人教版二次根式教案课程
第十六章 二次根式
课题：16.1二次根式 课型：新授课 教学目标：
1、理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义
2、会确定二次根式有意义的条件，知道a (a ≥0)是非负数，并会运用会进行二次根式的平方运算，
3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究
()2
a 和
2a 所含运算、运算顺序、运算结果分析，归
纳并掌握性质
教学重点：
1.a 有意义的条件.
2.a ≥0时 a ≥0的应用.
3.
()2
a 和
2a 的运算、化简
教学难点：
当a <0时2a 的化简
教学过程： 一、复习引入
在七年级实数中，已经用到过简单的二次根式，在本章中将系统地学习二次根式的运算。 二、探究新知 （一）定义及非负性
活动1、填空，完成课本思考1：
65，S ，2，5
h
活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义. 活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法. 活动4、思考下列问题：
①9的运算结果是3，9是不是二次根式？3是不是？ ②定义中为什么要加a ≥0？若a<0，a 表示什么？有无意义？
③当 a=0时，a 表示什么？结果是什么？当 a>0时，a 表示什么？可不可能为负数？a (a ≥0)是什么样的数呢？
例1、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义的情况下，其运算结果是怎样的实数？
2-x ，
1
1+x ，
32+x
练习：1、课本思考2：当x 是怎样的实数时，
2x ，3x 有意义？
1、若m x -=-2，则x 和m 的取值范围是x_____；m______.
2、已知
053=-++y x ，求y x ,的值各是多少？
（二）两个运算性质 活动5、完成课本探究1 活动6、对
()2
a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变.
练习：课本例2 活动7、完成课本探究2
活动8、对2a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方
再开方结果为相反数. 练习：课本例3
补充练习： 1、化简：
2)4(-π，2)32(-；
2、直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边，则式子()2
a -()2
c 与式子
2)(c a -有什么关系？
三、课堂训练
完成课本中两个练习.
1、m m =-1 成立的条件是_______.
2、m m =+1成立的条件是_______. 四、小结归纳
1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质.
2、二次根式的两个运算性质，平方为“父对象”，开方为“子对象”.
3、简单介绍代数式的概念.
4、重复演示课件呈现练习题，供学生记录. 五、作业设计
必做：P5：1、2、3、4、5、6 选做：P5：7、8、9、10 教学反思
教学课题：16.2二次根式的乘除（第1课时） 教学课型：新授课
教学目标：
1.会运用二次根式乘法法则进行二次根式的乘法运算
2.会利用积的算术平方根性质化简二次根式经历观察、比较、概括二次根式乘法公式，通过公式的双向性得到积的算术平方根性质.
3.通过例题分析和学生练习，达成目标1，2，认识到乘法法则只是进行乘法运算的第一步，之后如果需要化简，进行化简，并逐步领悟被开方数的最优分解因数或因式的方法
教学重点：双向运用
ab b a =
?(a ≥0，b≥0)进行二次根式乘法运算
教学难点：被开方数的最优分解因数或因式的方法 教学过程
一、复习引入：上节课学习了二次根式的定义和三个性质，这节课开始学习二次根式的运算，先来学习乘法运算 二、探究新知
（一）二次根式乘法法则 活动1、1.填空，完成课本探究1
2.用1中所发现的规律比较大小
36436?；26
活动2、给出二次根式的乘法法则
活动3、思考下列问题：
①公式中为什么要加a ≥0, b≥0？
②两个二次根式相乘其实就是 不变， 相乘 ③
c b a ?
?（a ≥0, b≥0，c≥0）=
练习：课本例1，在（1）（2）之后补充 （3）a a 4?
归纳：运算的第一步是应用二次根式乘法法则，最终结果尽量简化
（二）积的算术平方根性质
活动4.将二次根式乘法公式逆用得到积的算术平方根性质 完成课本例2，在（1）（2）之间补充48
归纳：化简二次根式实质就是先将被开方数因数分解或因式分解，然后再将能开的尽方的因数或因式开方后移到根号外. 例3. 计算:
（1）714? （2）10253?；（3）xy x 313?
分析：
（1）第一步被开方数相乘，不必急于得出结果，而是先观察因式或因数的特点，再确定是否需要利用乘法交换律和结合律以及乘方知识将被开方数的积变形为最大平方数或式与剩余部分的积，最后将最大平方数或式开方后移到根号外.
（2）运用乘法交换律和结合律将不含根号的数或式与含根号的数或式分别相乘，再把这两个积相乘.，之后同（1） 三、课堂训练 完成课本练习. 补充：1.
1112-=-?+x x x 成立，求x 的取值范围.
2.化简：()03≤-x y x
四、小结归纳
1.二次根式乘法公式的双向运用；
2.进行二次根式乘法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法 五、作业设计
必做：P10：1、3（1）（2）、4 补充作业：
1．计算:
(1)57?； (2)
273
1
?；(3)155?； (4)8423? 2.化简(1)
3227y x ； (2)
ab a
183
2?
教学课题：16.2二次根式的乘除（第2课时） 教学课型：新授课
教学目标：
1.会运用二次根式除法法则进行二次根式的除法运算.
2.会利用商的算术平方根性质化简二次根式.
3.理解最简二次根式概念，知道二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式. 4通过例题分析和学生练习分母有理化方法进行二次根式除法 教学重点：双向运用
0)b 0( ≥≥=
、a b
a
b
a 进行二次根式除法运算 教学难点：能使用分母有理化方法进行二次根式的除法运算 教学过程： 一、复习引入
导语设计：上节课学习了二次根式的乘法，这节课学习二次根式的除法运算. 二、探究新知 (一)二次根式除法法则
活动1、1.填空，完成课本探究1
2.用1中所发现的规律比较大小
活动2、给出二次根式的除法法则
活动3、思考下列问题： ①公式中为什么要加a ≥0, b>0？
②两个二次根式相除其实就是 不变， 相除
练习：课本例4，在（1）（2）之后补充 （3）a a ÷34 归纳：运算的第一步是应用二次根式除法法则，最终结果尽量简化. (二)商的算术平方根性质
活动4.将二次根式除法公式逆用得到商的算术平方根性质 完成课本例5
归纳：化简被开方式含有分数线的二次根式，就是将分子的算术平方根做分子，分母的算术平方根做分母，再利用积的算术平方根分别化简. 例6. 计算: （1）
5
3 （2）2723；（3）
a
28
分析：第一步可以把被开方数相除，然后告诉学生被开方数中不能含有分母，数必须是整数，利用分数的基本性
质将分母变成完全平方数，开方后移到根号外；也可以直接模仿分数的基本性质和公式a a =2
)(，
)0,0(≥≥=?b a ab b a ，以去掉分母中的根号.
（三）最简二次根式概念
活动5、让学生观察所做习题结果，总结归纳结果的特点，得到最简二次根式的概念.
分析概念：1.被开方数不含分母的含义指-----因数是整数，因式是整式；2.被开方数中不能含开得尽方的因数是指----被开方数不能分解出完全平方数；被开方数中不含开得尽方的因式是指----被开方数的每一个因式的指数都小于根指数2，因此，每一个因式的指数都是1. 完成课本例7
补充：化简2
4
4
2
y x y x +
注意：被开方数是和式时，结果不等于各加数的算术平方根的和.
三、课堂训练 完成课本练习. 补充： 1.
1
11
1-+=
-+x x x x 成立，求x 的取值范围. 2.找出下列根式中的最简二次根式 3.判断下列等式是否成立 四、小结归纳
1.二次根式除法公式的双向运用；
2.进行二次根式除法运算的一般步骤，观察式子特点灵活选取最优解法.
3.最简二次根式概念 五、作业设计
必做：P10：2、3（3）（4）、5、6、7 选做：P11：8、9、10
教学课题：16.3二次根式的加减（第1课时） 教学课型：新授课
教学目标：
1.知道在有理数范围内成立的运算律在实数范围内仍然成立.
2.能熟练将二次根式化简成最简二次根式.
3.会运用二次根式加减法法则进行二次根式的加减运算 教学重点：二次根式加减法运算方法
教学难点：二次根式的化简，合并被开方数相同的最简二次根式 教学过程 一、复习引入
上节课学习了二次根式的乘除法，这节课学习二次根式的加减法运算. 二、探究新知
(一)二次根式加减法法则
活动1、类比计算，说明理由 ① 2a +3a ； 2
322
+. ② 2a -3a ； 2
322
-.
③123+ ； 1812+
思考：（1）在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继续使用？
（2）二次根式的加减运算与整式的加减运算相同之处是什么？ （3） 什么样的二次根式能够合并？
（4）模仿整式的加减运算怎样进行二次根式的加减运算？ 活动2、给出二次根式的加减法法则 分析法则：
二次根式加减时，先将非最简二次根式化为最简二次根式，再逆用乘法分配律将被开方数相同的二次根式进行合并.被开方数不同的最简二次根式不能合并，作为最后结果中的部分. 练习：①课本例1，补充 （3）182- （4）
82
1
- ②课本例2，补充 ???
? ??+-???? ??-6812124 分析说明：
①中补充（3）结果为负，（4）含分数线，作为例1，例2的过渡。②中补充括号前是负号的. (二)二次根式加减的应用 1.课本引例
分析：这个实际问题的解决方法可能不同，还可以先估算两个正方形的边长，，再把它们的和与木板的长比较.
三、课堂训练 完成课本练习 补充：
1.下列各组二次根式中，化简后被开方式相同的是（） A.2ab ab 与 B.
2222n m n m -+与
C.
n
m mn 11+与
D.2
9984
343b a b a 与
2.二次根式的计算为什么先学乘除，后学加减？还有哪块知识也是如此？ 四、小结归纳
1.进行二次根式加减运算的一般步骤.
2.二次根式的熟练化简.
3.二次根式加减的实际应用. 五、作业设计 必做：P15：1、2、3 选做：5 补充作业：
计算: （1）223-
； （2）27122+；
（3）
2
9
18-
； （4）x x 2242+； （5）3222x a x -
； （6）23218+
-；
（7）
108965475-+
-；
（8）
)272(4
3
)32(2
1
--
+
教学课题：16.3二次根式的加减（第2课时） 教学课型：新授课
教学目标：
1.在有理数的混合运算及整式的混合运算的基础上，使学生了解二次根式的混合运算与以前所学知识的关系，在比较中求得方法，并能熟练地进行二次根式的混合运算
2.对二次根式的混合运算与整式的混合运算及有理数的混合运算作比较，注意运算的顺序及运算律在计算过程中的作用．并感受数的扩充过程中运算性质和运算律的一致性以及数式通性.
3.在运算中运用多项式的乘法法则和整式的乘法公式，体会二次根式的运算与整式的运算的联系. 教学重点：混合运算的法则，运算律的合理使用
教学难点：灵活运用运算律、乘法公式等技巧，使计算简便 教学过程 一、复习引入
导语设计：到目前为止，我们已经学习了二次根式的乘除、加减运算，这节课来学习二次根式的混合运算. 二、探究新知
(一)二次根式混合运算法则
活动1、类比计算，说明理由
①(2a +3b)a ； ( 3322+)6 ②(2a +3b)(a -b)； ()()
326
2+
-
③(3a b-4a
2
)÷a ；
()312
6÷
+
思考：（1）在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内能否继续使用？
（2）二次根式的混合运算与整式的混合运算相同之处是什么？ （3）左边式子中的字母a 、b 可以表示二次根式吗？ （4）模仿整式的混合运算怎样进行二次根式的混合运算？ 活动2、给出二次根式的混合运算的一般步骤. 分析法则：
（1）进行二次根式混合运算时，运算顺序与实数运算类似，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算
括号里面的（或先去掉括号）.
（2）对于二次根式混合运算，原来学过的所有运算律、运算法则仍然适用，整式、分式的运算法则仍然适用。 （3）有括号的二次根式混合运算，去掉括号是最关键的一步. 练习：①课本例4，补充 （3）27)64
148(
÷-
②课本例5，补充 2
)5225(+
分析说明：①中补充（3）是不能除尽（含分数线）的类型。②中补充完全平方公式应用.
归纳：二次根式混合运算时，乘法公式仍然适用，仔细观察式子的特征，灵活运用完全平方公式、平方差公式来简化运算.
(二)二次根式混合运算的应用 1.若x=
12-,则x 2+x+1=
2.已知23,23-=+
=y x ，求()
1y
x x y +；()2
2622y xy x ++的值 三、课堂训练 完成课本练习
四、小结归纳
1.进行二次根式混合运算的一般步骤.
2.二次根式混合运算时，仔细观察式子的特征，灵活运用运算法则、运算律、公式来简化运算.
3.二次根式混合运算的应用. 五、作业设计 必做： P15：4、6、7 选做： P15：8、9
.已知236.25≈，求455
4
4555+-
的近似值. 教学课题：第16章小结 教学课型：复习课
教学目标：
1.学生构建知识体系，从知识生成的本质和思想方法的本质养成学习数学的能力
2.通过解决典型的题目，抓住本章要点；解决易出错的题目，找出错陷阱和错因.
3.联系实数，整式，勾股定理等相关知识进行综合运用
教学重点：深化理解二次根式的概念和性质，熟练进行二次根式的化简与运算 教学难点：进一步理解二次根式的性质和运算法则的合理性 教学过程 一、复习引入
我们已经学习了二次根式的概念，性质和运算，这节课来复习并总结本章知识. 二、复习提升 (一)基础巩固 ●
解答下列各题，注意易让你犯错的陷阱 1.若
x 54+有意义，则x 的取值范围是 .
2.下列各式是最简二次根式的是（ ）A.
a 8 B.
2
a
C.a b + D .3a
3.下列二次根式中，和32是同类二次根式的是（ ） A.
12 B.50 C.
27 D.
24
4.下列运算正确的是（ ） A.
4141+=+ B.3232=+ C.
()222
-=- D.
228=
5.计算：①
)2332(3+ ②
12
1
9
2
21
+- ③
(
)
2
35- ④()()
35233523+-
归纳：本组训练题目典型，易错，旨在进一步理解二次根式相关知识，熟练进行二次根式化简与运算. ●
解答下列各题，注意避免犯上组题中的错误，看是否有新的发现. 1.若
x 54-有意义，则x 的取值范围是 .
2.下列各式中不是最简二次根式的是（ ）A.7 B.5.0 C.
3 D .15 3.下列二次根式中，和
32
不是同类二次根式的是（ ）A.
8 B.
18 C.
28 D. 98
4.下列计算正确的是（ ） A.
228=- B.523=+ C.
()332
-=- D.
123=-
5.计算：①6)123242
(÷-； ②
12
1
273
1+
- ③)(
62)32(
-
?
+； ④)(
)
(
626
2)12(2+-+
+
(二)综合运用
1.当m 时，
m
m
--534有意义.
2.能使
33-=-x x
x x 成立的x 的取值范围是 .
3.若12
-=a
a ，则a 的取值范围是 . 4.若
()()的值，则m
b a m b a +=-+-++,021232
是 .
5.当a ＜-3时，化简
()()2
2
312++
-a a 的结果是 .
6.整数x 满足下列两个条件：①式子13-x 和x -20都有意义；②x 的值是整数，则x 的值
是 .
7.以下结论正确的是 .（填序号即可） ①
(
)2
a
=a 对一切实数
a 都成立 ②
a a =2对一切实数a 都成立
③ 式子
a 叫做二次根式 ④ 一个数的平方根和它的绝对值都是非负数
8. 在实数范围内分解因式：2594
-x 的结果是 .
9.)
(
2
2
2
3)32(
-?
+的计算结果是 .
10.已知,32,3
21
+
=+=
y x 求22xy y x +的值.
(三)构建知识体系 三、小结归纳
1.复习巩固二次根式知识，及于其他相关知识的联系.
2.进一步理解本章知识，熟练解决相关问题.
3.补充课本未明确给出的概念及相关题目，拓展知识与能力.
4.构建知识体系，纳入知识系统. 四、作业设计
必做： P19：1-7 选做： P22：8-10 教学反思
初中数学八年级下册《二次根式》优秀教学设计
16．1.1 二次根式 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 （a ≥0）的意义解答具体题目． 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 教学重难点关键 1（a ≥ 0）的式子叫做二次根式的概念； 2（a ≥0）”解决具体问题． 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个课本 P2的三个思考题： 二、探索新知 像这样一些正数的算术平方根（a ≥0）?的式子叫做二 （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0有意义吗？ 老师点评:（略） 例1．下列式子，哪些是二次根式， 、x>0） 、、、 （x ≥0，y ?≥ 0）． 分析”；第二，被开方数是正数 或0． （x>0、（x ≥0，y ≥0）；不是二、． 1 x 1x y +1x 1x y +
例2．当x 分析： 由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义． 解：由3x-1≥0，得：x ≥ 当x ≥ 三、巩固练习 教材P5练习1、2、 3． 四、应用拓展 例3．当x +在实数范围内有意义？ 分析+中的≥0和中的x+1 ≠0． 解：依题意，得 由①得：x ≥- 由②得：x ≠-1 当x ≥-且x ≠-1+ 在实数范围内有意义． 例4(1)已知+5，求 的值．(答案:2) (2) =0，求a 2004+b 2004的值．(答案: ) 五、归纳小结（学生活动，老师点评） 本节课要掌握： 1（a ≥0”称为二次根号． 2．要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数． 13 13 11 x +11 x +11 x +23010 x x +≥??+≠?32 32 11x +x y 25
八年级数学上册 第二章 实数 2.7 二次根式(第3课时)课时训练题 北师大版
2.7二次根式（3） 基础导练 1. 是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面说法正确的是（ ） A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B. C. D. 同类二次根式是根指数为2的根式 3. ） A. B. C. D. 4. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 5. 若12x ） A. 21x - B. 21x -+ C. 3 D. -3 6. 10+=，则x 的值等于（ ） A. 4 B. 2± C. 2 D. 4± 7. 的整数部分为x ，小数部分为y y -的值是（ ） A. 3 B. C. 1 D. 3 8. 下列式子中正确的是（ ） A. = B. a b =- C. (a b =- D. 22==
9. 是同类二次根式的是 。 10.若最简二次根式____,____a b ==。 11. ，则它的周长是 cm 。 12. 是同类二次根式，则______a =。 13. 已知x y ==33_________x y xy +=。 14. 已知 x =21________x x -+=。 15. )()20002001232______________+=。 能力提升 16. 计算： ⑴. ⑵. (231?+ ? ⑶. (()2771+-- ⑷. ((((22221111+- 17. 计算及化简： ⑴. 22 - ⑵. ⑶.
⑷ . a b a b ??+-- 18. 已知：x y ==32432232x xy x y x y x y -++的值。 19. 已知：11a a + =+221a a +的值。 20. 已知：,x y 为实数，且13y x -+ ，化简：3y - 21. 已知 1 1039322++=+-+-y x x x y x ，求的值。
【新华东师大版】九年级数学上册：21.2《二次根式的乘除法》第3课时教案+导学案
二次根式的乘除法 第三课时 教学内容 最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算． 教学目标 理解最简二次根式的概念，并运用它把不是最简二次根式的化成最简二次根式． 通过计算或化简的结果来提炼出最简二次根式的概念，并根据它的特点来检验最后结果是否满足最简二次根式的要求． 重难点关键 1．重点：最简二次根式的运用． 2．难点关键：会判断这个二次根式是否是最简二次根式． 教学方法三疑三探 教学过程 一、设疑自探——解疑合探 自探1.（学生活动）请同学们完成下列各题（请三位同学上台板书） 计算（1 （2 ，（3 自探2.观察上面计算题的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有什么特点？（有如下两个特点：1．被开方数不含分母； 2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．）我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式． 合探1.把下面的二次根式化为最简二次根式： (1) 合探2.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2.5cm，BC=6cm，求AB的长． B A C 13 2 ====6.5（cm） 因此AB的长为6.5cm． 三、质疑再探：同学们，通过学习你还有什么问题或疑问？与同伴交流一下！
四、应用拓展 观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： = -1， = ， ，…… 从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算 +））的值． 分析：由题意可知，本题所给的是一组分母有理化的式子，因此，分母有理化后就可以达到化简的目的． 五、归纳小结（师生共同归纳） 本节课应掌握：最简二次根式的概念及其运用． 六、作业设计 一、选择题 1y>0）是二次根式，那么，化为最简二次根式是（ ）． A （y>0） B y>0） C （y>0） D ．以上都不对 2．把（a-1a-1）移入根号内得（ ）． A ．． 3．在下列各式中，化简正确的是（ ） A ± 12 C 2 D ． 4的结果是（ ） A ． B ．．． 二、填空题 1．（x ≥0） 2．化简_________．
-人教版第十六章二次根式教案
第十六章 二次根式 课题：16.1二次根式 课型：新授课 教学目标： 1、理解二次根式的定义，会用算术平方根的概念解释二次根式的意义 2、会确定二次根式有意义的条件，知道a (a ≥0)是非负数，并会运用会进行二次根式的平方运算， 3、会对被开方数为平方数的二次根式进行化简通过探究 ()2a 和2a 所含运算、运算顺序、运算结果分析，归纳并掌握性质 教学重点： 1.a 有意义的条件. 2.a ≥0时 a ≥0的应用. 3.()2a 和2a 的运算、化简 教学难点： 当a <0时2a 的化简 教学过程： 一、复习引入 在七年级实数中，已经用到过简单的二次根式，在本章中将系统地学习二次根式的运算。 二、探究新知 （一）定义及非负性 活动1、填空，完成课本思考1： 65，S ，2，5h 活动2、观察其形式上的共同点，被开方数的共同点，说明各式所表示的共同意义. 活动3、给出二次根式的定义，介绍二次根式的读法. 活动4、思考下列问题： ①9的运算结果是3，9是不是二次根式？3是不是？ ②定义中为什么要加a ≥0？若a<0，a 表示什么？有无意义？ ③当 a=0时，a 表示什么？结果是什么？当 a>0时，a 表示什么？可不可能为负数？a (a ≥0)是什么样的数呢？ 例1、当x 是怎样的实数时，下列二次根式有意义？在下列二次根式有意义的情况下，其运算结果是怎 样的实数？ 2-x ， 11 +x ， 32+x 练习：1、课本思考2：当x 是怎样的实数时， 2x ，3x 有意义？
2、已知053=-+ +y x ，求y x ,的值各是多少？ （二）两个运算性质 活动5、完成课本探究1 活动6、对()2 a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先开方再平方，结果不变. 练习：课本例2 活动7、完成课本探究2 活动8、对2a 中的运算顺序、运算结果进行分析，归纳出：一个非负数先平方再开方，结果不变；一个负数先平方再开方结果为相反数. 练习：课本例3 补充练习： 1、化简：2)4(-π，2)32(-； 2、直角三角形的三边分别为a ，b ，c ，其中c 为斜边，则式子()2a -()2 c 与式子2)(c a -有什么关系？ 三、课堂训练 完成课本中两个练习. 1、m m =-1 成立的条件是_______. 2、m m =+1成立的条件是_______. 四、小结归纳 1、二次根式的概念及“被开方数非负”的条件和“运算结果非负”的性质. 2、二次根式的两个运算性质，平方为“父对象”，开方为“子对象”. 3、简单介绍代数式的概念. 4、重复演示课件呈现练习题，供学生记录. 五、作业设计 必做：P5：1、2、3、4、5、6 选做：P5：7、8、9、10 教学反思
北师大8上教案：2.7 第3课时 二次根式的混合运算1
第3课时二次根式的混合运算 1．熟练掌握二次根式的综合运算．(重点、难点) 一、情境导入 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为(3－2)cm、(3＋2)cm，求这个三角形的面积和周长． 二、合作探究 探究点一：二次根式的混合运算 计算： (1)ab(a3b＋ab3－ab)(a≥0，b≥0)； (2)(23 2 － 1 2 )×( 1 2 8＋ 2 3 )； (3)(32＋48)×(18－43)． 解：(1)原式＝ab(a ab＋b ab－ab)＝a ab×ab＋b ab×ab－ab ab＝a2b＋ab2－ab ab；
(2)原式＝(6－ 2 2 )(2＋ 6 3 )＝6×2＋6× 6 3 － 2 2 ×2－ 2 2 × 6 3 ＝23 ＋2－1－ 3 3 ＝1＋ 5 3 3； (3)原式＝(32＋43)(32－43)＝(32)2－(43)2＝18－48＝－30. 方法总结：二次根式的混合运算，一般先将二次根式转化为最简二次根式，再灵活运用乘法公式等知识来简化计算． 探究点二：二次根式的化简求值 已知a＝1 5－2 ，b＝ 1 5＋2 ，求a2＋b2＋2的值． 解析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，最后代入求解． 解：∵a＝1 5－2 ＝ 5＋2 （5－2）（5＋2） ＝5＋2，b＝ 1 5＋2 ＝ 5－2 （5＋2）（5－2） ＝5－2，∴a＋b＝25，ab＝1.∴a2＋b2＋2＝（a＋b）2－2ab＋2＝（25）2－2＋2＝20＝2 5. 方法总结：解此类问题时，直接代入求值很麻烦，要先化简已知条件，再用乘法公式变形代入即可求得． 探究点三：运用二次根式的运算解决实际问题 教师节就要到了，李欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝
人教版八年级下册二次根式综合应用(讲义设计)
二次根式综合应用（讲义） ? 课前预习 1. 回顾二次根式的相关概念，并完成下列各题． （1 ）2=_____ ． （2）二次根式的乘除法则： ①_______________________；②______________________． （3）二次根式的加减法则： ①______________________；②_______________________． 2. 根据幂的运算性质11p p p a a a -?? == ??? （a ≠0，p 为正整数）进行计算： （1 ）2 -? ? ； （2 ）3-． 3. 有理数混合运算处理方法： ①观察_______划_______； ②有序操作依_______； ③每步推进一点点． 例： 2112(2)(3)2102543.?? -÷ ?--?-+ ??? ① ②③ 思路分析 观察结构，划为①②③三个部分，对①②部分，每步推进一点点． 过程示范
1840.25(3)1 432 31 32 31 34 3 ?? =??--?-+ ??? ?? =---+ ???=-++=- 原式 请你类比有理数混合运算处理方法，处理下面实数混合运算： ? 知识点睛 1. 理解二次根式的双重非负性 （1 0且0x ≥． （2 20y z +=，则x =_____，y =_____，z =_____． 2. 实数混合运算处理方法： ①_____________________； ②_____________________； ③_____________________． 做运算时往往需要估计工作量．．．．．，观察式子结构，巧用公式，可以大大简化运算． （1）22()()a b a b a b +-=-； （2）222()2a b a ab b ±=±+． 3. 比较大小的几种方法：估值法，作差法，乘方法，分母有理化． 4. 二次根式与数形结合 被开方数中出现平方形式，可通过构造直角三角形借助勾股定理．．．．．．．．．．．．． 解决问题．
八年级数学下册第十六章二次根式教案新版[新人教版]
第十六章二次根式 16．1二次根式 第1课时二次根式的概念和性质 1．二次根式的概念和应用． 2．二次根式的非负性． 重点 二次根式的概念． 难点 二次根式的非负性． 一、情景导入 师：(多媒体展示)请同学们看屏幕，这是东方明珠电视塔． 电视节目信号的传播半径r/km与电视塔高h/km之间有近似关系r＝2Rh(R为地球半径)．如果两个电视塔的高分别为h1km，h2km，那么它们的传播半径之比为多少？同学们能化简这个式子吗？ 由学生计算、讨论后得出结果，并提问． 生：半径之比为2Rh1 2Rh2 ，暂时我们还不会对它进行化简． 师：那么怎么去化简它呢？这要用到二次根式的运算和化简．如何进行二次根式的运算？如何进行二次根式的化简？这将是本章所学的主要内容． 二、新课教授 活动1：知识迁移，归纳概念 (多媒体演示)用含根号的式子填空． (1)17的算术平方根是________； (2)如图，要做一个两条直角边长分别为7 cm和4 cm的三角形，斜边长应为________cm； (3)一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为________m； (4)面积为3的正方形的边长为________，面积为a的正方形的边长为____________； (5)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与开始落下时的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2.如果用含有h的式子表示t，则t＝________．【答案】(1)17 (2)65 (3)65 (4) 3 a (5)h 5 活动2：二次根式的非负性 (多媒体展示) (1)式子a表示的实际意义是什么？被开方数a满足什么条件时，式子a才有意义？ (2)当a＞0时，a________0；当a＝0时，a________0；二次根式是一个________．【答案】(1)a的算术平方根，被开方数a必须是非负数(2)＞＝非负数 老师结合学生的回答，强调二次根式的非负性． 当a＞0时，a表示a的算术平方根，因此a＞0； 当a＝0时，a表示0的算术平方根，因此a＝0. 也就是说，当a≥0时，a≥0.
16.1《二次根式》(第1-3课时)教案 新人教版
16.1 二次根式教案 第一课时二次根式的概念教学目标 知识与技能 1 理解二次根式的概念 2 a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围． 过程与方法从具体实例中建立二次根式模型，探索二次根式被开方数中字母的取植范围 情感态度与价值观经历观察比较总结和应用等数学活动，体验发现的快乐 教学重难点关键 1 a≥0）的式子叫做二次根式的概念； 2． a≥0）的意义求被开方数中字母的取值范围 教学过程 一、复习引入 （学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3 x ，那么它的图象在第一象限横、?纵坐标相等的点的 坐标是___________． 问题2：在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________． 问题3：甲射击6次，各次击中的环数如下：8、7、9、9、7、8，那么甲这次射击的方差是S2，那么S=_________． 老师点评： 问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以 ， ．问题2：由勾股定理得 问题3：由方差的概念得 . 二、探索新知 ，都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平 a≥0）?的式子叫做二次根式， ”称为二次根号． （学生活动）议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 老师点评: 有意义的条件 例1．下列式子，哪些是二次根式， 、 1 x x>0） 、 、 、 1 x y + x≥0，y?≥0）． 分析 ”；第二，被开方数是正数或0． x>0） 、 x≥0，y≥0）；不是二 、 1 x 、 1 x y + ． 例2．当x是多少时，2 - x在实数范围内有意义？ 分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以x-2≥0，2 - x?才能有意义． 解：由x-2≥0，得：x≥2 当x≥2时，2 - x在实数范围内有意义． 三、巩固练习 教材练习1、2、3． 四、应用拓展
人教版八年级下册数学第2课时 二次根式的性质教案与教学反思
第十六章二次根式 原创不容易，为有更多动力，请【关注、关注、关注】，谢谢！ 随风潜入夜，润物细无声。出自杜甫的《春夜喜雨》 上大附中何小龙 16.1二次根式 第2课时二次根式的性质 【知识与技能】 理解并掌握二次根式的性质，正确区分 =a（a≥0）与2a=a（a ≥0），并利用它们进行化简和计算. 【过程与方法】在探索二次根式性质的学习活动中，进一步增强学生的参与意识，培养学生的计算能力和解决问题的能力. 【情感态度】通过创设问题情境，激发学生学习兴趣，培养学生主动探究意识和创新精神，形成良好的心理品质，促进身心健康发展. 【教学重点】()2a=a（a≥0），2a=a（a≥0）及其应用. 【教学难点】用探究的方法探索()2a=a（a≥0）及2a=a（a≥0）的结论. 一、情境导入,初步认识 试一试：请根据算术平方根填空， .猜一猜：通过对上述问题的思考，你能猜想出(2a（a≥0）的结论是什么？说说你的理由. 【教学说明】让学生通过具体实例所展示的特征，猜想出结果，然后再利用算术平方根的意义对所猜测结论进行分析，由感性认识到理性思考，培养学生利用代数语言进行推理的能力.
二、思考探究，获取新知 在学生相互交流的基础上可归纳出： ()2a=a（a≥0）. 进一步地，引导学生探究新的问题. 探究 （1）填空： （2）通过（12a a≥0）的化简结果吗？说说你的理由. 【教学说明】教师应尽力引导学生积极主动进行探究思考，让学生经历知识的发现与完善的过程，深化对所学知识的理解和记忆，最后师生共同完成对知识的归纳总结. 2 a（a≥0）. 最后，教师给出代数式的概念.代数式： 用运算符号（加、减、乘除、乘方和开方）把数和表示数的字母连接起来的式子称为代数式.（代数式的定义只要求学生了解就行，不必深究.）三、典例精析，掌握新知 例1 计算： （1） 1.5）2；（2）（5）2
二次根式地性质教学设计课题周口店中学
二次根式的性质 周口店中学 一. 教学指导思想与理论依据 教学活动是教与学的双边相互促进的活动。在教学活动中，始终坚持教学论中教为主导，学为 主体的指导思想与理论依据。从学生实际出发，创设有助于学生自主学习的问题情境，引导学生通 过实践、思考、探索、交流，获得知识，形成技能，发展思维，学会学习。因此在教学中，我针对 本节课的特点，首先让学生复习了二次根式的意义和性质，然后通过小组讨论探究、a2的结果。在 教学过程注重营造让学生自主探索与合作交流的学习氛围，给学生留有足够的思考空间。在性质的运用中，注意学生的个体差异，问题设计由易到难，层层递进。 二. 教学背景分析 1、学习内容分析：本课位于北京市义务教育课程改革实验教材八年级第15册第十二章第5节的“二次根式及其性质”。本节课时在学习了二次根式的概念和性质 （石2= a（a工0）的基础上进行的，学生对于U a2的结果有一定的想法。按照新课程标准应以探索性质是什么？怎么来的为重点。因此a2等于什么，让学生去探索，在这个 过程中让学生体会分类讨论的思想。并且在探索过程中，使学生能够体会出（石2 = a（a兰0）与空孑=a的区别与联系。明确二次根式的性质Aa 是一 -个工具，对于二次根式的化简和二次根式的计算起着重要的作用。 2、学生情况分析：学生比较喜欢数学课，学习的自觉性和主动性较强，有一定的 自主学习和探究学习能力。同时，本节课是学生在已掌握了二次根式的概念和一个性质的基础上，进一步研究二次根式的另一个性质，学生对研究方法有了一定的了解，因而教学过程是以学生小组讨论学习或自主探究学习的方式来解决问题。 3、教学方式与教学手段说明、技术准备： 本节课综合运用自主探究学习、小组合作交流学习等方式。由于学生对于二次根式的概念和性质1已经掌握，根据学生的认知特点，运用自主探索与小组合作交流的方式探索a等于什么。由于学生表现欲强，习题讲解通过学生完成。 本节课运用信息技术教学手段辅助教学根据本学科特点可以方便地利用PowerPoint简洁快速的出示教学内容，利用实物投影展示学生的解题过程，从而提高课堂密度，增强课堂实效性。 4、前期教学状况、问题、对策等研究说明
人教版八年级数学下册第十六章二次根式二次根式教案
16.1 二次根式(1) 教学内容 二次根式的概念及其运用 教学目标 知识与技能目标：a≥0）的意义解答具体题目． 过程与方法目标：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重难点关键 1a≥0）的式子叫做二次根式的概念. 2a≥0）”解决具体问题． 教法：1、引导发现法: 通过教师精心设计的问题链，使学生产生认知冲突，感悟新知，建立分式的模型，引导学生观察、类比、参与问题讨论，使感性认识上升为理性认识，充分体现了教师主导和学生主体的作用，对实现教学目标起了重要的作用。 2、讲练结合法:在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。 学法：1、类比的方法通过观察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策略。 2、阅读的方法让学生阅读教材及材料，体验一定的阅读方法，提高阅读能力。 3、分组讨论法将自己的意见在小组内交换，达到取长补短，体验学习活动中的交流与合作。 4、练习法采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。 媒体设计：PPT课件，展台。 课时安排：1课时。 教学过程 一、复习引入
（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题： 问题1：已知反比例函数y=3 x ，那么它的图象在第一象限,横、纵坐标相等的点的坐标 是___________． 问题2：如图，在直角三角形ABC中，AC=3，BC=1，∠C=90°，那么AB边的长是__________． B A 老师点评： 问题1：横、纵坐标相等，即x=y，所以x2=3．因为点在第一象限，所以x ）． 问题2：由勾股定理得 二、探索新知 都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子， 我们就把它称二次根式．因此，一般地， a≥0）的式子叫做二次根式， ” 称为二次根号． 议一议： 1．-1有算术平方根吗？ 2．0的算术平方根是多少？ 3．当a<0 例1．下列式子，哪些是二次根式， 、 1 x x>0） 、、 、 1 x y + （x≥0，y≥0）． 分析 ”；第二，被开方数是正数或0． 解： （x>0） 、 x≥0，y≥0）；不是二次
完整版二次根式教学设计
2.7.1二次根式 课题：二次根式 课型：新授课 教学目标： 知识与技能： 1、了解二次根式和最简二次根式的概念； 2、探索积的算术平方根和商的算术平方根； 3、会运用二次根式及的算术平方根和商的算术平方的性质将二次根式化简为最简二次根式。 过程与方法： 1、在学生原有的知识基础上，经历知识产生的过程，探索新知识。 2、通过计算，观察，猜想，归纳总结的过程得到二次根式的性质。 情感态度与价值观： 激发学生应用数学的热情，培养学生主动探索，敢于实践，善于发现的科学的精神以及合作精神，树立创新意思。重点：二次根式的概念、性质及二次根式的化简。 难点：理解a b.a ? . b （a>0，b>0），a (a>0，b >0).并用它们会进行二次根式的化简。 教学方法：小组合作，自助探究。 三、教学过程设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节创设情境，引入新课；第二环节：探究性质； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结；第六环节：布置作业。第一环节：创设情境，引入新课： 活动内容，求出下列各值： (1)在一个直角三角形行中，两条直角边的长度分别是1, 2,那么斜边的长度 ____________ . (2)学校有一个正方形的花坛面积是11，则它的边长是 ____________ . ⑶一个正数的平方是7.2，则这个正数是 ______________ . (4) 49除以121的算术平方根是 _______ 直角三角形的斜边长是c, 一条直角边是b,则另一直角边长是_____________ (其中b=24, c=25) A -------- B 答案：?5,|嚎仁。_D, F E，(c b)(c b)(其中b=24,c=25)， C D处理方式：学生独立完成，引入新课。 设计意图：由生活中的数学引出新课要探究的数学问题。一是，使学生感知数学在生活中的应用，激发学生的求知
二次根式第三课时(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】 21.1 二次根式(3) 第三课时 教学内容 a （a ≥0） 教学目标 理解 （a ≥0）并利用它进行计算和化简． （a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键 1 a （a ≥0）． 2．难点：探究结论． 3．关键：讲清a ≥0 a 才成立． 教学过程 一、复习引入 老师口述并板收上两节课的重要内容； 1．形如 a ≥0）的式子叫做二次根式； 2． a ≥0）是一个非负数； 3． )2＝a （a ≥0）． 那么，我们猜想当a ≥0 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知 （学生活动）填空： =_______=______； =________． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： =2=23=037 ． 例1 化简 （1 （2 （3 （4
分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52， （4）（-3）2=32 （a≥0）?去化简．解：（1 （2 （4 三、巩固练习 练习2． 教材P 7 四、应用拓展 例2 填空：当a≥0 ；当a<0，?并根据这一性质回答下列问题． （1）若 ，则a可以是什么数？ （2）若 ，则a可以是什么数？ （3 ，则a可以是什么数？ 分析： （a≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（）2”中的数是正数，因为，当a≤0时， -a≥0． （1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2 │a│，而│a│要大于a，只有什么时候才能保证呢？a<0． 解：（1 ，所以a≥0； （2 ，所以a≤0； （3）因为当a≥0 ，即使a>a所以a不存在；当a<0 ，即使-a>a，a<0综上，a<0 例3当x>2 分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握： （a≥0）及其运用，同时理解当a<0 a的应用拓展． 六、布置作业 1．教材P 习题21．1 3、4、6、8． 8 2．选作课时作业设计．
九年级数学上册21.1二次根式第3课时教案新人教版
21.1 二次根式教案 教学内容 2a ＝a （a ≥0） 教学目标 理解2a =a （a ≥0）并利用它进行计算和化简． 通过具体数据的解答，探究2a =a （a ≥0），并利用这个结论解决具体问题． 教学重难点关键 1．重点：2a ＝a （a ≥0）． 2．难点：探究结论． 3．关键：讲清a ≥02a a 才成立． 教学过程 一、复习引入 老师口述并板收上两节课的重要内容； 1a a ≥0）的式子叫做二次根式； 2a a ≥0）是一个非负数； 3．a )2＝a （a ≥0）． 那么，我们猜想当a ≥02a 是否也成立呢？下面我们就来探究这个问题． 二、探究新知 （学生活动）填空： 2220.0121()10 =______； 22 ()3 =________2023 ()7=_______． （老师点评）：根据算术平方根的意义，我们可以得到： 2220.0121()1011022()3=2320=023()7=37． 因此，一般地：2a =a （a ≥0） 例1 化简 （19（22(4)-（325（42 (3)-
分析：因为（1）9=-32，（2）（-4）2=42，（3）25=52 ， （4）（-3）2=32，所以都可运用2a =a （a ≥0）?去化简． 解：（1）9=23=3 （2）2(4)-=2 4=4 （3）25=25=5 （4）2(3)-=23=3 三、巩固练习 教材P 7练习2． 四、应用拓展 例2 填空：当a ≥0时，2a =_____；当a<0时，2a =_______，?并根据这一性质回答下列问题． （1）若2a =a ，则a 可以是什么数？ （2）若2a =-a ，则a 可以是什么数？ （3）2a >a ，则a 可以是什么数？ 分析：∵2a =a （a ≥0），∴要填第一个空格可以根据这个结论，第二空格就不行，应变形，使“（ ）2”中的数是正数，因为，当a ≤0时，2a =2 ()a -，那么-a ≥0． （1）根据结论求条件；（2）根据第二个填空的分析，逆向思想；（3）根据（1）、（2）可知2a =│a │，而│a │要大于a ，只有什么时候才能保证呢？a<0． 解：（1）因为2a =a ，所以a ≥0； （2）因为2a =-a ，所以a ≤0； （3）因为当a ≥0时2a =a ，要使2a >a ，即使a>a 所以a 不存在；当a<0时，2a =-a ，要使2a >a ，即使-a>a ，a<0综上，a<0 例3当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 分析：(略) 五、归纳小结 本节课应掌握：2a =a （a ≥0）及其运用，同时理解当a<0时，2a ＝－a 的应用拓展． 六、布置作业 1．教材P 8习题21．1 3、4、6、8． 2．选作课时作业设计．
(完整版)七年级数学《实数》单元教学设计
初中七年级数学“实数”单元教学设计 课题：第六章“实数”单元教学设计 教材版本：人教版数学教科书 教学年级：七年级（下册） 一．教材分析 本章内容包括算术平方根、平方根和立方根，并通过开平方和开立方运算认识 一些不同于有理数的数，在此基础上引入无理数，使数的范围由有理数扩充到实数。随着数的范围的扩充，数的运算也有了新的发展。在实数范围内，不仅能进行加、 减、乘、除四则运算，而且对0和任意正数能进行开平方运算，对任意实数能进行 开立方运算。 在平方根、立方根、算术平方根、实数的概念的基础上，建立了完整的实数体系。本章教材在初中数学中具有重要的地位，是进行其他内容学习的理论基础和运 算基础（如一元二次方程、解直角三角形、函数、二次根式等）。同时，在理论的 运算中也常用开方运算，故务必要学好。 二．学情分析 本章包括平方根、算术平方根、立方根、用计算器求算术平方根、无理数、实 数等内容。在此之前学生已学习了加、减、乘、除、乘方五种运算，学习了有理数 的概念，具备了学习数的开方和学习无理数的条件，大部分学生对后继知识的学习 有较强的欲望，但也有个别学生由于对有理数的概念理解不透，对无理数的学习信 心不足，产生畏难和厌学情绪，教学中要注意及时引导。 三．教学目标 （一）知识与技能 1.理解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的算术平方根、 平方根、立方根； 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立 方运算求某些数的立方根，会用计算器求算术平方根和立方根； 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点的一一对应关系，了解数 的范围由有理数扩大到实数后，一些概念、运算等的一致性及其发展变化，并会进 行简单的实数运算。
7.2二次根式第2课时教学设计
第二章 实数 7．二次根式（第2课时） 一、学生起点分析 在前面，学生已经掌握了实数的概念，实数的运算法则；学会了利用公式：b a b a ?=?（a ≥0，b ≥0），b a b a =（a ≥0，b ＞0）进行简单的实数四则运算．本课时更多的是反用上面的公式，因此，上一课时知识成为本课时很好的知识基础。 二、教材任务分析 二次根式（第2课时）是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册 第二章《实数》第7节内容．本节内容分为3个课时，本课时是第2课时，基于第1课时二次根式的性质得到二次根式乘除的法则以及加减运算的法则，进而利用它们进行二次根式的运算，经历本节课的学习，学生将对实数的运算，有较全面的了解，同时进一步熟练实数的运算，为今后的学习打下坚实的基础．本节课的教学目标是： 1.通过对公式的反向运用，达到化简的目的．学会一种特殊的思考方法． 3.在探究、合作活动中，发展学生探究能力和合作意识． 4.通过对公式的逆运用，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性． 三．教学过程设计 本节课设计了六个教学环节：第一环节：复习引入；第二环节：知识探究； 第三环节：知识巩固；第四环节：知识拓展；第五环节：课时小结； 第一环节：复习引入 内容：复习算术平方根的概念，并提出问题：下面正方形的边长分别是多少？ 这两个数之间有什么关系，你能借助什么运算法则或运算率解释它吗？ 点明本节课研究课题 面积8 面积2
意图：借助复习，在巩固旧知的同时，导入新课。 第二环节：知识探究 1．在上一课时探究的公式的基础上明晰二次根式乘除的运算法则：b a b a ?=?（a ≥0，b ≥0），b a b a =（a ≥0，b ＞0）． 2．提出问题：能否根据该公式将8化成22？ 例3 计算： （1）326?；（2）2 36?；（3）52。 解： （1）略 （2）23 6?＝236?＝236?＝9＝3 （3）52 ＝＝52＝5 552??=510 说明：常常把要被开方数的分子与分母同乘以一个适当的数，使得分母成为一个平方数． 第三环节：巩固练习 例4 计算： （1）3322?（2）5312-?；（3）2)15(+；（4）)313)(313(-+； （5）3)3112(?-；（6）2 188+。 解：（1）3322?=32??32?=66； （2）5312-?＝5312-?＝536-＝6－5＝1； （3）2)15(+＝152)5(2++＝5＋52＋1＝6＋52； （4）)313)(313(-+＝223)13(-＝4； （5）3)3112(?-51613633 1312=-=-=?-?=；
二次根式第1课时二次根式的概念教案
16．1 二次根式 第1课时二次根式的概念 1．能用二次根式表示实际问题中的数 量及数量关系，体会研究二次根式的必要 性；(难点) 2．能根据算术平方根的意义了解二次 根式的概念及性质，会求二次根式中被开方 数中字母的取值范围．(重点) 一、情境导入 问题1：你能用带有根号的式子填空 吗？ (1)面积为3的正方形的边长为 ________，面积为S的正方形的边长为 ________． (2)一个长方形围栏，长是宽的2倍， 面积为130m2，则它的宽为________m. (3)一个物体从高处自由落下，落到地 面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单 位：m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式 子表示t，则t＝______． 问题2：上面得到的式子3，S，65， h 5 分别表示什么意义？它们有什么共同 特征？ 二、合作探究 探究点一：二次根式的定义 下列各式中，哪些是二次根式， 哪些不是二次根式？ (1)11；(2)－5；(3)（－7）2； (4)3 13；(5) 1 5 － 1 6 ；(6)3－x (x≤3)； (7)－x(x≥0)；(8)（a－1）2； (9)－x2－5； (10)（a－b）2(ab≥0)． 解析：要判断一个根式是不是二次根式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数． 解：因为11，（－7）2， 1 5 － 1 6 ＝ 1 30 ，3－x(x≤3)，（a－1）2，（a－b）2(ab≥0)中的根指数都是2，且被开方数为非负数，所以都是二次根式. 3 13的根指数不是2，－5，－x (x≥0)，－x2－5的被开方数小于0，所以不是二次根式． 方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“”；(2)被开方数是非负数． 探究点二：二次根式有意义的条件 【类型一】根据二次根式有意义求字母的取值范围 求使下列式子有意义的x的取值范围． (1) 1 4－3x ；(2) 3－x x－2 ；(3) x＋5 x . 解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解． 解：(1)由题意得4－3x＞0，解得x＜ 4 3 .当x＜ 4 3 时， 1 4－3x 有意义； (2)由题意得 ?? ? ??3－x≥0， x－2≠0， 解得x≤3且
二次根式的概念 教学设计
二次根式的概念 【教材分析】 学生已学过平方根、立方根、实数等概念及求法，对实数运算与性质有初步感受，为本节知识打下了基础。本节知识是前面相关内容的发展，同时是后面学习的直接基础，起到了承上启下的作用。 【学习目标】： 知识目标：使学生了解二次根式的概念，掌握二次根式的性质。理解根号内字母的取值范围，学会根据性质化简二次根式。 能力目标：培养学生由特殊到一般的思维能力，掌握公式的一般推导方法。 情感目标：通过合作学习，激发学生的学习兴趣，体验成功。 【教学重点和难点】： 重点：(1)二次根的意义；(2)二次根式中字母的取值范围． 难点：确定二次根式中字母的取值范围． 【教学方法】 启发式、讲练结合． 【学习过程】： 一、复习引入： 1、求下列各数的平方根和算术平方根，并用数学符号表示 9 0.64 0 5 2、正数有几个平方根，0有几个平方根，负数有没有平方根？ 3、非负数a的平方根是什么？算术平方根是什么？ 教法说明：注重将新知识与旧知识进行联系与对比。 二、自主学习、合作探究 1、二次根式的概念： （1）形如a的式子叫做二次根式。分析形如的含义（含有根号且被开方数是 非负数） （2）二次根式要有意义，必须满足什么条件？（被开方数不小于0） 教法说明：由学生熟悉的四个实际问题出发，用已有的知识写出这四个问题的答案，并分析所得结果在表达式上的特点，由此引入二次根式的概念。 三、精讲点拨 二次根式必须具备以下特征： （1）从形式上看，带有二次根号； （2）从被开方数看，被开方数不小于0。
教法说明：学生用充足的时间讨论，并思考二次根式应满足的两个条件。根据总结出的限制条件，对是二次根式的式子进行正确的判断。 例1、当x 为何实数时，二次根式12-x 有意义？ 四、巩固练习： 学生小组讨论二次根式的概念和特征，并完成练习 1、当x 为实数时，下列各式中哪些是二次根式 （1） ； （2） ； （3） （4） ；（5） ；（6） 教法说明：对于二次根式的一些结论，让学生参与思考、探索、学会分类讨论的方法。 五、课堂小结： （1）二次根式的概念 （2）二次根式具备的特征 教法说明：让学生感受到研究二次根式是实际的需要，二次根式与实际生活联系紧密。以调动学生学习的兴趣。 六、拓展提升 的平方根，求、若 y x y x -=++-4063121 的立方根，求、若y x y x x +=+-+-4621122 七、达标检测 1．判断下列各式是否是二次根式 1、实数x 在什么范围内取值时，下列各式有意义？ x 241-）（ 531 2-x ）（ 作业布置 1、a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？ 2、练习题1
人教版八年级数学下册二次根式教学设计
人教版数学 16.1二次根式教学设计 四海店镇中学
16.1 二次根式(1) 一、学习目标： 知识与技能：1、根据算术平方根的意义了解二次根式的概念，能判断一个式子 是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 过程与方法：先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳得出概念。 情感态度与价值观：经过探索二次根式的重要结论，发展学生观察、发现问题 的能力及研究问题的严谨性。 二、学习重点：理解二次根式的概念 三、学习难点：明确二次根式有意义的条件，并运用其解决具体问题。 四、学习过程 （一）复习引入： 1、已知一个正数x，满足x2 = a，x是a的________, 记为______, a一定是_______数。 2、（1） 4的算术平方根为_______ ，用式子表示为 __________； （2） 16的算术平方根是_______，用式子表示为 __________； （3） 0 的算术平方根是_______； （4）正数a的算术平方根为_______， （5）－7_______算术平方根。 归纳：_______和_______都有算术平方根；_______没有算术平方根 （二）出示学习目标：1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。 2、掌握二次根式有意义的条件。 （三）探索新知、提出问题 思考：用带有根号的式子填空 1、面积为3的正方形的边长是_______，面积为S的正方形的边长是_______。 2、一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130平方米，则它的宽为_______米。 3、一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为_______. 很明显：所得的结果都表示一些正数的算术平方根。像这样一些非负数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式 （学生举例巩固） （四）议一议 1、-1有算术平方根吗？ 2、0的算术平方根是多少？ 3、当a<0时，有意义吗？ 点评：1、表示非负数a的算术平方根。 2、a可以是数也可以是一个含有字母的式子。
二次根式 公开课教案 教师
课题：二次根式的加减 ——第一课时 教学目标 知识技能：会进行二次根式加减法运算 数学思考：通过整式加减法运算与二次根式加减法运算体会类比思想. 解决问题：通过加减运算，培养学生的运算能力 情感态度：通过对二次根式加减法的探究，激发学生的探索热情，让学生充分参与到数学学习的过程中来，使他们体验到成功的乐趣. 教学重点、难点 重点：二次根式加减运算 难点：探索二次根式加减运算的方法和准确地进行二次根式加减运算 教学准备 PPT 课件学案 教学方法 启发式探究式 教学过程 一、新课导入 如图，从小明家到学校的距离为_________km ，从学校到图书馆的距离为____________km ，那么从小明家到图书馆的距离是__________km （通过变换不同的三组数据【3与8，3x 与8x ，2823与】，让学生从中感受总结规律特点：） 【活动方略】教师通过PPT 放映，学生观察 【设计意图】通过观察不同数据的变化，找寻其中的特点 二、探究新知 2823+3x+8x=11x 5853+ 【设计意图】通过变换不同的x 值，更直观的感受被开方数相同的二次根式可以合并这一特点 教师小结：被开方数相同的二次根式可以进行合并---（黑板板书） 三、跟踪练习（抢答题） 35371+）（57-5122） （66-3+）（3124+）（ 【活动方略】教师出题，学生用眼动脑 【设计意图】巩固小结知识内容，加深理解记忆，抛出新问题 四、互动小游戏 小明家 学校 图书馆
通过直观互动游戏方式让学生更快更容易地掌握知识点 游戏规则：每个组根据你手中拿到的卡片设计一道二次根式加减法的计算题（不超过三项加减），随机抽取部分组上黑板展示本组的题目，再由其他组（只要不是出题组）上黑板写出计算过程，最后由出题组做点评...... 【活动方略】学生课前准备活动卡片，由学生分组讨论，每个组出一道题，再从其中抽取部分组到黑板将本组出好的题目展示出来，由其它组上黑板解答 【设计意图】通过活动加深知识的掌握程度，同时使学生更加深刻的体会小组合作的能力，并且锻炼学生上台的勇气，给学生大胆展示自己的机会 五、小结归纳（黑板板书） 二次根式加减法的基本步骤： 1、将二次根式化为最简二次根式 2、找出其中被开方数相同的二次根式（同类二次根式） 3、将被开方数相同的二次根式进行合并 【活动方略】引导学生小结归纳，反思本节课所学知识 【设计意图】通过总结，概括本节课重点内容，巩固知识 六、巩固检测 1、判断题 是最简二次根式）（481 2（ 222-233=）（224）（2、选择题 进行合并的是（）与）下列二次根式中，能（3127、A 32、B 18、C 24、D ）的结果是（）（）计算（1-2-22 A 、-1B 、0C 、1D 、2 3、计算题 45-801）（27-98182+）（4、能力提升 ) (________ m m 751数也相同的二次根式指被开方数相同、根指提示：同类二次根式是是同类二次根式，则与）已知（=-n n n 243-3-12-822）（）计算：（【活动方略】学生独立思考、独立解题。教师巡视、指导，并让学生上台展示自己的解题过程 【设计意图】检查学生对知识的掌握程度 七、课堂小结 这节课你学到了什么？ 二次根式加减法的基本步骤--一化、二找、三合并 八、课后作业布置 必做题：课本15页2（1）、（3）、（4）4（1） 选做题：）（）计算（2-323?+ 【活动方略】学生课后独立思考完成，教师批改、总结