数学建模课程设计

数学建模课程设计（程序设计和论文）

题目公交车路线问题

傅里叶级数

发电机组电力分配

动物饲料生产问题

沈阳航空航天大学

课程设计任务书

课程名称数学建模实践

院（系）理学院专业信息与计算科学

班级学号姓名

课程设计题目

课程设计时间: 2015 年6 月18 日至2015 年7 月 6 日

[要求]

1、学习态度要认真，要积极参与课程设计，锻炼独立思考能力；

2、严格遵守上机时间安排；

3、按照MATLAB编程训练的任务要求来编写程序；

4、根据任务来完成数学建模论文；

5、报告书写格式要求按照沈阳航空航天大学“课程设计报告撰写规

范”；

7、报告上交时间：课程设计结时上交报告。

8、严谨抄袭行为。

课程设计的内容及要求：

[内容]

1. 公交车问题

根据公汽线路信息数据解决下列问题：

（1）将公汽线路信息数据导入Excel表；

（2）根据公汽线路信息数据，编写对任意车站，寻找通过该站的汽车线路的M文件；（3）编写M文件，对任意两个车站m,n，判断是否有线路通过这两车站，若有则编写寻找通过该站的汽车线路的M文件

（4）对任意两个车站m,n，若没有线路直接通过这两车站，编写通过一次转车而到达两站的M文件

（5）对任意两个车站m,n，若没有通过一次转车而到达两站的线路，编写通过2次

转车而到达两站的M 文件

2. 傅立叶级数

设函数()f x 是以2π为周期的函数， , 0

()0 , 0x x f x x ππ-≤

，

（1）编写表示函数()f x 的函数M 文件y=fd(x)，其中x 可以是任意实数，也可以是任意数组，并在任意区间[,]a b 上绘出函数()f x 图形；

（2）推倒函数()f x 的函数傅立叶级数：)sin cos (2

1

0kx b kx a a

k k k ++

∑

∞

=

（3）对任意的x （x 可以是数组）和n 编写三角多项式

)sin cos (2

)(1

0kx b kx a a

x T k k n

k n ++

=∑

=的函数M 文件y=fly(x,n)

（4）编写M 文件实现如下功能：对任意的数组x 和n ，在任意区间[,]a b 上在同一平面内画出函数(),()n f x T x 的图形，并进行比较。

3．设有6台发电机组，各机组将可用出售的电力由低到高分成至多10段报价，每个段的长度（该段出售的电力）称为段容量，每个段容量报一个价（称为段价），其段容量和段价为

各机组的段价（单位：元/兆瓦小时，记作元/MWh ）

用M 文件编写程序，完成如下运算：

1）对任意q ，按段价从低到高选取各机组的段容量或其部分，直到它们之和等于q ，这时每个机组被选入的段容量或其部分之和形成该时段该机组的出力分配预案。最后一个被选入的段价（最高段价）称为该时段的清算价。

2）利用所编写的程序，分别计算当q=982.4和q=1052.8时的分配预案和清算价。

4．Animal food production

The company CowFood produces food for farm animals that is sold in two forms: powder and granules. The raw materials used for the production of the food are: oat, maize and molasses. The raw materials (with the exception of molasses) first need to be ground, and then all raw materials that will form a product are blended. In the last step of the production process the product mix is either transformed to granules or sieved to obtain food in the form of powder.

Every food product needs to fulfill certain nutritional requirements. The percentages of proteins, lipids and fibers contained in the raw materials and the required percentages in the final products are listed in

Table 1.

Granules

Powder

There are limits on the availability of raw materials. Table 2 displays the amount of raw material that is available every day and the respective prices.

The cost of the different production steps are given in the following table.

With a daily demand of nine tonnes of granules and twelve tonnes of powder, which quantities of raw

materials are required and how should they be blended to minimize the total cost?

指导教师年月日

学生签字年月日

沈阳航空航天大学

课程设计成绩评定单

课程名称数学建模实践

院（系）理学院专业信息与计算科学

课程设计题目公交车路线问题

傅里叶级数

发电机组电力分配

动物饲料生产问题

指导教师评语：

课程设计成绩

指导教师签字

2015 年6 月30 日

目录

目录 (6)

摘要 (7)

一、公交车线路 (8)

一、问题提出 (8)

二、模型建立 (8)

算法思路 (8)

编程方法 (9)

三、模型求解 (9)

二、傅里叶级数 (12)

一、问题提出 (12)

二、问题求解 (12)

三、机组电力分配问题 (16)

一、问题提出 (16)

二、模型建立 (17)

三、模型求解 (17)

四、结果与分析 (18)

四、饲料生产问题 (20)

一、问题提出 (20)

二、模型假设 (21)

三、模型建立 (21)

四、模型求解： (22)

五、结果与分析 (23)

参考文献 (24)

附录 (25)

摘要

一、通过将汽车线路转化为数据表格，先将文本信息导入excel表格，然后将表格导入matlab生成矩阵，从数据矩阵中寻找等于m的元素，其所在行数的第一个元素便是通过m站的汽车线路。要计算转乘线路，首先求出通过车站m,n的线路集合L1,L2，在计算两集合的交集LL，交集中的元素即为换乘站点，由换乘站点所在行列可得换乘的公交车次。

二、求函数的傅里叶级数时，利用for循环对三角级数累加求和，在画图形时根据f (x)的函数表达式利用plot求出原函数的图像，然后再在同一平面画出变换前后的图形，就可以看出其近似效果。

三、根据各个时段的负荷要求，按照电力市场规则给出各个机组的出力，电力市场交易规则以可行性与成本最低为根本原则。归纳起来可以表述为：在保证分配预案可行的前提下各机组的出力能力能够满足分配预案要求，追求清算价格最低。求解只要将最低的价格开始，段容量一直加到预报负荷位置，此时各个机组的出力情况即为分配预案。

四、每天在原材料数量一定的受限条件下，要求生产颗粒9t和粉末12t，在生产过程中各个原料的营养成分百分比给出，要合理搭配使成品的营养成分满足题目要求。其次是加工过程的加工费，要求在混合、研磨、粒化和筛选的过程中搭配各原料组合，使加工费以及各原料的成本费之和最小。通过设定变量，从题目中提取信息，定义约束条件和目标函数，确定数学规划模型求出最优值。运用LINGO软件实现。

关键词：集合；傅里叶级数；线性规划；MATLAB

一、公交车线路

一、问题提出

根据公汽线路信息数据解决下列问题：

（1）将公汽线路信息数据导入Excel表；

（2）根据公汽线路信息数据，编写对任意车站，寻找通过该站的汽车线路的M文件；（3）编写M文件，对任意两个车站m,n，判断是否有线路通过这两车站，若有则编写寻找通过该站的汽车线路的M文件；

（4）对任意两个车站m,n，若没有线路直接通过这两车站，编写通过一次转车而到达两站的M文件；

（5）对任意两个车站m,n，若没有通过一次转车而到达两站的线路，编写通过2次转车而到达两站的M文件。

二、模型建立

算法思路

将所有包含初始站点a的线路建成一个集合A，所有包含目标站点b的线路建成一个集合B。

1、直达的线路。

当A、B交集非空时，存在Ai、Bi，使得Ai=Bi，即Ai、Bi为同一线路。此线路既包含初始站点a又包含目标站点b。

那么，此线路为所求直达线路。

当交集为空时，考虑换乘一次的线路。

2、换乘一次的线路。

当有A和B相交时，存在Ai、Bi，有ai∈Ai及bi∈Bi。使得ai=bi，即ai、bi 为同一站点。

那么，从初始站点a乘坐线路Ai，行驶至站点ai，即在站点bi，换乘线路Bi至目标站点b。

编程方法

1、编写对任意车站，寻找通过该站的汽车线路的M文件时，通过运用之前导入的矩阵数据，用循环语句进行每行每列的逐个比较就可以找到通过该站的汽车线路从数据矩阵中寻找等于m的元素，其所在行数的首个元素便是通过m站的汽车线路。

2、首先求出通过车站m,n的线路集合L1,L2，在计算两集合的交集LL，LL即包含换乘线路信息。即先找到所有通过m站的线路，再找到通过n的线路，然后在寻找俩线路的公共站点，即为换乘站点。

三、模型求解

1、运用分隔符将数据导入excel表，见附录

2、运行m文件xl，得到经过此战的公交车次

图1.3.1 xl文件运行结果

3、运行gjxl3，得到经过这两站的公交车次

图1.3.2 gjxl3运行结果4、运行gjxl1，得到转一站的公交车次

图1.3.3 gjxl1的运行结果

图1.3.4 gjxl1的运行结果2

二、傅里叶级数

一、问题提出

设函数()f x 是以2π为周期的函数， , 0

()0 , 0x x f x x ππ-≤

（1）编写表示函数()f x 的函数M 文件y=fd(x)，其中x 可以是任意实数，也可以是

任意数组，并在任意区间[,]a b 上绘出函数()f x 图形； （2）推导函数()f x 的函数傅立叶级数：)sin cos (2

1

0kx b kx a a

k k k ++

∑

∞

=；

（3）对任意的x 和n 编写三角多项式)sin cos (2

)(1

0kx b kx a a

x T k k n

k n ++

=∑

=的

函数M 文件y=fly(x,n)；（x 可以是数组）

（4）编写M 文件实现如下功能：对任意的数组x 和n ，在任意区间[,]a b 上在同一平面内画出函数(),()n f x T x 的图形并进行比较。

二、问题求解

1、编写表示函数()f x 的函数M 文件y=fd(x)，并绘图 输入x=-20:0.01:20 y=fd(x ）得图如下

∑∞

=++=

1

0)sin cos (2)(k k k kx b kx a a x f

图2.2.1 y=fd （x ）

2、证明：函数展开成傅里叶级数，设)(x f 是定义在)π,π(-上的有界周期函数，则能

展开成三角级数：)sin cos (2

1

0kx b kx a a

k k k ++

∑

∞

=

(利用正交性)

.

)1(0a 求x

kx b kx a

x a x x f k k k

d ])sin cos ([d 2

d )(π

π

1ππ0

ππ?∑?

?-∞

=--++=x

kx b

x kx a x a k k

k k d sin d cos d 2π

π

1

ππ1

ππ0?∑?∑?

-∞

=-∞=-++=,22

0π?=a

.d )(π1π

π

0?

-=x x f a 则.

)2(n a 求??-

-

=

π

ππ

π

x

nx a x nx x f d cos 2

d cos )(0]

d cos sin d cos cos [π

1

??∑--∞

=++π

ππ

x nx kx b x nx kx a k k k ?-=π

π

x

nx a n d cos 2,

πn a =

(利用正交性)

综上求得结果为：

1

021(1),(1cos ),2n n n a a n b n n

π

ππ+-=-=-=

3、对任意的x （x 可以是数组）和n 编写三角多项式

)

sin cos (2)(1

0kx b kx a a

x T k k n

k n ++

=∑

=的函数M 文件y=fly(x,n)

输入y=fly （20,100）得下图

图2.2.2 y=fly （x ，n ）图像

4、编写M 文件实现如下功能：对任意的数组x 和n ，在任意区间[,]a b 上在同一平

?-

=

π

ππ

x nx x f a n d cos )(1

则).

,3,2,1( =n .

)3(n b 求??-

-

=π

ππ

π

x

nx a

x nx x f d sin 2

d sin )(0

]

d sin sin d sin cos [1

??∑--∞

=++π

π

ππ

x nx kx b x nx kx a k k k ,

πn b =?-

=

π

ππ

x

nx x f b n d sin )(1

则).

,3,2,1( =n

面内画出函数(),()

f x T x的图形并进行比较

n

下图为10阶逼近

图2.2.3 10阶逼近的傅里叶级数

下图为100阶逼近

图2.2.4 100阶逼近的傅里叶级数

三、机组电力分配问题

一、问题提出

设有6台发电机组，各机组将可用出售的电力由低到高分成至多10段报价，每个段的长度（该段出售的电力）称为段容量，每个段容量报一个价（称为段价），其段容量和段价为

各机组的段容量（单位：MW）

各机组的段价（单位：元/兆瓦小时，记作元/MWh）

用M文件编写程序，完成如下运算：

1）对任意q，按段价从低到高选取各机组的段容量或其部分，直到它们之和等于q，这时每个机组被选入的段容量或其部分之和形成该时段该机组的出力分配预案。最后一个被选入的段价（最高段价）称为该时段的清算价。

2）利用所编写的程序，分别计算当q=982.4和q=1052.8时的分配预案和清算价。二、模型建立

在已分配出力小于预报时，选取待分配且可分配出力中段价最低的段进行出力分配。如何选取待分配且可分配出力的最低段价：因为段价随段序号单调不减，则可将问题转化为，分别选取各机组所有待分配且可分配出力中段价最低的段，再在已选取的段中选取报价最低的段即为待分配且可分配出力中段价最低的段。

分配预案的确定

根据市场交易规则，分配预案制订的算法如下：

（1）把各机组相应的段容量和段价输入矩阵；

（2）找出段价矩阵中的最小元素；

（3）根据最小元素找到段容量矩阵中对应位置的元素，逐步取出该元素的值，直到该机组被选入的段容量达到受爬坡速率约束的上限或所有机组的段容量之和等于预报的负荷；

（4）把该最小元素赋以一个较大的值，重复（2）~（4）。

根据此算法在Matlab下编写的源程序见附件3。

三、模型求解

运用MATLAB软件编写jz.m程序。运行程序，输入各机组最大出力值，给出各机组出力分配预案。

当预报值为982.4MW时，调用程序得到各机组下一时段出力分配预案一：

图3.3.1 982.4时的运行结果

图3.3.2 1052.8时的运行结果四、结果与分析

根据matlab输出结果

1、预报值982.4时，八个机组分别出力150 、 79、 180 、 45、 150、 140、 95、130、113.4。清算价格为303。

2、预报值1052.8时，八个机组分别出力150、 79、 200、 100、 135、 150、108.8 130。清算价格为315。