八年级数学经典练习题(分式及分式方程)汇总
一、选择题 １. (广东珠海）若分式
b
a a
＋2的a 、b 的值同时扩大到原来的1０倍,则此分式的值 ( ) Ａ.是原来的2０倍 B ．是原来的10倍 Ｃ. 是原来的10
1
倍 D.不变
２. 计算－２2+（-2）2－（- 1２)-１的正确结果是（ )
A 、2 Ｂ、-2 Ｃ、6 Ｄ、10 3. (四川遂宁)下列分式是最简分式的( )
A.
b
a a 232 B ．
a
a a 32- Ｃ．
2
2b a b a ++ D.
2
22b a ab a --
５.（丽江）计算10
()(12
-+= ． 6. （江苏徐州）0132--= ． 7. （江苏镇江常州)计算：－(-
12)＝ ;︱-12︱= ； 01
()2
-= ；11()2--= ．
８. (云南保山）计算101
()(12
-+= ． 9. （北京）计算:?-++
?--)2(2730cos 2)2
1(1π.
10． 计算:|－3|+2０110+6×2－1. 11. （重庆江津区）下列式子是分式的是( )
?Ａ、2x ? Ｂ、1x x + C 、2
x y + D 、x π
1２. (四川眉山)化简m
m n
m n -÷-2)(的结果是（ )
Ａ．﹣m ﹣1? B.﹣m+１ C ．﹣mn ＋m ??D.﹣mn ﹣n
13.(南充)若分式1
2
x x -+的值为零，则x 的值是（ )
Ａ、０
B 、1??Ｃ、﹣１ ?D 、﹣２
14. (四川遂宁)下列分式是最简分式的（ ) Ａ．
b
a a 232 B.
a
a a 32- C ．
2
2b a b a ++ D ．
2
22b a ab a --
１5. (浙江丽水)计算111a
a a -
--的结果为（ )
Ａ、11a a +-? B 、1
a a - C 、﹣1?? D 、2
17. (天津）若分式21
1
x x -+的值为0,则x 的值等于 ．
１８． （郴州）当x= 时,分式
的值为0.
19. 如果分式2327
3x x --的值为０,则x 的值应为 ．
２0. （北京）若分式x
的值为０，则x 的值等于 ． 2１． (福建省漳州市）分式方程2
11x =+的解是( )
?A 、﹣1? B 、0?Ｃ、１ ?D 、3
2
22． (黑龙江省黑河)分式方程
11x
x --=
()()
12m x x -+有增根，则m 的值为（ ） ?A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 ?D 、3
2３. (新疆建设兵团）方程＼f (2x +1，1-ｘ)＝４的解为 . 24． (天水)如图，点Ａ、Ｂ在数轴上，它们所对应的数分别是﹣4与
22
35
x x +-,且点A 、B 到原点的距离相等.则x = .
25． (海南）方程
2
+x x
=3的解是 ． （2）解分式方程一定注意要验根.
26. (湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田)化简)2()24
2(2+÷-+-m m
m m 的结果是
Ａ．0 ?B ．1
C.—1??D ．(m +2）2
27. （江苏苏州)已知111
2a b -=
，则ab a b -的值是( ）
A ．12 B.-1
2 C ．２ D.－2
28. (山东济南）化简：22
m n m n m n
-
--的结果是（ ) A ．m ＋n ?B.m ﹣n C ．n ﹣ｍ? Ｄ.﹣ｍ﹣ｎ 29. (南通）设ｍ>ｎ＞０,m 2＋n ２＝4mn ，则
22
m n mn
-的值等于 A.
Ｂ
.
C ．
?D ． 3
３０. （湖北孝感）化简(x y -y x ） ÷x y
x
-的结果是( )
?A ． 1
y ??B.
x y y + ??C ．
x y
y -??
D ．y
31.（广西来宾）计算
11
x x y
-
-的结果是( ） A.()y x x y -
- B.2()x y x x y -+ C.2()x y x x y -- D ．()
y
x x y -
3２. （盐城）化简=--3
9
2x x .
34. （德州)当x =时，221
1x x x
--=- 错误！未找到引用源。
． 35. (泰安）化简：4
)222(
2-÷--+x x
x x x x 的结果为 ． 36. （广西桂林)若11
1a m
=-，2111a a =-,3211a a =-,… ;则2011a 的值为 .(用含m 的代
数式表示)
37.（湖南长沙）化简:
x x x 1
1-+=___＿_＿__＿__. 38. （福建福州）化简()1111-
m+m+??
??
?
的结果是 .
3９.（包头）化简
122-+a a ·4412++-a a a ÷21+a ＋1
22-a ，其结果是 ． 40. 化简: a a 1
2-÷(1+a
1)= ．
4１. （江苏南京)计算
221a b
a b a b b a
-÷
-+-． 42. (江苏苏州）先化简，再求值：()2
2111a a a ??-+÷+ ?+??，其中21a =-.
43.(江苏扬州）计算:x
x x 1
)11(2-÷+
4４.（江苏镇江常州)化简：
221
42
x x x -
--． 45. （南昌）先化简，再求值：a a a a a ÷??
?
??-+-112，其中ａ=12+.
46. （内蒙古呼和浩特）(1）计算:1
2
1181222-??
-+-+ ??? （２)化简：22()a b ab b a a b a a ??--÷-≠ ???
.
４７.（山东日照）化简,求值：)11
1(1
1222+---÷-+-m m m m m m ，其中m=3.
48. （山西)先化简，再求值：1112112222+--+-?-+a a
a a a a a ，其中21
-
=a ; 4９. (四川广安）先化简2
2()5525x x x x x x -÷---,然后从不等组23,
212.x x --??
≤的解集中，选取一个你认为符合题意．．．．的ｘ的值代入求值． 50. （云南保山）先化简2
11
111
x x x x -÷-+-（）,再从-１,０,１三个数中，选择一个你认为合适．．
的数作为x 的值代入求值．
５1. （重庆江津区）先化简，再求值:211122x x x -??
÷- ?++??，其中13x =．
52.(重庆市）先化简，再求值:2121
(1)1a a a a
++-?
+，其中a 2－1. ５３. (2０1０重庆）先化简,再求值:22
122121x x x x x
x x x ---??
-÷ ?+++??,其中ｘ满足x 2－x －1=0. 5４. (山东烟台)先化简再计算：22121x x x x x x --??÷- ?+??
，其中x 是一元二次方程2
220x x --=的正数根.
55． （清远)先化简,再求值:2
1111
x
x x ??-÷ ?+-?
?，其中12+=x ． 56．(南充）先化简，再求值:
2
1
x x -（1x x -﹣２），其中x=2． 57.(黑龙江省黑河）先化简，再求值：（1﹣11a +)÷221
a
a a ++，其中ａ＝si ｎ60°．
58.(广西百色)已知a =13+，b =3.求下列式子的值,
()()
b a b
a b a b a ab b ab b a -+--+?+-2
2． 59.(湖北黄石)先化简，后求值:)24(4442232x y x xy y xy x y y x +-?++-，其中????
?+=-=1
21
2y x ． 60． (贵州毕节)先化简，再求值： a
a a a a a 2)1)(2()21(2
2+-+÷-+ ，其中042
=-a . 61. (贵阳）在三个整式x 2﹣1，x 2+2x+1，x 2＋ｘ中，请你从中任意选择两个,将其中一个作为分子,另一个作为分母组成一个分式,并将这个分式进行化简，再求当x=2时分式的值.
62． (贵州遵义）先化简，再求值：????
??--÷-x y xy x x y x 22，其中1,2-==y x 。 ６3. (湖南张家界)先化简,再把x 取一个你最喜欢的数代入求值:2)224
44(22-÷
+-++--x x
x x x x x .
６5.（江西)先化简，再求值:
2
211
(
)11a a a a
++÷--,其中a =66.(辽宁本溪)先化简，再求值：2
32(
)224
x x x
x x x -÷-+-,其中4x =. ６7.（辽宁阜新)先化简，再求值：（2
x x -﹣2)÷2216
2x x x
--,其中x
68. (2０10河南）先化简22
144111x x x x -+?
?-÷ ?--??
，然后从﹣２≤x ≤2的范围内选取一个合适的整数作为ｘ的值代入求值.
６９． (襄阳)先化简再求值:4
1
2)121(2
2-++÷-+x x x x ，其中x =ｔan 60°－1．
７0． (湖南常德）先化简,再求值. 22
1211
, 2.1
11x x x x x x x ??-+-+÷= ?+-+??其中
72. （邵阳)已知1-x ＝1,求1
-x +x ﹣1的值．
73. (四川广安)先化简2
2()5525x x x x x x -÷---，然后从不等式组23,
212.x x --??
≤的解集中，选取一个你认为符合题意．．．．的x 的值代入求值. 74． (四川泸州）先化简,再求值： 1
)12111(
2-÷
+-+-+x x
x x x x ,其中 x=2. 7５. (四川雅安）先化简下列式子,再从2,﹣2,1,0,﹣1中选择一个合适的数进行计
算.242222x x x x x
??++÷ ?--??． ７6. (黑龙江省哈尔滨）先化简,再求代数式
2
21
÷的值，其中x=2ｃos45°﹣3．
7８. （福建龙岩）先化简，再求值:242
a a -
--，其中2a =.(结果精确到0．0１）. 7８a ． (重庆綦江）在实施“中小学生蛋奶工程”中,某配送公司按上级要求,每周向学校配送鸡蛋10000 个，鸡蛋用甲、乙两种不同规格的包装箱进行包装,若单独使用甲型包装箱比单独使用 乙型包装箱可少用1０个,每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装５0个鸡蛋,设每个 甲型包装箱可装x 个鸡蛋，根据题意下列方程正确的是( ）
A.x
10000-5010000
+x ＝10? B.
5010000-x -x
10000
=１0
?Ｃ．x
10000-5010000-x =10
D ．5010000+x －x
10000
=１０
79. (吉林长春)小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为２８00米,骑自行车的平均速度是步行平均速度的４倍,骑自行车比步行上学早到30分钟.设小玲步行的平均速度为x 米/分，根据题意,下面列出的方程正确的是（ ）
A.
28002800304-=x x Ｂ.28002800
304-=x x
C ．
28002800305-=x x D .28002800
30-=5x x
80．（辽宁沈阳）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是２5千米,但交通比较拥堵，路线二的全程是30千米,平均车速比走路线一时的平均车速能提高8０％,因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x 千米／小时,根据题意,得( ) ?A 、6010%)801(3025=+-
x x
??B 、10%)801(30
25=+-x
x
C 、
60
10
25%)801(30=
-+x x D 、
1025
%)801(30=-+x
x
81. （湖南衡阳）某村计划新修水渠3600米，为了让水渠尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.８倍，结果提前２0天完成任务，若设原计划每天修水渠x 米，则下面所列方程正确的是（ ） Ａ． 3600x = 36001.8x B ． 36001.8x －２0=3600x C. 3600x - 36001.8x ＝20 D. 3600x + 3600
1.8x
=２０
82. （安顺)某市今年起调整居民用水价格,每立方米水费上涨20％，小方家去年12月份的水费是2６元，而今年５月份的水费是50元.已知小方家今年5月份的用水量比去年１2月份多8立方米,设去年居民用水价格为x 元／立方米,则所列方程为 .
83. (山东青岛)某车间加工120个零件后,采用了新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用１小时，采用新工艺前每小时加工多少个零件？若设采用新工艺前每小时加工x 个零件,则根据题意可列方程为 ．
84. （辽宁阜新）甲、乙两名同学同时从学校出发，去１5千米处的景区游玩,甲比乙每小时多行1千米，结果比乙早到半小时，甲、乙两名同学每小时各行多少千米？若设乙每小时行ｘ千米,根据题意列出的方程是 ．
85. (江苏淮安）七（1）班的大课间活动丰富多彩，小峰与小月进行跳绳比赛．在相同的时间内，小峰跳了１0０个,小月跳了１４0个.如果小月比小峰每分钟多跳20个,试求出小峰每分钟跳绳多少个?
86. （江苏连云港)根据我省“十二五”铁路规划，连云港至徐州客运专线项目建成后，连云港至徐州的最短客运时间将由现在的2小时１8分钟缩短为36分钟,其速度每小时将提高26０km ，求提速后的火车速
度．(精确到１ｋｍ/ｈ)
87.（南通)在社区全民健身活动中,父子俩参加跳绳比赛.相同时间内父亲跳180个，儿子跳2１0个．已知儿子每分钟比父亲多跳2０个,父亲、儿子每分钟各跳多少个?
8８.(江苏徐州）徐州至上海的铁路里程为650ｋm.从徐州乘“C”字头列车A，“D”字头列车B都可到达上海，已知Ａ车的平均速度为B车的2倍,且行驶时间比Ｂ车少2．5h．
(1)设A车的平均速度是xkm/ｈ，根据题意,可列分式方程: ;
(２）求Ａ车的平均速度及行驶时间.
89.(广东汕头)某品牌瓶装饮料每箱价格26元，某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，即整箱购买，则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元，问该品牌饮料一箱有多少瓶？
９0.(河池)大众服装店今年４月用４000元购进了一款衬衣若干件，上市后很快售完，服装店于5月初又购进同样数量的该款衬衣,由于第二批衬衣进货时价格比第一批衬衣进货时价格提高了２0元,结果第二批衬衣进货用了５00０元.
(1)第一批衬衣进货时的价格是多少?
(2)第一批衬衣售价为1２0元/件,为保证第二批衬衣的利润率不低于第一批衬衣的利润率，那么第二批衬衣每件售价至少是多少元?（提示:利润＝售价﹣成本,利润率=)
９1.（柳州）某校为了创建书香校园,去年又购进了一批图书．经了解，科普书的单价比文学书的单价多４元,用1200元购进的科普书与用8０0元购进的文学书本数相等．
（１)求去年购进的文学羽和科普书的单价各是多少元?
(２)若今年文学书和科普书的单价和去年相比保持不变,该校打算用1000元再购进一批文学书和科普书,问购进文学书55本后至多还能购进多少本科普书？
92.(德州）为创建“国家卫生城市”，进一步优化市中心城区的环境,德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施全面更新改造,根据市政建设的需要,须在６0天内完成工程.现在甲、乙两
个工程队有能力承包这个工程.经调查知道：乙队单独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用2５天,甲、乙两队合作完成工程需要30天，甲队每天的工程费用250０元,乙队每天的工程费用2000元.
（１）甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？
（2)请你设计一种符合要求的施工方案,并求出所需的工程费用．
93.（莱芜）莱芜盛产生姜，去年某生产合作社共收获生姜２0０吨,计划采用批发和零售两种方式销售．经市场调查，批发每天售出６吨.
（1)受天气、场地等各种因素的影响，需要提前完成销售任务．在平均每天批发量不变的情况下,实际平均每天的零售量比原计划增加了２吨，结果提前５天完成销售任务.那么原计划零售平均每天售出多少吨? (２）在（１）的条件下,若批发每吨获得利润为２０0０元，零售每吨获得利润为２20０元，计算实际获得的总利润．
９4.(泰安)某工厂承担了加工21００个机器零件的任务,甲车间单独加工了９0０个零件后,由于任务紧急,要求乙车间与甲车间同时加工，结果比原计划提前12天完成任务．已知乙车间的工作效率是甲车间的1.5倍,求甲．乙两车间每天加工零件各多少个?
９5.（四川遂宁）一场特大暴雨造成遂渝高速公路某一路段被严重破坏．为抢修一段12０米长的高速公路,施工队每天比原计划多修５米,结果提前4天完成抢修任务.问原计划每天抢修多少米？
9６.（河北)甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工:若甲.乙共同整理2０分钟后,乙需再单独整理20分钟才能完工.
(1)问乙单独整理多少分钟完工?
(２)若乙因工作需要,他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工?
9７．(广东肇庆)肇庆市某施工队负责修建18０0米的绿道.为了尽量减少施工对周边环境的影响,实际工作效率比原计划提高了20%,结果提前两天完成．求原计划平均每天修绿道的长度.
98.(广东）某品牌瓶装饮料每箱价格26元.某商店对该瓶装饮料进行“买一送三”促销活动，若整箱购买,
则买一箱送三瓶，这相当于每瓶比原价便宜了0.6元．问该品牌饮料一箱有多少瓶?
9９．(广东珠海)八年级学生到距离学校1５千米的农科所参观，一部分学生骑自行车先走，过了40分钟后,其余同学乘汽车出发，结果两者同时到达.若汽车的速度是骑自行车同学速度的3倍,求骑自行车同学的速度．
1０0.（广西崇左)今年入春以来，湖南省大部分地区发生了罕见的旱灾,连续几个月无有效降水．为抗旱救灾，驻湘某部计划为驻地村民新建水渠3600米,为使水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前２0天完成修水渠任务.问原计划每天修水渠多少米？
1０1.(广西防城港)上个月某超市购进了两批相同品种的水果,第一批用了２０00元，第二批用了５500元,第二批购进水果的重量是第一批的2．5倍,且进价比第一批每千克多1元.
（1）求两批水果共购进了多少千克?
(2)在这两批水果总重量正常损耗10%,其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润
利润×100％）
率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元?(利润率＝
成本
1０2.（广西来宾)某商店第一次用３00０元购进某款书包,很快卖完，第二次又用2400元购进该款书包，但这次每个书包的进价是第一次进价的1.2倍，数量比第一次少了2０个．
(1)求第一次每个书包的进价是多少元?
（２)若第二次进货后按８0元/个的价格销售，恰好销售完一半时，根据市场情况,商店决定对剩余的书包按同一标准一次性打折销售,但要求这次的利润不少于48０元，问最低可打几折？
1０３.（梧州）由于受金融危机的影响，某店经销的甲型号手机今年的售价比去年每台降价500元．如果卖出相同数量的手机,那么去年销售额为８万元,今年销售额只有6万元.
（1)今年甲型号手机每台售价为多少元?
(２)为了提高利润,该店计划购进乙型号手机销售,已知甲型号手机每台进价为1000元,乙型号手机每台进价为８00元，预计用不多于1.８4万元且不少于１.76万元的资金购进这两种手机共20台,请问有几种进货方案?
(３）若乙型号手机的售价为14０0元,为了促销，公司决定每售出一台乙型号手机,返还顾客现金a元,而甲型号手机仍按今年的售价销售,要使（2)中所有方案获利相同，a应取何值?
1０4.(玉林)上个月某超市购进了两批相同品种的水果，第一批用了20０0元，第二批用了5500元,第二批购进水果的重量是第一批的２．5倍，且进价比第一批每千克多1元．
(1）求两批水果共购进了多少千克?
(2）在这两批水果总重量正常损耗10%,其余全部售完的情况下，如果这两批水果的售价相同，且总利润率不低于26%，那么售价至少定为每千克多少元?
(利润率=利润／成本×100%）
105.（黔南)为了美化都匀市环境，打造中国优秀旅游城市,现欲将剑江河进行清淤疏通改造,现有两家清淤公司可供选择，这两家公司提供信息如表所示:
(1）若剑江河首批需要清淤的淤泥面积大约为1.2万平方米,平均厚度约为０．4米，那么请哪个清淤公司进行清淤费用较省,请说明理由（体积可按面积@高进行计算)
（２)若甲公司单独做了2天，乙公司单独做了3天,恰好完成全部清淤任务的一半;若甲公司先做２天,剩下的清淤工作由乙公司单独完成，则乙公司所用时间恰好比甲公司单独完成清淤任务所用时间多1天,则甲、乙两公司单独完成清淤任务各需多少时间？
1０6.（湖南张家界)湖南张家界市为了治理城市污水，需要铺设一段全长为３０0米的污水排放管道，铺设1２0米后,为了尽可能减少施工对城市交通所造成的影响,后来每天的工作量比原计划增加2０%,结果共用了27天完成了这一任务,求原计划每天铺设管道多少米？
1０７.(辽宁本溪)某商场计划购进一批甲、乙两种玩具,已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和
为40元，用９0元购进甲种玩具的件数与用1５0元购进乙种玩具的件数相同.
（1)求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元?
（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数,商场决定此次进货的总资金不超过100０元,求商场共有几种进货方案？
108.（丹东）某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2．５元．老板用2５00元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的２倍，同样很快销售完毕．两批文具的售价均为每件1５元.
（1）问第二次购进了多少件文具?
(2）文具店老板在这两笔生意中共盈利多少元?
109.(湖北十堰)Ａ，B两地间的距离为１5千米，甲从A地出发步行前往Ｂ地，20分钟后，乙从B地出发骑车前往A地,且乙骑车比甲步行每小时多走10千米。乙到达A地后停留４0分钟,然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B地。请你就“甲从A地到B地步行所用时间”或“甲步行的速度”提出一个用分式方程解决的问题,并写出解题过程。
11０.为了建设社会主义新农村,华新村修筑了一条长３0００m的公路，实际工作效率比原计划提高了
1１2．（福建厦门）甲、乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路匀速驶向C城.已知A、C两城的距离为36０ｋm，B、Ｃ两城的距离为３２0kｍ，甲车比乙车的速度快10kｍ/h，结果两辆车同时到
达C 城.设乙车的速度为xk ｍ/h . (1）根据题意填写下表:
（２)求甲、乙两车的速度. １13． （江苏宿迁)方程
1
1
112+=
-+x x x 的解是( ） A 、﹣１
B 、2 Ｃ、１
D 、0
114． （山西)分式方程
12
23
x x =
+的解为( ) A.1x =- Ｂ． 1x = Ｃ. 2x = D. 3x =
１１５. (四川凉山)方程
24321
x x
x x x ++=++的解为( ）
Ａ．124,1x x == Ｂ．12x x =
=
C ．4x = D.124,1x x ==-
1１8. (山西）分式方程23
x x =
+的解为（ ) ? A 、x =﹣1? B 、x ＝1? Ｃ、x ＝2?
D 、x =3
119. 方程
24321
x x
x x x ++=++的解为（ ）
A ．124,1x x ==
B ．121166
x x +=
=
C ．4x = Ｄ.124,1x x ==- １20. （四川省宜宾市）分式方程
2
x –1
= 错误!的解是( ）
A.３ Ｂ．4 C.5 D 无解.
121. (安徽省芜湖市）分式方程253
22x x x
-=
--的解是（ ）
A 、x =﹣2??Ｂ、x =2? C 、x ＝1
D 、ｘ=1或x =2
1２２. （四川广安)分式方程
22
12525
x x x -=-+的解x =_＿＿＿＿＿＿______.
123. （重庆）有四张正面分别标有数字-3，0，1，５的不透明卡片,它们除数字不同外其余相同．现将它们背面朝上,洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，则使关于x 的分式方程12
ax
x --+２=12x -有
正整数解的概率为 . 124. (贵港)方程
的解是x= ．
1２5. (贺州）分式方程＝的解是 .
１2６． （西宁）关于x 的方程的解为 .
127.(临沂)方程
1
326x x x -
--=12
的解是 ． １28. （成都）已知x ＝1是分式方程x
k
x 311=
+的根，则实数k ＝ . 129. (黑龙江省哈尔滨)方程
23
3x x
=-的解是 ． 1３0. (四川乐山)当ｘ= 时，1
12x =-.
131.（广西百色)分式方程1442
22=+---x x x x 的解是 ．
１３2. （广州)方程2
3
1+=x x 的解是__＿＿__
133. (湖南益阳)方程1
x =32x -的解为 ．
134.(江西）分式方程
x
x 1
12=-的解是 .
1３５． （江苏连云港）解方程
32
1
x x =
-. 136. （江苏苏州)已知120
a b -++=,求方程1a
bx x +=的解
13７. （盐城）（2）解方程：213
1=---x
x x ． 138. （江苏镇江常州）①解分式方程23
22
x x =
+-; 1３9. （宁夏）解方程:2
3
11+=
--x x x ． １40.(陕西)解分式方程：
x
x x -=--23
124 141. （新疆乌鲁木齐)解方程:12
23
11+-=+x x . 1４2. （重庆綦江）解方程:
33-x ＝1
5+x . １4３．(重庆市)解分式方程: 1
111
x x x -=+-
1４４. (湖北咸宁)解方程
)
2)(1(3
11-+=
-+x x x x ． 145. (山东菏泽)（1）解方程：11
23x+x+=
x 146. (山东济南）（2)解方程:21
3x x =+.
1４7. （山东省威海市)解方程:2
33
11
x x x +---=0． 148. （四川省绵阳市)(2)解方程： 22
2525
x x x -
-+＝１. 149. (四川攀枝花）解方程：02
4
2=+-
-x x . 15０.(浙江台州）解方程:
2132=x-x
． 1５1.(浙江义乌)解分式方程：23-+x x ＝2
3
．
１52． (随州)解方程:
．
15３. (福建省三明市)解方程:
43
(1)1
x x x x +=
--． １54． 解方程:
x
x x --=+-21125．
15５. （广东省茂名）解分式方程：2312
22
x x x -=+．
156. （广东深圳，18,6分)解分式方程:2321
1
x x x +=+-．
八年级数学下册分式的概念教案新人教版
河南省洛阳市下峪镇初级中学八年级数学下册《分式的概念》教案 主持人： 时间 参加人员 地点 主备人 课题 分式的概念 教学 目标 知识与技能：经历实际问题的解决过程，从中认识分式，并能概括分式 2、过程与方法：使学生能正确地判断一个代数式是否是分式 3．情感态度与价值观：。能通过回忆分数的意义，类比地探索分式的意义及分式的值如某一特定情况的条件，渗透数学中的类比，分类等数学思想。 重、难点 即考点 分析 重点：探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 难点：能通过回忆分数的意义，探索分式的意义及分式的值为某一特定情况的条件。 分析:分式的混合运算的关键是掌握异分母分式的通分以及因式分解的熟练程度 课时安排 1课时 教具使用 彩色粉笔 教 学 环 节 安 排 备 注 （一）复习与情境导入：填空 （1）面积为2平方米的长方形一边长为3米，则它的另一边长为 米。 （2）面积为S 平方米的长方形一边长为a 米，则它的另一边长为 米。 （3）一箱苹果售价p 元，总重m 千克，箱重n 千克，则每千克苹果的住售 价是 元。 （4）根据一组数据的规律填空：1，16 1,91,41…… （用n 表示） 观察你列出的式子，与以前学过的有什么不同？像这样的式子叫分式。 先根据题意列代数式，并观察出它们的共性：分母中含字母的式子。 (二)实践与探索 例1、下列各式中，哪些是整式？哪些是分式？ （1）x 1； （2）2 x ； （3）y x xy +2； （4）33y x -.
例2、探究： 练习 讨论探索 当x 取什么数时，分式 2||24x x -- （1）有意义 （2）值为零？ 例3、已知分式 b ax a x +-2，当x=3时，分式值为0，当x=-3时，分式无意义，求a,b 的值。 可类比分数来解。 讨论探索 （四）小结与作业 分式的概念和分式有意义的条件。 作 业 布 置 本章复习B 组题
(完整word版)苏教版八年级数学下册分式测试题
八年级数学下册《分式》综合讲解 姓名： 班级： 学校： 一、选择题：（每小题2分，共20分） 1．下列各式： 2b a -，x x 3+，πy +5，()1432+x ，b a b a -+，)(1y x m -中，是分式的共有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2．下列判断中，正确的是（ ） A ．分式的分子中一定含有字母 B ．当B ＝0时，分式 B A 无意义 C ．当A ＝0时，分式 B A 的值为0（A 、B 为整式） D ．分数一定是分式 3．下列各式正确的是（ ） A ．11++=++b a x b x a B ．22x y x y = C ．()0,≠=a ma na m n D ．a m a n m n --= 4．下列各分式中，最简分式是（ ） A ．()()y x y x +-8534 B ．y x x y +-22 C ．222 2xy y x y x ++ D ．() 222y x y x +- 5．化简2 293m m m --的结果是（ ） A.3+m m B.3+-m m C.3-m m D.m m -3 6．若把分式 xy y x 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A ．扩大3倍 B ．不变 C ．缩小3倍 D ．缩小6倍 7．A 、B 两地相距48千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地逆 流返回A 地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水 中的速度为x 千米/时，则可列方程（ ） A ．9448448=-++x x B ．9448448=-++x x C ．9448=+x D ．94 96496=-++x x 8．已知230.5 x y z ==，则32x y z x y z +--+的值是（ ） A ．17 B.7 C.1 D.13 9．一轮船从A 地到B 地需7天，而从B 地到A 地只需5天，则一竹排从B 地漂到A 地需 要的天数是（ ） A ．12 B.35 C.24 D.47 10．已知226a b ab +=，且0a b >>，则a b a b +-的值为（ ） A ．2 B ．2± C ．2 D ．2± 二、填空题：（每小题3分，共24分） 11．分式392--x x 当x _________时分式的值为零，当x ________时,分式x x 2121-+有意义． 12．利用分式的基本性质填空： （1）())0(,10 53≠=a axy xy a （2）() 1422=-+a a 13．分式方程1 111112-=+--x x x 去分母时，两边都乘以 ．
新人教版八年级数学分式典型例题(供参考)
分式的知识点及典型例题分析 1、分式的定义： 例：下列式子中，y x +15、8a 2 b 、-239a 、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、65xy x 1、21、212+x 、πxy 3、 y x +3、m a 1 +中分式的个数为（ ） （A ） 2 （B ） 3 （C ） 4 (D) 5 练习题：（1）下列式子中，是分式的有 . ⑴275x x -+； ⑵ 123 x -；⑶25a a -；⑷22x x π--；⑸22b b -；⑹22 2xy x y +. （2）下列式子，哪些是分式？ 5a -； 234x +；3 y y ； 78x π+；2x xy x y +-；145b -+. 2、分式有，无意义，总有意义： 例1：当x 时，分式 51 -x 有意义； 例2：分式x x -+212中，当____=x 时，分式没有意义 例3：当x 时，分式112-x 有意义。 例4：当x 时，分式1 2+x x 有意义 例5：x ，y 满足关系 时，分式 x y x y -+无意义； 例6：无论x 取什么数时，总是有意义的分式是（ ） A ． 122+x x B.12+x x C.133+x x D.2 5 x x - 例7：使分式2 +x x 有意义的x 的取值范围为（ ）A ．2≠x B ．2-≠x C ．2->x D ．2 解分式方程及增根-无解的典型问题含答案 优博辅导中心 当堂检测 1. 解方程 1x?2?1?x2?x?3 答案：x?2是增根原方程无解。 2. 关于x的方程a1?2x?4?1?x4?x有增根，则a=-------答案：7 3. 解关于x 的方程 mx?5?1下列说法正确的是（C ） A.方程的解为x?m?5 B.当m??5时，方程的解 为正数 C.当m??5时，方程的解为负数 D.无法确定 4.若分式方程 x?ax?1?a无解，则a的值为-----------答案：1或-1 5. 若 分式方程 m?xx?1=1有增根，则m的值为-------------答案：-1 6.分 式方程1x?2?mx?1有增根，则增根为------------答案：2或-1 7. 关于x的方程1x?2?1?kx?2有增根，则k的值为-----------答 案：1 8. 若分式方程x?aa?a无解，则a的值是----------答 案：0 9.若分式方程2m?m?x1x?1?0无解,则m的取值是------答案：-1或-2 10. 若关于x的方程 m(x?1)?52x?1?m?3无解，则m的值为-------答案：6，10 11. 若关于x的方程 x?mx?1?3x?1无解，求m的值为-------答案： 12.解方程1162-x?x?2??x3x?12答案x??627 13．解方程 2x-1?4x2?1?0 14. 解方程 2x2x?5?22x?5?1 15. 解方程x?22x2x?3?3??13x2?9 x?1m216. 关于x的方程x?3?2x?6有增根，则m的值-----答案：m=2或-2 17.当a为何值时，关于x的分式方程 x?ax?1?3x?1无解。答案:-2或1 1 八年级数学下册《分式》测试题 一、填空题：（每小题2分，共26分） 1、分式3 92--x x 当x __________时分式的值为零。 2、当≠x 时，分式 x -13有意义。当________________x 时，分式8x 32x +-无意义； 3、①())0(,10 53≠=a axy xy a ②() 1422=-+a a 。 4、约分：①=b a a b 2205__________，②=+--96922x x x __________。 5、若分式231 --x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________。 6、已知a+b=5， ab=3，则 =+b a 11_______。 7、一项工程，甲单独做x 小时完成，乙单独做y 小时完成，则两人一起完成这项工程需要__________小时。 8、要使2415--x x 与的值相等，则x =__________。 9、若关于x 的分式方3 132--=-x m x x 无解，则m 的值为__________。 10、已知a ＋ a 1＝6，则（a －a 1）2 = 。 11．用科学记数法表示：－0.00002005＝ ． 12.已知311=-y x ，则分式y xy x y xy x ---+2232的值为 ． 13. 计算： a b b b a a -+-＝ ． 二、选择题：（每小题3分，共30分） 1、下列各式y x +15、y x b a --25、4322b a -、2-a 2、m 1、6 5xy ：其中分式共有（ ) 个。 A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 2、下列判断中，正确的是（ ） A 、分式的分子中一定含有字母 B 、当B=0时，分式B A 无意义 C 、分式B A 的值为0,则A=0或 B ＝0即可 D 、分数一定是分式 3、下列各式正确的是（ ） A 、11++=++b a x b x a B 、22x y x y = C 、()0,≠=a ma na m n D 、a m a n m n --= 4、下列各分式中，最简分式是（ ） A 、()()y x y x +-8534 B 、y x x y +-2 2 C 、2222xy y x y x ++ D 、() 222y x y x +- 5、关于x 的方程4 332=-+x a ax 的解为x=1,则a=（ ） A 、1 B 、3 C 、－1 D 、－3 6、小明通常上学时走上坡路，通常的速度为m 千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的速度为n 千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（ ）千米/时 A 、2n m + B 、 n m mn + C 、 n m mn +2 D 、mn n m + 7、若把分式 xy y x 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A 、扩大3倍 B 、不变 C 、缩小3倍 D 、缩小6倍 8、若0≠-=y x xy ，则分式 =-x y 11（ ） A 、xy 1 B 、x y - C 、1 D 、－1 9、A 、B 两地相距48千米，一艘轮船从A 地顺流航行至B 地，又立即从B 地逆流返回A 地，共用去9小时，已知水流速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x 千米/时，则可列方程（ ） A 、9448448=-++x x B 、9448448=-++x x C 9448=+x D 94 96496=-++x x 分式方程应用题 1、温（州）--福（州）铁路全长298千米．将于2009年6月通车，通车后，预计从福州直达温州的 火车行驶时间比目前高速公路上汽车的行驶时间缩短2小时．已知福州至温州的高速公路长331千米，火车的设计时速是现行高速公路上汽车行驶时速的2倍．求通车后火车从福州直达温州所用的时间（结果精确到0.01小时）． 2、某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为 售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价． 4、甲、乙两个清洁队共同参与了城中垃圾场的清运工作．甲队单独工作2天完成总量的三分之一， 这时增加了乙队，两队又共同工作了1天，总量全部完成．那么乙队单独完成总量需要（ ） Ａ．6天 Ｂ．4天 Ｃ．3天 Ｄ．2天 5、炎炎夏日，甲安装队为A 小区安装66台空调，乙安装队为B 小区安装60台空调，两队同时开工 且恰好同时完工，甲队比乙队每天多安装2台．设乙队每天安装x 台，根据题意，下面所列方程中正确的是（ ） A ．66602x x =- B ．66602x x =- C ．66602x x =+ D ．66602x x =+ 6、张明与李强共同清点一批图书，已知张明清点完200本图书所用的时间与李强清点完300本图书 所用的时间相同，且李强平均每分钟比张明多清点10本，求张明平均每分钟清点图书的数量． 7、有两块面积相同的试验田，分别收获蔬菜900kg 和1500kg ，已知第一块试验田每亩收获蔬菜比第 二块少300kg ，求第一块试验田每亩收获蔬菜多少千克．设一块试验田每亩收获蔬菜x kg ，根据题意，可得方程（ ） A ．9001500300x x =+ B ．9001500300 x x =- C ．9001500300x x =+ D ．9001500300x x =- 8、进入防汛期后，某地对河堤进行了加固．该地驻军在河堤加固的工程中出色完成了任务．这是记 者与驻军工程指挥官的一段对话: 通过这段对话,请你求出该地驻军原来每天加固的米数. 关于分式方程增根问题 一、选择题 1．分式方程=有增根，则m 的值为（ ） A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 D 、3 2．已知关于x 的方程2+11a x x x =--有增根，则a 的值是（ ） A ．1 B ． -1 C ．0 D ．2 3．若分式方程a x a x =-+1无解，则a 的值是 （ ） A.－１ B. 1 C. ±1 4．若分式方程2321--=+-x x a x 有增根，则a 的值是（ ） .0 C 5．分式方程()()2111+-=--x x m x x 有增根，则m 的值为（ ） A 、0和1 B 、1 C 、1和－2 D 、3 6．若分式方程244x a x x =+--有增根，则a 的值为（ ） A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 7．分式方程11x x --=()()12m x x -+有增根，则m 的值为（ ） A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 D 、3 8．分式方程=--11x x )2)(1(+-x x m 有增根，则m 的值为 （ ） A. 0和3 B. 1 C. 1和－2 D. 3 9．若分式方程51 56-=+--x k x x （其中k 为常数）产生增根，则增根是 （ ） =6 =5 C.x=k D.无法确定 10．解关于x 的方程113 -=--x m x x 产生增根，则常数m 的值等于 （ ） B.-1 C.1 二、填空题 11．关于x 的分式方程244 21 2+=---x k x x 有增根x =-2，那么k= . 12．已知关于x 的分式方程a 1 =1x 2-+有增根，则a= . 13．方程133m x x =+++1若有增根，则增根一定是_________． 14．若关于x 的方程 2x m 2x 22x ++=--有增根，则m 的值是 15．若关于x 的方程22 21+-=--x m x x 产生增根，那么m 的值是 . 16．若分式方程 244 x a x x =+--有增根，则a 的值为______________． 17．若解分式方程4x m 4x 1x +=+-产生增根，则m ＝________． 18．若关于x 的分式方程 8128-++=-x m x x 有增根，则m = ． 19．若关于x 的分式方程 113-=--x m x x 产生增根，则m 的值为 ． 20．若关于x 的分式方程131=---x x a x 有增根，则a = ． 21．若分式方程： 有增根，则k= ． 22．若解分式方程4 4+=+x x 产生增根，则=m ________； 23．用去分母的方法，解关于x 的分式方程 8x x -＝2＋8 m x -有增根，则m ＝ ． 24．若去分母解分式方程 x-3x －2=x-3 m 时有增根，则m 的值为 ______． 25．如果关于x 的分式方程0111=----x x x m 有增根，则m 的值为 ． 三、解答题 26．已知关于x 的分式方程2 233 x m x x -=--没有解，则m 可以取什么值 27．已知关于x 的方程x a x x x x x =---+2)2(42无解，求a 的值 授课内容: 分式的加减法 教学目标： 1、掌握同分母分式的加减运算法则，会进行同分母分式的加减运算. 2、理解通分的概念，能对异分母的分式进行通分. 3、掌握异分母分式的加减运算法则，会进行异分母分式的加减运算. 4、会进行分式的混合运算. 教学重难点：通分 授课内容: 1、同分母分式的加减（这是重点） 法则： 同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减. 用式子可以表示为： c b a c b c a ±=± 注意：同分母分式的加减运算法则和分数的加减运算法则在实质上是相同的，但分式的分子常常是一个多项式，“把分子相加减”就是把各个分式的“分子整体”相加减，各分子都应加括号，尤其是相减时，要注意避免符号错误，分子相加减的实质就是整式的加减.最后结果要求是最简分式. 2、通分（这是重点、难点） 根据分式的基本性质，异分母的分式可化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分.为了计算方便，异分母分式通分时，通常取最简单的公分母（简称最简公分母）作为它们的共同分母. 确定最简公分母的方法： 先对分式的分母进行分解因式，如果分母中含有相同字母，则取相同字母的最高次幂作为最简公分母的一个因式，如果只在一个分母中出现的字母，则连同它的指数作为最简公分母的一个因式. 举例说明： ab a 3,22 最简公分母：b a 2. 16 24,432--x x 最简公分母： （x+4）（x －4） 3、异分母分式的加减（这是重点、难点） 法则： 异分母分式相加减，先通分化为同分母的分式，然后再加减. 注意：异分母分式的加减必须转化为同分母分式的加减，然后按照同分母分式加减法的法则进行计算，转化的关键是通分.异分母分式的加减运算综合性较强，运算时要用到前面的一系列知识，如整式的四则运算、因式分解、约分、通分等. 其一般步骤为： ①通分：将异分母的分式化成同分母的分式； ②写成“分母不变，分子相加减”的形式； ③分子去括号，合并同类项； ④分子、分母约分，将结果化成最简分式的形式. 第十六章分式练习题 一、选择题： 1、下列式子：,,1,1,32,32π n m b a a b a x x --++ 中是分式的有（ ）个 A 、5 B 、4 C 、3 D 、2 2、下列等式从左到右的变形正确的是（ ） A 、11++=a b a b B 、22a b a b = C 、b a b ab =2 D 、am bm a b = 3、下列分式中是最简分式的是（ ） A 、a 24 B 、112+-m m C 、1 22+m D 、m m --11 4、下列计算正确的是（ ） A 、m n n m =? ÷1 B 、111=÷?÷m m m m C 、1134=÷÷m m m D 、n n m n 1=?÷ 5、计算32)32()23(m n n m ?-的结果是（ ） A 、m n 3 B 、m n 3- C 、m n 32 D 、m n 32- 6、计算y x y y x x ---的结果是（ ） A 、1 B 、0 C 、 y x xy - D 、y x y x -+ 7、化简n m m n m --+2 的结果是（ ） A 、n m B 、n m m --2 C 、n m n --2 D 、m n - 8、下列计算正确的是（ ） A 、1)1(0-=- B 、1) 1(1=-- C 、2233a a =- D 、235)()(a a a =-÷-- 9、如果关于x 的方程8778=----x k x x 无解，那么k 的值应为（ ） A 、1 B 、-1 C 、1± D 、9 10、甲、乙两人做某一工程，如果两人合作，6天可以完成，如果单独工作，甲比乙少用5天，两人单独工作各需多少天完成？设乙单独工作x 天完成，则根据题意列出的方程是（ ） A 、61511=++x x B 、61511=-+x x C 、61511=--x x D 、6 1511=+-x x 二、填空题： 11、分式a a -2，当a______时，分式的值为0；当a______时，分式无意义，当a______时，分式有意义 8 2 2 一、选择题 1. （广东珠海）若分式 2a a ＋b 的 a 、b 的值同时扩大到原来的 10 倍，则此分式的值 （ ） A. 是原来的 20 倍 B ．是原来的 10 倍 C ． 是原来的 1 倍 D ．不变 10 2. 计算-22+（-2）2-（- 12）-1 的正确结果是（ ） A 、2 B 、-2 C 、6 D 、10 3. （四川遂宁）下列分式是最简分式的（ ） Ａ． 2a 3a 2b B. a a 2 - 3a C. a + b a 2 + b 2 D. a 2 - ab a 2 - b 2 2 4. （广东湛江）化简 a - b 的结果是（ ） a - b a - b A 、a+b B 、a-b C 、a 2-b 2 D 、1 5.（丽江）计算 1 -1 + (1- 2)0 = ． ( ) 2 6. （江苏徐州） 30 - 2-1 = ． 7. （江苏镇江常州）计算：－(－ 1 )＝ ；︱－ 1 ︱＝ ； (- 1 )0 = ； (- 1 )-1 = ． 8. （云南保山）计算( 1 )-1 + (1- 2 2 2 2 2 2)0 = . 9. （北京）计算： ( 1 )-1 - 2 cos 30? + 2 + (2 - )?． 10. 计 算：|-3|+20110- × +6×2-1． 11. （重庆江津区）下列式子是分式的是（ ） A 、 x 2 B 、 x x + 1 C 、 x + y 2 D 、 x 12. （四川眉山）化简(- n ) ÷ m n m 2 - m 的结果是（ ） A. ﹣m ﹣1 B ．﹣m+1 C ．﹣mn+m D ．﹣mn ﹣n 13．（南充）若分式 x -1 的值为零，则 x 的值是（ ） x + 2 A 、0 B 、1 C 、﹣1 D 、﹣2 27 分式方程及其增根问题 解分式方程的基本方法是通过去分母把分式方程转化为整式方程，解分式方程时，有可能产生增根（使方程中有的分母为零的根），因此解分式方程要验根（其方法是把求得的根代入最简公分母中，使分母为零的是增根，否则不是）. 【例1】解方程 . 解：方程两边同乘x（x+1），得5x-4（x+1）=0. 化简，得x-4=0. 解得x=4. 检验：当x=4时，x（x+1）=4×（4+1）=20≠0， ∴x=4是原方程的解. 【例2】解方程 解：原方程可化为， 方程两边同乘（x+1）（x-1），得（x+1）2-4=（x+1）（x-1）. 化简，得2x-3=-1.解得x=1. 检验：x=1时（x+1）（x-1）=0，x=1不是原分式方程的解，所以原分式方程无解. 【小结】去分母时，方程两边同乘以最简公分母，不能漏乘常数项. 【例3】解方程 . 解：原方程可变形为 . 解得x=. 检验：当x=时，（x-7）（x-5）（x-6）（x-4）≠0， 所以x=是原方程的解. 【小结】此题若直接去分母，就会出现三次式，且计算较为复杂，该类型题的简单解法为：只把方程等号两边转化为两个分式之差，且等号两边分母的差相等；再把方程等号两边的分式分别通分，会得到两个同分子的分式相等，从而得分母相等，此解法叫做“分组通分法”. 【例4】若关于x的方程有增根x=-1，求k的值. 解：原方程可化为 . 方程两边同乘x（x+1）（x-1）得 x（k-1）-（x+1）=（k-5）（x-1）. 化简，得3x=6-k. 当x=-1时有3×（-1）=6-k，∴k=9. 【小结】因为增根是在分式方程转化为整式方程的过程中产生的，分式方程的增根，不是分式方程的根，而是该分式方程化成的整式方程的根，所以涉及分式方程的增根问题的解题步骤通常为：①去分母，化分式方程为整式方程；②将增根代入整式方程中，求出方程中字母系数的值. 第十六章 分式知识点及典型例子 一、分式的定义：如果A 、B 表示两个整式，并且B 中含有字母，那么式子B A 叫做分式。 例1.下列各式a π，11x +，15 x+y ，22a b a b --，-3x 2，0?中，是分式的有（ ）个。 二、 分式有意义的条件是分母不为零；【B ≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】 分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B ≠0且A=0 即子零母不零】 例2.下列分式，当x 取何值时有意义。（1）2132 x x ++； （2）2323x x +-。 例3.下列各式中，无论x 取何值，分式都有意义的是（ ）。 A ．121x + B ．21x x + C ．231x x + D ．2221x x + 例4．当x______时，分式2134 x x +-无意义。当x_______时，分式2212x x x -+-的值为零。 例5.已知1x -1y =3，求5352x xy y x xy y +---的值。 三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不 变。 （0≠C ） 四、分式的通分和约分：关键先是分解因式。 例6.不改变分式的值，使分式115101139 x y x y -+的各项系数化为整数，分子、分母应乘以（? ）。 例7.不改变分式2323523 x x x x -+-+-的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，则是（? ）。 例8.分式434y x a +，2411x x --，22x xy y x y -++，2222a ab ab b +-中是最简分式的有（ ）。 例9.约分：（1）22699x x x ++-； （2）2232m m m m -+- C B C A B A ??=C B C A B A ÷÷= 一、选择题 1. （广东珠海）若分式 b a a ＋2的a 、b 的值同时扩大到原来的10倍，则此分式的值 （ ） A ．是原来的20倍 B ．是原来的10倍 C ． 是原来的10 1 倍 D ．不变 2. 计算-22+（-2）2-（- 12）-1的正确结果是（ ） A 、2 B 、-2 C 、6 D 、10 3. （四川遂宁）下列分式是最简分式的（ ） Ａ． a 22 B ． a 2 C ． 2 2b a + D ． 2 22ab a - 5.（丽江）计算10 ()(12 -+= ． 6. （江苏徐州）0132--= ． 7. （江苏镇江常州）计算：－(－ 12)＝ ；︱－12︱＝ ； 01()2-= ；11 ()2 --= ． 8. （云南保山）计算101 ()(12 -+= . 9. （北京）计算：?-++?--)2(2730cos 2)2 1(1π． 10. 计算：|-3|+20110×2-1． 11. （重庆江津区）下列式子是分式的是（ ） A 、 2 x B 、 1x x + C 、2x y + D 、x π 12. （四川眉山）化简m m n m n -÷-2)(的结果是（ ） A ．﹣m ﹣1 B ．﹣m+1 C ．﹣mn+m D ．﹣mn ﹣n 13．（南充）若分式1 2 x x -+的值为零，则x 的值是（ ） A 、0 B 、1 C 、﹣1 D 、﹣2 14. （四川遂宁）下列分式是最简分式的（ ） Ａ． b a a 232 B ． a a a 32- C ． 2 2b a b a ++ D ． 2 22b a ab a -- 15. （浙江丽水）计算111 a a a - --的结果为（ ） A 、 1 1 a a +- B 、1 a a - C 、﹣1 D 、2 17. （天津）若分式21 1 x x -+的值为0，则x 的值等于 ． 18. （郴州）当x= 时，分式 的值为0． 20. （北京）若分式 x 的值为0，则x 的值等于 ． 21. （福建省漳州市）分式方程 2 11 x =+的解是（ ） A 、﹣1 B 、0 C 、1 D 、3 2 22. （黑龙江省黑河）分式方程 11x x --= ()() 12m x x -+有增根，则m 的值为（ ） A 、0和3 B 、1 C 、1和﹣2 D 、3 23. （新疆建设兵团）方程2x ＋1 1－x ＝4的解为 ． 24. （天水）如图，点A 、B 在数轴上，它们所对应的数分别是﹣4与 22 35 x x +-，且点A 、B 到原点的距离相等．则x = ． 25. （海南）方程 2 +x x ＝3的解是 ． （2）解分式方程一定注意要验根． 26. （湖北潜江、天门、仙桃、江汉油田）化简)2()24 2( 2+÷-+-m m m m 的结果是 A ．0 B ．1 C ．—1 D ．（m ＋2）2 分式方程的增根和无解专题讲义 题型一：解分式方程，解分式方程时去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程的分母为 0,所以解分 式方程必须检验. x 1 4 x 1 x 2 1 专练一、解分式方程 （每题5分共50 分） 题型二：关于增根：将分式方程变形为整式方程 ，方程两边同时乘以一个含有未知数的整式 ，并越去分母，有 时可能产生不适合原分式方程的根，这种根通常称为增根? …、 1 x 4 例2、若方程」 7 有增根，则增根为 . x 3 3 x 有增根，则增根是多少？产生增根的m 值又是多少？ (1) X 2 3 4x x 2 3 (2) 1200 1200 x 2 x 30 (4) 空 5 =1 ⑸ 2x 5 5x 2 1 2 4 x 1 x 1 x 2 1 7 4 6 x 2 x x 2 x x 2 1 (7) (8) x 2x 5 5 5 2x (9) 1 1 x 2 5x 6 x 2 x 6 例1.解方程⑴ 例3 ?若关于x 的方程 m x 2 9 x 3 评注：由以上几例可知，解答此类问题的基本思路是: (1) (2) (3) 专练习二: 将所给方程化为整式方程； 由所给方程确定增根（使最简公分母为零的未知数的值或题目给出） 将增根代入变形后的整式方程，求出 字母系数的值。 3 —有增根，则增根为 3 1、已知关于x 的方程-―m m 无解，求m 的值. 1.若方程 2、 使关于x 的方程 a 2 2x 4 产生增根的a 的值是（ 2 x A. 2 B. C. 2 D.与a 无关 2x 3、若解分式方程二 x 1 A. — 1 或一2 B. m ~~2 x 产生增根，则m 的值是（ C. 1 或 2 D. 1 或一2 4.当m 为何值时，解方程 m -会产生增根？ 1 5、关于x 的方程 k 2 ——会产生增根，求k 的值。 x 3 6、当k 为何值时，解关于 x 的方程: k 1 x 2 只有增根X =1。 x 1 7、当a 取何值时，解关于 x 的方程: 2x 2 ax x 2 x 1 无增根? 题型三：分式方程无解 ①转化成整式方程来解 ,产生了增根；②转化的整式方程无解 例4、 无解，求m 的值. 2 x 八年级数学下册《分式》知识点归纳北 师大版 第三章分式 一、分式 1、两个整数不能整除时,出现了分数;类似地,当两个整式不能整除时,就出现了分式. 整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果除式B中含有字母,那么称为分式,对于任意一个分式,分母都不能为零. 2、整式和分式统称为有理式,即有: 3、进行分数的化简与运算时,常要进行约分和通分,其主要依据是分数的基本性质: 分式的分子与分母都乘以同一个不等于零的整式,分式的值不变. 4、一个分式的分子、分母有公因式时,可以运用分式的基本性质,把这个分式的分子、分母同时除以它的们的公因式,也就是把分子、分母的公因式约去,这叫做约分. 二、分式的乘除法 1、分式乘以分式,用分子的积做积的分子,分母的积做积的分母;分式除以以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘. 2、分式乘方,把分子、分母分别乘方. 逆向运用,当n为整数时,仍然有成立. 3、分子与分母没有公因式的分式,叫做最简分式. 三、分式的加减法 1、分式与分数类似,也可以通分.根据分式的基本性质,把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分. 2、分式的加减法: 分式的加减法与分数的加减法一样,分为同分母的分式相加减与异分母的分式相加减. 同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减; 上述法则用式子表示是: 异号分母的分式相加减,先通分,变为同分母的分式,然后再加减; 上述法则用式子表示是: 3、概念内涵: 通分的关键是确定最简分母,其方法如下:最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次幂的积,如果分母是多项式,则首先对多项式进行因式分解. 四、分式方程 1、解分式方程的一般步骤: ①在方程的两边都乘最简公分母,约去分母,化成整式方程; 一、分式方程计算： （1） 21)2(11+-?+÷-x x x x （2）32232)()2(b a c ab ---÷ （3）2323()2()a a a ÷- （4）0142)3()101( )2()21(-++-----π （5）222)()()(b a a b ab ab b a b a b -?-+-÷- （6 ）(3103124π--????-?-÷ ? ????? （7）2211y x xy y x y x -÷???? ??++- 二、分式方程 1、（1）3513+=+x x ； （2) 11322x x x -+=--- (4)512552x x x =--- (5) 25231x x x x +=++. （6） （7） （8） 三、1、先化简，再求值)1121(1 222+---÷--x x x x x x ，其中31-=x 1 211422+=+--x x x x x 233321122--=++-x x x x x x x x 231392---++ 2、若使 互为倒数，求x 的值。 3、若分式方程 3234=++x m mx 的解为1=x ，求m 的值。 2 3223+---x x x x 与 四、二元一次方程组 解方程组： 五、可化为一元二次方程的分式方程、二元二次方程组 56556--=--x x x 22(1)(5)2511 x y x y ?++-=?+=? 226232x x x x +---=0 |a + b + 7| + a 2b 2–10ab + 25＝0 2123x x x ++-+2226x x x -+-=2632x x x --+ 第十七章 分式 §17.1 分式及其基本性质 一． 知识点： 1.分式的概念：形如 B A (A 、B 是整式，且B 中含有字母（未知数），B ≠0)的式子，叫做分式(fraction ).其中A 叫做分式的分子(numerator ),B 叫做分式的分母（denominator ）.整式和分式统称有理式（rational expression ）. 注意：在分式中，分母的值不能是零.如果分母的值是零，则分式没有意义。（分式有意义的条件） 2.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变.与分数类似，根据分式的基本性，可以对分式进行约分和通分. 3.分式值为零的条件：分子等于零且分母不等于零。 二．学习过程： 1．先由分数，整数，有理数的概念引入分式，有理式。（单项式和多项式统称为整式。代数式中的一种有理式.不含除法运算或分数,以及虽有除法运算及分数,但除式或分母中不含变数者，则称为整式） 再按教材的思路讲解，并归纳相关的知识点。 2. 和学生一起完成课后习题。 三．例题及习题： 教材中的题目。 典型例题 1.23m m 是一个分式么？ 答：是。虽然可以化成3m 的整式形式，但在化简的过程中正是运用了分式的基 本性质化简的，另外2 3m m 与3m 中的字母的取值也不同． 习题一 （1）．当x 取什么值时，下列分式有意义？(1)12+a a ;(2) 3252 -a a （2）. 要使分式)5)(32(23-+-x x x 有意义，则.（ ） （A ）x ≠23- (B)x ≠5 (C)x ≠23-且x ≠5 (D)x ≠23 - 或x ≠5 （3）. 当a 为任意有理数时，下列分式一定有意义的是.（ ） （A ）112++a a （B ）12+a a （C ）112++a a （D ）2 1 a a + （4）. 当x 是什么数时，分式25 2++x x 的值是零？ 解：由分子x+2=0得x=-2 而当x=-2时，分母2x-5≠0 所以，当x=-2时，分式的值是零 习题二 一、填空题 1.约简公式 = . 2.a 取整数 时，分式(1-114++a a )·a 1 的值为正整数. 3.如果x+x 1=3，则1x x x 2 42 ++的值为 . 4.已知x=1+a 2,y=1-a 1 .用x 的代数式表示y ，得y= ；用y 的代数式表 示x ，得x= . 5．要使代数式3a 2a 3 a 2 ---的值为零，只须 . 6.已知s=) y s (q 1yq x ≠--,用x 、y 、s 表示q 的式子是 . 7.两个容积相等的瓶子中装满了酒精和水的溶液，其中一个瓶子中酒精与水的容积之比是p ∶1，另一个瓶子中是q ∶1.若把这两瓶溶液混合在一起，混合液中酒精与水的容积之比为 . 初二数学下册分式知识点 （一）运用公式法： 我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。于是有： a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。这种分解因式的方法叫做运用公式法。 （二）平方差公式 1．平方差公式 （1）式子：a2-b2=(a+b)(a-b) （2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。这个公式就是平方差公式。 （三）因式分解 1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。 2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。 （四）完全平方公式 （1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到： a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。 把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。 上面两个公式叫完全平方公式。 （2）完全平方式的形式和特点 ①项数：三项 ②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。 ③有一项是这两个数的积的两倍。 （3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。 （4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。这里只要将多项式看成一个整体就可以了。 （5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。 （五）分组分解法 我们看多项式am+an+bm+bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式． 如果我们把它分成两组(am+an)和(bm+bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式． 原式=(am+an)+(bm+bn) 八年级数学下册分式单元测试题 一、精心选一选（每小题3分，共24分） 1．计算223)3(a a ÷-的结果是（ ） （A ）49a - （B ）46a （C ）39a （D ）49a 2．下列算式结果是－3的是（ ） （A ）1)3(-- （B ）0)3(- （C ）)3(-- （D ）|3|-- 4．下列算式中，你认为正确的是( ) A ． 1-=---a b a b a b B 。11=?÷b a a b C ． D ． b a b a b a b a +=--?+1) (1222 5．计算??? ? ??-÷???? ??-?24382342y x y x y x 的结果是（ ） （A ）x 3- （B ）x 3 （C ）x 12- （D ）x 12 6．如果x ＞y ＞0，那么x y x y -++11的值是（ ） （A ）0 （B ）正数 （C ）负数 （D ）不能确定 7．如果m 为整数，那么使分式 13++m m 的值为整数的m 的值有（ ） （A ）2个 （B ）3个 （C ）4个 （D ）5个 8．已知1 22432+--=--+x B x A x x x ，其中A 、B 为常数，则4A －B 的值为（ ） （A ）7 （B ）9 （C ）13 （D ）5 二、细心填一填（每小题3分，共30分） 9．计算：－1 6-＝ ． 10．用科学记数法表示：－0.00002004＝ ． 11．如果32=b a ，那么=+b a a ____ ． 12．计算： a b b b a a -+-＝ ． 13．已知31=-a a ，那么221a a +＝ ． 14．一根蜡烛在凸透镜下成一实像，物距u ，像距v 和凸透镜的焦距f 满足关系式：1u ＋1v ＝1f . 若f ＝6厘米，v ＝8厘米，则物距u ＝ 厘米. 15．若54145=----x x x 有增根，则增根为___________．解分式方程及增根-无解的典型问题含答案
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