欧洲数学史

数学史

【中世纪数学】

12、13 世纪欧洲数学界的代表人物是斐波那契，他向欧洲人介绍了印度-阿拉伯数码和位值制记数法，以及各种算法在商业上的应用。中国的盈不足术和《孙子算经》的不定方程解法也出现在斐波那契的书中。此外他还有很多独创性的工作。

16、17 世纪的欧洲，漫长的中世纪已经结束，文艺复兴带来了人们的觉醒，束缚人们思想自由发展的烦琐哲学和神学的教条权威逐步被摧毁了。封建社会开始解体，代之而起的是资本主义社会，生产力大大解放。资本主义工场手工业的繁荣和向机器生产的过渡，促使技术科学和数学急速发展。

在科学史上，这一时期出现了许多重大的事件，向数学提出新的课题。首先是哥白尼提出地动说，使神学的重要理论支柱的地心说发生了根本的动摇。他的弟子雷蒂库斯见到当时天文观测日益精密，推算详细的三角函数表已成为刻不容缓的事，于是开始制作每隔10"的正弦、正切及正割表。当时全凭手算，雷蒂库斯和他的助手勤奋工作达12 年之久，直到死后才由他的弟子奥托完成。

文艺复兴时期，由于艺术家所创建的透视法，逐步形成了射影几何学；在斐波纳契《算盘书》之后，欧洲也出现了一些数学著作，从而促进了十进分数的理论及运算的发展；１６世纪初期，最出色的数学成就，是意大利数学家发现了三次、四次方程的代数解法，有的使用了虚数，还改进了当时的数学符号；在三角学发展方面，欧洲人也把三角学从天文学独立出来，使之成为一门独立的学科，并重新定义了各种三角函数的概念，还编制了非常精密的三角函数表。中世纪，欧洲数学是在吸收并消化希腊、阿拉伯的数学知识之后才逐渐得到了发展的。

欧洲三次方程解法的发现是在16世纪的意大利，那时，数学家常常把自己的发现秘而不宣，而是向同伴提出挑战，让他们解决同样的问题。想必这是一项很砥砺智力，又吸引人的竞赛，三次方程的解法就是这样发现的。最初，有一个叫菲奥尔的人，从别人的秘传中学会了解一些三次方程，便去向另一个大家称为塔尔塔利亚的人挑战。他很聪明，又很勤奋，靠自学掌握了拉丁文，希腊文和数学。这次他成功解出了菲奥尔提出的所有三次方程，菲奥尔却不能解答他提出的问题。当时很有名的卡尔丹于是恳求他传授解三次方程的办法，并发誓保守秘密，塔尔塔利亚才把他的方法写成一句晦涩的诗交给卡尔丹．后来卡尔丹却背信弃义，把这个方法发表在1545年出版的书里。在书中他写道：＂波伦亚的费罗差不多在三十年前就发现了这个方法，并把它传给了菲奥尔。菲奥尔在与塔尔塔利亚的竞赛中使后者有机会发现了它．塔尔塔利亚在我的恳求下把方法告诉了我，但保留了证明．我在获得帮助的情况下找出了它各种形式的证明。这是很难做到的。＂卡尔丹的背信弃义使塔尔塔利亚很愤怒，他马上写了一本书，争夺这种方法的优先权。他与卡尔丹的学生费拉里发生了公开冲突。后来费拉里又解决了四次方程的公式解法。

1545年，意大利学者卡尔丹发表了三次方程X^3+pX+q=0的求根公式，卡尔丹是第一个把负数写在二次根号内的数学家，并由此引进了虚数的概念，后来经过许多数学家的努力发展成了复数的理论。

在数字计算方面，斯蒂文系统地阐述和使用了小数，接着纳皮尔创制了对

数，大大加快了计算速度。以后帕斯卡发明了加法机，莱布尼茨发明了乘法机，虽然未臻于实用，但开辟了机械计算的新途径。

列昂纳多·斐波那契（1170-1240），意大利数学家，“斐波那契数列”和分数的发明者。1202年，他撰写了《珠算原理》(Liber Abaci)一书。

斐波那契数列，又称黄金分割数列，指的是这样一个数列：0、1、1、2、3、5、8、13、21、……在数学上，斐波纳契数列以如下被以递归的方法定义：F0=0，F1=1，Fn=F(n-1)+F(n-2)（n>=2，n∈N*）特别指出：第0项是0，第1项是第一个1

通项公式推导

利用特征方程（线性代数解法）

线性递推数列的特征方程为：X^2=X+1

解得则F(n)=C1*X1^n + C2*X2^n

∵F(1)=F(2)=1

∴C1*X1 + C2*X2=C1*X1^2 + C2*X2^2=1

解得C1=1/√5，C2=-1/√5 ∴F(n)= 如果你看到有这样一个题目：某人把一个8*8的方格

切成四块,拼成一个5*13的长方形,故作惊讶地问你：为什么64＝65?其实就是利用了菲波那契数列的这

个性质：5、8、13正是数列中相邻的

三项,事实上前后两块的面积确实差1,

只不过后面那个图中有一条细长的狭

缝,一般人不容易注意到

有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当n 趋向于无穷大时，前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618.（或者说后一项与前一项的比值小数部分越来越逼近黄金分割0.618、前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割0.618）1÷1=1，1÷2=0.5，2÷3=0.666...，3÷5=0.6，5÷8=0.625，…………，55÷89=0.617977…，…………144÷233=0.618025…46368÷

75025=0.6180339886…...越到后面，这些比值越接近黄金比。

斐波那契螺旋线，以斐波那契数为边的正方形拼成的长方形，然后在正方形里

面画一个90度的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线。

一元三次方程的解法，这里介绍盛金公式（1989）

【近代数学史】

指１７-１９世纪的数学发展概况。具体来说，就是自笛卡儿、费马创立了解析几何之后，把变量引入到数学中，使数学拓展了新的领域；而牛顿、莱布尼茨创立了微积分学；纳白尔、比尔吉发明了对数；巴斯卡、费马、惠更斯兴起了概率论。

【１７世纪数学】

１７世纪初期继续着上一世纪的研究。３０年代，费尔马与笛卡儿分别以古希腊的圆锥曲线理论为基础，通过引入坐标和变量的概念建立了几何中的曲线与代数中的方程之间的内在联系，创立了解析几何学。

费尔马的著作完成于１６３０年左右，虽然到１６７９年才得以出现，但其思想与方法已在同时代人中产生了影响，笛卡儿的《几何学》作为巨著《方法论》的附录，于１６３７年正式出现，标志着解析几何的诞生，并为微积分的创立做了准备。微积分是１７世纪最辉煌的数学创造，也是自希腊时代以来数学中一系列重要创造的继续和发展，尤其是自文艺复兴以来，由于科学技术中各种实际问题的推动，对变速运动规律的研究，对曲线切线、函数极值、物体重心和引力的研究，以及对曲线、曲面各种度量问题的研究，到１７世纪中期已经积累了大量具体成果和方法。１６６６年１０月，牛顿完成了第一篇系统的微积分论文，此后在将近４０年的时间里不断改进和发展了这一理论。

莱布尼茨于１６７３年左右独立于牛顿接触到微积分的实质性问题，大约在１６７５年完成了创建微积分的工作。与牛顿的工作相比，他更注重于发展微积分的形式化算法和建立一套简洁、明确而有效的符号，他于１６８４年先于牛顿发表了第一篇微积分论文。牛顿和莱布尼茨的历史功绩在于从众多零散成果中确立了微积分的基本概念，普遍方法和一般形式，使之最终成为一门完整而统一的数学分支。

１７世纪，在几何领域发生的另一场重大变革就是射影几何的建立。１６３９年，笛沙格在一篇论文中把无穷远元素引入几何学，得到射影几何中的一些基本命题，特别是"笛沙格定理"，是全部射影几何的基本定理。通过研究笛沙格的著作，巴斯卡得到射影几何中另一些重要定理，尤其是著名的巴斯卡定理，并于１６４０年发表了《圆锥曲线论》是自阿波罗尼奥斯以来圆锥曲线论的最大进步。

１７世纪，由于使用字母系数而使证明有了一种尺度，代数学已上升为一门科学，方法和理论都得以大大扩展，１６３７年，笛卡儿在《几何学》中给出了关于高次方程正根与负根个数的笛卡儿符号法则。１６５３年，巴斯卡在《论算术三角形》一书（１６６５年出现）中深入地讨论了二项式系数和基本的组合关系，并给出了数学归纳法的最早陈述。１６６５年，牛顿给出了有理指数的二项式定理，１６７１年他又给出了求方程实根近称值的牛顿法。１６９３年，莱布尼茨创立了行列式理论。１７世纪的数论主要是在费尔马的推动下进步的，他给出了关于素数、完全数、亲和数、不定方程等方面的许多重要结果，但通常只是给出命题却很少证明。证明大多由欧拉和拉格朗日在１８世纪给出，而最著名的费尔马大定理至今仍未获得证明。此外，默森尼研究了形如２P-１（ｐ为素数）的素数，笛卡儿给出了一条探索亲和数的规则。莱布尼茨得到了后人所说的用于素数检验的威尔逊定理。

１６５４年，巴斯卡与费尔马在通信中讨论了"赌博中断问题"，从而共同创立了概率论。在此基础上，１６５７年惠更斯发表了概率论的第一篇正式论文--《论赌博中的推理》，其中首次引入了"数学期望"这一重要概念。这一时期计算技术的一个十分引人注目的进步是原始计算机的发明，１６２３年，德国科学家席卡德制造了第一台机械计算机的模型。１６４２年，巴斯卡制成了第一台可供实用的计算加减法的机械，１６７１年，莱布尼茨制成了可进行乘除运算的计算机。这些工作标志着计算开始由手工时代进入机械时代，并成为后世电子计算机的源头。

１７世纪的数学不仅由于解析几何与微积分的创立而成为近代数学的开端，它在数学成果、方法与思想各方面的丰富创造也对后世数学的发展产生了极为深远的影响。

笛沙格定理

平面上有两个三角形△ABC、△DEF，设它们的对应顶点（A和D、B和E、C和F）的连线交于一点，这时如果对应边或其延长线相交，则这三个交点共线。

二项式定理

二项式定理可以用以下公式表示：

其中，又有等记法，称为二项式系数，即取的组合数目。此系数亦可表示为杨辉三角形。

圆锥

曲线

微分的应用

微分是表示函数增量的线性主部.计算函数的增量，有时比较困难，但计算微分则比较简单，为此我们用函数的微分来近似的代替函数的增量，这就是微分在近似计算中的应用.

例题：求的近似值。

解答：我们发现用计算的方法特别麻烦，为此把转化为求微分的问题

故其近似值为1.025(精确值为1.024695)

完全数

完全数（Perfect number），又称完美数或完备数，是一些特殊的自然数。它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和（即因子函数），恰好等于它本身。如果一个数恰好等于它的因子之和，则称该数为“完全数”。

例如：第一个完全数是6，它有约数1、2、3、6，除去它本身6外，其余3个数相加，1+2+3=6。第二个完全数是28，它有约数1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5个数相加，1+2+4+7+14=28。第三个完全数是496，有约数1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496外，其余9个数相加，1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。后面的完全数还有8128、33550336等等。

亲和数

如果两个数a和b，a的所有除本身以外的因数之和等于b,b的所有除本身以外的因数之和等于a,则称a,b 是一对亲和数。

首先发现220与284就是一对亲和数，在以后的1500年间，世界上有很多数学家致力于探寻亲和数，面对茫茫数海，无疑是大海捞针，虽经一代又一代人的穷思苦想，有些人甚至为此耗尽毕生心血，却始终没有收获。公元九世纪，伊拉克哲学、医学、天文学和物理学家泰比特·依本库拉曾提出过一个求亲和数的法则，因为他的公式比较繁杂，难以实际操作，再加上难以辨别真假，故它并没有给人们带来惊喜，或者走出困境。数学家们仍然没有找到第二对亲和数。直到费尔马(1601-1665)才发现了另一对亲和数：17296和18416。

据说，毕达哥拉斯(约前580年—前500年)的一个门徒向他提出这样一个问题：“我结交朋友时，存在着数的作用吗？”毕达哥拉斯毫不犹豫地回答：“朋友是你的灵魂的倩影，要像220和284一样亲密。”又说“什么叫朋友？就像这两个数，一个是你，另一个是我。”后来，毕氏学派宣传说：人之间讲友谊，数之间也有“相亲相爱”。从此，把220和284叫做“亲和数”或者叫“朋友数”或叫“相亲数”。这就是关于“亲和数”这个名称来源的传说。220和284是人类最早发现，又是最小的一对亲和数。

射影几何

射影几何是研究图形的射影性质，即它们经过射影变换后，依然保持不变的图形性质的几何学分支学科。曾经也叫做投影几何学，在经典几何学中，射影几何处于一个特殊的地位，通过它可以把其他一些几何学联系起来。

赌博中断问题

甲、乙两赌徒赌技相同，各出赌注50法郎，每局中无平局。他们约定，谁先赢三局则得到全部100法郎的赌本。当甲赢了两局，乙赢了一局时，因故要中止赌博。现问这100法郎如何分才算公平？

试想，假如能继续比下去的话，至多再有两局必可结束。若接下来的第四局甲胜（概率为1/2），则甲赢得所有赌注；若乙胜，还要再比第五局，当且仅当甲胜这一局时，甲赢得所有赌注（这两局出现此种情形的概

P(X=100)=1/2+1/4=3/4

于是，X的分布律为

X 0 100

p 1/4 3/4

从而甲的“期望” 所得应为0·(1/4)+100·(3/4)=75 法郎；乙的“期望”所得应为100-75=25法郎。这种方法照顾到了已赌结果，又包括了再赌下去的一种“期望”，它自然比前两种方法都更为合理，使甲乙双方都乐于接受。

这就是“数学期望”这个名称的由来，其实这个名称改为“均值”会更形象易懂一些，对上例而言，也就是再赌下去的话，甲“平均”可以赢75法郎。

后来，帕斯卡和费马的通信引起了荷兰数学家惠更斯（C.Huygens,1629-1695）的兴趣，后者在1657年发表的《论赌博中的计算》是最早的概率论著作。这些数学家的著述中所出现的第一批概率论概念（如数学期望）与定理（如概率加法、乘法定理）标志着概率论的诞生。

【１８世纪数学】

１８世纪最引人注目的是微积分的迅速发展并发挥出巨大威力，一些重要概念被不断明确和深化，一些强有力的方法被建立，１８世纪中叶，多元微积分的概念与方法也已初步建立。１７４８年，欧拉出现了《无穷分析引论》，标志着微积分发展的一个新阶段，与此同时，微积分向更加广阔的领域扩展，产生了无穷级数、常微分方程、偏微分方程、变分法等重要分支，从而使现代数学中最广阔的领域--数学分析初具规模。这些进展主要是伯努利家族、泰勒、欧拉、克莱罗、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯等人的推动下实现的。与分析领域的巨大成就相比，其他领域略为逊色，但仍有十分明显的进步。

１７１３年，雅各布·伯努利的遗著《猜度术》出现，这是概率论的第一部专著，对早期概率论作了全面总结。随后，棣莫弗在《机会论》（１７１８）、《分析杂论》（１７３０）中给出了大量新内容，１７７７年，法国人蒲产提出了著名的"投针问题"，开始了几何概率的研究。解析几何的进步与微分几何的创建交织在一起。１７０４年，牛顿发表《三次曲线》、研究了７８种可能情形中的７２种，１７１５年，约翰·伯努利引入了三个坐标面，１７３１年，克莱罗开创了空间曲线理论，是三维微分几何的第一个重大发展。此后，欧拉对解析几何、空间曲线与曲面理论都有重要贡献，１８世纪末至１９世纪初，经过蒙日及其学生们的努力，终于把微分几何作为一门独立的学科建立起来，同时他还是画法几何的奠基人。

在代数学方面，对五次以上代数方程公式解的探讨仍在继续，其中拉格朗日的工作对１９世纪群论的诞生有着重要意义。线性方程组及行列式已经建立了独立而系统化的理论。１７９９年，高斯继承欧拉、达朗贝尔、拉格朗日的工作，终于给出了代数基本定理的第一个证明。１８世纪的数论主要是由欧拉推动的，他证明了费尔马提出的许多数论命题，系统地探讨了亲和数，并提出了二次互反律，这是１８世纪数论中最富创造性的成果，于１８０１年被高斯证明，并称之为"算术中的宝石"。哥德巴赫（１７４２）与华林（１７７０）分别提出了他们的著名猜想，成为后世数论中的重大课题。１８世纪后期，拉格朗日、勒让德也有重要的工作。与１７世纪相比。１８世纪的数学虽然没有提供那样众多新颖而基本的概念与方法，却施展了高度的技巧，并根据科学技术特别是力学与天文学的需要，提出和解决了大量新的问题。在数学方法上则完成了从几何方法向解析方法的转变。１８世纪的数学在迅速发展的同时也暴露出其弱点：忽略了数学方法与基础的严密性，从而导致了一系列矛盾，而１８世纪的数学家对此称乎并不十分担心。这一时期的数学家大多又是物理学家，人们坚信概念与方法在物理学上的正确性保证了它们在数学上的正确性。

二次互反律是经典数论中最出色的定理之一。二次互反律涉及到平方剩余的概念。设a,b是两个非零整数，我们定义雅克比符号(a/b)：如果存在整数x, 使得b整除（x2-a），那么就记(a/b)=1; 否则就记（a/b）=-1。在b是素数时这个符号也叫做勒让德符号。

高斯二次互反律：

设p和q为不同的奇素数，则(p/q)(q/p)=( ? 1)^[(p ? 1)(q ? 1) / 4]

平方剩余

假设p是素数，a是整数。如果存在一个整数x使得x^2≡a(mod p) （即x^2-a可以被p整除），那么就称a在p的剩余类中是平方剩余的。

欧拉定理说：如果p是奇素数，则a平方剩余当且仅当a^{(p-1)/2}≡1 (mod p).

在{1,2,...,p-1}中恰好有（p-1）/2 个数是平方剩余的。

剩余类

一个整数被正整数n除后，余数有n种情形：0，1，2，3，…，n-1，它们彼此对模n不同余。这表明，每个整数恰与这n个整数中某一个对模n同余。这样一来，按模n是否同余对整数集进行分类，可以将整数集分成n个两两不相交的子集。我们把（所有）对模n同余的整数构成的一个集合叫做模n的一个剩余类。确切地说，若x是一个给定的正整数,则全体整数可以分成n个集，记作x[0],x[1],…x[i]...,x[n-1],其中i=0,1,…,n-1 x[i]是由一切形如ax+i(a=0,±1,±2,…)的整数所组成的集。

【１９世纪数学】

１８０１年高斯发表了《算术探究》一书，表面看来称是"算术"著作，但实际是一部非常严格的数论专著；书中不但建立了严格论证的典范，还表达了追求严密论证的思想。１８３７年，狄利克雷在高斯的基础上，进一步开辟了解析数学论的新领域；之后，黎曼的工作也促进了解析数论的发展。高斯、罗巴切夫斯基、鲍耶各自独立地发现了非欧几何学，从而打破了２０００年来欧几里得几何学一统天下的局面。１９世纪２０年代，高斯开拓了微分几何学，经过黎曼的工作发扬了微分几何学的研究，并建立了任意维空间内蕴几何学。在１９世纪，微积分学的严格化成了当务之急，而柯西对微积分学严格化起到了巨大作用；此外，魏尔斯特拉斯发展了柯西的论说，提出用ε-δ定义极限概念，并给予函数连续性的确切定义以及一致收敛的定义，使得微积分学以至分析学趋于完善的境界；尤其魏尔斯特拉斯、康托尔、戴德金等人建立了无理数的精密定义之后，更使得分析学达到完善的地步。

在级数方面，１８２２年，傅立叶不仅扩展了偏微分方程的研究，而且还提出三角级数的研究，从而获得许多丰硕的成果。到３０年代，伽罗瓦创造性地提出代数的最基本的结构--群论，也是抽象代数的重要组成部分。１８９９年，希尔伯特发表《几何基础》，书中阐述了欧几里得几何学的公理系统；因而数学家们为数学的各个分支纷纷建立各自的公理体系，于是形成数学走向公理化的高朝。

１９００年，希尔伯特在第二届国际数学家大会上作了题为"数学问题"的报告，提出当时数学中尚未解决的２３个问题，这既是１９世纪的未决问题，又是２０世纪数学的发展方向。

无理数

无理数，即非有理数之实数，不能写作两整数之比。若将它写成小数形式，小数点之后的数字有无限多个，并且不会循环。常见的无理数有非完全平方数的平方根、π和e（其中后两者均为超越数）等。无理数的另一特征是无限的连分数表达式。传说中，无理数最早由毕达哥拉斯学派弟子希伯斯发现。

连分数

连分数（continued fraction）是特殊繁分数。如果a0，a1，a2，…an，…都是整数，则将分别称为无限连分数和有限连分数。可简记为a0 ，a1，a2，…，an，…和a0，a1，a2，…，an。一般一个有限连分数表示一个有理数，一个无限连分数表示一个无理数。如果a0，a1，a2，…，an，…都是实数，可将上述形式连分数分别叫无限连分数和有限连分数。近代数学的计算需要，还可将连分数中的a0，a1 ，a2，…，an，…取成以x为变元的多项式。在近代计算数学中它常与某些微分方程

式差分方程有关，与某些递推关系有关的函数构造的应用相联系。

数学家应当努力解决的23个数学问题

1.G.康托尔的连续统假设问题；1963年，P.J.科恩证明了：连续统假设的真伪不可能在策梅洛－弗伦克尔公理系统内判明。

2. 算术公理的相容性；1931年,K.哥德尔的“不完备定理”指出了用希尔伯特“元数学”证明算术公理相容性之不可能。数学相容性问题尚未解决。

3.两等高等底的四面体体积之相等；M.W.德恩1900年即对此问题给出了肯定解答。

4. 直线作为两点间最短距离问题希尔伯特之后；在构造与探讨各种特殊度量几何方面有许多进展，但问题并未解决。

5. 不要定义群的函数的可微性假设的李群概念；A.M.格利森、D.蒙哥马利和L.齐平等于1952年对此问题作出了最后的肯定解答。

6.物理公理的数学处理；公理化物理学的一般意义仍需探讨。至于希尔伯特问题中提到的概率论公理化，已由Α.Η.柯尔莫哥洛夫(1933)等人建立。

7. 某些数的无理性与超越性；1934年,A.O.盖尔丰德和T.施奈德各自独立地解决了问题的后半部分，即对于任意代数数α≠0，1，和任意代数无理数β证明了αβ的超越性。

8. 素数问题；包括黎曼猜想、哥德巴赫猜想及孪生素数问题等。一般情况下的黎曼猜想仍待解决。哥德巴赫猜想最佳结果属于陈景润(1966)，但离最终解决尚有距离。

9. 任意数域中最一般的互反律之证明；已由高木贞治(1921)和E.阿廷(1927)解决。

10.丢番图方程可解性的判别；1970年，ю.Β.马季亚谢维奇证明了希尔伯特所期望的一般算法不存在。

11.系数为任意代数数的二次型问题；系数为任意代数数的二次型H.哈塞(1929)和C.L.西格尔(1936，1951)在这问题上获得重要结果。

12.阿贝尔域上的克罗内定理在任意代数有理域上的推广；阿贝尔域上的克罗内克定理推广到任意代数有理域尚未解决。

13.证明不可能用仅有两个变量的函数解一般的7次方程；不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程连续函数情形于1957年由Β.И.阿诺尔德解决。解析函数情形则尚未解决。

14.证明某类完全函数的有限性；证明某类完全函数系的有限性1958年,永田雅宜给出了否定解决。

15.舒伯特计数演算的严格基础；舒伯特计数演算的严格基础代数几何基础已由B.L.范·德·瓦尔登(1938～1940)与A.韦伊(1950)建立，但舒伯特演算的合理性仍待解决。

16.代数曲线和曲面拓扑问题；代数曲线与曲面的拓扑对该问题的后半部分，И.Γ.彼得罗夫斯基曾声明证明了 n=2时极限环个数不超过3，但这一结论是错误的，已由中国数学家举出反例(1979)。

17.正定形式的平方表示式；正定形式的平方表示式已由E.阿廷于1926年解决。

18.由全等多变体构造空间；由全等多面体构造空间部分解决。

19.正则变分问题的解是否一定解析；正则变分问题的解是否一定解析1904年,С.Η.伯恩斯坦证明了一个变元的解析非线性椭圆方程其解必定解析。该结果后又被推广到多变元和椭圆组情形。

20.一般边值问题；一般边值问题、偏微分方程边值问题的研究正在蓬勃发展

21.具有给定单值群的线性微分方程的存在证明；具有给定单值群的线性微分方程的存在性已由希尔伯特本人(1905)和H.罗尔(1957)的工作解决。

22.通过自守函数使解析关系单值化；解析关系的单值化一个变数的情形已由P.克贝(1907)解决。

23.变分法的进一步发展；