2021年江苏中考数学压轴题精选精练试卷(解析版)

中考数学压轴题精选精练

一、选择题

1．如图，在?ABCD中，CD＝8，BC＝10，按以下步骤作图：①以点C为圆心，适当长度为半径作弧，分别交BC，CD于M，N两点；②分别以点M，N为圆心，以大于MN 的长为半径画弧，两弧在?ABCD的内部交于点P；③连接CP并延长交AD于点E，交

BA的延长线于点F，则AF的长为（）

A．2 B．3 C．4 D．5

2．如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，动点D从点A出发，沿A→C→B

以1cm/s的速度匀速运动到点B，过点D作DE⊥AB于点E，图②是点D运动时，△ADE 的面积y（cm2）随时间x（s）变化的关系图象，则AB的长为（）

A．4cm B．6cm C．8cm D．10cm

3．如图，在△ABC中，点D、E、F分别在AB、AC、BC边上，DE∥BC，EF∥AB，则下列比例式中错误的是（）

A．B．C．D．

第3题第4题

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，0），B（3，0），若在直线y＝﹣x+m上存在点P满足∠APB＝60°，则m的取值范围是（）

A．≤m≤B．﹣﹣5≤m≤+5

C．﹣2≤m≤+2D．﹣﹣2≤m≤+2

5．如图，A、C两点在反比例函数y＝的图象上，B、D两点在反比例函数y＝的图象上，AB⊥x轴于点E，CD⊥x轴于点F，AB＝3，CD＝2，EF＝，则k1﹣k2的值为（）

A．﹣3 B．﹣2 C．D．﹣1

6．如图，以矩形ABCD对角线AC为底边作等腰直角△ACE，连接BE，分别交AD，AC于点F，N，CD＝AF，AM平分∠BAN．下列结论：

①EF⊥ED；②∠BCM＝∠NCM；③AC＝EM；④BN2+EF2＝EN2；⑤AE?AM＝NE?

FM，其中正确结论的个数是（）

A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题

1．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，连接AB，以OA为直径作半圆C交AB于点D，若OA＝4，则阴影部分的面积为．

2．在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A≠∠B，则BC的长的取值范围是________．

3．如图，点G是矩形ABCD的对角线BD上一点，过点G作EF∥AB交AD于E，交BC 于F，若EG＝5，BF＝2，则图中阴影部分的面积为．

第3题第4题

4．如图为二次函数y＝ax2+bx+c图象，直线y＝t（t＞0）与抛物线交于A，B两点，A，B 两点横坐标分别为m，n．根据函数图象信息有下列结论：

①abc＞0；

②若对于t＞0的任意值都有m＜﹣1，则a≥1；

③m+n＝1；

④m＜﹣1；

⑤当t为定值时，若a变大，则线段AB变长．

其中，正确的结论有（写出所有正确结论的序号）

5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC．将△ABC绕点A逆时针旋转15°得到Rt △AB′C′，B′C′交AB于点E，若图中阴影部分面积为2，则B′E的长为．

第5题第6题

6．如图，在矩形ABCD中，已知AB＝3，BC＝4，点P是边BC上一动点（点P不与点B，C重合），连接AP，作点B关于直线AP的对称点M，连接MP，作∠MPC的角平分线交边CD于点N．则线段MN的最小值为．

三、解答题

1．如图1，平行四边形ABCD中，AB⊥AC，AB＝6，AD＝10，点P在边AD上运动，以P 为圆心，P A为半径的⊙P与对角线AC交于A，E两点．

（1）线段AC的长度是________．

（2）如图2，当⊙P与边CD相切于点F时，求AP的长；

（3）不难发现，当⊙P与边CD相切时，⊙P与平行四边形ABCD的边有三个公共点，随着AP的变化，⊙P与平行四边形ABCD的边的公共点的个数也在变化，若共点的个数为4，直接写出相对应的AP的值的取值范围________________．

2．阅读理【解析】解：在平面直角坐标系中，若两点P、Q的坐标分别是P（x1，y1）、Q （x2，y2），则P、Q这两点间的距离为|PQ|＝．如P（1，2），

Q（3，4），则|PQ|＝＝2．

对于某种几何图形给出如下定义：符合一定条件的动点形成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹．如平面内到线段两个端点距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线．

解决问题：如图，已知在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx＋交y轴于点A，点A关于

x轴的对称点为点B，过点B作直线l平行于x轴．

（1）到点A的距离等于线段AB长度的点的轨迹是____________.

（2）若动点C（x，y）满足到直线l的距离等于线段CA的长度，求动点C轨迹的函数表达式；

问题拓展：（3）若（2）中的动点C的轨迹与直线y＝kx＋交于E、F两点，分别过E、F 作直线l的垂线，垂足分别是M、N，求证：①EF是△AMN外接圆的切线；②＋为定值．

5．如图，已知点A（1，0），B（0，3），将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，设E为AD的中点．

（1）若F为CD上一动点，求出当△DEF与△COD相似时点F的坐标；

（2）过E作x轴的垂线l，在直线l上是否存在一点Q，使∠CQO＝∠CDO？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．

6．如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x+4与抛物线y＝﹣x2+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上．设抛物线与x轴的另一个交点为点C．（1）求该抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），

①如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；

②如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运

动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点E或F恰好落在y轴上，直接写出对应的点P的坐标．

5．定义：在平面内，我们把既有大小又有方向的量叫做平面向量．平面向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向．其中大小相等，方向相同的向量叫做相等向量．

如以正方形ABCD的四个顶点中某一点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出8个不同的向量：、、、、、、、（由于和是相等向量，因此只算一个）．

（1）作两个相邻的正方形（如图一）．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（2），试求f（2）的值；

（2）作n个相邻的正方形（如图二）“一字型”排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（n），试求f（n）的值；

（3）作2×3个相邻的正方形（如图三）排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（2×3），试求f（2×3）的值；

（4）作m×n个相邻的正方形（如图四）排开．以其中的一个顶点为起点，另一个顶点为终点作向量，可以作出不同向量的个数记为f（m×n），试求f（m×n）的值．

6．如图，已知直线y＝x+1与抛物线y＝ax2+2x+c相交于点A（﹣1，0）和点B（2，m）两点

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）若点P是位于直线AB上方抛物线上的一动点，当△P AB的面积S最大时，求此时△P AB的面积S及点P的坐标；

（3）在x轴上是否存在点Q，使△QAB是等腰三角形？若存在，直接写出点Q的坐标（不用说理）；若不存在，请说明理由．

【答案与解析】

一、选择题

1．【分析】根据角平分线的定义以及平行四边形的性质，即可得到BF，BA的长，进而得到AF的长．

【解答】解：由题可得，CF是∠ACD的平分线，

∴∠BCF＝∠DCF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，AB＝CD＝8，

∴∠F＝∠DCF，

∴∠BCF＝∠F，

∴BF＝BC＝10，

∴AF＝BF﹣AB＝10﹣8＝2．

故选：A．

2．【分析】根据题意可得，△ADE的最大面积是6（cm2），此时点D与点C重合，根据三角形ADE的面积即可求出DE＝2，再根据30度特殊角即可求出AB的长．

【解答】解：根据题意可知：

△ADE的最大面积是6（cm2），

此时点D与点C重合，

如图，

在Rt△ADE中，∠A＝30°，

设DE＝x，则AE＝x，

∴S△ADE＝AE?DE

＝×x?x

＝x2，

∴x2＝6，

解得x＝2（负值舍去），

∴DE＝2，

∴AD＝AC＝2DE＝4，

在Rt△ABC中，∠A＝30°，

∴cos30°＝＝，

∴＝，

∴AB＝8cm．

故选：C．

3．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，再分别对每一项进行判断即可．【解答】A．∵EF∥AB，∴＝，故本选项正确，

B．∵DE∥BC，

∴＝，

∵EF∥AB，

∴DE＝BF，

∴＝，

∴＝，

故本选项正确，

C．∵EF∥AB，

∴＝，

∵CF≠DE，

∴≠，

故本选项错误，

D．∵EF∥AB，

∴＝，

∴＝，

故本选项正确，

故选：C．

4．【分析】作等边三角形ABE，然后作外接圆，求得直线y＝﹣x+m与外接圆相切时的m的值，即可求得m的取值范围．

【解答】解：如图，作等边三角形ABE，

∵A（﹣3，0），B（3，0），

∴OA＝OB＝3，

∴E在y轴上，

当E在AB上方时，作等边三角形ABE的外接圆⊙Q，设直线y＝﹣x+m与⊙Q相切，切点为P，当P与P1重合时m的值最大，

当P与P1重合时，连接QP1，则QP1⊥直线y＝﹣x+m，

∵OA＝3，

∴OE＝3，

设⊙Q的半径为x，则x2＝32+（3﹣x）2，

解得x＝2，

∴EQ＝AQ＝PQ＝2，

∴OQ＝，

由直线y＝﹣x+m可知OD＝OC＝m，

∴DQ＝m﹣，CD＝m，

∵∠ODC＝∠P1DQ，∠COD＝∠QP1D，

∴△QP1D∽△COD，

∴＝，即＝，

解得m＝+2，

当E在AB下方时，作等边三角形ABE的外接圆⊙Q，设直线y＝﹣x+m与⊙Q相切，切点为P，当P与P2重合时m的值最小，

当P与P2重合时，同理证得m＝﹣﹣2，

∴m的取值范围是﹣﹣2≤m≤+2，

故选：D．

1．【分析】直接利用反比例函数的性质和k的意义分析得出答案．

【解答】解：过点A作AM⊥y轴，BN⊥y轴，DQ⊥y轴，CN⊥y轴垂足分别为M，N，Q，R，

由题意可得：S矩形AMEQ＝S矩形FCRO＝﹣k1，S矩形EBNO＝S矩形QDFO＝k2，

则S矩形AMEQ+S矩形EBNO＝S矩形FCRO+S矩形QDFO＝﹣k1+k2，

∵AB＝3，CD＝2，

∴设EO＝2x，则FO＝3x，

∵EF＝，

∴EO＝1，FO＝1.5，

∴S矩形ABNM＝1×3＝3，

则﹣k1+k2＝3，

故k1﹣k2＝﹣3．

故选：A．

2．【分析】①正确，只要证明A，B，C，D，E五点共圆即可解决问题；

②正确，只要证明点M是△ABC的内心即可；

③正确，想办法证明EM＝AE，即可解决问题；

④正确．如图2中，将△ABN逆时针旋转90°得到△AFG，连接EG．想办法证明△GEF

是直角三角形，利用勾股定理即可解决问题；

⑤错误．利用反证法证明即可；

【解答】解：如图1中，连接BD交AC于O，连接OE．

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA＝OC＝OD＝OB，

∵∠AEC＝90°，

∴OE＝OA＝OC，

∴OA＝OB＝OC＝OD＝OE，

∴A，B，C，D，E五点共圆，

∵BD是直径，

∴∠BED＝90°，

∴EF⊥ED，故①正确，

∵CD＝AB＝AF，∠BAF＝90°，

∴∠ABF＝∠AFB＝∠FBC＝45°，

∴BM平分∠ABC，

∵AM平分∠BAC，

∴点M是△ABC的内心，

∴CM平分∠ACB，