安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测理数

安徽省合肥市2018届高三第二次教学质量检测

数学理试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知复数z 满足()12z i i ?-=（i 是虚数），则复数z 在复平面内对应的点在（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限

2.已知集合{}|23A x x =-<<，集合{}|1B x x =<，则A B =（）

A ．()2,1-

B ．()2,3-

C ．(),1-∞

D ．(),3-∞

3.命题:0p a ?≥，关于x 的方程2

10x ax ++=有实数解，则p ?为（）

A ．0a ?<，关于x 的方程2

10x ax ++=有实数解

B ．0a ?<，关于x 的方程2

10x ax ++=没有实数解

C ．0a ?≥，关于x 的方程2

10x ax ++=没有实数解

D ．0a ?≥，关于x 的方程2

10x ax ++=有实数解

4.在直角坐标系中，若角α的终边经过点55sin

,cos 33

P ππ?

，则()sin πα+=（）

A ．12-

B ．2- C. 1

D ．2

5.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（）

A ．174斤

B ．184斤 C.191斤 D ．201斤

6.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为1，则输入x 的的值为（）

A ．3或-2

B ．2或-2 C. 3或-1 D ．-2或-1或3

7.小李从网上购买了一件商品，快递员计划在下午5:00-6:00之间送货上门，已知小李下班到家的时间为下午5:30-6:00.快递员到小李家时，如果小李未到家，则快递员会电话联系小李.若小李能在10分钟之内到家，则快递员等小李回来；否则，就将商品存放在快递柜中.则小李需要去快递柜收取商品的概率为（）

A ．

19 B ．89 C. 512 D ．712

8.在正方体1111ABCD A B C D 中，E ，F ，G 分别为棱CD ，1CC ，11A B 的中点，用过点E ，F ，G 的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧（左）视图为（）

A ．

B ． C. D ．

9.已知函数()1212x

f x -=+，实数a ，b 满足不等式()()2430f a b f b ++->，则下列不等式恒成立的是

（）

A ．2b a -<

B ．22a b +> C. 2b a -> D ．22a b +<

10.已知双曲线22

22:1x y C a b

-=的左，右焦点分别为1F ，2F ，A ，B 是双曲线C 上的两点，且113AF F B =，

cos 5

AF B ∠=，则该双曲线的离心率为（）

A ．10

B ．

10 C. 5 D ．5 11.已知函数()()()2sin 0,0f x x ω?ωωπ=+><<，28f π??

= ???

，02f π??

= ???

，且()f x 在()0,π上单调.下列说法正确的是（）

A ．1

ω=

B ．6282f π-??

???

C.函数()f x 在,2ππ??

???

上单调递增 D ．函数()y f x =的图象关于点3,04π??

???

对称 12.已知点I 在ABC ?内部，AI 平分BAC ∠，1

IBC ACI BAC ∠=∠=∠，

对满足上述条件的所有ABC ?，下列说法正确的是（）

A ．ABC ?的三边长一定成等差数列

B ．AB

C ?的三边长一定成等比数列

C. ABI ?，ACI ?，CBI ?的面积一定成等差数列 D ．ABI ?，ACI ?，CBI ?的面积一定成等比数列

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13. 已知两个单位向量a ，b 的夹角为

，则()()

2a b a b +?-= ． 14.在()

()

212x x +-的展开式中，2

x 的系数等于．

15.已知半径为3cm 的球内有一个内接四棱锥S ABCD -，四棱锥S ABCD -的侧棱长都相等，底面是正方形，当四棱锥S ABCD -的体积最大时，它的底面边长等于 cm ．

16.为保护环境，建设美丽乡村，镇政府决定为,,A B C 三个自然村建造一座垃圾处理站，集中处理,,A B C

三个自然村的垃圾，受当地条件限制，垃圾处理站M 只能建在与A 村相距5km ，且与C 的

地方.已知B 村在A 村的正东方向，相距3km ，C 村在B 村的正北方向，相距，则垃圾处理站M 与

B 村相距 km ．

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17. 已知等比数列{}n a 的前n 项和n S 满足54643S S S =+，且39a =.

()Ⅰ求数列{}n a 的通项公式；

()Ⅱ设()21n n b n a =-?，求数列{}n b 的前n 项的和n T .

18. 为了解A 市高三数学复习备考情况，该市教研机构组织了一次检测考试，并随机抽取了部分高三理科学生数学成绩绘制如图所示的频率分布直方图.

()Ⅰ根据频率分布直方图，估计该市此次检测理科数学的平均成绩0u ；

（精确到个位） ()Ⅱ研究发现，本次检测的理科数学成绩X 近似服从正态分布()2~,X N u σ（0u u =，σ约为19.3）.

①按以往的统计数据，理科数学成绩能达到升一本分数要求的同学约占46%，据此估计本次检测成

绩达到升一本的理科数学成绩大约是多少分？（精确到个位）

②已知A 市理科考生约有1000名，某理科学生此次检测数学成绩为107分，则该学生全市排名大约

是多少名？

（说明：()111x u P x x φσ-??>=-

???表示1x x >的概率，1x u φσ-??

???

用来将非标准正态分布化为标准正

态分布，即()~0,1X N ，从而利用标准正态分布表()0x φ，求1x x >时的概率()1P x x >，这里10x u

x σ

相应于0x 的值()0x φ是指总体取值小于0x 的概率，即()()00x P x x φ=<.参考数据：()0.70450.54φ=，

()0.67720.46φ=，()0.210.5832φ=）.

19. 在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，O 为AD 中点，

5PA PD ==22AD AB CD ===.

()Ⅰ求证：平面POB ⊥平面PAC ；

()Ⅱ求二面角A PC D --的余弦值.

20. 已知点()1,0A 和动点B ，以线段AB 为直径的圆内切于圆2

:4O x y +=.

()Ⅰ求动点B 的轨迹方程；

()Ⅱ已知点()2,0P ，()2,1Q -，经过点Q 的直线l 与动点B 的轨迹交于M ，N 两点，求证：直线PM 与

直线PN 的斜率之和为定值.

21. 已知函数()()2

f x x e ax =--（e 是自然对数的底数）

()Ⅰ判断函数()f x 极值点的个数，并说明理由；

()Ⅱ若x R ?∈，()3x f x e x x +≥+，求a 的取值范围.

请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

已知过点()0,1P -的直线l 的参数方程为12312

x t y ?

=??

??=-+??（t 为参数），在以坐标原点O 为极点，x 轴正半

轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为()2

2sin cos

00a a θρθ-=>.

()Ⅰ求曲线C 的直角坐标方程；

()Ⅱ若直线l 与曲线C 分别交于点M ，N ，且PM

，MN ，PN 成等比数列，求a 的值.

23.选修4-5：不等式选讲已知函数()3f x x m =+.

()Ⅰ若不等式()9f x m -≤的解集为[]1,3-，求实数m 的值；

()Ⅱ若0m >，函数()()21g x f x x =--的图象与x 轴围成的三角形的面积大于60，求m 的取值范围.

试卷答案

一、选择题

1-5:BDCAB 6-10: ADCCB 11、12：CB

二、填空题

13.

14.10 15.4 16.2或7 三、解答题

17.()Ⅰ设数列{}n a 的公比为q .

由54643S S S =+，得655433S S S S -=-，即653a a =，3q =∴，

31933n n n a --=?=∴.

()Ⅱ()()121213n n n b n a n -=-?=-?，

()0121133353213n n T n -=?+?+?++-?∴…， ()()12131333233213n n n T n n -=?+?++-?+-?…，

()()1210212323232132223n n n T n n --=+?+?++?--?=-+-?∴…， ()131n n T n =-?+∴.

18.()Ⅰ该市此次检测理科数学成绩平均成绩约为：0650.05750.08850.12950.15u =?+?+?+?

1050.241150.181250.11350.051450.03103.2103+?+?+?+?+?=≈.

()Ⅱ①记本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为1x ，

根据题意，()1011103110.4619.3x u x P x x φφσ--????>=-=-= ?

????

，即11030.5419.3x φ-??

= ???. 由()0.70540.54φ=得，

11103

0.7054116.611719.3

x x -=?=≈，

所以，本次考试成绩达到升一本的理科数学成绩约为117分.

()()1071037110.207210.58320.416819.3P x φφ-??

>=-=-≈-= ???

②，

所以，理科数学成绩为107分，大约排在100000.41684168?=名. 19.()Ⅰ由条件可知，Rt ADC Rt BAO ??≌，DAC ABO ∠=∠∴，

90DAC AOB ABO AOB ∠+∠=∠+∠=?∴，AC BO ⊥∴.

PA PD =，且O 为AD 中点，PO AD ⊥∴.

PAD ABCD

PAD ABCD AD

PO AD PO PAD

⊥??

=??

⊥????平面平面平面平面平面，PO ⊥∴平面ABCD . 又AC ?平面ABCD ，AC PO ⊥∴. 又

BO PO O =，AC ⊥∴平面POB .

AC?平面PAC，∴平面POB⊥平面PAC.

()Ⅱ以O为空间坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()

0,0,2

P，()

1,0,0

A，()

1,0,0

D-，()

1,1,0

C-，()

1,0,2

PA=-，()

2,1,0

AC=-，()

1,0,2

PD=-，()

010

CD=-,,，

设()

n x y z

=为平面PAC的一个法向量，

由1

n PA

n AC

??=

得

x z

x y

-+=

，解得

z x

y x

令2

x=，则()

2,4,1

n=.

同理可得，平面PDC的一个法向量()

2,0,1

n=-，

∴二面角A PC D

--的平面角θ的余弦值12

105

cos

105

n n

===.

20.()Ⅰ如图，设以线段AB为直径的圆的圆心为C，取()

1,0

A-

′.

依题意，圆C内切于圆O，设切点为D，则O，C，D三点共线，

O为AA′的中点，C为AB中点，2

A B OC

∴′.

2222242

BA BA OC AC OC CD OD AA

+=+=+==>=

∴′′

依椭圆得定义可知，动点B的轨迹为椭圆，其中：

BA BA a

+==

′，22

AA c

′，

∴，1

c=，2223

b a c

=-=

∴，

∴动点B的轨迹方程为

x y

+=.

()Ⅱ当直线l垂直于x轴时，直线l的方程为2

x=，此时直线l与椭圆

x y

+=相切，与题意不符.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为()

y k x

+=-.

由

()

y k x

x y

?+=-

得()()

2222

43168161680

k x k k x k k

+-+++-=.

设()

M x y，()

N x y，则

122

168

16168

k k

x x

k k

x x

?>?<

，

()()

121212

2211

222222

PM PN

k x k x

y y

k k k

x x x x x x

--??

+=+=+=-+

------

∴

()()()

1212

121212

2224

x x x x

k k

x x x x x x

+-+-

=-=-

---++

1684432232316168168244343k k k k k k k k k k k k ??+- ?+??=-=+-=??+-+-+ ?++??

. 21.()Ⅰ

()()22x x f x xe ax x e a =-=-′，

当0a ≤时，()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f x ∴有1个极值点；

当1

a <<

时，()f x 在(),ln 2a -∞上单调递增，在()ln 2,0a 上单调递减，在()0,+∞上单调递增，()f x ∴有2个极值点；当1

a =

时，()f x 在R 上单调递增，此时()f x 没有极值点；当1

a >

时，()f x 在(),0-∞上单调递增，在()0,ln 2a 上单调递减，在()ln 2,a +∞上单调递增，()f x ∴有2个极值点；

∴当0a ≤时，()f x 有1个极值点；当0a >且12a ≠

时，()f x 有2个极值点；当1

a =时，()f x 没有极值点.

()Ⅱ由()3x f x e x x +≥+得320x xe x ax x ---≥.

当0x >时，2

10x

e x ax ---≥，即21

x e x a x

--≤对0x ?>恒成立.

设()21

x e x g x x --=，则()()()

11x x e x g x x

---=′. 设()1x

h x e x =--，则()1x

h x e =-′.

0x >，()0h x >∴′，

()h x ∴在()0,+∞上单调递增，

()()00h x h >=∴，即1x e x >+，

()g x ∴在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增， ()()12g x g e ≥=-∴，2a e ≤-∴.

当0x =时，不等式恒成立，a R ∈；当0x <时，2

10x

e x ax ---≤.

设()2

h x e x ax =---，则()2x

h x e x a =--′.

设()2x x e x a ?=--，则()20x x e ?=-<′，

()h x ∴′在(),0-∞上单调递减，()()01h x h a ≥=-∴′′.

若1a ≤，则()0h x ≥′，()h x ∴在(),0-∞上单调递增，()()00h x h <=∴.

若1a >，

()010h a =-<′，00x ?<∴，使得()0,0x x ∈时，()0h x <′，

即()h x 在()0,0x 上单调递减，()()00h x h >=∴，舍去.

1a ≤∴.

综上可得，a 的取值范围是(],2e -∞-. 22.()

Ⅰ22sin cos 0a θρθ-=，222sin cos 0a ρθρθ-=∴，即()220x ay a =>.

()Ⅱ

将121x t y ?=???

?=-+??代入2

2x ay =

，得280t a -+=

，得(

)

1212480,,8.a t t t t a ??=--?>??+=??=??

①. 0a >，∴解①得23

a >

PM ，MN ，PN 成等比数列，2MN PM PN =?∴，即2

1212t t t t -=， ()2

1212124t t t t t t +-=∴

，即()

400a -=，解得0a =或5

a =

. 23a >

，56

a =∴. 23.()Ⅰ由题意得90,

39.

m x m m +≥???

+≤+??①②

解①得9m ≥-.

②可化为939m x m m --≤+≤+，

9233

x --≤≤. 不等式()9f x ≤的解集为[]1,3-，9213

--=-∴

，解得3m =-，满足9m ≥-. 3m =-∴

()Ⅱ依题意得，()321g x x m x =+--.

又0m >，()()2,3521,321.m x m x m g x x m x x m x ???---≤- ????????

=+--<

?++≥??

∴

()g x 的图象与x 轴围成的ABC ?的三个顶点的坐标为()2,0A m --，

2,05m B -?? ???，2,233m m C ??--- ???

， ()2

431

60215

ABC

C m S AB y ?+=?=>∴，解得12m >.

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