采样过程及数学描述

采样过程及数学描述

将连续信号转换为脉冲信号或数字信号的过程称为采样。信号的采样过程可用一个周期性闭合的采样开关表示，该采样开关每隔T 秒闭合一次，每次闭合时间为τ，且τ远小于T 。T 称为采样周期，单位为秒(s)；实际系统中，采样开关多为电子开关。

现在以下面的例子来说明信号的采样过程。图1(a)所示连续信号经过图1(b)所示采样开关的采样后，得到图1(c)所示采样信号。

采样器好像一个幅值调制器，()

T t δ是调幅器的载波。它是以T 为周期的单位

理想脉冲序列，

()

T t δ的数学表达式为：

()()

T n t t nT δδ∞

=-∞

=

-∑

当载波

()

T t δ被输入连续信号e （t ）调幅后，其输出信号为*

()

e t 。调制信号

e （t ）决定*

()e t 的幅值，载波信号()

T t δ决定采样时刻，其调制过程可表示为：

*

()()()()()

T n e t e t t e t t nT δδ∞

=-∞

==-∑

通常在控制系统中，认为t<0时信号e （t ）=0，所以

*

()()()()()

n n e t e t t nT e nT t nT δδ∞

∞

===-=

-∑∑

对上式进行拉氏变换，得：

**

[()]()()nTs

n L e t E s e nT e

∞

-==

∑

*

()

E s 还可以用另一种形式表达，由于单位脉冲序列为周期函数，因此可以

展开成傅里叶级数。

()s jnw t

n n n t nT c e

δ∞∞

=-∞

=-∞

-=

∑

∑

式中

2/2s s

w T f ππ==

并且1/s f T =称为采样频率；s w 称为采样角频率；n c 为傅氏系数，即

/20/2

0111()()s s T jnw t

jnw t

n T T c t e

dt t e

dt T

T

T

δδ+----

=

=

=

?

?

由上式得：

*

1()()

s n E s E s jnw T

∞

==

-

∑

由上式可见*

()

E s 是s 的周期函数。如果i s

是E （s ）的极点，则(i s s jnw -）

都是

*

()

E s 的极点。这就是说*

()

E s 有无穷多的极点。

采样定理

1.采样定理的提出

如何从采样信号中恢复原连续信号，以及在什么条件下才可以无失真地完成这种恢复作用。从这两点问题出发，人们提出了采样定理。

采样定理在通信系统、信息传输理论方面占有十分重要的地位，许多近代通信方式都以此定理作为理论基础。采样定理主要分为时域采样定理和频域采样定理，下面从这两个方面做具体的解释。

2.时域采样定理

时域采样定理说明：一个频谱受限的信号f （t ），如果频谱只占据

~m m

w w -+的范围，则信号f （t ）可以用等间隔的抽样值唯一表示。而抽样间隔必须不大于

12m

f ，或者说，最低采样频率为2m

f .

时域采样定理的证明：

假定信号f （t ）的频谱F （w ）限制在

~m m

w w -+范围内，若以间隔s T

（或者

重复频率

2s S

w T π=

）对f （t ）进行采样，采样后信号()s f t 的频谱()s F w 是F （w ）

以s w 为周期重复。如果采样过程满足式()()()s f t f t p t =，则()s F w 才不会产生频谱混叠。这样采样信号()s f t 保留了原有连续信号f （t ）的全部信息，完全可以用

()

s f t 唯一的表示f （t ），或者说，完全可以由()s f t 恢复出f （t ）。

对于采样定理，可以从物理概念上做如下解释。由于一个频带受限的信号波形绝不可能在很短的时间内产生独立的，实质的变化，它的最高变化速度受到最好频率分量m w 的限制因此为了保留这一频率分量的全部信息，一个周期的时间间隔内至少采样两次。

在满足采样定理的条件下，为了从频谱()S F w 中无失真的选出F （w ），可以用如下的矩形函数H （w ）与

()

S F w 相乘，既

()()()S F w F w H w =

其中

s T m

w w

<

()H w = 0 m w w >

3.频域采样定理

根据时域与频域的对称性，可以由时域采样定理直接推论出频域采样定理。频域采样定理的内容是：若信号f （t ）是时间受限信号，它集中在~m m t t -+的时

间范围内，若在频域中以不大于

12m

t 的频率间隔对f （t ）的频谱F （w ）进行采样，则采样

后的频谱1()F w 可以唯一的表示原信号。

从物理概念上不难理解，因为在频域中对F （w ）进行抽样，等效于f （t ）在时域中重复形成周期信号1()f t 。只要采样间隔不大于

12m

t ，则在时域波形不会产生混叠，用矩形脉冲

作选通信号从周期信号1()f t 中选出单个脉冲就可以无失真地恢复出原信号f （t ）。