2021年1月浙江省杭州市余杭区部分学校学考高三数学试题

2021年1月浙江省杭州市余杭区部分学校学考高三数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．已知集合{}1,2,4A =，{}2,4,6B =，则A

B =（ ） A ．{}4

B ．{}1,6

C ．{}2,4

D ．{}1,2,4,6 2．tan

（ ） A ．tan α- B ．tan α C ．tan α± D ．1 3．66log 2log 3+=（ ）

A ．0

B ．1

C ．6log 5

D ．12log 5 4．圆22280x y x ++-=的半径是（ ）

A ．2

B ．3

C ．6

D ．9

5．不等式12x -<的解集是（ ）

A ．{}|13x x -<<

B ．{}3|1x x <<

C ．{1x x <-或}3x >

D ．{

1x x <或}3x > 6．椭圆22

1259

x y +=的焦点坐标是（ ） A ．()5,0-，()5,0 B ．()0,5-，()0,5 C ．()4,0-，()4,0 D ．()0,4-，()0,4

7．若实数x ，y 满足不等式组0,0,2,x x y x y ≥??-≤??+≤?

，则2x y +的最大值是（ ）

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

8．已知直线//l 平面α，点P α∈，那么过点P 且平行于直线l 的直线（ ） A ．只有一条，且在α内

B ．有无数条，一定在α内

C ．只有一条，不在α内

D ．有无数条，不一定在α内 9．过点()3,1A -且与直线230x y +-=垂直的直线方程是（ ）

A ．210x y ++=

B ．210x y +-=

C ．270x y -+=

D ．270x y --= 10．在ABC ?中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若60A =?，45B =?，

3a =则b =（ ）

A ．1

B

C ．2 D

11．函数()||sin f x x x =?的图象大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 12．某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的体积（单位：3cm ）是（ ）

A ．13

B ．23

C ．1

D ．2

13．设,a b ∈R ，则“0a b +>”是“330a b +>”的（ ）

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

14．设1F ，2F 分别是双曲线()22221,0x y a b a b

-=>的左、右焦点.若双曲线上存在一点P ，使得124PF PF =，且1260F

PF ∠=?，则该双曲线的离心率是（ ）

A B C ．5 D ．3

15．点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O ，P 两点间的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形可能是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

16．设数列{}n a 满足11a =，2212n n a a -=+，2121n n a a +=-，*n N ∈，则满足4n a n -≤的n 的最大值是（ ）

A ．7

B ．9

C ．12

D ．14

17．设点A ，B 的坐标分别为()0,1，()1,0，P ，Q 分别是曲线2x y =和2log y x =上的动点，记1I AQ AB =?，2I BP BA =?.（ ）

A ．若12I I =，则()PQ A

B R λλ=∈

B ．若12I I =，则AP BQ =

C ．若()PQ AB R λλ=∈，则12I I =

D ．若AP BQ =，则12I I = 18．如图，在圆锥SO 中，A ，B 是O 上的动点，BB '是O 的直径，M ，N 是SB 的两个三等分点，()0AOB θθπ∠=<<，记二面角N OA B --，M AB B '--的平面角分别为α，β，若αβ≤，则θ的最大值是（ ）

A ．56π

B ．23π

C ．2π

D ．4

π

二、双空题

19．设等比数列{}n a 的前n 项和为()*n S n N

∈，若22a =，34a =，则1a =______，

4S =______.

三、填空题

20．设u ，v 分别是平面a ，β的法向量，()1,2,2u =-，()2,4,v m =--.若a β∥，则实数m =______.

21．在中国古代数学著作《就长算术》中，鳖臑（biēnào ）是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角ABC ?中，AD 为斜边BC 上的高，3AB =，4AC =，现将

ABD ?沿AD 翻折AB D '?，

使得四面体AB CD '为一个鳖臑，则直线B D '与平面ADC 所成角的余弦值是______.

22．已知函数()2

26f x x ax =+--，若存在a R ∈，使得()f x 在[]2,b 上恰有两个零点，则实数b 的最小值是______.

四、解答题

23．已知函数()2sin cos 66f x x x ππ?

???=-- ? ????

?，x ∈R （Ⅰ）求3f π?? ???

的值； （Ⅱ）求()f x 的最小正周期；

（Ⅲ）求()f x 在0,2π??????

上的值域. 24．如图，设抛物线21C x y =与()2

2:20C y px p =>的公共点M 的横坐标为()0t t >，过M 且与1C 相切的直线交2C 于另一点A ，过M 且与2C 相切的直线交1C 于另一点B ，记S 为MBA ?的面积.

（Ⅰ）求p 的值（用t 表示）； （Ⅱ）若1,24

S ??∈????

，求t 的取值范围. 注：若直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行也不重合，则称该直线与抛物线相切.

25．设,a b ∈R ，函数()23f x ax bx =+-，()g x x a =-，x ∈R . （Ⅰ）若()f x 为偶函数，求b 的值； （Ⅱ）当12

b =-时，若()f x ，()g x 在[)1,+∞上均单调递增，求a 的取值范围； （Ⅲ）设[]1,3a ∈，若对任意[]1,3x ∈，都有()()0f x g x +≤，求26a b +的最大值.

参考答案

1．D

【解析】

【分析】

根据集合的并集运算,即可求解.

【详解】

因为集合{}1,2,4A =,{}2,4,6B =

由集合的并集定义可知{}1,2,4,6A

B = 故选:D

【点睛】

本题考查了集合的并集运算,属于基础题.

2．A

【分析】

直接利用诱导公式化简得到答案.

【详解】

根据诱导公式知tan tan .

故选：A .

【点睛】

本题考查了诱导公式，属于简单题.

3．B

【分析】

根据对数的运算及常数对数的值即可求解.

【详解】

根据对数的运算性质可知 66log 2log 3+

()6log 23=?

6log 61==

故选:B

【点睛】

本题考查了对数的运算性质的简单应用,属于基础题.

4．B

【分析】

将圆的一般方程化为标准方程,即可求得圆的半径.

【详解】

因为圆22

280x y x ++-=

化为标准方程可得()2219x y ++=

所以圆的半径为3

故选:B

【点睛】

本题考查了圆的一般方程与标准方程的转化,圆的标准方程的性质,属于基础题.

5．A

【分析】

直接解不等式得到答案.

【详解】 12x -<则13x ，即{}|13x x -<<.

故选：A .

【点睛】

本题考查了解绝对值不等式，意在考查学生的计算能力.

6．C

【分析】

根据椭圆的标准方程,先判断出焦点位置并求得,a b .再根据椭圆中a b c 、、的关系即可求得焦点坐标.

【详解】 椭圆22

1259

x y += 所以为焦点在x 轴上,且22

25,9a b ==

由椭圆中222a b c =+

可得22225916c a b =-=-=

因而4c =

所以焦点坐标为()4,0-,()4,0

故选:C

【点睛】

本题考查了椭圆的标准方程及简单性质,椭圆中a b c 、、的关系及焦点坐标求法,属于基础题.

7．D

【分析】

根据不等式组,画出可行域,由可行域即可求得线性目标函数的最大值.

【详解】

根据所给不等式组,画出可行域如下图所示:

将12

y x =-平移即可得目标函数122z y x =-+ 因而当经过点()0,2A 时,目标函数的截距最大

此时20224z x y =+=+?=

所以2x y +的最大值是4

故选:D

【点睛】

本题考查了线性规划的简单应用,线性目标函数的最值求法,属于基础题.

8．A

【分析】

直线l 和点P 确定一个平面β，根据平面交线得到答案.

【详解】

直线l 和点P 确定一个平面β ，则//l 平面α和平面β的交线，两平面交线只有一条. 故只有一条且在α内.

故选：A .

【点睛】

本题考查了直线和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力.

9．D

【分析】

根据直线垂直时的斜率关系,先求得直线的斜率.再由点斜式即可求得直线方程,进而化为一般式可得解.

【详解】

因为直线230x y +-=可化为1322

y x =-+ 当直线垂直时的斜率乘积为1,所以2k =

因为经过点()3,1A -

由点斜式可知直线方程为()123y x +=-

化简可得270x y --=

故选:D

【点睛】

本题考查了垂直直线的斜率关系,点斜式方程的用法,将方程化为一般式的方法,属于基础题. 10．D

【分析】

根据正弦定理,即可求得b 的值.

【详解】

在ABC ?中, 角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c

若60A =?,45B =?,3a = 由正弦定理可知sin sin a b A B

= 代入可得3

sin 60sin 45b

=

解得b =

故选:D

【点睛】

本题考查了正弦定理在解三角形中的简单应用,属于基础题.

11．A

【分析】

根据函数的奇偶性及特殊值，可判断函数的图象．

【详解】

对于()||sin f x x x =?，

因为()||g x x =为偶函数，()sin h x x =为奇函数，所以()||sin f x x x =?为奇函数， 所以排除C ，D ，

当0.001x =时，(0.001)|0.001|0.0010g ==>，(0.001)sin 0.0010h =>， 所以(0.001)|0.001|sin 0.0010f =?>，所以排除B 选项．

故选：A .

【点睛】

本题考查了根据函数解析式判断函数图象，利用函数的奇偶性、单调性和特殊值，可排除选项，属于基础题．

12．B

【分析】

根据三视图,还原出空间几何体,即可求得该几何体的体积.

【详解】

由三视图可知,该几何体为三棱锥,其空间结构体如下图所示:

则由三视图中的线段长度可知12112ABC S ?=

??= 则121233

P ABC V -=

??= 故选:B

【点睛】 本题考查了三视图的简单应用,根据三视图还原空间几何体,棱锥的体积求法,属于基础题. 13．C

【分析】

根据立方和公式,结合充分必要条件的判断即可得解.

【详解】

因为()()()223322

324b b a b a b a ab b a b a ????+=+-+=+-+?? ??????? 当0a b +>时, 2

23024b b a ??-+> ??

?,所以330a b +>.即“0a b +>”是“330a b +>”的充分条件. 当330a b +>时,由于2

23024b b a ??-+> ??

?成立,所以0a b +>,即“0a b +>”是“330a b +>”的必要条件.

综上可知, “0a b +>”是“330a b +>”的充要条件

故选:C

【点睛】

本题考查了立方和公式的用法,充分必要关系的判断,属于基础题.

14．B

【分析】 根据双曲线的定义及124PF PF =,用a 表示出12PF PF 、

,再在三角形12F PF 中由余弦定理求得a c 、的关系,进而求得离心率.

【详解】

1F ,2F 分别是双曲线()22221,0x y a b a b

-=>的左、右焦点,且双曲线上的点P 满足 124PF PF = 所以121224PF PF a PF PF ?-=??=??,解得128323a PF a PF ?=????=??

因为1260F PF ∠=?,122F F c =

所以在三角形12F PF 中由余弦定理可得

222

121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-?∠,代入可得

2222644821499332a a c a a =???+- 化简可得22913c a =,即222139

c e a ==

所以3

e =

故选:B

【点睛】 本题考查了双曲线的定义,利用余弦定理解三角形,双曲线离心率的求法,属于基础题. 15．C

【分析】

依次判断每个图像：根据一次函数图像排除AB ，根据最值排除D ，C 图像中计算得到sin l

x

y l ππ=，得到答案.

【详解】

A 图像中，当P 在第一条边上时y 与x 的函数关系是一次函数，排除A ；

B 图像中，当P 在第一条边上时y 与x 的函数关系是一次函数，排除B ；

D 图像中，当P 在Q 点时，即2

l x =时不是最大，排除D ， C 图像中，设[],0,2OMP ααπ∠=∈ ，则2sin 2x r y r αα=???=??

，故2sin sin 2x l x y r r l ππ==， 满足图像；

故选：C .

【点睛】

本题考查了根据函数图像确定图形形状，意在考查学生的应用能力.

16．C

【分析】

根据数列{}n a 满足的条件,讨论n 的奇偶性,即可求得解析式.根据解析式解绝对值不等式即可求得满足条件的n 的最大值.

【详解】

数列{}n a 满足11a =,2212n n a a -=+,2121n n a a +=-

23a =

则21211n n a a +--=

则当n ∈奇数时, 12

n n a +=

所以4n a n -≤,代入可得142

n n +-≤,解不等式可得79n -≤≤ 而*n N ∈,所以此时n 的最大值是9

则当n ∈偶数时, 22

n n a =+ 所以若4n a n -≤,代入可得242n n +

-≤,解不等式可得412n -≤≤ 而*n N ∈,所以此时n 的最大值是12

综上可知, n 的最大值是12

故选:C

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式求法,对奇偶项分类讨论数列的性质,绝对值不等式的解法,属于中档题.

17．C

【解析】

【分析】

根据题意,由向量数量积和投影的定义,结合平面向量共线的性质即可判断选项.

【详解】

根据题意,在直线AB 上取','P Q ,且''AP BQ =.过','P Q 分别作直线AB 的垂线,交曲线

2x y =于12,P P 和交2log y x =于12,Q Q .在曲线2x y =上取点3P ,使13AP AP =.如下图所

示:

1cos 'I AQ AB AQ AB QAB AQ AB =?=?∠=?

2cos 'I BP BA BP BA PBA BP BA =?=?∠=?

若''AP BQ =,则''AQ BP = 若12I I =,则''AQ BP =即可.此时P 可以与1P 重合,Q 与2Q 重合,满足题意,但是()PQ AB R λλ=∈不成立,且AP BQ ≠所以A 、B 错误; 对于C,若()PQ AB R λλ=∈,则PQ AB ∥,此时必有1P 与1Q 对应(或2P 与2Q ),所以满足 12I I =,所以C 正确;

对于D,对于点3P ,满足13AP AP =,但此时3P 在直线AB 上的投影不在P'处,因而不满足''AQ BP =,即12I I ≠,所以D 错误

综上可知,C 为正确选项

故选:C

【点睛】

本题考查了平面向量数量积的意义及向量投影的应用,向量共线的特征和性质,综合性强,较为复杂,属于难题.

18．B

【分析】

设底面圆的半径为r ,OS a =,以'B B 所在直线为x 轴,以垂直于'B B 所在直线为y 轴,以OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标.利用法向量求得二面角N OA B --与M AB B '--夹角的余弦值.结合αβ≤即可求得θ的取值范围,即可得θ的最大值.

【详解】

设底面圆的半径为r ,OS a =,以'B B 所在直线为x 轴,以垂直于'B B 所在直线为y 轴,以OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,如下图所示:

则由()0AOB θθπ∠=<<

可得()()()0,0,0,,0,0,0,0,O B r S a ,()()cos ,sin ,0,',0,0A r r B r θθ-

M ,N 是SB 的两个三等分点 则22,0,,,0,3333r

a r a M N ???? ? ?????

所以()2cos ,sin ,0,,0,33r a OA r r ON θθ??==

??? 设平面NOA 的法向量为()111,,m x y z =

则00m OA m ON ??=??=?,代入可得()()()111111,,cos ,sin ,002,,,0,033x y z r r r a x y z θθ??=?????= ?????

化简可得1111cos sin 0203

3x r y r x r az θθ+=???+=?? 令11x =,解得11cos 2,sin r y z a

θθ=-=- 所以cos 21,,sin r m a θθ??=-- ??? 平面OAB 的法向量为()0,0,1n =

由图可知, 二面角N OA B --的平面角α为锐二面角,所以二面角N OA B --的平面角α满足

cos 1m n

m n α?==

?+ 设二面角M AB B '--的法向量为()222,,k x y z =

()2'cos ,sin ,0,cos ,sin ,3

3r a B A r r r AM r r θθθθ??=+=-- ??? 则'00k B A k AM ??=??=?代入可得()()()222222,,cos ,sin ,002,,cos ,sin ,033x y z r r r r a x y z r r θθθθ??+=?????--= ?????

化简可得2222222cos sin 02cos sin 03

3x r x r y r x r az x r y r θθθθ++=???--+=?? 令21x =,解得221cos 2,sin r y z a θθ--=

=- 所以1cos 21,,sin r k a θθ--??=- ??

? 平面AB B '的法向量为()0,0,1h =

由图可知, 二面角M AB B '--的平面角β为锐二面角,所以二面角M AB B '--的平面角β满足

cos 1k h

k h β?==??+

由二面角的范围可知0αβπ≤

≤≤

结合余弦函数的图像与性质可知cos cos αβ≥

≥

化简可得1cos 2θ≤-

,且0θπ<< 所以203

πθ<≤ 所以θ的最大值是

23π 故选:B

【点睛】

本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用,根据题意建立合适的空间直角坐标系,求得平面的法向量,即可求解.本题含参数较多,化简较为复杂,属于难题.

19．1 15

【分析】

根据等比数列的通项公式,可求得1a 与q .再求得4a ,即可求得4S 的值.

【详解】

因为数列{}n a 为等比数列,由等比数列的通项公式可知

11n n a a q -=

而22a =,34a =

所以2123

124a a q a a q ==??==?,解方程组可得112a q =??=? 所以3341128a a q ==?=

所以41234+++S a a a a =

124815=+++=

故答案为:1;15

【点睛】

本题考查了等比数列通项公式的简单应用,前n 项和的求法,属于基础题.

20．4

【解析】

【分析】

根据两个平面平行时,其法向量也平行,即可求得参数m 的值.

【详解】

因为a β∥,且u ,v 分别是平面a ,β的法向量

则u v ∥

因为()1,2,2u =-,()2,4,v m =--

所以存在λ,满足u v λ=

则()()1,2,22,4,m λ-=--

即12242m λλλ=-??=-??-=?解得124m λ?=-???=?

所以4m =

故答案为:4

【点睛】

本题考查了平面平行时法向量的关系,平行向量的坐标表示及关系,属于基础题.

21．916

【分析】

作'B M CD ⊥于交CD 于M ,可证明'B M ⊥平面ACD ,则'B DM ∠即为B D '与平面ADC 的夹角.根据线段关系即可求解.

【详解】

作'B M CD ⊥于交CD 于M

因为,'AD CD AD DD ⊥⊥

且'CD DD D ?=

所以AD ⊥平面'DB C

而AD ?平面ACD