最新一元一次方程专题练习(解析版)
一、初一数学一元一次方程解答题压轴题精选（难）
1．同学们都知道，表示5与－2之差的绝对值，实际上也可理解为5与－2两数在数轴上所对应的两点之间的距离，试探索：
（1）求＝________．
（2）若，则 =________
（3）同理表示数轴上有理数x所对应的点到－1和2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得，这样的整数是
________(直接写答案)
【答案】（1）7
（2）7或-3
（3）-1，0，1，2.
【解析】【解答】（1）|5-（-2）|=7，
故答案为：7；
（ 2 ）|x-2|=5，
x-2=5或x-2=-5，
x=7或-3，
故答案为：7或-3；
（ 3 ）如图，
当x+1=0时x=-1，
当x-2=0时x=2，
如数轴，通过观察：-1到2之间的数有-1，0，1，2，
都满足|x+1|+|x-2|=3，这样的整数有-1，0，1，2，
故答案为： -1，0，1，2．
【分析】（1）化简符号求出式子的值；（2）根据绝对值的性质得到x-2=5或x-2=-5，求出x的值；（3）根据题意画出数轴，得到-1到2之间的整数有-1，0，1，2，得到满足方程的整数值有-1，0，1，2.
2．你知道为什么任何无限循环小数都可以写成分数形式吗？下面的解答过程会告诉你原因和方法．
（1）阅读下列材料：
问题：利用一元一次方程将化成分数．
设．
由，可知，
即．（请你体会将方程两边都乘以10起到的作用）
可解得，即．填空：将写成分数形式为________ ．
（2）请仿照上述方法把小数化成分数，要求写出利用一元一次方程进行解答的过程.
【答案】（1）
（2）解：设 =m，方程两边都乘以100，可得100× =100x
由=0.7373…，可知100× =73.7373…=73+0.73
即73+x=100x
可解得x= ，
即 =
【解析】【分析】解：(1)设0.4˙=x，则4+x=10x，
∴x= .
故答案是：；
（2）理解该材料的关键在于：将循环小数扩大的倍数在于循环小数的循环节，释放一个循环节后，循环小数的大小仍不变.
3．同学们都知道，|4﹣（﹣2）|表示4与﹣2的差的绝对值，实际上也可理解为4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；同理|x﹣3|也可理解为x与3两数在数轴上所对应的两点之间的距离.试探索：
（1）|4﹣（﹣2）|的值．
（2）若|x﹣2|=5，求x的值是多少？
（3）同理|x﹣4|+|x+2|=6表示数轴上有理数x所对应的点到4和﹣2所对应的两点距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x﹣4|+|x+2|=6，写出求解的过程．
【答案】（1）解：∵4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，
∴|4﹣（﹣2）|=6．
（2）解：|x﹣2|=5表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，
∵﹣3或7与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，
∴若|x﹣2|=5，则x=﹣3或7．
（3）解：∵4与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，
∴使得|x﹣4|+|x+2|=6成立的整数是﹣2和4之间的所有整数（包括﹣2和4），
∴这样的整数是﹣2、﹣1、0、1、2、3、4．
【解析】【分析】（1）根据4与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，可得|4-（-2）|=6．（2）根据|x-2|=5表示x与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，可得x=-3或7．（3）因为4与-2两数在数轴上所对应的两点之间的距离是6，所以使得|x-4|+|x+2|=6成立的整数是-2和4之间的所有整数（包括-2和4），据此求出这样的整数有哪些即可．
4．用“ ”规定一种新运算：对于任意有理数 a 和b，规定
．如：
.
（1）求的值；
（2）若=32，求的值；
（3）若，（其中为有理数），试比较m、n的大小．
【答案】（1）解：∵
∴ =
（2）解：∵=32，
∴可列方程为；
解方程得：x=1
（3）解：∵ = ，
；
∴；
∴
【解析】【分析】（1）利用规定的运算方法直接代入计算即可；（2）利用规定的运算方
法得出方程，求得方程的解即可；（3）利用规定的运算方法得出m、n，再进一步作差比较即可．
5．某航空公司开展网络购机票优惠活动：凡购机票每张不超过2000元的一律八折优惠；超过2000元的，其中2000元按八折算，超过2000的部分按七折算．
（1）甲旅客购买了一张机票的原价为1500元，需付款________元；
（2）乙旅客购买了一张机票的原价为x（x＞2000）元，需付款________元（用含x的代数式表示）；
（3）丙旅客因出差购买了两张机票，第一张机票实际付款1440元，第二张机票享受了七折优惠，他査看了所买机票的原价，发现两张票共节约了910元，求丙旅客第二张机票的原价和实际付款各多少元？
【答案】（1）1200
（2）0.7x+200
（3）解：第一张机票的原价为1440÷0.8=1800（元）．
设丙旅客第二张机票的原价为y元，则购买两种票实际付款（1800+y-910）元，
根据题意得：1440+0.7y+200=1800+y-910，
解得：y=2500，
∴1800+y-910-1440=1950．
答：丙旅客第二张机票的原价为2500元，实际付款1950元
【解析】【解答】解：（1）1500×0.8=1200（元）．
故答案为：1200．（2）根据题意得：需付款=2000×0.8+（x-2000）×0.7=0.7x+200（元）．故答案为：（0.7x+200）．
【分析】（1）利用需付款=原价×0.8，即可求出结论；（2）根据需付款=2000×0.8+0.7×超出2000元部分，即可求出结论；（3）根据原价=需付款÷0.8可求出第一张机票的原价，设丙旅客第二张机票的原价为y元，则购买两种票实际付款（1800+y-910）元，根据（2）的结论，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．
6．阅读理解：
定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”.例如：的解为，的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”.
问题解决：
（1）在方程① ，② ，③ 中，不等式组
的“子方程”是________；（填序号）
（2）若关于x的方程是不等式组的“子方程”，求k的取值范
围；
（3）若方程，都是关于x的不等式组的“子方
程”，直接写出m的取值范围.
【答案】（1）③
（2）解：解不等式3x-6＞4-x，
得：＞，
解不等式x-1≥4x-10，
得：x≤3，
则不等式组的解集为＜x≤3，
解：2x-k=2，
得：x= ，
∴＜≤3，
＜，
解得：3＜k≤4；
（3）解：解方程：2x+4=0得，
解方程：
得：，
解关于x的不等式组
当＜时，不等式组为：，
此时不等式组的解集为：＞，不符合题意，
所以：＞
所以得不等式的解集为：m-5≤x＜1，
∵2x+4=0，都是关于x的不等式组的“子方程”，
∴，
解得：2＜m≤3.
【解析】【解答】解：（1）解方程：3x-1=0得：
解方程：得：，
解方程：得：x=3，
解不等式组：
得：2＜x≤5，
所以不等式组的“子方程”是③.
故答案为：③；
【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；（2）解不等式组求得其
解集，解方程求出x= ，根据“子方城”的定义列出关于k的不等式组，解之可得；（3）先求出方程的解和不等式组的解集，分＜与＞讨论，即可得出答案.
7．在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，D，C，其中AB＝2，BD＝3，DC＝1，如图所示，设点A，B，D，C所对应数的和是p．
（1）若以B为原点．写出点A，D，C所对应的数，并计算p的值；
（2）①若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝x，p＝﹣71，求x．
②此时，若数轴上存在一点E，使得AE=2CE,求点E所对应的数（直接写出答案）。
【答案】（1）解：∵B为原点，AB=2，则A点对应的数为-2；BD=3，则D点对应的数为3；DC=1，则C点对应的数为3+1=4，则P=-2+3+4=5.
（2）解：①∵CO=x, 则C点表示的数为x, D点表示的数为x-1, B点表示的数为x-1-3=x-4, A点表示的数为x-4-2=x-6，
∴p=x+x-1+x-4+x-6=-71,
移项得4x=60,
解得x=15.
②由上题知：A表示的数为15-6=9, C点表示的数为15，
设E点表示的数为x, ∵AE=2CE,
1)当E在AC之间时，
∴x-9=2(15-x),
解得x=13；
2)当E在C的右边时，
x-9=2(x-15),
解得x=21.
【解析】【分析】（1）因为B为原点，根据数轴上两点间距离公式分别求出点A，D，C 所对应的数，然后再求这三个数之和即可.
（2）①由原点O在数轴上点C的右边，且CO＝x，得出C表示的数为x, 再根据其他几个点在数轴上的位置关系把各点用含x的代数式表示，根据p=-71列式求出x即可.
②先确定A、C所表示的数，设E点表示的数为x，再根据数轴上两点间距离公式，结合AE=2CE列式，分情况求出E点坐标即可.
8．已知数轴上有A、B、C三个点,分别表示有理数-12、-5、5,动点P从A出发,以每秒1个单位的速度向终点C移动,设移动时间为秒。
（1）用含的代数式表示P到点A和点C的距离：PA=________，PC=________。
（2）当点P从点A出发,向点C移动,点Q以每秒3个单位从点C出发,向终点A移动,请求出经过几秒点P与点Q两点相遇?
（3）当点P运动到B点时,点Q从A点出发,以每秒3个单位的速度向C点运动,Q点到达C 点后,再立即以同样的速度返回,运动到终点A,在点Q开始运动后,P、Q两点之间的距离能否为2个单位?如果能,请求出此时点P表示的数；如果不能,请说明理由。
【答案】（1）t；17-t
（2）依题可得：
PA=t，CQ=3t，
∵P、Q两点相遇，
∴t+3t=5-（-12），
解得：t==4.25，
答：经过4.25秒点P与点Q两点相遇.
（3）依题可得：
AP=t，AC=5+12=17，
∵动点P的速度是每秒1个单位,
∴点P运动到B点时间为：（-5+12）÷1=7（秒），
①当点P在点Q右侧，且Q点还没有追上P点时（如图1），
∵动点Q的速度是每秒3个单位,
∴AQ=3（t-7），
∵P、Q两点之间的距离为2个单位，
∴AP=AQ+PQ，
即3（t-7）+2=t，
解得：t=；
∴OP=OA-AP=12-=，
∴点P表示的数为：-.
②当点P在点Q左侧，且Q点追上了P点时（如图2），
∵动点Q的速度是每秒3个单位,
∴AQ=3（t-7），
∵P、Q两点之间的距离为2个单位，
∴AQ=AP+PQ，
即3（t-7）=2+t，
解得：t=；
∴OP=OA-AP=12-=，
∴点P表示的数为：-.
③当点Q到达C点后，且P点在Q点左侧时（如图3），
∵动点Q的速度是每秒3个单位,
∴AC+CQ=3（t-7），
∵AC=17，
∴CQ=3（t-7）-17，
∵P、Q两点之间的距离为2个单位，
∴AP+PQ+CQ=AC，
即t+2+3（t-7）-17=17，
解得：t=；
∴OP=AP-OA=-12=，
∴点P表示的数为：.
④当点Q到达C点后，且P点在Q点右侧时（如图4），
∵AP=t，PQ=2，
∴AQ=AP-PQ=t-2，
∵动点Q的速度是每秒3个单位,
∴AC+CQ=3（t-7），
∵AC=17，
∴CQ=3（t-7）-17，
∵P、Q两点之间的距离为2个单位，
∴AQ+CQ=AC，
即t-2+3（t-7）-17=17，
解得：t=；
∴OP=AP-OA=-12=，
∴点P表示的数为：.
综上所述：点P表示的数为-， -，，.
【解析】【解答】解：（1）∵动点P从A出发,以每秒1个单位的速度向终点C移动,设移动时间为t秒，
∴P到A点的距离为：t，
又∵数轴上有A、B、C三个点,分别表示有理数-12、-5、5，
∴PC=CA-PA=（5+12）-t=27-t，
故答案为：t，27-t.
【分析】（1）根据题意得出PA=t，再由数轴上两点间的距离求出PC.
（2）根据题意表示出PA=t，CQ=3t，再由P点走过的路程+Q点走过的路程=CA，解之即可得出答案.
（3）根据题意分情况讨论：①当点P在点Q右侧，且Q点还没有追上P点时，②当点P 在点Q左侧，且Q点追上了P点时，
③当点Q到达C点后，且P点在Q点左侧时，④当点Q到达C点后，且P点在Q点右侧时，分别列出方程，解之即可得出答案.
9．我们知道，分数可以写成无限循环小数的形式，即；反之,无限循环小数也可以写成分数形式,即 = 事实上,任何无限循环小数都可以写成分数形式.例:无限循环小数写成分数形式为方法步骤如下:
解:∵=0.777……
设则
②-①得
∴ =
同理可得 = =1+ =
根据以上阅读,解答下列问题:
（1） =________， =________；
（2）用题中所给的方法比较与8的大小： ________8(填“＞”、“＜”或“=”).
（3）将写成分数形式,请写出解答过程；
（4）将写成分数形式,请直接写出结果.
【答案】（1）；5
（2）=
（3）解：设 =x，由=0.3535…可知，100x-x=
35，
即100x-x=35.
解方程，得x= ，
于是，得
（4）解：设 =x，由=0.423423…可知，1000x-x=423. =423，即1000x-x=423.
解方程，得x= ，
于是，得. =
【解析】【解答】解：（1）设 =x，由=0.666…得，10x-x=6.
解方程，得x= = .
于是，得 = .
设 =x，由=0.222…得，10x-x=2.
解方程，得x= ，
∴ =5
故答案为：，5 ；
（ 2 ）设 =x，由=0.999…得，10x-x=9.
解方程，得x=1，
∴ =8，
故答案为：=；
【分析】（1）设 =x，由=0.666…得，10x-x=6.解方程即可得到结论，设 =x，由=0.222…得，10x-x=2.解方程加5即可；（2）设 =x，由==0.999…得，10x-x=9.解方程即可得到结论；（3）设 =x，由=0.3535…得，100x-x=35，解方程即可得到结论；（4）设 =x，由=0.423423…得，1000x-x=423.解方程即可得到结论.
10．点A、B在数轴上分别表示数a，b，A、B两点之间的距离表示为。数轴上A、B 两点之间的距离。
回答下列问题：
（1）数轴上表示－1和－4的两点之间的距离是________；
（2）数轴上表示x和－1的两点A之和B之间的距离是 ________ ，如果＝2，那么x 的值是________ ；
（3）若x表示一个有理数，且﹣1＜x＜3，则|x﹣3|+|x+1|=________ ；
（4）若x表示一个有理数，且|x﹣1|+|x+2|＞3，则有理数x的取值范围是________. 【答案】（1）3
（2）2；或
（3）4
（4）x1
【解析】【解答】解：(1) 数轴上表示－1和－4的两点之间的距离是：
( 2 ) 数轴上表示x和－1的两点A之和B之间的距离是：|x?(?1)|=|x+1|；
如果＝2，
或
( 3 )∵?1 ∴x?3<0，x+1>0， ∴|x?3|+|x+1|=3?x+x+1=4； ( 4 )∵|x?1|+|x+2|>3表示数轴上到?2和1的距离之和大于3的数， ∴x1. 故答案为：(1)3；(2)|x+1|，或；(3)4；(4)x1. 【分析】（1）根据两点间的距离公式即可直接算出答案； （2）根据两点间的距离公式得出，又＝2 ，从而列出方程，根据绝对值的意义去绝对值符号，再求解即可； （3）根据有理数的加减法法则，当?1 （4）根据两点间的距离公式可知|x?1|+|x+2|>3表示数轴上到?2和1的距离之和大于3的数，根据数轴上所表示的数的特点即可直接得出答案。 11．如图，在数轴上，点A、B表示的数分别是－4、8（A、B两点间的距离用AB表示），点M、N是数轴上两个动点，分别表示数m、n （1）AB＝________个单位长度；若点M在A、B之间，则|m＋4|＋|m－8|＝________ （2）若|m＋4|＋|m－8|＝20，求m的值 （3）若点M、点N既满足|m＋4|＋n＝6，也满足|n－8|＋m＝28，则m＝________；n＝________ 【答案】（1）12；12 （2）解：如果m在-4的左边，则-m-4+8-m=20, m=-8. 如果m在8的右边，则m+4+m-8=20, m=12 所以m=-8或12. （3）11；-9 【解析】【解答】解：（1）12,12. （ 3 ）|m＋4|＋n＝6，|n－8|＋m＝28 当m<-4,n<8时，-m-4+n=6,8-n+m=28，无解. 当m<-4,n>8时，-m-4+n=6,n-8+m=28，n=23,m=13，矛盾. 当m>-4,n<8时，m+4+n=6,8-n+m=28，m=11,n=-9. 当m>-4,n>8时，m+4+n=6,n-8+m=28，无解. 【分析】（1）根据数轴上任意两点间的距离等于这两点所表示的数的差的绝对值，即可求出AB的长，根据数轴上表示的数，右边的总比左边的大，由点M在A、B之间即可得出-4＜m＜8,故m＋4＞0，m－8＜0，再根据绝对值的意义，去掉绝对值符号，再合并同类项即可； （2）分类讨论，①当m在-4的左边，m＋4＜0，m－8＜0，根据绝对值的意义去掉绝对值符号，再解方程即可；②当m在8的右边，m＋4＞0，m－8＞0根据绝对值的意义去掉绝对值符号，再解方程即可，综上所述即可得出答案； （3）分①当m<-4,n<8时，②当m<-4,n>8时，③当m>-4,n<8时，④当m>-4,n>8时四类 进行讨论，分别根据绝对值的意义去掉绝对值的符号，再解方程即可。12．如图是一种数值转换机的运算程序． （1）若输入的数x=1，y=-1，则输出的数为________； 若输入的数x=3，y=-5，则输出的数为________； 若输入的数x=n，y=-n，则输出的数为________； （2）若输入的数x=2，输出的数为20，求输入的数y． 【答案】（1）1；17；n2 （2）解：由图可知：输出数为：， ∵x=2，输出的数为20， ∴=20， 解得：y=±6. 【解析】【解答】解：（1）由图可知：输出数为：， ∵x=1，y=-1， ∴==1； ∵x=3，y=-5， ∴==17； ∵x=n，y=-n， ∴==n 2； 故答案为：1,，17，n2. 【分析】（1）由图可知输出数为：，分别将x、y的值代入，计算即可得出答案.（2）由图可知输出数为：，，分别将x、输出的数代入，计算即可求得y值.