三角函数的化简、求最小正周期和最值
三角函数的化简、求最小正周期和最值
1、已知()sin f x x x =∈x (R ).
（1）求函数)(x f 的最小正周期; （2）求函数)(x f 的最大值，并指出此时x 的值．
2、已知函数()2sin cos cos2f x x x x =+(x ∈R). （1）求函数()x f 的最小正周期；
（2）当x 取什么值时,函数()f x 取得最大值,并求其最大值;
（3）若θ为锐角，且83
f πθ??
+= ?
?
?，求tan θ的值.
（理）3、设函数??
?
??π-
+=2sin sin )(x x x f ωω，R ∈x ． （1）若21
＝
ω，求)(x f 的最大值及相应的x 的集合； （2）若8
π
=x 是)(x f 的一个零点，且100<<ω，求ω的值和)(x f 的最小正周期．
4、已知函数()4sin()cos f x x x π=-
（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）若(0,)θπ∈,2
()4
3
f π
θ+=
, 求sin θ的值
5、已知函数21()cos cos 1,2f x x x x x R =
+∈． （1）求函数()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 在[,]124
ππ
上的最大值和最小值，并求函数取得最大值和最小值时的自变量x 的值．
6、已知向量(cos sin ,sin )a x x x =+，(cos sin ,2cos )b x x x =-，设()f x a b =?. 求（1）求函数()f x 的最小正周期.
（2）当,44x ππ??
∈-???
?时，求函数()f x 的最大值及最小值.
7、已知函数22
()cos sin sin 2f x x x x =-+
（1）求()f x 的最大值和最小正周期；
（2）设,[0,
]2
π
αβ∈，(
)()282
f f α
πβπ+=+=sin()αβ+的值
8、已知函数()sin sin()3
f x x x π
=+-. （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；
（Ⅱ）在ABC ?中，角A ，B ， C 的对边分别为,,a b c . 已知()f A =a =，试判断ABC
?的形状.
9、已知函数()1cos 2cos 2
x
f x x x a +=+
+（a 为常数）． （1）求函数()x f 的最小正周期，并指出其单调减区间；
（2）若函数()x f 在??
?
??
?20π， 上的最大值是2,试求实数a 的值.
（理）10、已知()223sin cos 2sin 12f x x x x x πωωωω??
=-+- ?
??0>ω）的最小正周期为π.
(1) 求()x f 的单调递增区间;
(2) 在ABC ?中,c b a ,,分别是角C B A ,,的对边,已知(),1,2,1===A f b a 求角C .
三角函数式的化简与求值
三角函数式的化简与求值 三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍. ●难点磁场 已知 2π＜β＜α＜43π,cos(α－β)=13 12,sin(α+β)=－53 ,求sin2α的值_________. ● 案例探究 ［例1］ 不查表求sin 220°+cos 280°+3cos20°cos80°的值. 命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高. 知识依托：熟知三角公式并能灵活应用. 错解分析：公式不熟，计算易出错. 技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会. 解法一：sin 220°+cos 280°+3sin 220°cos80° = 21 (1－cos40°)+21 (1+cos160°)+ 3sin20°cos80° =1－21cos40°+21 cos160°+3sin20°cos(60°+20°) =1－21cos40°+2 1 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20° －sin60°sin20°) =1－ 21cos40°－41cos40°－43sin40°+43sin40°－2 3sin 220° =1－43cos40°－43(1－cos40°)= 41 解法二：设x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80° y =cos 220°+sin 280°－3cos20°sin80°，则 x +y =1+1－3sin60°= 2 1 ，x －y =－cos40°+cos160°+3sin100° =－2sin100°sin60°+3sin100°=0 ∴x =y = 41，即x =sin 220°+cos 280°+3sin20°cos80°=4 1.
g3.1049 三角函数的化简、求值与证明
g3.1049 三角函数的化简、求值与证明 一、知识回顾 1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数 2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。 3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。 二、基本训练 1、已知θ是第三象限角，且445 9 sin cos θθ+=，那么2sin θ等于 （ ） A 、223 B 、223- C 、23 D 、23 - 2、函数23 232 y sin x cos x =--+的最小正周期 （ ） A 、2π B 、π C 、3π D 、4π 3、tan 70cos10(3tan 201)- 等于 （ ） A 、1 B 、2 C 、－1 D 、－2 4、已知46 sin 3cos (4)4m m m αα--=≠-，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 5、设1 0,sin cos 2 απαα<<+=，则cos2α＝＿＿＿＿＿。 三、例题分析 例1、化简： 4221 2cos 2cos 2.2tan()sin () 44 x x x x ππ -+ -+ 例2、设3177cos(),45124 x x π ππ +=<< ，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值。 例3、求证：sin(2)sin 2cos().sin sin αββ αβαα +-+=
三角函数辅助角公式化简
精选文库 7．已知函数()4cos sin 16f x x x π?? =+- ?? ? ，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ?? -??? ?上的最大值和最小值. 8．设函数()() sin 3cos ?cos 2tan x x x f x x π?? +- ? ??= . （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ?? ? 上的单调性. 9．已知函数()2 23sin cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[] 0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在 上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2 sin cos cos 4f x x x x π?? =-+ ?? ? . (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ?? = ??? ， 1a =， 3bc =，求b c +的值. 12．已知函数. （1）求函数 的单调增区间；
精选文库 （2）的内角，，所对的边分别是，，，若，，且的面积为，求的值. 13．设函数. （1）求的最大值，并写出使 取最大值时的集合； （2）已知中,角 的边分别为 ，若 ，求的最小值. 14．已知()( ) 1 3sin cos cos 2 f x x x x ωωω= +-，其中0ω>，若()f x 的最小正周期为4π. （1）求函数()f x 的单调递增区间； （2）锐角三角形ABC 中， ()2cos cos a c B b C -=，求()f A 的取值范围. 15．已知a r =（sinx ，cosx ），b r =（cos φ，sin φ）（|φ|＜）．函数 f （x ）=a r ?b r 且f （3 π －x ）=f （x ）． （Ⅰ）求f （x ）的解析式及单调递增区间； （Ⅱ）将f （x ）的图象向右平移3π单位得g （x ）的图象，若g （x ）+1≤ax +cosx 在x ∈[0， 4 π ] 上恒成立，求实数a 的取值范围． 16．已知向量a v =（2cos 2 x ω， 3sin 2x ω），b v =（cos 2x ω，2cos 2 x ω），（ω＞0），设函数f （x ）=a v ?b v ，且f （x ）的最小正周期为π． （1）求函数f （x ）的表达式； （2）求f （x ）的单调递增区间． 17．已知函数()()sin (0,0,)2 f x A x A π ω?ω?=+>><的部分图象如图所示. （1） 求函数()f x 的解析式； （2） 如何由函数2sin y x =的通过适当图象的变换得到函数()f x 的图象， 写出变换过程; （3） 若142f α??= ???，求sin 6πα?? - ??? 的值. 18．已知函数 （1）求函数在上的单调递增区间； （2）若 且 ，求 的值。
(完整版)三角函数化简求值证明技巧
第三讲 一、三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的应用技巧 1、网络
2、三角函数变换的方法总结 （1）变换函数名 对于含同角的三角函数式，通常利用同角三角函数间的基本关系式及诱导公式，通过“切割化弦”，“切割互化”，“正余互化”等途径来减少或统一所需变换的式子中函数的种类，这就是变换函数名法．它实质上是“归一”思想，通过同一和化归以有利于问题的解决或发现解题途径。 【例1】已知θ同时满足和,且a、b 均不为0，求a、b的关系。 练习：已知sin（α＋β）＝，cos（α－β）＝，求的值。 2）变换角的形式 对于含不同角的三角函数式，通常利用各种角之间的数值关系，将它们互相表示，改变原角的形式，从而运用有关的公式进行变形，这种方法主要是角的拆变．它应用广泛，方式灵活，如α可变为（α＋β）－β；2α可变为（α＋β）＋（α－β）；2α－β可变为（α－β）＋α；α／2可看作α／4的倍角；（45°＋α）可看成（90°＋2α）的半角等等。 【例2】求sin（θ＋75°）＋cos（θ＋45°）－cos（θ＋15°）的值。练习已知，求的值
【例3】已知sinα＝Ａsin（α＋β）（其中cosβ≠A），试证明：tan（α ＋β）＝ 提示：sin[（α＋β）－β]＝Ａsin （α＋β） （3）以式代值 利用特殊角的三角函数值以及含有1的三角公式，将原式中的1或其他特殊值用式子代换，往往有助于问题得到简便地解决。这其中以“1”的变换为最常见且最灵活。“1”可以看作是sin2x＋cos2x, sec2x－tan2x, csc2x －cot2x，tanxcotx, secxcosx, tan45°等，根据解题的需要，适时地将“1”作某种变形，常能获得较理想的解题方法。 【例4】化简： （4）和积互化 积与和差的互化往往可以使问题得到解决，升幂和降次实际上就是和积互化的特殊情形。这往往用到倍、半角公式。 【例5】解三角方程：sin2x＋sin22x＝sin23x
二倍角的三角函数的化简与证明
课题：二倍角的三角函数 本节考试要求为B 级 一、知识梳理 1、二倍角公式 =α2sin ；=α2cos ；=α2tan ． 2、公式变形 =α2sin ；=α2cos ；=-αcos 1 ； =+αcos 1 ；=-α2sin 1 ；=+α2sin 1 ． 3、技巧：（1）巧变角；（2）切化弦；（3）变逆用；（4）幂升降；（5）变结构；（6）1代换；（7）三兄妹． 二、三基能力强化 1、已知5 3 )4sin( = -x π ，则=x 2sin ． 2、已知θ是第三象限角，且9 5cos sin 4 4=+θθ，那么θ2sin ＝ ． 3、在ABC ?中，6cos 4sin 3=+B A ，1cos 3sin 4=+A B ，则C sin 的值为 ． 4、教材习题改编）已知1tan 2tan 1=+-θθ，则=++)4 tan(42tan π θθ ． 5、已知βα,均为锐角，且α αα αβsin cos sin cos tan +-=，则=+)tan(βα ． 三、典例互动 三角函数式的化简：化简的要求 例1：（1）化简)4 cos(6)4sin( 2x x -+-π π ； （2）α αααα2sin ) 1cos )(sin 1sin (cos +--+ 规律总结： 三角函数式的求值：求值的方法 例2：求值：0 01000 1cos 20sin10(tan 5tan 5)2sin 20-+-- 又如：ο ο ο ο 78sin 66sin 42sin 6sin ＝
例3：已知),43(ππα∈，3 10 tan 1tan =+αα，求 ) 2 sin(28 2 cos 112 cos 2 sin 82 sin 52 2 π αα α α α --++的 值。 变题：本题条件不变，求 ) 3 sin(cos 22sin 2π ααα- -的值。 例4：已知ββαsin 3)2sin(=+，设x =αtan ，y =βtan ，记)(x f y = （1）求)(x f 的解析式；（2）若角α是一个三角形的最小内角，试求函数)(x f 的值域 四、课堂反馈 1．已知cos2α＝1 4 ，则sin 2α＝________． 2．2sin2α1＋cos2α·cos 2αcos2α 等于________． 3．已知α，β，γ∈(0，π 2)，且sin α＋sin γ＝sin β，cos β＋cos γ＝cos α，则α－β的值等于________． 4．定义运算a b ＝ab 2＋a 2b ，则sin15°cos15°的值是________． 5．(原创题)已知sin θ＝4 5 ，且cos θ－sin θ＋1<0，则sin2θ＝________． 6．化简：2cos 4x －2cos 2x ＋ 1 2 2tan(π4－x )·sin 2(π 4＋x ) .
三角函数式化简
三角函数式化简 孙小龙 所谓三角函数化简，就是灵活运用公式，对复杂的三角函数式进行变形，从而得到较为简单的三角函数式以便于进行问题讨论，所以三角函数式的化简是研究复杂三角函数式的基础。下面我们一起深入探究如何进行三角函数式化简。 方法引导 三角函数式化简通常是最让人头疼的一类题型，因为化简没有明确的方向，很难继续进行。其实化简只要遵守“三看”原则，即能顺利化简。一是看角，二是看名，三是看式子的结构和特征。 （1） 看角的特点，充分利用角之间的关系，尽量向同角转化，利用已知角构建待求角； 如倍角关系、半角关系、互余关系、互补关系等； （2） 看函数名的特点，向同名函数转化，弦切互化； （3） 看式子的结构特点，从整体出发，正用、逆用、变形应用这些公式。另外，根据式 子的特点，还可以使用辅助角公式。 了解了化简原则之后，下面我们开始化简了。 例一 化简f(x)=2cosxsin(x+3 π )－3sin 2x+sinxcosx 分析：首先先看角，式子中的角度不统一，所以首要任务是统一角度，根据式子的结构特点和π 3的特殊性，可以运用两角和的正弦公式将式子展开 f (x )=2cos x sin(x +3 π)-3sin 2 x +sin x cos x ?????→用三角公式展开2cos x (sin x cos 3 π +cos x sin 3 π)-3sin 2 x +sin x cos x = 2sin x cos x +3cos 2 x -3sin 2 x 第一步化简完成后，再次观察式子的结构特点，每一个单项式都是二次的，所以再运用降幂公式把式子变为一次式 2sin x cos x + 3cos 2 x -3sin 2 x ???? →降幂公式 sin2x +3cos2x 继续运用辅助角公式进行彻底化简 sin2x + 3cos2x ????→辅助角公式 2sin(2x + 3 π ). 例二 化简： 42212cos 2cos 2.2tan()sin () 44 x x x x ππ-+ -+ 分析：我们还是先从角度入手，分子上角度统一，分母角度不统一，但仔细观察发现分母中两个角 呈互余关系，再看函数名的特点，我们可以运用诱导公式进行化简;分子上仔细观察结构，提出1 2， 可以得到完全平方式 42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44 x x x x ππ-+ -+诱导公式及完全平方式 → 12(4cos x?4cos x+1)242cot(π4+x)sin （π4 +x ）2=（2cos x?12）24sin(π4+x)cos(π4+x) 统一角度后，分析式子的结构特点，运用降幂公式进行化简 （2cos x?12） 2 4sin(π4+x)cos(π 4+x) 降幂公式 → 2cos 2x 22sin(π+2x)= 2cos 2x 22cos 2x = 12 cos 2x 我们可以通过两个例题发现化简题目中透露出来的隐藏信息，这就是三角函数式化简要求 最终形式：正弦型函数（通常情况） 化简方法： 1、切割化弦； 2、降幂公式； 3、用三角公式转化出现特殊角； 4、 异角化同角； 5、异名化同名； 6、高次化低次； 7、辅助角公式； 8、分解因式。 任何三角函数式化简只要掌握了化简的原则和要求，遇到化简题就能轻而易举的攻破了，但首先有个前提：熟练掌握常见三角函数变换公式，如同角三角函数变换公式、诱导公式、两角和与差的余弦正弦正切公式、倍角与半角公式、辅助角公式等。同时还要了解其他三角函数变换公式，如三角函数积化和差和和差化积公式、三倍角公式和万能置换公式等。 小试牛刀 1. 化简βαβαβα2cos 2cos 2 1 cos cos sin sin 2222-+。 2. 化简x x x x x x f 2sin 2cos sin cos sin )(2244-++=
三角函数的周期
三角函数的周期性 一、课题：三角函数的周期性 二、教学目标：1.理解周期函数、最小正周期的定义；会判断一些简单的、常见的函数的周 期性，并会求一些简单三角函数的周期。 2.会求正、余弦函数的最小正周期。 三教学重点：函数周期性的概念． 教学难点：周期函数与最小正周期的意义 四、教学过程： （一）引入： 1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？…… （2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？ 2问题三角函数是刻画圆周运动的数学模型，那么“周而复始”的基本特征在函数性质中怎么体现？ （二）新授 1周期定义：一般的，对于函数f(x),如果存在一个非零的常数T，使得定义域内的每一个x的值，都满足f(x+T)=f(x), 那么函数f(x)就叫做周期函数，非零的常数T叫做这个函数的周期上述（1）的周期是多少？正弦函数的，周期是多少？ 2 最小正周期：对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期 说明：1 “每一个”怎么理解 2f(x+T)=f(x) 周期为T f(2x+T)=f(x) 周期为 3并不是所有的周期函数都有最小正周期，以后未特殊说明周期即指最小正周期 4f(x)=sinx, f(x)=cosx f(x)=tanx的周期是多少 例题讲解 例1 若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图 （1）求该函数的周期 （2）求t=10s时钟摆的高度 例2 改1 求函数f（x）=sin4x的周期 2 求函数f（x）=sin3x的周期 3求函数f（x）=2 sin3x+1的周期 4求函数f（x）=2 cos3x+1的周期
三角函数化简题
４三角函数得化简、求值与证明日期:２０09年月日星期 ,能正确地运用三角公式进行三角函数式得化简与恒等式得证明、 用、 (１)常用方法:①直接应用公式进行降次、消项；②切割化弦，异名化同名，异角化同角;③三角公式得逆用等。(2)化简要求：①能求出值得应求出值； ②使三角函数种数尽量少;③使项数尽量少;④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数 ２、三角函数得求值类型有三类:(1）给角求值:一般所给出得角都就就是非特殊角,要观察所给角与特殊角间得关系,利用三角变换消去非特殊角,转化为求特殊角得三角函数值问题;(２）给值求值:给出某些角得三角函数式得值,求另外一些角得三角函数值，解题得关键在于“变角”，如等，把所求角用含已知角得式子表示，求解时要注意角得范围得讨论；(３)给值求角：实质上转化为“给值求值”问题,由所得得所求角得函数值结合所求角得范围及函数得单调性求得角。 3、三角等式得证明:(1)三角恒等式得证题思路就就是根据等式两端得特征,通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法,使等式两端得化“异”为“同”;(2）三角条件等式得证题思路就就是通过观察,发现已知条件与待证等式间得关系，采用代入法、消参法或 、三角函数得求值: ,化非特殊角为特殊角; ?2、正确灵活地运用公式,通过三角变换消去或约去一些非特殊角得三角函数值; ?3、一些常规技巧：“１”得代换、切割化弦、与积互化、异角化同角等、 1、三角函数式得化简: 三角函数式得化简常用方法就就是：异名函数化为同名三角函数,异角化为同角，异次化为同次，切割化弦，特殊值与特殊角得三角函数互化、 ?2、三角恒等式得证明: 三角恒等式包括有条件得恒等式与无条件得恒等式、①无条件得等式证明得基本方法就就是化繁为简、左右归一、变更命题等，使等式两端得“异”化为“同”;②有条件得:代入法、消去法、综合法、分析法等、 ( A) A、B、C、D、 2、函数得最小正周期( B) Ａ、B、C、D、 3、等于( Ｄ） A、1 B、2 C、－1 D、-２ ４、已知，则实数得取值范围就就是__[-1,]＿＿_。 _＿＿_。 ,(),则?( ) ???或 略解:由得或(舍)，∴,∴、 例2、已知,就就是第三象限角,求得值、 解：∵就就是第三象限角，∴（）, ∵,∴就就是第四象限角,∴, ?∴原式 221 cos(15)sin(15)sin(75)cos(75) 3αααα + =---=+-+=-、 例3、已知，求得值、
三角函数的周期性
1.4.1三角函数的周期性 一、导学目标 1.引导学生从单位圆中，得出正弦、余弦函数值呈现周期性变化 2.函数周期性定义 3．能求三角函数的周期 二、知识回归 1.任意角的三角函数 sin y α= cos x α= 2.终边与α角相同 2απ+ 2απ- L L 2()k k Z απ+∈ 三角函数值相同 三、新知导学 由观察可知 1.三角函数值出现周期性变化的特点 sin(2)sin cos(2)cos x k x x k x ππ+=+= （k Z ∈） 2.函数定义 对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使定义域内每一个x ,都有()()f x T f x +=,则函数()f x 叫周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 3.正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的周期 2,4,6,2,4,6,ππππππ---L L 2(,0)k k Z k π∈≠ 都是它们的周期 2π是所有周期中最小的正数，是sin ,cos x x 的最小的 正周期 周期函数()f x ，如果它所有的周期中存在一个最小的正数，这个最小正数就是()f x 的最小正周期，一般，函数周期都是指最小正周期 sin ,cos y x y x ==的周期是T=2π 四、例题分析与巩固训练
(1)()sin 3f x x = 1(2)()2cos()23 g x x π=- 分析：由sin ,cos x x 周期都是2π，设周期T 即可 （1） 设()f x 周期为T ，()()f x T f x += ∴sin3()sin3x T x += sin(33)sin 3x T x += 32T π∴= 23 T π= （2） 设()g x 周期为T ()()g x T g x += 2cos()2cos()2323 x T x ππ+-=- 即2cos ()2cos()23223x T x ππ??- +=-???? 22 T π∴= 巩固训练 A 1. 求下列函数的周期 （1）2sin 2y x =- （2）cos 3 x y = 2.判断下列说法是否正确，并说明理由 （1）76x π=时，2sin()sin 3x x π+=，则23 π一定是函数sin y x =的周期 B 思考 sin()cos() y A x y A x ω?ω?=+=+ （其中,,A ω?为常数，0,0A ω≠>） 的周期为2T π ω= 例2 若钟摆高度()h mm 与时间()t s 之间的函数关系如图所示 （1） 求该函数的周期
三角函数辅助角公式化简
三角函数辅助角公式化简 一、解答题 1．已知函数()22sin cos 3f x x x π?? =-+ ?? ? ， x R ∈ （1）求()f x 的对称中心； （2）讨论()f x 在区间,34ππ?? -??? ?上的单调性. 2．已知函数( )4sin cos 3f x x x π?? =+ ?? ? （1）将()f x 化简为()()sin f x A x ωφ=+的形式，并求()f x 最小正周期； （2）求()f x 在区间,46ππ?? -????上的最大值和最小值及取得最值时x 的值. 3．已知函数( )4tan sin cos 23f x x x x ππ??? ?=-- ? ???? ? （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间,44ππ?? -???? 上的单调递增区间及最大值与最小值． 4．设函数( )2 sin cos 2 f x x x x =+- . （1）求函数()f x 的最小正周期T 及最大值； （2）求函数()f x 的单调递增区间. 5．已知函数()πππcos 22sin sin 344f x x x x ??????=- +-+ ? ? ?? ?? ??? （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期和图象的对称轴方程； （Ⅱ）求函数()f x 在区间ππ,122?? -??? ?上的值域. 6．已知函数( )21 cos cos 2 f x x x x =--. (Ⅰ)求函数()f x 的对称中心； (Ⅱ)求()f x 在[] 0,π上的单调区间.
7．已知函数()4cos sin 16f x x x π? ?=+- ?? ?，求 （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调递增区间 （3）求()f x 在区间,64ππ?? -???? 上的最大值和最小值. 8．设函数()() sin 3cos ?cos 2tan x x x f x x π?? +- ? ??= . （1）求()f x 的最小正周期； （2）讨论()f x 在区间0,2π?? ?? ? 上的单调性. 9．已知函数()2 23sin cos 2cos 1f x x x x =-+， （I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[] 0,π上的单调性。 10．已知函数. (1)求 的最小正周期； (2)若关于 的方程在 上有两个不同的实根，求实数 的取值范围. 11．设()2 sin cos cos 4f x x x x π?? =-+ ?? ? . (1)求()f x 的单调递增区间； (2)锐角ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若02A f ?? = ??? ， 1a =， 3bc =，求b c +的值. 12．已知函数 .
三角函数·函数的周期性
三角函数·函数的周期性 教学目标 1．使学生理解函数周期性的概念，并运用它来判断一些简单、常见的三角函数的周期性． 2．使学生掌握简单三角函数的周期的求法． 3．培养学生根据定义进行推理的逻辑思维能力，提高学生的判断能力和论证能力． 教学重点与难点 函数周期性的概念． 教学过程设计 师：上节课我们学习了利用单位圆中的正弦线作正弦函数的图象．今天我们将利用正弦函数图象，研究三角函数的一个重要性质．请同学们观察y=sinx，x ∈R的图象： （老师把图画在黑板左上方．） 师：通过观察，同学们有什么发现？ 生：正弦函数的定义域是全体实数，值域是［-1，1］．图象有规律地不断重复出现． 师：规律是什么？ 生：当自变量每隔2π时，函数值都相等．
师：正弦函数的这种性质叫周期性．我们将会发现，不但正弦函数具有这种性质，其它的三角函数和不少的函数也都具有这样的性质，因此我们就把它作为今天研究的课题：函数的周期性．（老师在黑板左上方写出课题） 师：我们先看函数周期性的定义．（老师板书） 定义对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期． 师：请同学们逐字逐句的阅读定义，找出定义中的要点． 生：首先T是非零常数，第二是自变量x取定义域内的每一个值时都有f （x+T）=f（x）． 师：找得准！那么为什么要这样规定呢？ 师：如果T=0，那么f（x+T）=f（x）恒成立，函数值当然不变，没有研究价值；如果T为变数，就失去了“周期”的意义了．“每一个值”的含义是无一例外． 师：除这两条外，定义中还有一个隐含的条件是什么？ 生：如果x属于y=f（x）的定义域，则T+x也应属于此定义域． 师：对．否则f（x+T）就没有意义． 师：函数周期性的定义有什么用途？ 生：它为我们提供判定函数是否具有周期性的理论依据． 师：下面我们看例题． （老师板书） 例1 证明y=sinx是周期函数． 生：因为由诱导公式有sin（x+2π）=sinx．所以2π是y=sinx是一个周期．故它就是周期函数． 例2
三角函数化简技巧
三角函数化简技巧 一、化简要求： 将一个三角函数式化简，最终结果一般都是出现两种形式：1、一元一次（即类似 B x A y ++=)sin(?ω）的标准形式；2、一元二次（即类似y=A(cosx+B)2 +C ）的标准形式。 二、三角化简的通性通法： 1、切割化弦； 2、降幂公式； 3、用三角公式转化出现特殊角； 4、 异角化同角； 5、异名化同名； 6、高次化低次； 7、辅助角公式； 8、分解因式。 三、例题讲解： （例1）f(x)=2cosxsinx+ x x x x cos sin 1sin 2cos 22 +--=_y=A(cosx+B)2+C B x A y ++=)sin(?ω (三角函数化简技巧)－3sin 2 x+sinxcosx 解：f (x )=2cos x sin(x +3 π)－3sin 2x +sin x cos x ?????→用三角公式展开 2cos x (sin x cos 3 π +cos x sin 3 π )－ 3sin 2x +sin x cos x ????→降幂公式 sin2x + 3cos2x ????→辅助角公式 2sin(2x + 3 π ). （例2）y =2cos 2 x －2a cos x －(2a +1) 解：y =2cos 2 x －2a cos x －(2a +1) ???→配方 2(cos x －2 a )2－22 42+-a a . （例3）若tan x =2，则 x x x x cos sin 1sin 2cos 22 +--=_______. （例4）sin 4α+cos 4α=_______. 解：sin 4α+cos 4α?? →（sin 2α+cos 2α）2－2sin 2αcos 2α??→1－2 1 sin 22α?? →1－11-cos222α ? =13cos 244 α+. （例5）函数y =5sin x +cos2x 的最大值是_______. （例6）函数y =sin （3 π －2x ）+sin2x 的最小正周期是 （例7）f （x ）=2cos 2x +3sin2x +a （a 为实常数）在区间［0，2 π ］上的最小值为－4，那么a 的值等于
如何求三角函数的最小正周期
如何用初等方法求三角函数的最小正周期 在三角函数中，求最小正周期是一个重要内容，有关求三角函数最小正周期的问题，供大家参考。 一 公式法 函数f(x)＝Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0）的最小正周期都是ω π2；函数f(x)＝Atan(ωx+φ)和f(x)=Acot(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0）的最小正周期都是ω y=Af(ωx+φ)(A ≠0,ω＞0）一类三角函数的最小正周期（这里“f ”表示正弦、余弦、正切或余切函数）。 例1 求下列函数的最小正周期： （1） f(x)＝2sin （53πx ＋1）。 （2） f(x)＝1-31cos(4x 3π-）。 （3） f(x)＝51tan(31x 3 π-). f(x)＝)6 2cot(21π--x 解：用T 表示各函数的最小正周期，则： （1）T=5 32ππ =310 T=42π=2 π T=3 1 π=3π f(x ）的最小正周期和y 1=1－2cot(2x －6π)的最小正周期相同，为T=2 π 二 定义法 根据周期函数和最小正周期的定义，确定所给函数的最小正周期。 例2 求函数f(x)＝2sin （21x －6 π）的最小正周期。 解：把2 1x －6 π看成是一个新的变量z,那么2sinz 的最小正周期是2π。由于z ＋2π＝21x-6π=(21x ＋4π)-6π。所以当自变量x 增加到x ＋4π且必须增加到x ＋4π时，函数值重复出现。 ∴函数y=2sin(21x-6 π)的最小正周期是4π。 例3 求函数f(x)＝|sinx|－|cosx|的最小正周期。
解：根据周期函数的定义，易知2π、π都是这个的周期，下面证明π是这个函数的最小正周期。 设0＜T ＜π是这个函数的周期，则|sin(x ＋T )|－|cos(x ＋T )|=|sinx|－|cosx| ① 对于任意x ∈R 都成立，特别的，当x=0时也应成立。 ∴ |sinT|－|cosT|＝|sin0|－|cos0|＝－1。 但当0＜T ＜π时，0＜|sinT|≤1，0＜|cosT|＜1，故有－1＜|sinT|－|cosT|≤1， 矛盾，所以满足①且小于π的正数T 不存在。故函数f(x)＝|sinx|－|cosx|的最小正周期是π。 三、最小公倍数法 求几个正弦、余弦和正切函数的最小正周期，可以先求出各个三角函数的最小正周期，然后再求期最小公倍数T,即为和函数的最小正周期。 例4 求下列函数的最小正周期： （1）f(x)＝sin3x+cos5x （2）f(x)＝cos 34 x －sin 2 1x. （3）f(x)＝sin 53x ＋tan 7 3x. 解：（1）∵sin3x 的最小正周期为T 1=π32,cos5x 的最小正周期为T 2=π52。而π32和π5 2的最小公倍数是2π. ∴f(x)的最小正周期为T=2π. （2) ∵cos 34x 的最小正周期为T 1=π23，-sin 2 1x 的最小正周期为T 2=4π。而π2 3和4π的最小公倍数是12π。 ∴f(x)＝cos 34 x －sin 2 1x 的最小正周期为T=12π. （3）∵sin 53x 的最小正周期为T 1=π310，tan 73x 的最小正周期为T 2=π37。而π310和π3 7的最小公倍数是70π。 ∴f(x)＝sin 53x ＋tan 7 3x 的最小正周期为T=70π. 说明：几个分数的最小公倍数，我们约定为各分数的分子的最小公倍数为分子，各分母的最大公约数为分母的分数。 四 图象法 作出函数的图象，从图象上直观地得出所求的最小正周期。 例5 求下函数的最小正周期。 （1）y=|sin(3x ＋3 π)|
三角函数式的化简和证明
简单的三角恒等变换——化简与证明 学习目标：能正确地运用三角函数的有关公式进行三角函数式的求值，化简与恒等式的证明． 学习重点：三角函数的有关公式的灵活应用和一些简单的变性技巧. 学习过程 一、知识清单 1.证明了cos()a b -= ?cos()a b += ?cos()2p a -= ，cos()2 p a += ?sin()a b += sin()a b -= ?tan()a b += ，tan()a b -= 2. cos (+)a b = ?cos 2a = = = sin()a b += ?sin 2a = tan()a b += ?tan 2a = 3.倍角的相对性 sin a = ，cos a = ，tan a = 4.要掌握这些公式的推导和联系，用时注意公式的“正用”，“逆用”和“变用”. 如：降幂扩角公式 2sin a = ；2 cos a = ； 1cos a += ；1cos a -= ； 1sin a += ；1sin a -= . 5. 划一公式：sin cos a x b x += （其中tan f = ，f 所在象限由 确定）. 二、范例解析 题型一 三角函数式的化简和证明 1.三角函数式的化简要求：
通过对三角函数式的恒等变形使最后所得到的结果中： ①所含函数和角的名称或种类最少；②各项的次数尽可能地低；③出现的项数最少； ④一般应使分母和根号不含三角函数式；⑤对能求出具体数值的，要求出值． 2.三角变换的三项基本原则： （1）角的变换：划同角（角的拆分，配角和凑角，1的变换）； （2）函数名称的变换：划同名（正切划弦）； （3）幂指数的变换：划同次（升幂、降幂公式，同角公式）. 例1化简下列各式 ； ②1sin 2cos 21sin 2cos 2a a a a +-=++ ； ③2sin 2cos 1cos 2a a a -=+ ； ④222cos 12tan()sin ()44 a p p a a -=-+ ； 例2 证明下列各式（从左到右或从右到左或左右开攻中间会师，一般化繁为简） ①22tan 2sin 1tan 2a a a =+ ②2 2 1tan 2cos 1tan 2a a a -=+ ③sin 1cos tan 21cos sin a a a a a -==+ ④[]1sin cos sin()sin()2a b a b a b =++- ⑤sin sin 2sin cos 22 q f q f q f +-+=. 三、课下练习： 课本142P 2 ； 143P A 组 1, 2, 3, 4；B 组 1； 146P 8；147P 5.
三角函数周期最值
正弦函数、余弦函数的性质（一） 周期 【基础知识梳理】 1.正弦函数x y sin =与余弦函数x y cos =都是周期函数 都是它们的周期，且它们的最小正周期都是 ； 2.正弦型函数)sin(?ω+=x A y 和余弦型函数)cos(?ω+=x A y (0,0≠>ωA )的周期T= . 【典型例题】 【例1】1.函数x y sin =的周期为（ ） A. π2 B.π C. 2π D.4π 2.设函数f (x )=3si ∈(-∞,+∞),且以 为最小正周期 若 则 的值为 【巩固练习】 1.求下列函数的周期： （1）y=3cosx ,x ∈R ； （2）y=sin2x, x ∈R ； （3）y=2sin(21x-6π),x ∈R ； （4）)4 31cos(2π-=x y ； （5）)3 21sin(π+-=x y 。 2.定义在R 上的函数f (x )既是偶函数,又是周期函数,若f (x )的最小正周期为π,且当x ∈ 时 则 等于 A. 21- B. 21 C.23- D.23 3.若函数f (x )=sin ωx 的周期为π,则ω= . 4.函数y =|cos x|的最小正周期是( ) A.π2 B.π C.2π D.4 π 5.函数y=5si 的最小正周期为 A.π2 B.π5 C.25π D.5 2π
最值 【基础知识梳理】 1.正弦函数x y sin =在x = 时， 1max =y ； 在x = 时， 1min -=y 。 2.余弦函数x y cos =在x = 时， 1max =y ； 在x = 时， 1min -=y 。 【典型例题】 【例1】求下列函数的最值及取得最大值、最小值时的自变量x 的集合： （1）)42sin(3π+ =x y ； （2）)6 21cos(23- π-=x y ； （3）2)1(sin 2+-=x y 。 【例2】求函数2sin 5sin 22-+-=x x y 的最大值和最小值。
三角函数的求值、化简与证明(教案)
三角函数的求值、化简与证明 教学目标 1、 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式，能正 确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值； 2、 培养学生分析问题解决问题的能力，培养热爱数学。 教学重点 掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式。掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式。 教学难点 能正确运用三角公式进行三角函数的化简证明求值 教学过程 一、知识归纳 1、两角和与差公式： ()sin sin cos cos sin αβαβαβ±=± ()cos cos cos sin sin αβαβαβ±= ， ()t a n t a n t a n 1t a n t a n αβαβαβ±±= 2、二倍角公式：sin 22sin cos ααα=， 22t a n t a n 21t a n αα α=- 22cos 2cos sin ααα=-22cos 1α=-212sin α=- 公式变形：1sin cos sin 22 ααα= 21cos 2sin 2αα-=，21cos 2cos 2αα+= 3、三角函数式化简的一般要求： ①函数名称尽可能少， ②项数尽可能少，③次数尽可能低，尽可能求出值 ④尽量使分母不含三角函数，⑤尽量使被开方数不含三角函数 4、求值问题的基本类型及方法： (1)“给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应注意观察非特殊角与特殊角之间的 关系。 （2）“给值求值”即给出某些角的的三角函数式的值，求另一些角的三角函数值，解题关键 在于变角，使其角相同。 （3）“给值求角”关键是变角，把所求的角用含已知角的式子表示。 5、证明三角恒等式的思路和方法： ①思路:利用三角公式进行化名，化角，使等式两端化“异”为“同”。 ②证明三角不等式的方法： 比较法、配方法、反证法、分析法，利用函数单调性，利用正余弦函数的有界性，利用 单位圆三角函数线及判别法等。 二、典例分析： 题型一：三角函数式的化简 例1：化简 ： 22221sin sin cos cos cos 2cos 22 αβαβαβ?+?-? 分析：化简时使角尽量少，幂次尽量低，不含切割函数，时时要注意角之间的内在联系。
求三角函数最小正周期的五种方法
求三角函数最小正周期的五种方法 一、定义法 直接利用周期函数的定义求出周期。 例1. 求函数（m≠0）的最小正周期。 解：因为 所以函数（m≠0）的最小正周期 例2. 求函数的最小正周期。 解：因为 所以函数的最小正周期为。 二、公式法 利用下列公式求解三角函数的最小正周期。 1. 或的最小正周期。 2. 的最小正周期。
3. 的最小正周期。 4. 的最小正周期 例3. 求函数的最小正周期。 解：因为 所以函数的最小正周期为。 例4. 求函数的最小正周期。 解：因为， 所以函数的最小正周期为。 三、转化法 对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为等类型，再用公式法求解。 例5. 求函数的最小正周期。 解：因为
所以函数的最小正周期为。 例6. 求函数的最小正周期。 解：因为 其中， 所以函数的最小正周期为。 四、最小公倍数法 由三角函数的代数和组成的三角函数式，可先找出各个加函数的最小正周期，然后找出所有周期的最小公倍数即得。 注： 1. 分数的最小公倍数的求法是：（各分数分子的最小公倍数）÷（各分数分母的最大公约数）。 2. 对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法。 例7. 求函数的最小正周期。 解：因为csc4x的最小正周期，的最小正周期，由于和 的最小公倍数是。 所以函数的最小正周期为。 例8. 求函数的最小正周期。
解：因为的最小正周期，最小正周期，由于和的最小公倍数是， 所以函数的最小正周期为T＝。 例9. 求函数的最小正周期。 解：因为sinx的最小正周期，的最小正周期， sin4x的最小正周期，由于，的最小公倍数是2。 所以函数的最小正周期为T＝。 五、图像法 利用函数图像直接求出函数的周期。 例10. 求函数的最小正周期。 解：函数的图像为图1。 图1 由图1可知：函数的最小正周期为。