直线与园圆与圆的位置关系知识点及习题
直线与圆、圆与圆的位置关系
一、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离?d r
>?无交点；
2、直线与圆相切?d r
=?有一个交点(切点）；
3、直线与圆相交?d r
d
r d=r r d
二、切线的判定定理与性质
（1）切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线；
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可
即：∵MN OA
⊥且MN过半径OA外端
∴MN是⊙O的切线
（2）性质定理：经过切点的半径垂直于圆的切线
经过切点垂直于切线的直线必经过圆心（如上图）
①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。
例1、在中，BC=6cm，∠B=30°，∠C=45°，以A为圆心，当半径r多长时所作的⊙A与直线BC相切？相交？相离？
解题思路：作AD⊥BC于D
在中，∠B=30°∴
在中，∠C=45°
∴ CD=AD
∵ BC=6cm ∴
∴
N M
O
B
O
B
A
C
D
O
∴ 当时，⊙A 与BC 相切；当
时，⊙A 与BC 相交；
当
时，⊙A 与BC 相离。
例2．如图，AB 为⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，D 在AB 的延长线上，且∠DCB=?∠A ． （1）CD 与⊙O 相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由． （2）若CD 与⊙O 相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O 的半径．
解题思路：（1）要说明CD 是否是⊙O 的切线，只要说明OC 是否垂直于CD ，垂足为C ，?因为C 点已在圆上．
由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10 解：（1）CD 与⊙O 相切 理由：①C 点在⊙O 上（已知） ②∵AB 是直径
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90° ∵∠A=∠OCA 且∠DCB=∠A ∴∠OCA=∠DCB ∴∠OCD=90° 综上：CD 是⊙O 的切线． （2）在Rt △OCD 中，∠D=30°
∴∠COD=60° ∴∠A=30° ∴∠BCD=30° ∴BC=BD=10 ∴AB=20，∴r=10
答：（1）CD 是⊙O 的切线，（2）⊙O 的半径是10．
三、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：∵PA 、PB 是的两条切线 ∴PA PB = PO 平分BPA ∠ （证明） 四、圆幂定理
（1）相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。
即：在⊙O 中，∵弦AB 、CD 相交于点P ，
P
O D
C B
A B
O
∴PA PB PC PD ?=? （相似）
（2）推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。
即：在⊙O 中，∵直径AB CD ⊥， ∴2
CE AE BE =?
（3）切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到
割线与圆交点的两条线段长的比例中项。 即：在⊙O 中，∵PA 是切线，PB 是割线 ∴ 2
PA PC PB =?
（4）割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等（如上图）。
即：在⊙O 中，∵PB 、PE 是割线 ∴PC PB PD PE ?=? 五、三角形的内切圆
（1）定义：与三角形三边都相切的圆（角平分线的交点） （2）内心、外切三角形
例1：如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ο
90，AO 的延长线交BC 于点D ，
AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ）
1、如图，∠ABC =90°，O 为射线BC 上一点，以点O 为圆心、21BO 长为半
径作⊙O ，当射线BA 绕点B 按顺时针方向旋转 度时与⊙0相切．
六、圆与圆的位置关系
外离（图1）? 无交点 ? d R r >+； 外切（图2）? 有一个交点 ? d R r =+； 相交（图3）? 有两个交点 ? R r d R r -<<+；
O E
D
C
B
A
D
C
B P
A
O
D
C
B
P
A
O
内切（图4）?有一个交点?d R r
=-；内含（图5）?无交点?d R r
<-；
r
R
d
图3
r
R
d
例1．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．
（1）(2) 解题思路：要求∠TPN，其实就是求∠OPO′的角度，很明显，∠POO′是正三角形，如图2所示．
解：∵PO=OO′=PO′∴△PO′O是一个等边三角形∴∠OPO′=60°
又∵TP与NP分别为两圆的切线，∴∠TPO=90°，∠NPO′=90°
∴∠TPN=360°－2×90°－60°=120°
例2．如图1所示，⊙O的半径为7cm，点A为⊙O外一点，OA=15cm，
求：（1）作⊙A与⊙O外切，并求⊙A的半径是多少？
r
R
d
图4
r
R
d
图5
r
R
d
A
O
(1) (2) (2）作⊙A 与⊙O 相内切，并求出此时⊙A 的半径．
解题思路：（1）作⊙A 和⊙O 外切，就是作以A 为圆心的圆与⊙O 的圆心距d=r O +r A ；（?2）?作OA 与⊙O 相内切，就是作以A 为圆心的圆与⊙O 的圆心距d=r A －r O ．
解：如图2所示，（1）作法：以A 为圆心，r A =15－7=8为半径作圆，则⊙A?的半径为8cm
（2）作法：以A 点为圆心，r A ′=15+7=22为半径作圆，则⊙A 的半径为22cm 例3．如图所示，点A 坐标为（0，3），OA 半径为1，点B 在x 轴上． （1）若点B 坐标为（4，0），⊙B 半径为3，试判断⊙A 与⊙B 位置关系； （2）若⊙B 过M （－2，0）且与⊙A 相切，求B 点坐标． 答（1）AB=5>1+3，外离．
（2）设B （x ，0）x≠－2，则29x +B 半径为│x+2│， ①设⊙B 与⊙A 29x +，
当x>－229x +，平方化简得：x=0符题意，∴B （0，0）， 当x<－229x +－x －1，化简得x=4>－2（舍）， ②设⊙B 与⊙A 29x +－1，
当x>－229x +，得x=4>－2，∴B （4，0）， 当x<－22
9x +－x －3，得x=0，
七、两圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。
如图：12O O 垂直平分AB 。
即：∵⊙1O 、⊙2O 相交于A 、B 两点
∴12O O 垂直平分AB
B
A
O1
O2
C
O2
O1
B A
_A
_y _x
_O
八、圆的公切线
两圆公切线长的计算公式：
（1）公切线长：12Rt O O C ?
中，221AB CO ==
（2）外公切线长：2CO 是半径之差； 内公切线长：2CO 是半径之和 。 九、圆内正多边形的计算 （1）正三角形
在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ?中进行
：
::2OD BD OB =；
（2）正四边形
同理，四边形的有关计算在Rt OAE ?
中进行，::OE AE OA = （3）正六边形
同理，六边形的有关计算在Rt OAB ?
中进行，::2AB OB OA =.
基础训练 1．填表：
2．若直线a 与⊙O 交于A ，B 两点，O 到直线a?的距离为6，?AB=?16，?则⊙O?的半径为_____． 3．在△ABC 中，已知∠ACB=90°，BC=AC=10，以C 为圆心，分别以5，8为半径作图，那么直线AB 与圆的位置关系分别是______，_______，_______．
4．⊙O 的半径是6，点O 到直线a 的距离为5，则直线a 与⊙O 的位置关系为（ ） A ．相离 B ．相切 C ．相交 D ．内含 5．下列判断正确的是（ ）
①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，?则直线与圆相交． A ．①②③ B ．①② C ．②③ D ．③
6．OA 平分∠BOC ，P 是OA 上任一点（O 除外），若以P 为圆心的⊙P 与OC 相离，?那么⊙P 与OB 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切
7．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C为圆心，r为半径作⊙C，当r为多少时，⊙C与AB相切？
8．如图，⊙O的半径为3cm，弦AC=42cm，AB=4cm，若以O为圆心，?再作一个圆与AC 相切，则这个圆的半径为多少？这个圆与AB的位置关系如何？
◆提高训练
9．如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，?如果⊙M 与y轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m?
的取值范围是_______．
10．如图，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=8cm，以A为圆心，3cm?长为半径的圆与直线BC的位置关系是_______．
11．如图，正方形ABCD的边长为2，AC和BD相交于点O，过O作EF∥AB，交BC于E，交AD于F，则以点B为圆心，2长为半径的圆与直线AC，EF，CD的位置关系分别是什么？
12．已知⊙O的半径为5cm，点O到直线L的距离OP为7cm，如图所示．（1）怎样平移直线L，才能使L与⊙O相切？
（2）要使直线L与⊙O相交，应把直线L向上平移多少cm？
13．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5，若以C为圆心，r为半径作圆，?那么: （1）当直线AB与⊙C相切时，求r的取值范围；
（2）当直线AB与⊙C相离时，求r的取值范围；
（3）当直线AB与⊙C相交时，求r的取值范围．
14．在南部沿海某气象站A测得一热带风暴从A的南偏东30?°的方向迎着气象站袭来，已知该风暴速度为每小时20千米，风暴周围50千米范围内将受到影响，?若该风暴不改变速度与方向，问气象站正南方60千米处的沿海城市B是否会受这次风暴的影响？若不受影响，请说明理由；若受影响，请求出受影响的时间．
九年级下册直线和圆的位置关系练习题
一、选择题：
1．若∠OAB=30°，OA=10cm ，则以O 为圆心，6cm 为半径的圆与射线AB 的位置关系是（ ）
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不能确定
2．Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，AC=6，以C 为圆心作⊙C 和AB 相切，则⊙C 的半径长为
（ ）
A ．8
B ．4
C ．9．6
D ．4．8
3．⊙O 内最长弦长为m ，直线l 与⊙O 相离，设点O 到l 的距离为d ，则d 与m 的关系是
（ ）
A ．d =m
B ．d ＞m
C ．d ＞2
m
D ．d ＜2
m
4．以三角形的一边长为直径的圆切三角形的另一边，则该三角形为（ ）
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
5．菱形对角线的交点为O ，以O 为圆心，以O 到菱形一边的距离为半径的圆与其他几边的
关系为（ ）
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不能确定
6．⊙O 的半径为6，⊙O 的一条弦AB 为63，以3为半径的同心圆与直线AB 的位置关系是（ ）
A ．相离
B ．相交
C ．相切
D ．不能确定
7．下列四边形中一定有内切圆的是（ ）
A ．直角梯形
B ．等腰梯形
C ．矩形
D ．菱形
8．已知△ABC 的内切圆O 与各边相切于D 、E 、F ，那么点O 是△DEF 的（ ）
A ．三条中线交点
B ．三条高的交点
C ．三条角平分线交点
D ．三条边的
垂直平分线的交点 9．给出下列命题：
①任一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆；
②任一个圆一定有一个内接三角形，并且只有一个内接三角形；
③任一个三角形一定有一个内切圆，并且只有一个内切圆；
④任一个圆一定有一个外切三角形，并且只有一个外切三角形．
其中真命题共有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、证明题
1．如图，已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线BC，连结CO．若AD∥OC交⊙O 于D．求证：CD是⊙O的切线．
2．已知：如图，同心圆O，大圆的弦AB=CD，且AB是小圆的切线，切点为E．求证：CD 是小圆的切线．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，⊙O的半径为3．
（1）当圆心O与C重合时，⊙O与AB的位置关系怎样？
（2）若点O沿CA移动时，当OC为多少时？⊙C与AB相切？
4．如图，直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，AD∥BC，E为AB上一点，DE平分∠ADC，CE平分∠BCD，以AB为直径的圆与边CD有怎样的位置关系？
5．设直线ι到⊙O的圆心的距离为d，半径为R，并使x2－2d x＋R=0，试由关于x的一元二次方程根的情况讨论ι与⊙O的位置关系．
6．如图，AB是⊙O直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E．
（1）由这些条件，你能得出哪些结论？（要求：不准标其他字母，找结论过程中所连的辅助线不能出现在结论中，不写推理过程，写出4个结论即可）
（2）若∠ABC为直角，其他条件不变，除上述结论外你还能推出哪些新的正确结论？并画出图形．（要求：写出6个结论即可，其他要求同（1））
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C为圆心，R为半径所作的圆与斜边AB只有一个公共点，则R的取值范围是多少？
8．如图，有一块锐角三角形木板，现在要把它截成半圆形板块（圆心在BC上），问怎样截取才能使截出的半圆形面积最大？（要求说明理由）
9．如图，直线ι1、ι2、ι3表示相互交叉的公路．现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可选择的地址有几处？
答案:
一.1-5 A D C B B ;6-9 C D D B
二.1.提示:连结OC,证△AOC与△BOC全等
2.作垂直证半径,弦心距相等
3.①垂直三角形的高,用面积方法求;②△AOE∽△ABC即可
4.用角平分线定理证明EF=EA=EB即可
5.做三角形的内切圆
6.①DE与⊙O相切,AB=BC,DE2+CE2=CD2,∠C+∠CDE=90°
②BC是⊙O的切线,有DE=1/2AB等.
7.R=2.4或3 8.∠A角平分线与BC的交点为圆心O,O到AC的距离为半径做圆 9.4 《直线与圆、圆与圆的位置关系》专题 2019年（ ）月（ ）日 班级 姓名 1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d ) 2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|) (1)圆的切线方程常用结论 ①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. ②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2. ③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. (2)直线被圆截得的弦长 弦心距d 、弦长l 的一半1 2l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋????12l 2. 1．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＝1的位置关系为( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．直线过圆心 D ．相离 2．两圆x2＋y2－2y＝0与x2＋y2－4＝0的位置关系是() A．相交B．内切 C．外切D．内含 3．已知直线l：y＝k(x＋3)和圆C：x2＋(y－1)2＝1，若直线l与圆C相切，则k＝() A．0 B. 3 C. 3 3或0 D.3或0 4．已知圆的方程为x2＋y2＝1，则在y轴上截距为2的切线方程为________．5．(2018·全国卷Ⅰ)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________. 考点一直线与圆的位置关系 考法(一)直线与圆的位置关系的判断 [典例]直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是() A．相交B．相切 C．相离D．不确定 [解题技法]判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d与r的关系． (2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断． (3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． [提醒]上述方法中最常用的是几何法． 直线与圆 ◆知识点归纳 直线与方程 1.直线的倾斜角 规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，它的倾斜角为0 范围：直线的倾斜角α的取值范围为),0[π 2.斜率：)2 (tan π α≠ =a k ，R k ∈ 斜率公式：经过两点),(111y x P ，),(222y x P )(21x x ≠的直线的斜率公式为1 21 22 1x x y y k P P --= 3.直线方程的几种形式 能力提升 斜率应用 例1.已知函数)1(log )(2+=x x f 且0>>>c b a ，则 c c f b b f a a f ) (,)(,)(的大小关系 例2.已知实数y x ,满足)11(222 ≤≤-+-=x x x y ，试求2 3 ++x y 的最大值和最小值 两直线位置关系 两条直线的位置关系 设两直线的方程分别为： 222111:b x k y l +=或0 :22221111=++C y B x A l ；当21k k ≠或1221B A B A ≠时它们 相交，交点坐标为方程组???+=+=2211b x k y b x k y 或???=++=++00 222 111C y B x A C y B x A 直线间的夹角： ①若θ为1l 到2l 的角，12121tan k k k k +-= θ或2 1211 221tan B B A A B A B A +-=θ； ②若θ为1l 和2l 的夹角，则12121tan k k k k +-= θ或2 1211 221tan B B A A B A B A +-=θ； ③当0121=+k k 或02121=+B B A A o 直线1l 到2l 的角θ与1l 和2l 的夹角α：) 2 (π θθα≤ = 圆与圆的位置关系学案 活动1，请以点o 为起始点，移动你手上的硬币，观察归纳两个圆的位置关系有几种情况？用铅笔刻描画出你得出的情况。 课堂练习：【A 组】 1、右图中有两圆的位置关系有 ， 未出现的位置关系是 2、判断对错 1）、若两圆有两个公共点，则两圆相交( ) 2）、如果两圆没有交点，所以这两圆的位置关系是外离。（ ） 3）若两圆只有一个交点,则这两圆外切. （ ） 4）、当O 1O 2=0时,两圆是同心圆. （ ） 3、⊙O 1和⊙O 2的半径分别为2cm 和5cm,在下列情况下，分别求出两圆的圆心距d 的取值范围： （1）外离________ （2）外切________ （3）相交____________（4）内切________ （5）内含___________ 4、⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和4cm，求⊙O1和⊙O2的位置关系.设: (1)O1O2=8cm______ (2)O1O2=7cm _______ (3)O1O2=5cm ______ (4)O1O2=1cm _________ (5)O1O2=0cm _______ 5：如图⊙O的半径为5cm，点P是⊙O外一点， OP=8cm。若以P为圆心作⊙P与⊙O相切，求⊙P的半径？ 【B组】 6：如图，在网格图中，（每个小正方形的边长均为1个单位）⊙A的半径为1，⊙B的半径为2， 1）、使⊙A与静止的⊙B外切，那么⊙A 由图示位置需向右平移个单位。 2）、使⊙A与静止的⊙B内切，那么⊙A由图示位置需向右平移个单位。 A B 【C组】 7在ABC中，AB=3，BC=5，AC=6，分别以顶点A,B,C为圆心的三个圆两两外切，求这三个圆的半径分别是多少? 8、分别以1厘米、2厘米、4厘米为半径，用圆规画圆，使他们两两外切。如何画最快？ 专题 圆与圆的位置关系 【阅读与思考】 两圆的半径与圆心距的大小量化确定圆与圆的外离、外切、相交、内切、内含五种位置关系.圆与圆相交、相切等关系是研究圆与圆位置关系的重点，解题中经常用到相关性质. 解圆与圆的位置关系问题，往往需要添加辅助线，常用的辅助线有： 1.相交两圆作公共弦或连心线； 2.相切两圆作过切点的公切线或连心线； 3.有关相切、相离两圆的公切线问题常设法构造相应的直角三角形. 熟悉以下基本图形和以上基本结论 . 【例题与求解】 【例1】 如图，大圆⊙O 的直径a AB cm ，分别以OA ，OB 为直径作⊙O 1和⊙O 2，并在⊙O 与⊙O 1和⊙O 2的空隙间作两个等圆⊙O 3和⊙O 4，这些圆互相内切或外切，则四边形3241O O O O 的面积为________cm 2 . （全国初中数学竞赛试题） 解题思路：易证四边形3241O O O O 为菱形，求其面积只需求出两条对角线的长. B 【例2】 如图，圆心为A ，B ，C 的三个圆彼此相切，且均与直线l 相切.若⊙A ，⊙B ， ⊙C 的半径分别为a ，b ，c （b a c <<<0），则a ，b ，c 一定满足的关系式为（ ） A .c a b +=2 B .c a b +=2 C . b a c 1 11+= D . b a c 111+= （天津市竞赛试题） 解题思路：从两圆相切位置关系入手，分别探讨两圆半径与分切线的关系，解题的关键是作圆的基本辅助线. 【例3】 如图，已知两圆内切于点P ，大圆的弦AB 切小圆于点C ，PC 的延长线交大圆于点D .求证： （1）∠APD =∠BPD ； （2）CB AC PC PB PA ?+=?2. （天津市中考试题） 解题思路：对于（1），作出相应辅助线；对于（2），应化简待证式的右边，不妨从AC ·BC =PC ·CD 入手. P B C D A 【例4】 如图⊙O 1和⊙O 2相交于点A 及B 处，⊙O 1的圆心落在⊙O 2的圆周上，⊙O 1的弦AC 与⊙O 2交于点D .求证：O 1D ⊥BC . （全俄中学生九年级竞赛试题） 解题思路：连接AB ，O 1B ，O 1C ，显然△O 1BC 为等腰三角形，若证O 1D ⊥BC ，只需证明O 1D 平分∠B O 1C .充分运用与圆相关的角. 【例5】 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =1,AB =2，DC =22，点P 在边BC 上 28.2.4《圆与圆的位置关系》 学案 教学目标： 1.使学生了解圆与圆位置关系的定义， 2.掌握用数量关系来识别圆与圆的位置关系。 重点难点： 用数量关系识别圆与圆的位置关系是本节课的教学重点，又是本节课的教学难点。 研讨过程： 一、认识生活中有关圆与圆的位置关系的一些图形 在现实生活中，圆与圆有不同的位置关系，如下图所示： 圆与圆的位置关系除了以上几种外，还有其他的位置关系吗？我们如何判断圆与圆的位置关系呢？这些问题待学习完这节课后就可以得到解决。 二、用公共点的个数阐述两圆的位置关系 请同学们在纸上画一个圆，把一枚硬币当作另一个圆，在纸上移动这枚硬币，观察两圆的位置关系和公共点的个数。 上图（1）、（2）、（3）所示，两个圆没有公共点，那么就说两个圆相离，其中 又叫做外离， 又叫做内含。 中两圆的圆心相同，这两个圆还可以叫做同心圆。如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，上图（4）、（5）所示．其中 又叫做外切， 又叫做内切。如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆相交，如图 所示。 （填写序号） 奥运会五环 三、用数量关系识别两圆的位置关系 思考：如果两圆的半径分别为3和5，圆心距（两圆圆心的距离）d 为9，你能确定他们的位置关系吗？若圆心距d 分别为8、6、4、2、1、0时，它们的位置关系又如何呢？ 利用以上的思考题让同学们画图或想象，概括出两圆的位置关系与圆心距、两圆的半径具有什么关系。 （1）两圆外离 d R r ?> +； （2）两圆外切d R r ?=+； （3）两圆外离R r d R r ?-<<+； （4）两圆外离d R r ?=-； （5）两圆外离0d R r ?≤<-； （填<、=、>号） 两圆的位置关系可表示成下列数轴的形式。 要判断两圆的位置关系，要牢牢抓住两个特殊点，即外切和内切两点，当圆心距刚好等于两圆的半径和时，两圆 ，等于两圆的半径差时，两圆 。若圆心距处于半径和与半径差之间时，两圆 ，大于两圆半径和时，两圆 ，小于两圆半径差时，两圆 。 四、例题与练习 例1、已知⊙A 、⊙B 相切，圆心距为10 cm ，其中⊙A 的半径为4 cm ，求⊙B 的半径。（提示：分两种情况讨论） 解：设⊙B 的半径为R ． （1） 如果两圆外切，那么 （2） 如果两圆内切，那么 所以⊙B 的半径为 cm 或 cm 。 例2、两圆的半径的比为2:3，内切时的圆心距等于8c m ，那么这两圆相交时圆心距的范围是多少？ 解： 练习：课本Ｐ54 练习1、2、3 五、小结 这节课我们同样也用数量关系来体现圆与圆的位置关系。在识别圆与圆的位置关系时，关系式比较多，也难于忘记，如果同学们能够掌握用数轴来体现圆与圆的位置关系，理解起来就会更深刻，记忆也会更容易。 六、作业 Ｐ55 习题8、9 教学反思： 0R-r R+r 外离相交外切内切内含d 20XX 年中考试题专题之 23-圆与圆的位置关系试题及答案 一．选择 1. （20XX 年泸州）已知⊙ O 1与⊙ O 2的半径分别为 5cm 和 3cm ，圆心距 020=7cm ，则两圆 的位 置关系为 A ．外离 B ．外切 C ．相交 D ．内切 2. （20XX 年滨州 ）已知两圆半径分别为 2 和 3，圆心距为 d ，若两圆没有公共点，则下列结 论正确的是（ ） A ． 0 d 1 B ． d5 C ． 0 d 1或 d 5 D ． 0≤ d 1或 d 5 3.（ 20XX 年台州市 ） 大圆半径为 6，小圆半径为 3，两圆圆心距为 10，则这两圆的位置 系为（ ） A ．外离 B ．外切 Ｃ． 相交 D ．内含 4.（ 2009 桂林百色）右图是一张卡通图，图中两圆的位置关系（ ） A ．相交 B ．外离 C ．内切 D ．内含 5．若两圆的半径分别是 1cm 和 5cm ，圆心距为 6cm ，则这两圆的位置关系是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 6（ 20XX 年衢州）外切两圆的圆心距是 7，其中一圆的半径是 4，则另一圆的半径是 A ．11 B ．7 C ． 4 D ． 3 7.（ 20XX 年舟山）外切两圆的圆心距是 7，其中一圆的半径是 4，则另一圆的半径是 A ．11 B ．7 C ． 4 D ． 3 8. .（20XX 年益阳市）已知⊙ O 1和⊙ O 2的半径分别为 1和 4，如果两圆的位置关系为相交， 那 么圆心距 O 1O 2 的取值范围在数轴上表示正确的是 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 A ． B ． C ． D ． 10.. （2009肇庆） 10．若⊙O 1与⊙O 2相切，且 O 1O 2 5 ， ⊙ O 1的半径 r 1 2，则⊙O 2的 半径 r 2 是（ ） B ． 5 9. （ 20XX 年宜宾）若两圆的半径分别是 A. 内切 B. 相交 C.外切 2cm 和 3cm,圆心距为 5cm ，则这两个圆的位置关 D. 外离 C ． 7 系是 直线与圆的方程 、直线的方程 已知 L 上两点 P 1（ x 1,y 1） P 2（ x 2,y 2 ） 当 x 1 = x 2 时， =900 ， 不存在。当 0 时， =arctank ， <0 时， = ②任何一个关于 x 、y 的二元一次方程都表示一条直线。 5、直线系：（1）共点直线系方程： p 0（x 0,y 0）为定值， k 为参数 y-y 0=k （x-x 0） 特别： y=kx+b ，表示过（ 0、 b ）的直线系（不含 y 轴） （ 2）平行直线系：① y=kx+b ，k 为定值， b 为参数。 ② AX+BY+ 入=0 表示与 Ax+By+C=0 平行的直线系 ③ BX-AY+ 入 =0 表示与 AX+BY+C 垂直的直线系 （ 3）过 L 1,L 2交点的直线系 A 1x+B 1y+C 1+入（ A 2X+B 2Y+C 2）=0（不含 L2） 6、三点共线的判定：① AB BC AC ，②K AB =K BC ， ③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。 、两直线的位置关系 k= y 2 y 1 x 2 x 1 20 2 已知 方程 说明 斜截式 K 、b Y=kx+b 不含 y 轴和行平 于 y 轴的直点斜式 P 1=(x 1,y 1) k y-y 1=k(x-x 1) 不含 y 轴和平 行 于 y 轴的直线 两点式 P 1(x 1,y 1) P 2(x 2,y 2) y y 1 x x 1 不含坐标辆和 平行于坐标轴 的直线 y 2 y 1 x 2 x 1 截距式 a 、b xy 1 ab 不含坐标轴、平 行于坐标轴和 过原点的直线 一般式 Ax+by+c=0 A 、 B 不同时为 0 3、截距（略）曲线过原点 横纵截距都为 0。 4、直线方程的几种形式 几种特殊位置的直 线 ①x 轴： y=0 ② y 轴： x=0 ③平行于 x 轴： y=b ④平行于 y 轴： x=a ⑤过原点： y=kx y 的二元一 次方程。 1、倾斜角： 0< < k 0 2 = 不存在 2 +arctank 2、斜 必修2 第四章 §4-3 圆与圆的位置关系 【课前预习】阅读教材P 129-132完成下面填空 1. 两圆的的位置关系 (1)设两圆半径分别为12,r r ，圆心距为d 若两圆相外离，则 ，公切线条数为 若两圆相外切,则 ，公切线条数为 若两圆相交,则 ， 公切线条数为 若两圆内切，则 ，公切线条数为 若两圆内含，则 ，公切线条数为 (2) 设两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C ，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程是 2.圆系方程 ①以点),(00y x C 为圆心的圆系方程为 ②过圆0:22=++++F Ey Dx y x C 和直线0:=++c by ax l 的交点的圆系方程为 ③过两圆0:111221=++++F y E x D y x C ，0:222222=++++F y E x D y x C 的交点的圆系方程为 （不表示圆2C ） 【课初5分钟】课前完成下列练习，课前5分钟回答下列问题 1. 已知圆1C ：2(1)x ++2(1)y -=1，圆2C 与圆1C 关于直线10x y --=对称，则圆2C 的方程为（ ） A.2(2)x ++2(2)y -=1 B.2(2)x -+2(2)y +=1 C.2(2)x ++2(2)y +=1 D.2(2)x -+2(2)y -=1 2．两个圆1C ：2222x y x y +++-2=0与2C ：2242x y x y +--+1=0的公切线有 且仅有（ ）. A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条 3．圆1C ：22()(2)x m y -++=9与圆2C ：2(1)x ++2()y m -=4外切，则m 的值 为（ ）. A. 2 B. －5 C. 2或－5 D. 不确定 4．两圆：x 2 + y 2 + 6 x + 4y = 0及x 2+y 2 + 4x + 2y – 4 =0的公共弦所在直线方程为 强调（笔记）： 【课中35分钟】边听边练边落实 5. 已知圆1C ：22660x y x +--=①，圆2C ：22460x y y +--=②（1）试判 断两圆的位置关系；（2）求公共弦所在的直线方程. 圆的方程与专题复习（直线与圆、圆与圆的位置关系、轨迹问题） 知识梳理 浙江省诸暨市学勉中学（311811）郭天平 圆的标准方程、一般方程与参数方程的推导与运用是这节内容的重点；涉及直线与圆、圆与圆的位置关系的讨论及有关性质的研究是这节的难点。 一、有关圆的基础知识要点归纳 1． 圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）是圆.定点即为圆心，定长为半径. 2． 圆的标准方程 ① 圆的标准方程：由圆的定义及求轨迹的方法，得()()()022 2 >=-+-r r b y a x ， 其中圆心坐标为()b a ,，半径为r ；当0,0==b a 时，即圆心在原点时圆的标准方程为 2 2 2 r y x =+； ② 圆的标准方程的特点：是能够直接由方程看出圆心与半径，即突出了它的几何意义。 3． 圆的一般方程 ①圆的一般方程：展开圆的标准方程，整理得， 02 2 =++++F Ey Dx y x ( ) 042 2>-+F E D ； ② 圆的一般方程的特点：（1）22,y x 项系数相等且不为0；（2）没有xy 这样的二次项 ③ 二元二次方程02 2=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件是 0≠=C A 且0=B ； 二元二次方程02 2=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是0 ≠=C A 且0=B 且0422>-+AF E D 4． 圆的参数方程 圆的参数方程是由中间变量θ将变量y x ,联系起来的一个方程. ① 圆心在原点，半径为r 的圆的参数方程是：θθ θ(sin cos ?? ?==r y r x 为参数）； ② 圆心在()b a ,，半径为r 的圆的参数方程是：θθθ (sin cos ? ??+=+=r b y r a x 为参数）； 5． 确定圆方程的条件 圆的标准方程、圆的一般方程及参数方程都有三个参数，因此要确定圆方程需要三个独立的条件，而确定圆的方程我们常用待定系数法，根据题目不同的已知条件，我们可适当地选择不同的圆方程形式，使问题简单化。如已知条件中涉及圆心与半径有关等条件，一般设圆的标准方程，即列出r b a ,,的方程组，求出r b a ,,的值，也可根据圆的特点直接求出圆心()b a ,，半径r 。当圆心位置不能确定时，往往选择圆的一般方程形式，由已知条件列出F E D ,,的三个方程，显然前者解的是三元二次方程组，后者解的是三元一次方程组，在运算上显然设一般式比标准式要简单。 6． 点与圆的位置关系 设圆()()2 2 2 :r b y a x C =-+-，点()00,y x M 到圆心的距离为d ，则有： 直线和圆 一．直线 1．斜率与倾斜角：tan k θ=，[0,)θπ∈ （1）[0,)2π θ∈时，0k ≥； （2）2πθ=时，k 不存在；（3）(,)2πθπ∈时，0k < （4）当倾斜角从0?增加到90?时，斜率从0增加到+∞； 当倾斜角从90?增加到180? 时，斜率从-∞增加到0 2．直线方程 （1）点斜式：)(00x x k y y -=- （2）斜截式：y kx b =+ （3）两点式：1 21121x x x x y y y y --=-- （4）截距式：1x y a b += （5）一般式：0C =++By Ax 3．距离公式 （1）点111(,)P x y ，222(,)P x y 之间的距离：12PP = （2）点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++= 的距离：d = （3）平行线间的距离：10Ax By C ++=与20Ax By C ++= 的距离：d = 4．位置关系 （1）截距式：y kx b =+形式 重合：1212 k k b b == 相交：12k k ≠ 平行：1212 k k b b =≠ 垂直：121k k ?=- （2）一般式：0Ax By C ++=形式 重合：1221A B A B =且1221A C A C =且1212B C C B = 平行：1221A B A B =且1221A C A C ≠且1212B C C B ≠ 垂直：12120A A B B += 相交：1221A B A B ≠ 5．直线系 1112220A x B y C A x B y C λ++++=＋（）表示过两直线1111:0l A x B y C ++=和2222:0l A x B y C ++=交点的所有直线方程（不含2l ） 二．圆 1．圆的方程 （1）标准形式：222 ()()x a y b R -+-=（0R >） （2）一般式：220x y Dx Ey F ++++=（2240D E F +->） （3）参数方程：00cos sin x x r y y r θθ=+??=+? （θ是参数） 【注】题目中出现动点求量时，通常可采取参数方程转化为三角函数问题去解决. （4）以11(,)A x y ,22(,)B x y 为直径的圆的方程是：()()()()0A B A B x x x x y y y y --+--= 2．位置关系 （1）点00(,)P x y 和圆222 ()()x a y b R -+-=的位置关系： 当22200()()x a y b R -+-<时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=内部 当22200()()x a y b R -+-=时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=上 当22200()()x a y b R -+->时，点00(,)P x y 在圆222()()x a y b R -+-=外 （2）直线0Ax By C ++=和圆222()()x a y b R -+-=的位置关系： 判断圆心(,)O a b 到直线0Ax By C ++= 的距离d = R 的大小关系 当d R <时，直线和圆相交（有两个交点）； 当d R =时，直线和圆相切（有且仅有一个交点）； 当d R <时，直线和圆相离（无交点）； 4.2.2 圆与圆的位置关系（学案） 姓名： 一、复习引入：圆与圆的位置关系 设两圆1C 与2C 的半径分别为R r ，，圆心距为12=C C d 。 （二）自主探究：如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？ 类比回顾： 典例（教材P129页例3）已知圆2212880C x y x y +++-=：， 2224420C x y x y +---=：，试判断圆1C 与圆2C 的位置关系？ （三）形成方法： 典例变式1：判定圆221210240C x y x y ++--=：，222440C x y x y +--=：的位置关系？ （四）问题再探： 思考1：在典例中，设两圆相交于A 、B 两点，如何求相交弦AB 的直线方程？你有什么发现？ 思考2：在典例中，怎么求公共弦AB 的长？ （五）提升练习： 典例变式2：已知圆2212880C x y x y +++-=：， 2222108410(0)C x y x y r r +---+=>：，当r 为何值时，两圆的位置关系为外切？ 相交？内含？ （六）课堂小结： 绵中精品小练习及两个思考探究题： 探究1：对比直线的交点系方程，当圆2211110C x y D x E y F ++++=：与圆 2222220C x y D x E y F ++++=：相交时，方程 ()2222111222+0x y D x E y F x y D x E y F λ++++++++=可以表示什么曲线？ 探究2：已知两圆2211110C x y D x E y F ++++=：与2222220C x y D x E y F ++++=： 当1C 与2C 相交时，直线()()()1212120l D D x E E y F F -+-+-=：表示两圆的公共弦方程。那么，当两圆相切或是相离时，直线l 是否有一定的几何特征呢？ 1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法 (1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． d 直线和圆知识点总结 1、直线的倾斜角：（1 ）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与 X 轴相交的直线l , 如果把X 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线I 重合时所转的最小正角记为，那么 就叫 做直线的倾斜角。当直线I 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围 0, < 2 一 过点P （ J3,1）,Q （0,m ）的直线的倾斜角的范围 [―,——],那么m 值的范围是 3 3 （答：m 2 或 m 4） 2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线 的斜率k ，即k = tan （ 丰90° ）;倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过 两点R （x 1,yJ 、卩2&2』2）的直线的斜率为 k a （1,k ），直线的方向向量与直线的斜率有何关系? 如（1）两条直线钭率相等是这两条直线平行的一 X 1 X 2 ； （ 3）直线的方向向量 x 1 x 2 （4）应用：证明三点共线： k AB k BC 。 _________ 条件（答：既不充分也不必要）； （2）实数x, y 满足3x 2y 5 0 （ 1 x 3），则上的最大值、最小值分别为 ___________ （答: x （1）点斜式：已知直线过点 （x 0,y 0）斜率为k ，则直线方程为kx b ,它不包括垂直于 x 轴的直线。（3）两点式：已知直 线经过R （X 1,yJ 、卩:化皿）两点，则直线方程为 —―丄 —―生，它不包括垂直于坐 y 2 y 1 X 2 X 1 标轴的直线。（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为a,b ,则直线方程为— 1 , a b 它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。（5） 一般式：任何直线均可写成 Ax By C 0（A,B 不同时为0）的形式。如（1）经过点（2,1）且方向向量为v =（ — 1, . 3 ） 的直线的点斜式方程是 _____________________ （答：y 1 V3（x 2） ） ； （ 2 ）直线 （m 2）x （2 m 1）y （3m 4） 0 ,不管 m 怎样变化恒过点 _______ （答：（1, 2） ）； （3） 若曲线y a | x |与y x a （a 0）有两个公共点，则a 的取值范围是 ____________ （答: a 1） 提醒:（1）直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线， 还 有截距式呢？）； （2）直线在坐标轴上的截距可正、 可负、也可为0.直线两截距相等 直线 的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数 直线的斜率为1或直线过原点；直线 两截距绝对值相等 直线的斜率为 1或直线过原点。 如过点A （1,4），且纵横截距的绝对 值相等的直线共有―条（答：3） 4. 设直线方程的一些常用技巧 ：（1）知直线纵截距b ，常设其方 程为y kx b ； （2） 知直线横截距X 0，常设其方程为x my x °（它不适用于斜率为 0的直线）；（3）知直线过 点 （x °,y °），当斜率k 存在时，常设其方程为 y k （x x 。） y 。，当斜率k 不存在时，则其 方程 如（1）直线xcos .. 3y 2 0的倾斜角的范围是 5 （答：[。，評它，））；（2） 1） 3、直线的方程 y y 。 k （x x 0）,它不包括垂直于 x 轴的直线。（2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为 b 和斜率k ，则直线方程为y 新苏科版九年级数学上册：2.5 直线与圆的位置关系（1）学案 时间 学习目标1．经历探索直线与圆的位置关系的过程； 2．理解直线与圆的三种位置关系——相交、相切、相离；3．能利用圆心到直线的距离d与圆的半径r之间的数量关系判别直线与圆的位置关系． 学习重点用“圆心到直线的距离与圆半径之间的数量关系”来描述“直线与圆的位置关系”的方法． 学习难点直线和圆相切：“直线和圆有唯一公共点”的含义. 学习过程： 【预习·导学】 我们已经学习过点和圆的位置关系，请同学们回忆： （1）点和圆有哪几种位置关系？ （2）怎样判定点和圆的位置关系？（数量关系——位置关系） 【预习检测】 【教学内容】 实践探索一：直线和圆的位置关系 在纸上画一个圆，上下移动直尺．把直尺看作直线，在移动的过程中观察直线与圆的位置关系发生了怎样的变化？ 直线与圆的三种不同位置关系与直线与圆的公共点个数有关．(1)直线和圆有两个公共点，叫做直线和圆相交． (2)直线和圆有唯一公共点，叫做直线和圆相切，这条直线叫圆的切线，这个公共点叫切点． (3)直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离． 【小组合作探究】 实践探索二：探究直线与圆的位置关系的数量特征 1．直线与圆的位置关系能否像点与圆的位置关系一样，也可以用数量关系来刻画它们的三种位置关系呢？1．学生自己画图探究，并进行全班交流研讨. (1)直线与圆相交 d ＜r ； (2)直线与圆相切 d ＝r ； (3)直线与圆相离 d ＞r ． 【大班交流，师生互动】 例1 在△ABC 中，∠A ＝45°，AC ＝4，以C 为圆心，r 为半径的圆与直线AB 有怎样的位置关系？为什么？ （1）r ＝2；（2）r ＝22；（3）r ＝3． d O (1)相交 r d .(2)相切 r d .(3)相离 r O O 第39讲 圆与圆的位置关系（一） [复习目标] 使学生了解圆与圆之间的5种位置关系，掌握两圆位置关系的判定方法，了解两圆公切线的有关概念，掌握两圆相交、相切的有关性质，并会应用于解题． [知识要点] 1．两圆的5种位置关系及判定方法． 2．相交、相切两圆的性质； 1） 相切两圆的连心线必过切点，相切两圆有公切线； 2） 相交两圆的连心线必垂直平分公共弦． 注：常见的辅助线是①画相切两圆的公切线②画公共弦和连心线。 [典型例题解析] 例1 选择、填空题： 1） 已知两圆的半径满足方程02222=+-x x ，圆心距为2，则两圆的位置关系为（ ） A ．相交 B ．外切 C ．内切 D ．外离 2）如果两圆相（内）切，一个圆的半径为3，两圆的圆心距为4，则另一个圆的半径为 1 或7 ． 3）相交两圆半径分别为一无二次方程0170272=+-x x 的两根，它们的公共弦长16，则它们的圆心距为 21或9 ． 4）如两圆共有三条公切线，那么这两个圆的位置关系为（ ） A ．外离 B ．相交 C ．外切 D ．内切 5）已知两圆半径分别为12和4，外公切线长是15，则两圆的位置关系为 ，外公切线与连心线夹角的正弦值为 ． 例2 如图，⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，且O 1在⊙O 2上，过点A 的直线CD 分别与 ⊙O 1和⊙O 2交于点C ，D ，过点B 的直线EF 分别与⊙O 1和⊙O 2交于点E ，F ，⊙O 2的弦O 1D 交AB 于P. 1） 求证：CE ∥DF ； 2） 求证：D O P O OG 112?=. 思路 1）画公共弦AB ，证∠E+∠F=180°; 2）证ΔAO 1P ∽ΔAO 1 D 得D O P O OG 112?=. 小结 添公共弦AB 对解题起到了桥梁和关键得作用，是两圆相交中常见得辅助线． 思考 1）如何证G 是ΔABD 得内心？2）若PG=1，GD=2，求⊙O 1得半径？ 例3 如图，⊙O 1和⊙O 2内切于A ，⊙O 2得弦BC 切⊙O 1于D ，AD 得延长线交⊙O 2于M ，连结 AB ，AC 分别交⊙O 1于E ，F ，连结EF ． A B C E F D O 1 O 2 P G 直线和圆知识点总结 1、直线的倾斜角：（1）定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x 轴相交的直线l ，如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α，那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时，规定倾斜角为0；（2）倾斜角的范围[)π,0。如（1）直线023cos =-+y x θ的倾斜角的范围是____（答：5[0][)66 ，，π ππ ）；（2）过点),0(),1,3(m Q P -的直线的倾斜角的范围m 那么],32,3[π πα∈值的范围是______ （答：42≥-≤m m 或） 2、直线的斜率：（1）定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ，即k ＝tan α(α≠90°)；倾斜角为90°的直线没有斜率；（2）斜率公式：经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212121x x x x y y k ≠--=；（3）直线的方向向量(1,)a k = ， 直线的方向向量与直线的斜率有何关系？（4）应用：证明三点共线： AB BC k k =。如(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的____________条件（答：既不充分也不必要）；（2）实数,x y 满足3250x y --= (31≤≤x )，则 x y 的最大值、最小值分别为______（答：2,13 -） 3、直线的方程：（1）点斜式：已知直线过点00(,)x y 斜率为k ，则直线方程为 00()y y k x x -=-,它不包括垂直于x 轴的直线。 （2）斜截式：已知直线在y 轴上的截距为b 和斜率k ，则直线方程为y kx b =+,它不包括垂直于x 轴的直线。（3）两点式：已知直线经 过111(,)P x y 、222(,)P x y 两点，则直线方程为1 21121x x x x y y y y --=--，它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式：已知直线在x 轴和y 轴上的截距为,a b ,则直线方程为1=+b y a x ，它不包括垂直于坐标轴的直线和过原点的直线。（5）一般式：任何直线均可写成0Ax By C ++=(A,B 不同时为0)的形式。如（1）经过点（2，1）且方向向量为v =(－1,3) 的直线的点斜式方程是___________（答：1(2)y x -=-）；（2）直线(2)(21)(34)m x m y m +----=，不管m 怎样变化恒过点______（答：(1,2)--）；（3）若曲线||y a x =与(0)y x a a =+>有两个公共点，则a 的取值范围是_______（答：1a >） 提醒：(1)直线方程的各种形式都有局限性.（如点斜式不适用于斜率不存在的直线，还有截距式呢？）；(2)直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为0.直线两截距相等?直线的斜率为-1或直线过原点；直线两截距互为相反数?直线的斜率为1或直线过原点；直线两截距绝对值相等?直线的斜率为1±或直线过原点。如过点(1,4)A ，且纵横截距的绝对值相等的直线共有___条（答：3） 4.设直线方程的一些常用技巧：（1）知直线纵截距b ，常设其方程为y kx b =+；（2）知直线横截距0x ，常设其方程为0x my x =+(它不适用于斜率为0的直线)；（3）知直线过点00(,)x y ，当斜率k 存在时，常设其方程为00()y k x x y =-+，当斜率k 不存在时，则其方程为0x x =；（4）与直线:0l Ax By C ++=平行的直线可表示为10Ax By C ++=；（5）与直线:0l Ax By C ++=垂直的直线可表示为10Bx Ay C -+=. 提醒：求直线方程的基本思想和方法是恰当选择方程的形式，利用待定系数法求解。 精心整理第三讲直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系 第一部分知识梳理 一.直线与圆的位置关系 1.直线与圆的三种位置关系 如图，设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，得出直线和圆的三种位置关系： （1）直线l和⊙O相离?d r > 此时：直线和圆没有公共点． （2）直线l和⊙O相切?d r = . （1）如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线. （2）到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线. 证明直线是圆的切线的两种情况: （1）当不能说明直线与圆是否有公共点时，应当用“圆心到直线的距离等于半径 长”来判定直线与圆相切. （2）当已知直线与圆有公共点时，应当用判定定理，即“经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”，简单地说，就是“联半径，证垂直”. 二.圆与圆的位置关系 1.圆与圆的五种位置关系 在同一个平面内，两个不等的圆的位置关系共有五种:外离、外切、相交、内切、 （ （ （ （ （ 2. 注：当两圆相切时分为两种情况：外切和内切. 3.相交两圆的性质 相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦． 注：当两圆相交时分为两种情况：圆心在公共弦的同侧和圆心在公共弦的两侧. 第二部分例题精讲 例1如图，已知Rt ABC ?中，∠C=90°，AC=3，BC=4 （1）圆心为点C、半径长R为2的圆与直线AB有怎样的位置关系？ （2）圆心为点C、半径长R为4的圆与直线AB有怎样的位置关系？ （3）如果以点C为圆心的圆与直线AB有公共点，求⊙C的半径R的取值范围. . 已知Rt ABC ?中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，以B为圆心作⊙B. （1）若⊙B与斜边AC只有唯一一个公共点，求⊙B的半径长R的取值范围. （2）若⊙B与斜边AC没有公共点，求⊙B的半径长R的取值范围. 例2已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且 《直线和圆地位置关系》教学设计 （课时：第一课时撰稿人：范立琰） 【课标分析】理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系：了解切线地概念. 【教材分析】这部分内容包括直线和圆地三种关系，探索圆地切线地性质，探索圆地切线地判定方法，以及作三角形内切圆地方法.探索并证明切线长定理，并运用切线长定理进行有关地论证和计算. 本节课主要研究直线和圆地三种位置关系. 【学生分析】首先让学生感受生活中反映直线与圆位置关系地现象，然后让学生动手操作，在这一过程中引导学生归纳出直线与圆地几种位置关系，进一步归纳出直线与圆地不同位置关系中d与r地大小关系，然后对d=r地情形特别关注，这就是圆和直线地相切关系，从而讨论得出切线地性质，再通过旋转实验地办法探索切线地判定条件.在此基础上能做出三角形地内切圆.在教学中主要让学生探索归纳，当遇到困难时教师给予适当指导，这样可以充分发挥学生地主观能动性，还能增进同学们地友谊，培养学生地合作能力. 【教学过程】 d 它们分别是相交、相切、相离． (1)当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交． (2)当直线和圆有唯一公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆地切线．这个唯一地公共点叫做切点. 当直线与圆相交时当直线与圆相切时当直线与圆相离时 作AB地垂线段CD． 点在圆内r.-------------------- d《直线与圆、圆与圆的位置关系》专题(学生版)
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