苏教版数学高一必修1学案 函数的奇偶性

2．2．2 函数的奇偶性

教学目标

1．了解函数奇偶性的含义．

2．会判断一些简单函数的奇偶性．

3．了解奇函数和偶函数图象的特点．

教学过程

1．奇函数和偶函数

(1)一般地，设y ＝f (x )的定义域为A ，如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么称函数y ＝f (x )是偶函数．

(2)如果对于函数f (x )的定义域内的任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么称函数y ＝f (x )是奇函数．

【做一做1】有下列函数：

①y ＝2x ；②y ＝3x ＋1

；③y ＝x 2；④y ＝x 3＋x ；⑤y ＝x 2－x ；⑥y ＝－3x ；⑦y ＝2x 2－1；⑧y ＝2|x |＋2．

其中奇函数有__________，偶函数有__________．

答案：①④⑥ ③⑦⑧

2．奇偶性

(1)如果函数f (x )是奇函数或偶函数，就说函数f (x )具有奇偶性．

(2)偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称．

(1)在奇函数和偶函数的定义中，都要求x ∈A ，－x ∈A ，这就是说一个函数不论是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于坐标原点对称．

(2)根据函数奇偶性的定义，函数可分为：①是奇函数但不是偶函数；②是偶函数但不是奇函数；③是奇函数又是偶函数；④既不是奇函数也不是偶函数．

【做一做2－1】已知f (x )＝ax 3＋bx －3中，f (－2)＝3，则f (2)＝__________．

解析：因为f (－x )＋f (x )＝－6，

所以由f (－2)＝3，得f (2)＝－9．

答案：－9

【做一做2－2】函数f (x )＝－x ＋1x

的奇偶性是__________． 答案：奇函数

如何判断函数的奇偶性？

剖析：(1)根据函数奇偶性定义判断，其基本步骤为：

①先看定义域是否关于原点对称，若函数没有标明定义域，应先找到使函数有意义的x 的集合，因为它是判断函数奇偶性的一个重要依据，如果一个函数的定义域关于坐标原点不对称，那么这个函数既不是奇函数，也不是偶函数．如函数f (x )＝x 4＋1，x ∈［－1,2］．由于它的定义域不关于原点对称，当1＜x ≤2时，－x 不在函数的定义域中，所以它不符合奇、偶函数的定义，故f (x )＝x 4＋1，x ∈［－1,2］是非奇非偶函数．

②再看f (－x )与f (x )的关系，这是因为定义域关于原点对称的函数也不一定是奇函数或偶函数．如f (x )＝x 2＋x ，g (x )＝x 3＋1，它们的定义域都是R ，因为f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ≠±f (x )，所以它是非奇非偶函数．同理可证g (x )＝x 3＋1也是非奇非偶函数．

③然后得出结论．

(2)定义域关于原点对称，满足f (－x )＝－f (x )＝f (x )的函数既是奇函数也是偶函数，如f (x )＝0(x ∈R )．应注意：既是奇函数又是偶函数的函数有无数个．

(3)分段函数奇偶性判定方法的关键是搞清x 与－x 的所在范围及其对应的函数关系式，并且函数在每一个区间上的奇偶性都应进行判断，而不能以其中一个区间来代替整个定义域．

(4)判断函数的奇偶性有时可用定义的等价形式f (－x )±f (x )＝0或f (－x )f (x )

＝±1(f (x )≠0)来代替．

(5)有时可以直接借助函数的图象与相关性质，如奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称等，从而直观地判断函数的奇偶性．

题型一 判断函数的奇偶性

【例1】判断下列函数的奇偶性．

(1)f (x )＝2x 2＋2x x ＋1

； (2)f (x )＝x 3－2x ；

(3)f (x )＝a (x ∈R )；

(4)f (x )＝???

x (1－x )，x ≥0，x (1＋x )，x ＜0. 分析：按奇函数或偶函数的定义或几何特征进行判断即可．

解：(1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，不关于原点对称，

所以f (x )既不是奇函数也不是偶函数．

(2)函数的定义域为R ，关于原点对称，f (－x )＝(－x )3－2(－x )＝2x －x 3＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．

(3)函数的定义域为R ，关于原点对称，

当a ＝0时，f (x )既是奇函数又是偶函数；

当a ≠0时，f (－x )＝a ＝f (x )，即f (x )是偶函数．

(4)函数的定义域为R ，关于原点对称，

当x ＞0时，－x ＜0，此时f (－x )＝－x ［1＋(－x )］＝－x (1－x )＝－f (x )；

当x ＜0时，－x ＞0，此时f (－x )＝－x ［1－(－x )］＝－x (1＋x )＝－f (x )；

当x ＝0时，－x ＝0，此时f (－x )＝0，f (x )＝0，

即f (－x )＝－f (x )．

综上，f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．

反思：根据奇函数以及偶函数的定义，判断是不是有f (－x )＝f (x )或f (－x )＝－f (x )，前者是偶函数，后者是奇函数；如果这两个都不成立，则是非奇非偶函数．

说一个函数是非奇非偶函数，有时只要说明它的定义域不合要求即可，而不必套用作差法进行检验．有时根据函数图象的对称性进行判断也是捷径之一．

题型二 求函数解析式

【例2】设f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的奇函数，且x ＞0时，f (x )＝x 2－2x ＋1，求f (x )的解析式．

解：当x ＜0时，则－x ＞0，

所以f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋1＝x 2＋2x ＋1．

又f (x )是奇函数，有f (－x )＝－f (x )，

所以－f (x )＝x 2＋2x ＋1．

所以f (x )＝－x 2－2x －1．

当x ＝0时，因为f (x )是定义在R 上的奇函数，

所以一定有f (0)＝0．所以函数f (x )的解析式为f (x )＝?????

x 2－2x ＋1，x >0，

0，x ＝0，－x 2－2x －1，x <0. 反思：本题中x ∈R ，容易遗漏x ＝0的情况，对于定义在R 上的奇函数一定有f (0)＝0，这是一个重要的结论，要引起重视．

【例3】已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (x )－g (x )＝x 2＋2x ＋3．求f (x )和g (x )的解析式．

分析：充分利用奇、偶函数的性质，利用方程思想求其解析式．

解：由条件得f (－x )－g (－x )＝(－x )2＋2(－x )＋3＝x 2－2x ＋3．又f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，

∴f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )．

∴－f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋3．

∵f (x )－g (x )＝x 2＋2x ＋3，

两式相减得f (x )＝2x ，

两式相加得g (x )＝－x 2－3．

反思：对于基本初等函数，大致有三类：其一是奇函数，其二是偶函数，其三是非奇非偶函数，但此类函数均可表示为奇、偶函数的和或差．

题型三 函数奇偶性的应用

【例4】画出函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋3的图象，指出函数的单调区间和最大值．

分析：函数的图象关于y 轴对称，先画出y 轴右侧的图象，再对称到y 轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间．

解：函数图象如图所示．

由图象，得函数的图象在区间(－∞，－1］和［0,1］上是上升的，在［－1,0］和［1，＋∞)上是下降的，最高点是(±1,4)，故函数在(－∞，－1］，［0,1］上是增函数；函数在［－1,0］，［1，＋∞)上是减函数，最大值是4．

反思：本题中，已知函数满足f (－x )＝f (x )，说明f (x )是偶函数，它的图象关于y 轴对称，由此可先作出函数在y 轴右侧的图象，再将其沿y 轴翻折即可．

1函数f (x )＝x (x 2－1)的大致图象是__________．

解析：因为f (－x )＝－x ［(－x )2－1］＝－f (x )，

所以原函数是奇函数．排除③④．

又当x ＝12时，y ＝12×114??- ???＝－38＜0，说明点13,28??- ???

在第四象限．排除②． 答案：①

2函数f (x )＝x 3＋bx 2＋cx 是奇函数，函数g (x )＝3x 2＋(c －2)x ＋5是偶函数，则b ＝____，c ＝____．

解析：由条件得f (－x )＋f (x )＝2bx 2＝0，∴b ＝0．

由条件得g (－x )＝g (x )，

且g (－x )＝3x 2－(c －2)x ＋5，

g (x )＝3x 2＋(c －2)x ＋5，∴c ＝2．

答案：0 2

3判断下列函数的奇偶性．

(1)f (x )＝2x 2－7；(2)f (x )＝2x 3＋5x ；

(3)f (x )＝5x －3．

解：(1)因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝2(－x )2－7＝2x 2－7＝f (x )，所以f (x )＝2x 2－7为偶函数；

(2)因为f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝2(－x )3＋5(－x )＝－(2x 3＋5x )＝－f (x )， 所以f (x )＝2x 3＋5x 为奇函数；

(3)f (x )的定义域是R ．

因为f (－1)＝5×(－1)－3＝－8≠－2＝－f (1)，

故f (x )＝5x －3不是奇函数．

又f (－1)＝5×(－1)－3＝－8≠2＝f (1)，

故f (x )＝5x －3不是偶函数．

综上所得f (x )＝5x －3为非奇非偶函数．

已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝－7x x 2＋x ＋1

．求当x ＜0时，f (x )的解析式．

解：令x ＜0，则－x ＞0，

∴f (－x )＝－7×(－x )(－x )2＋(－x )＋1＝7x x 2－x ＋1

． 又f (x )是定义在R 上的偶函数，

∴f (－x )＝f (x )．∴f (x )＝7x x 2－x ＋1

(x ＜0)． 5已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，在［2,6］上是减函数，试比较f (－5)与f (3)的大小．

分析：利用单调性比较大小．

解：∵函数y ＝f (x )是定义在R 上的偶函数，

∴f (－5)＝f (5)．

又∵函数y ＝f (x )在［2,6］上是减函数，且5＞3，

∴f (5)＜f (3)．∴f (－5)＜f (3)．