x Q x x x )2)(2)(2)(2()2)(2)(2()2)(2(42224+-+-=++-=+-=- 注：1、不可约多项式)(x p ，的因式只有非零常数c 与自身的非零常数倍。 2、)(x p 与任意多项式)(x f 之间的关系只可能有两种关系：或者)(|)(x f x p ，或者1))(),((=x f x p 。事实上，若)())(),((x d x f x p =，那么)(|)(x p x d ，所以1)(=x d 或者)()(x cp x d =。 2、重要性质（定理5）： （1）)()()()(),()()(],[)(),(,)(x g x p x f x p x g x f x p x P x g x f x p 或则若对不可约若∈? （2）{}s i x f x p x f x f x f x p x p i s ,,2,1,)()(),()()()(,)(21 ∈对某个则若不可约 二、因式分解及唯一性定理 数域P 上每一个次数1≥的多项式)(x f 均可分解成数域P 上一些不可约多项式的乘积。所谓唯一性是指，如果)(x f 有两个分解式 )()()()()()()(2121x q x q x q x p x p x p x f t s ==
反证法证明多项式不可约
反证法证明多项式不可约 在有理数域上，直接判别一个多项式是否不可约，是一件及其困难和复杂的事情，此时我们可以利用反证法来判别． 例 1 已知)(x p 是次数大于零的多项式，若对于任意两个多项式)(x f 和)(x g ，由)()(|)(x g x f x p 可以推出)(|)(x f x p 或)(|)(x g x p ，则)(x p 是不可约多项式． 证明 假设)(x p 可约，则必存在次数小于))((x p ?的多项式)(x f 与)(x g ，使得)()()(x g x f x p =，即)()(|)(x g x f x p ，又由已知条件，知)(|)(x f x p ，)(|)(x g x p ，但))(())((x p x f ??x f ，所以)(x f 在整数环Z 上也可约，即有整系数多项式)(1x f 与)(2x f ，使得)()()(21x f x f x f =，其中))(())((x f x f i ?
不可约多项式本源多项式
有限域第一次大作业 一、实验内容 （1）构造有限域202F . （2）找到有限域202F 上的任意元素的极小多项式； （3）找到2F 上的一个本原多项式。 二、算法设计 （1）我们知道有限域()n q F q p =的表达有三种形式：()i {} q q F ααα==，α为 ()q h x x x =-的根；()ii []()()()[],p q p F x F f x F x n f x =∈的次不可约多项式； ()iii {}0,q q F F α=U 为上的一个生成元；在这里我们主要通过找到2F 上的一个20次可约多项式来构造有限域202F ，并进行相应的运算。由于只要找到一个2F 上的不可约多项式，我们采用的算法：()a 随机生成一个20次2F 上的多项式，()b 判断多项式为不可约的，pari 代码见附录1；通过pari 我们得到了一个20次的不可约多项式()(x)f ，则[]()2(x)F x f 即为我们想要的有限域，在这有限域上可以直接进行相应的代数运算，pari 代码见附录2； （2）找到有限域202F 上的任意元素α的极小多项式()f x 的思路 第一步：通过元素α的共轭元个数来判断极小多项式()f x 的次数； 第二步：通过α的共轭元生成极小多项式()f x ； 第三步：进一步判断该元素α是否为本原元，若是，则生成的极小多项式()f x 就是2F 上的本原多项式。 pari 代码见附录3；
（3）由于上述方法（2）生成的极小多项式不一定是本原多项式，因此，我们还给出一个能找到上的本原多项式的方法，该方法也是基于随机生成多项式并判断是否为本原多项式，我们知道一个n 次不可约多项式()f x 是本原多项式的条件是其周期达到最大1n p -，由于()() 11n p f x x --，所以只要11n k p p p -=L 时，若()|f x ()11 1,,n i p p x i k -?? ?-= ???L ，则()f x 就是本原多项式，所用的算法思路如下 第一步：随机产生一个2F 上的20次多项式()f x ； 第二步：利用方法一判断该多项式()f x 是否为不可约的； 第三步：进一步判断该多项式()f x 是否为本原多项式。 pari 代码见附录4； 三、实验结果 （1）第一问产生的不可约多项式 我们选择()20191814136++1f x x x x x x x =++++作为我们的所要的不可约多项式 第一问有限域上元素的运算
有限域的运算
有限域GF（2n）运算 在研究的数字电路系统中，如加解密算法、信道编码和数字信号处理等领域会涉及近似代数的相关理论，如群伦、Galois域等基础知识。同时我们引入概念，域。一个域是一组元素的集合，它可以在集合中完成加减乘除等四则运算。加法和乘法必须满足交换、结合和分配的规律。 给定一个集合G，在其上定于了一个二元运算*。 交换：对于G中任意的元素a和b，满足a*b=b*a，则G称为交换群（Abel群） 结合：二元运算*具有结合性，即对任何a,b,c属于G，a*(b*c)=(a*b)*c. 分配：对于F域中任意三个元素a,b,c，有a*(b+c)=a*b+a*c;域中元素的个数称为域的阶（order），此时该域的阶为3. 有限域多项式： GF(2)=x^6+x^4+x^2+x+1等价于比特串01010111，即16进制表示的57。 1、有限域加法 多项式之和等于先对具有相同x次幂的系数求和，然后各项再相加。而各系数求和是在域F中进行的； c(x)=a(x)+b(x) 等价于ci=ai+bi 2、有限域乘法 多项式乘法关于多项式加法满足结合律、交换律和分配律。单元元素为x0项的系数等于1和0次多项式。为使乘法运算在F域上具有封闭性，选取一个1次多项式m(x),当多项式a （x）和b(x)的乘积定义为模多项式m(x)下的多项式乘积： C(x)=a(x).b(x)等价于c(x)恒=a(x)*b(x) (mod m(x)) 二进制域GF（2）在编码理论扮演重要的角色，而在数字计算机和数据传输或是存储系统中同样得到了普遍的运用。 在多项式表达中，有限域2^8内的乘法就是乘法所得到的结果经一个不可约简的8次二进制多项式取模后的结果。不可约简的多项式是指多项式除了它本身和1以外没有其他的因式。Rijndael中这个多项式被命名为m（x），定义如下： m(x)=x^8+x^4+x^3+x+1 (b7b6b5b4b3b2b1b0)* '01' = （b7b6b5b4b3b2b1b0） (b7b6b5b4b3b2b1b0)* '02' = （b6b5b4b3b2b1b00）+(000b7b70b7b7) (b7b6b5b4b3b2b1b0)* '03' = （b7b6b5b4b3b2b1b0）* '01'+ (b7b6b5b4b3b2b1b0)* '02' 记为xtime（）。乘以一个高于一次的多项式可以通过反复使用xtime（）操作，然后将多个中间结果相加的方法来实现。 有限域上的乘法（全面理解） 对于有限域GF(256),可以先计算出其乘法表。 在GF(256)中，加法就是异或运算，任意一个元素都可以表示成GF(2) 上的一个最多7次的多项式， 所以 0=000 就是0 1=001 就是 1 2=0010就是x+0=x 3=0011就是x+1 4=00100就是x^2 然后对于两个变量 u,v
数学思维与创新2016下半年考试答案
一、单选题（题数：50，共50.0 分） 1长度为3的素数等差数列的共同的公差素因素是几？1.0 分 A、 6.0 B、 3.0 C、 2.0 D、 1.0 我的答案：C 2欧拉几时提出欧拉乘积恒等式1.0 分 A、 1735年 B、 1736年 C、 1737年 D、 1738年 我的答案：C 3设f(x),g(x)∈F[x]，则有什么成立？0.0 分 A、 deg(f(x)g(x))=deg(f(x)+g(x)) B、 deg(f(x)g(x)) C、 deg(f(x)g(x))=degf(x)+degg(x) D、 deg(f(x)+g(x))>degf(x)+degg(x)) 我的答案：D 4设p(x)是数域F上的不可约多形式，若p(x)在F中有根，则p(x)的次数是1.0 分A、 0.0 B、 1.0 C、 2.0 D、 3.0 我的答案：B 5不可约多项式f(x)的因式有哪些？1.0 分 A、 只有零次多项式
B、 只有零次多项式和f(x)的相伴元 C、 只有f(x)的相伴元 D、 根据f(x)的具体情况而定 我的答案：B 63阶递推关系ak+3=ak+1+ak在计算机上实现的硬件叫做什么？1.0 分 A、 三级非线性反馈移位寄存器 B、 三级记忆存储器 C、 三级线性反馈移位寄存器 D、 三级写入计算器 我的答案：C 7时间长河中的所有日记组成的集合与数学整数集合中的数字是什么对应关系？1.0 分A、 交叉对应 B、 一一对应 C、 二一对应 D、 一二对应 我的答案：B 8若（a,b）=1,则a与b的关系是1.0 分 A、 相等 B、 大于 C、 小于 D、 互素 我的答案：D 9生成矩阵是可逆矩阵，当Ω其中的2n个矩阵都是非零矩阵，那么存在一对I,j满足什么等式成立？1.0 分 A、 Ai=Aj B、 Ai+Aj=1 C、
matlab有限域上的运算教案资料
m a t l a b有限域上的运 算
1 有限域基础知识 1.1 有限域（Galois域）的构造 令p为一个素数. 则对任意的一个正整数n，存在一个特征为p，元素个数为p n的有限域GF(p n). 注：任意一个有限域，其元素的个数一定为p n，其中p为一个素数（有限域的特征），n为一个正整数. 例1（有限域GF(p)）令p为一个素数，集合 GF(p)=Z p={0,1,2,…,p?1}. 在GF(p)上定义加法⊕和乘法⊙分别为模p加法和模p乘法，即任意的a,b∈GF(p)， a⊕b=(a+b)mod p, a⊙b=(a?b)mod p 则
例注1：给定a和p，例1中的等式ab+pc=1可以通过扩展的欧几里得除法得到，从而求得GF(p)中任意非零元素的逆元. 例2（有限域GF(p n)）从GF(p)出发，对任意正整数n，n≥2，我们可以构造元素元素个数为p n的有限域GF(p n)如下： 令g(x)为一个GF(p)上次数为n的不可约多项式，集合 GF(p n)=GF(p)[x]/?g(x)?={a0+a1x+a2x2+?+a n?1x n?1 | a i∈ GF(p),0≤i≤n?1} 在GF(p n)上定义加法⊕和乘法⊙分别为模g(x)加法和模g(x)乘法，即任意的a(x),b(x)∈GF(p n)， a(x)⊕b(x)=a(x)+b(x), a(x)⊙b(x)=(a(x)?b(x))mod g(x) 则
不可约多项式外文文献加翻译
不可约多项式外文文献加翻译
不可约多项式外文文献加翻译irreducible polynomial Let f(x) = f1(x)l1…fk(x)lk be the standard factorization of f(x) in the polynomial ring F[x], where fi(x) is an irreducible polynomial with leading coefficient 1 and degree ni. f(x)=f_1(x)~l1…f_k(x)~lk是f(x)在多项式环F[x]中的标准分解式,f_i(x)是最高系数为1、次数为n_i的不可约多项式. In this note, we suppose n is a composite, Z_n is a residue class ring mod n, r(x)∈Z_n[x] and r(x) is a monic irreducible polynomial of degree k (k>0) over Z_n. 设n是一个合数,Z_n表示模n的剩余类环,r(x)∈Z_n[x]是一个首一的k(>0)次不可约多项式。 From these, the cyclic Zq? code with the generator hm(x) whichis primitive basic irreducible polynomial over Zq can be mapped for nonlinearcode with big distance over Zp. 由此将Zq上的一类由本原基本不可约多项式hm(x)生成的循环码映射成Zp上具有较大距离的非线性码,其中本原基本不可约多项式hm(x)是指 hm(x)在模p映射下的象hm(x)是Zp[x]中的本原多项式. As a matter of fact, the method starts from Z_2, and there is an irreducible polynomial x~2+x+l over Z_2. As a generating element, which may be regarded as a Princpal Ideal (x~2+x+1). Therefore, as are know from the thory of Modern Algebra, Z_2[x]/(x~2+x+1) is a Finite Fields. 这一方法实质上是从Z_2出发,以Z_2上的一个不可约多项式 x~2+x+1为生成元做一个主理想(x~2+x+1),然后由近世代数的理论知 Z_2[x]/(x~2+x+1)是一个有限域,从而得到了GF(4)。 Irreducible Polynomial of Integral Coefficient 关于整系数不可约多项式 prime polynomial This paper directly proves that a prime polynomial has the radical solutionsover a finite field. 直接证明了有限域上的不可约多项式有根号解 “不可约多项式”译为未确定词的双语例句 We give a definition for n is Generalized Carmichael Number of order k modulo r(x) and denote this by n∈C_(k,r(x)). So we give another definition: C_k={UC_(k,r(x))|r(x) are all monic irreducible polynomials of degree k (k>0) over Z_n}. 本文引入n是k阶摸r(x)的Carmichael数的定义,全体这样的数记为集C_(k,r)(x),由此给出k阶Carmichael数集:C_k={∪C_(k,r)(x)|r(x)过
利用同态关系讨论有理数域上多项式的可约性判定
第27卷V01．27第3期 N o．3 中州大学学报 J O U R N A L O F Z H O N G Z H O U U N I V E R SnY 2010年6月 JuJ．20l O 利用同态关系讨论有理数域上多项式的可约性判定 王骁力1，夏云青2 (1．南阳师范学院数学与统计学院，河南南阳473061；2．中州大学信息工程学院，郑州450044) 摘要：文中讨论了整系数多项式的不可约判定的充分条件Ei s ens t ei n判别法的若干等价形式，并借助同态映射，i正B／t了整系数多项式不可约的若干判定定理，推广了已知结果。 关键词：同态；可约性；有理数域；多项式；艾森斯坦因判别法 中图分类号：0241．6文献标识码：A文章编号：1008-3715(2010)03—0100—03 有理系数多项式在有理数域上是否可约的问题可以归结为整系数多项式能否分解成次数较低的整系数多项式的乘积的问题。已有整系数多项式的不可约判定的充分条件的Ei s ens t ei n判别法…，一些学者也给了一些结果m51。本文首先讨论了Ei sens t ei n判别法的若干等价形式，然后借助同态映射证明了判定有理系数多项式可约性的若干结果。 1．E i se ns t e i n判别法的等价形式 Ei s em t ei n判别法…设以茗)=乏口．膏‘是一个整系数多项 式，如果存在素数P，使得：(1)p不整除a。；(2)pl a。，O≤i≤忍一1；(3)p2不整除口0，那么，(菇)在有理数域上是不可约的。 引理1【21设，(菇)=乏q茹‘是数域F上的一个多项式， ％≠o，口o≠o，则g(x)=乏嘶石”‘也是数域F上的多项式，且火石)与g(茗)在数域，上同时可约或同时不可约。 引理2设以茗)=置a；膏‘是数域，上的一个多项式，a．≠0，口o≠0，m为一个正整数，则数域F上的多项式h(算)= 蓦口‘p戚矿．。=薹％一i p州”。茗i与，(鼻)在数域F上同时可约或同时不可约。 证明假设灭聋)=乏q茗‘在数域F上可约，则存在F上 12U 的两个多项式五(茗)=乏6。茁‘Z(z)=乏c；茗‘(0 不可约多项式外文文献加翻译不可约多项式外文文献加翻译 = irreducible polynomial Let f (x) = fl (x)ll--fk(x)lk be the standard factorization of f(x) in the polynomial ring F[x], where fi (x) is an irreducible polynomial with leading coefficient 1 and degree ni. f (x) =f_l (x) 1???f_k (x) ~lk是f (x)在多项式环F[x]中的标准分 解 式,f_i (x)是最高系数为1、次数为n_i的不可约多项式. In this note, we suppose n is a composite, Z_n is a residue class ring mod n> r (x) WZ_n[x] and r (x) is a monic irreducible polynomial of degree k (k>0) over Z_n. 设n是一个合数,Z_n表示模n的剩余类环,r (x) EZ_n[x]是一个首一的k(>0)次不可约多项式。 From these, the cyclic Zq? code with the generator hm(x) whichis primitive basic irreducible polynomial over Zq can be mapped for nonlinearcode with big distance over Zp. 由此将Zq上的一类由本原基本不可约多项式hm(x)生成的循环码映射成Zp上具有较大距离的非线性码，其中本原基本不可约多项式hm(x)是指hm(x)在模p映射下的象hm(x)是Zp [x]中的本原多项式. As a matter of fact, the met hod starts from Z_2, and t here is an irreducible polynomial x~2+x+l over Z_2. As a generating element, which may be regarded as a Princpal Ideal (x~2+x+l). Therefore, as are know from the thory of Modern Algebra, Z_2[x]/(x~2+x+l) is a Finite Fields. 这一方法实质上是从Z_2岀发，以Z_2上的一个不可约多项式x~2+x+l 为生成元做一个主理想(x~2+x+l),然后由近世代数的理论知Z_2[x]/(x~2+x+l)是一个有限域，从而得到了GF⑷。 线性代数判断题（上） 一．多项式 1．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。 （ ） 2． 若(),()[]f x g x P x ∈，且((),())1f x g x =，则(()(),()())1f x g x f x g x +=。（ ） 3．(),()[]f x g x Z x ∈，且()g x 为本原多项式，若()()()f x g x h x =则()[]h x Z x ∈。（ ） 4．若一整系数多项式()f x 有有理根，则()f x 在有理数域上可约。（ ） 5． 设p(x)是数域p 上不可约多项式，那么如果p(x)是f(x)的k 重因式，则p(x)是f(x)的k-1重因式。 （ ） 6、如果f(x)在有理数域上是可约的，则f(x)必有有理根。（ ） 7、若有d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x),则d(x)是f(x),g(x)的最大公因式 （ ） 8、若p(x)是f’(x)内的k 重因式，则p(x)是f(x)的k+1重因式（ ） 9、如果f(x)没有有理根，则它在有理数域上不可约。（ ） 10．奇次数的实系数多项式必有实根。（ ） 11． f(x)=x 6+x 3+1在有理数域上可约。（ ） 12．数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域（ ） 13．f(x)=x 4-2x 3+8x-10在有理数域上不可约。（ ） 14．数集}{为整数n n |2是数域 （ ） 15.n p x +,p 为素数在有理数域上是可约的。（ ） 16.有理数域是最小的数域 （ ） 17.f(x) g(x) h(x),是实数域上的多项式，若222()()()f x xg x xh x =+，那么f(x)=g(x) =h(x)=0. 18.1 ()f x x x =+是一个多项式（ ） 19若证明某个集合对加减乘除封闭，则它是一个数域。（ ） 20.对于任何正整数n(>=2)都有n 次不可约的有理系数多项式 （ ） 二．行列式 1、若n 级行列试D 中等于零的元素的个数大于n 2-n ，则D=0 （ ） 2、设A 为n 级方阵：|A|=2 ，则|-3A|= -6 ( ) 3、设A 为n 级方阵：|A|=2，则|-A|=(-1)n 2 （ ） 趣味探究小学数学中数域（系）的构成与扩充世界是什么？有人说是水，有人说是气，我记得曾经有一位希腊的数学家毕达哥拉斯认为世界是“数”，虽然这个说法多少有些牵强，但在数学研究中“数系”绝对是基础的基础。作为研究数量关系的起点，我们有责任将它把握清晰，作为一名小学数学教师，我更有责任将它趣味性的呈现给学生。 一、“有理数”名字的由来，有理数集的构成。 小学数学中研究的数指有理数，课本上没有刻意强调它的名字，但是要探究数系的构成和扩充，必须先从名字谈起，这样就可以在茫茫数域中找准它的位置，我们今天要探究的就是有理数集的构成和扩充过程，对了，我们还提到了“趣味”，那就必须从一个真实的故事谈起，有理数的名字其实来自于与它相对的“无理数”，从名字上可以这样说：先有无理数，后有有理数，这个故事是就是有关无理数，无理数顾名思义，无理、蛮横。上文中提到了希腊著名数学家毕达哥拉斯，他有一位学生叫希帕索斯，希帕索斯在研究勾股定理时，发现了一种新的数，而这种数是不符合他老师的宇宙理论的。如果直角三角形两条直角边都为1，那么，它的斜边的长度就不能归结为整数或整数之比(应该等于，是一个无理数)。更令毕达哥拉斯啼笑皆非的，是希伯斯居然用数学方法证实了这种新数存在的合理性，而证明的方法─归谬法，又是毕达哥拉斯学派常用的。因为毕氏已经用有理数解释了天地万物，无理数的存在会引起对他信念的怀疑。毕氏本应接受这新数源。然而，毕氏始终不愿承认自己的错误，却又无法经由逻辑 推理推翻希帕索斯的论证。使他终身蒙羞的是，他竟然判决将希帕索斯淹死。这是希腊数学的最大悲剧，只有在他死后无理数才得以安全的被讨论着。后来，欧几里德以反证法证明根号2是无理数。鲁迅先生说：“悲剧就是将人生极有价值的东西，毁灭给人看”。当人们渐渐明白除了他们所认识的数字0、自然数等有理数之外，还有一些无限的不能循环的小数，这确实是一种新发现的数——应该叫它“无理数”。这个名字反映了数学的本来面貌，但是也真实地记录了毕达哥拉斯学派中的学阀的蛮横无理。表面上枯燥乏味的数学知识，其实背后的故事也是血泪斑斑，可歌可泣，数学绝对不仅仅是一些公式、定理、符号的记录，它还是人与人、人与自然的斗争史。 小学数学范围内主要要研究是的“有理数”，它包括整数和分数，下面是有理数分类的图解： 我们通常说的自然数是正整数和零的统称，即像0、1、2、3、4…的数是自然数。正数前面加上负号就是负数，例如-1、-2、-3、-4…。把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或几份的数叫分数，例如、、…。小学数学中小数的比例占的也比较多，但是因为分数 §1-5多项式的因式分解定理 多项式44-x 在有理数域、实数域、复数域上的因式分解 ][)2)(2)(2)(2(4][)2)(2)(2(4][)2)(2(4424224x C i x i x x x x x R x x x x x Q x x x +-+-=-++-=-+-=-（不能再分）（不能再分） 在不同的系数域上，具有不同形式的分解式 什么叫不能再分？ 平凡因式： 零次多项式（不等于零的常数）、多项式自身、前两个的乘积 Definition8：（不可约多项式）令][)(x P x f 是的一个次数大于零的多项式，如果][)(x P x f 在中只有平凡因式，就称f(x )为数域P 上（或在P[x]中）的不可约多项式.（p(x)在数域P 上不能表示成两个次数低的多项式的乘积） 若)(x f 除平凡因式外，在P[x]中还有其它因式，f(x )就说是在数域P 上（或在P[x]中）是可约的. 如果不是平凡因式)(,)()()(x g x h x g x f =， 的次数显然和则)()(x h x g 都小于)(x f 的次数. 反之，若)(x f 能写成两个这样多项式的乘积，那么)(x f 有 非平凡因式；如果P[x]的一个n 次多项式能够分解成P[x]中两个次数都 小于n 的多项式 的乘积和)()(x h x g 即 )()()(x h x g x f 那么)(x f 在P 上可约. 由不可约多项式的定义可知： 任何一次多项式都是不可约多项式的. 不可约多项式的重要性质： 一个多项式是否不可约是依赖于系数域； 1.如果多项式)(x f 不可约，那么P 中任意不为零的元素c 与)(x f 的乘积c )(x f 都不可约. 2.设)(x f 是一个不可约多项式而P(x)是一个任意多项式，那么或者)(x f 与P(x)互素，或者)(x f 整除P(x). 3.如果多项式)(x f 与)(x g 的乘积能被不可约多项式P(x)整除，那么至少有一个因式被P(x)整除. Theorem5.如果)(x p 是一个不可约多项式,P(x)整除一些多项式)(,),(),(21x f x f x f s 的乘积,那么)(x p 一定整除这些多项式之中的一个. 证明:对被除多项式的个数s 用数学归纳法 当s=1时,显然成立; 有限域上的多项式理论Polynomial Theory of Finite Fields 摘要 域的概念的提出为代数学中的讨论的方便提供了条件，而作为在域中占有重要地位的有限域而言，更是在组合设计、编码理论、密码学、计算机代数和通信系统等领域发挥着自己的作用。多项式理论又是代数学中的基础，它的应用在其它领域也是常见的，本文的主要思想就是将高等代数中建立在数域中的多项式理论进行推广，将有关的性质、定理在有限域上进行验证，进而形成一套建立在有限域上的多项式理论。 当下，通信技术已经飞速发展，而保证信息在传输过程中的准确性是通信安全的一个重要前提。本文在第三章给出了有限域上的多项式在该领域的一个具体应用——利用本原多项式来进行纠错码的操作。 正文部分的结构组成包括：有限域的基本知识、一元多项式、多项式的整除和带余除法、最大公因式、因式分解定理、重因式、多元多项式及本原多项式在纠错码中的应用。 本文通过大量理论证明，验证了关于多项式的定理，性质，将数域上的多项式理论建立在有限域上。从结果中可以看出，对于建立在一般数域的多项式理论，大部分的结果在有限域上也是普遍成立的，但是不排除一些特殊的情况。同时，在部分章节的最后也给出了一些只有在有限域中成立，在普通数域中不成立的结论。 关键词：有限域；多项式；带余除法；纠错码 Abstract With the concept of the field being raised, it has provided the conditions for the convenience of the discussion in Algebra. Meanwhile, the finite field also plays an important role in combination of design, coding theory, cryptography, commuter and communications systems. Polynomial theory is the basis of Algebra. The main idea is to put the polynomial theory to the finite field and check the related properties and theorems. Nowadays, the communicational technology has developed rapidly. Keeping accuracy is an important prerequisite for communication security. In the third chapter, this paper introduces the primitive polynomial’s applications: Error-correcting code. The text contains: The basis knowledge of finite field, polynomial, divisibility of polynomials, greatest common factor, factorization theorem, repeated divisors, multivariate polynomial and the primitive polynomial’s applications: Error-correcting code. In this paper, a number of properties and theorems are checked by theoretical proof. We will establish the polynomial theory of finite field. According to it, we can see that the most parts of the polynomial theory of number field are established in finite field except in some special situations. At the same time, some conclusions which only established in finite field are given in some chapters. Keywords: finite fields; polynomial; divisibility of polynomials; Error-correcting code 贵州师范大学求是学院本科期末论文（设计） 期末论文（设计）题目 《浅谈多项式因式分解的方法》 学生姓名：何娜 科任教师：龙伟锋 专业：数学与应用数学 年级： 2012级 学号： 122008011013 2015年 12 月 10 日 多项式因式分解的方法 摘要：在数学学习过程中以及上个学期的实习实践中（上初三的数学课），常常遇到多项式因式分解问题，本文对一元多项式因式分解的方法进行了初步的探索，归纳了一元多项式因式分解的12种方法，给出具体实例，并对每种方法加以评论。 关键词：一元多项式，因式分解 多项式在高等代数中的重要性使我们有必要对多项式进行深入研究。在高等代数中已经证明了数域上的多项式环内的每一个(n n ＞)0次多项式都可以分解成这个多项式环内不可约多项式的乘积，并且表达式唯一（因式次序及零次因式的差异除外）。本文将对多项式因式分解的方法进行总结归纳。多项式因式分解的方法很多，但具体到某一个多项式，要针对其特征，选取适当的方法，才能提高解题的效率。所以我们要灵活掌握这些方法，这会为我们解题带来很多方便。 １ 求根法 （参见文献[]2）设多项式()x f =0111a x a x a x a n n n n ++++-- 是整系数多项式， 第一步 写出首项系数n a 的全部因数i v ，s i ,,2,1 =； 第二步 写出常数项0a 的全部因数j u ，t j ,2,1=； 第三步 用综合除法对j i u v 试验，确定()x f 的根； 第四步 写出()x f 的标准分解式。 例1 求()x f =251074234-+++x x x x 在有理数域上的因式分解式。 解 先把它转换成求()x f =251074234-+++x x x x 的有理根。 ()x f 的常数项和首项系数的全部因数分别为1±，2±与1±，2±，4±,则需要检验的有 理数为1±，2±，12±，14 ±. 由于()1-f =0，故-1是()x f 的根，且易知()x f =()() 2734123-+++x x x x .不可约多项式外文文献加翻译
线性代数判断题(上)
趣味探究有理数域(系)构成与扩充
-多项式的因式分解定理
有限域上的多项式理论
《浅谈多项式因式分解的方法》