高三数学 知识点精析精练19 轨迹方程的求法

高三数学 知识点精析精练19 轨迹方程的求法

【复习要点】

求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一.求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.这类问题除了考查学生对圆锥曲线的定义，性质等基础知识的掌握，还充分考查了各种数学思想方法及一定的推理能力和运算能力，因此这类问题成为高考命题的热点。

求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法.

(1)直接法 直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程.

(2)定义法 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等)，可用定义直接探求.

(3)相关点法 根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程.

(4)参数法 若动点的坐标(x ,y )中的x ,y 分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程.

求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性.要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念. 【例题】

【例1】 已知A 、B 为两定点，动点M 到A 与到B 的距离比为常数λ,求点M 的轨迹方程，并注明轨迹是什么曲线. 解：建立坐标系如图所示， 设|AB |=2a ,则A (－a ,0）,B (a ,0). 设M (x ,y )是轨迹上任意一点. 则由题设，得

|

||

|MB MA =λ,坐标代入， 得

2

222)()(y

a x y a x +-++=λ,化简得

(1－λ2

)x 2

+(1－λ2

)y 2

+2a (1+λ2

)x +(1－λ2

)a 2

=0

(1)当λ=1时，即|M A|=|M B|时，点M 的轨迹方程是x =0，点M 的轨迹是直线(y 轴).

(2)当λ≠1时，点M 的轨迹方程是x 2

+y 2

+2

21)

1(2λ

-λ+a x +a 2=0.点M 的轨迹是以 (－221)1(λ-λ+a ，0)为圆心，|

1|22λ-λa 为半径的圆.

【例2】 如图所示，已知P (4，0)是圆x 2

+y 2

=36内的一点，A 、

B 是圆上两动点，且满足∠APB =90°，求矩形APBQ 的顶点Q 的轨

迹方程.

解：设AB 的中点为R ，坐标为(x ,y )，则在Rt △ABP 中，|AR |=|PR |.

又因为R 是弦AB 的中点，依垂径定理：在Rt △OAR 中，|AR |2

=|AO |2

－|OR |2

=36－(x 2

+y 2

) 又|AR |=|PR |=22)4(y x +-

所以有(x －4)2

+y 2

=36－(x 2

+y 2

),即x 2

+y 2

－4x －10=0

因此点R 在一个圆上，而当R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动. 设Q (x ,y )，R (x 1,y 1)，因为R 是PQ 的中点，所以x 1=2

,241+=+y y x , 代入方程x 2

+y 2－4x －10=0,得

2

4

4)2()24(

22+?-++x y x －10=0 整理得：x 2

+y 2

=56,这就是所求的轨迹方程.

【例3】 设点A 和B 为抛物线 y 2

=4px (p ＞0)上原点以外的两个动点，已知OA ⊥OB ，

OM ⊥AB ，求点M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.(2000年北京、安徽春招)

解法一：设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (x ,y )依题意，有

?

??

????????????--=---=--?

-=?==11

21

21212

12

2

1122

212

11144x x y y x x y y x x y y x y x y x y px y px y ①－②得(y 1－y 2)(y 1+y 2)=4p (x 1－x 2) 若x 1≠x 2,则有

2

121214y y p

x x y y +=--⑥

①×②,得y 12

·y 22

=16p 2

x 1x 2 ③代入上式有y 1y 2=－16p 2

⑦ ⑥代入④，得y

x

y y p -=+214⑧

⑥代入⑤，得

p

y

x y y x x y y y y p

4421

11121--=--=+ 所以

21

1214)(44y px y y p y y p

--=+ 即4px －y 12

=y (y 1+y 2)－y 12

－y 1y 2

⑦、⑧代入上式，得x 2

+y 2

－4px =0(x ≠0) 当x 1=x 2时，AB ⊥x 轴，易得M (4p ,0)仍满足方程.

故点M 的轨迹方程为x 2

+y 2－4px =0(x ≠0)它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.

解法二：设M (x ,y )，直线AB 的方程为y =kx +b 由OM ⊥AB ，得k =－

y

x 由y 2

=4px 及y =kx +b ，消去y ,得k 2x 2

+(2kb －4p )x +b 2

=0 所以x 1x 2=2

2k b ,消x ,得ky 2

－4py +4pb =0

所以y 1y 2=

k

pb

4，由OA ⊥OB ，得y 1y 2=－x 1x 2 所以k pk 4=－22

k

b ,b =－4kp

① ② ③ ④ ⑤

故y =kx +b =k (x －4p ),用k =－

y

x 代入，得x 2+y 2

－4px =0(x ≠0) 故动点M 的轨迹方程为x 2

+y 2

－4px =0(x ≠0)，它表示以(2p ,0)为圆心，以2p 为半径的圆，去掉坐标原点.

【例4】 某检验员通常用一个直径为2 cm 和一个直径为1 cm 的标准圆柱，检测一个直径为3 cm 的圆柱，为保证质量，有人建议再插入两个合适的同号标准圆柱，问这两个标准圆柱的直径为多少？

解：设直径为3,2,1的三圆圆心分别为O 、A 、B ，问题转化为求两等圆P 、Q ,使它们与⊙O 相内切，与⊙A 、⊙B 相外切.

建立如图所示的坐标系，并设⊙P 的半径为r ,则 |PA |+|PO |=1+r +1.5－r =2.5

∴点P 在以A 、O 为焦点，长轴长2.5的椭圆上，其方程为 3

225)41(162

2y x ++=1 ① 同理P 也在以O 、B 为焦点，长轴长为2的椭圆上，其方程为 (x －

2

1)2+34y 2

=1 ②

由①、②可解得)14

12

,149(),1412,149(

-Q P ，∴r =73)1412()149(2322=+-

故所求圆柱的直径为

7

6

cm. 【例5】 已知双曲线的中心在原点，以坐标轴为对称轴，离心率为5

2

，且双曲线上动点P 到点A （2，0）的最近距离为1．

（1）证明：满足条件的双曲线的焦点不可能在y 轴上； （2）求此双曲线的方程；

（3）设此双曲线的左右焦点分别是12,F F ，Q 是双曲线右支上的动点，过1F 作12F QF ∠的平分线的垂线，求垂足M 的轨迹．

解：（1）证明：设双曲线的实半轴长为a ，虚半轴长为b ，半焦距为c ，则由

c

a

=52，

得222

54a b a

+=，所以，12b a =． 假设存在满足条件且焦点在y 轴上的双曲线，则其渐近线方程为2y x =±．

因为点A （2，0）到渐近线的距离为1

d =

>）

．所以双曲线上动点到点A 的距离都超过1．所以，不存在满足条件且焦点在y 轴上的双曲线．

（2）解：由（1）可设双曲线的方程为：()22

22104x y b b b

-=>，

则这个双曲线上任一点(),P x y 到点()2,0A 的距离为：

PA =

==

∵(,2][2,)x b b ∈-∞-?+∞，

∴若825b ≤，则当8

5x =时，PA 有最小值，由min 1PA ==，解得21

5

b =-（舍去）；

若8

25

b >

，则当2x b =时，PA 有最小值，由min 221PA b =-=，解得31

22

b =

或（舍去）

； ∴双曲线的方程为：22

4199

x y -=

（3）解：设点M 的坐标为（x ，y ），延长2QF 与1F M 交于点T ，连接OM ． ∵ QM 平分12F QF ∠，且QM ⊥1F M ， ∴1QF QT =，1F M MT =． 又∵点Q 是双曲线右支上的动点， ∴1222QF QF QT QF a -=-= ∴22F T a =， ∴OM a =，

即点M 在以O 为圆心，a 为半径的圆上．

∵ 当点Q 沿双曲线右支运动到无穷远处时，QM 趋近于双曲线的渐近线， ∴ 点M 的轨迹是圆弧CBD ，除去点C,点D.方程为：2265935x y x ??

+=-

<≤ ?

???

． 【例6】 如图，过点A （－1，0），斜率为k 的直线l 与抛物线C ：y 2

=4x 交于P ，Q 两点.

（I ）若曲线C 的焦点F 与P ，Q ，R 三点按如图顺序构成平行四边形PFQR ，求点R 的轨迹方程；

（II ）设P ，Q 两点只在第一象限运动， （0，8）点与线段PQ 中点的连线交x 轴于 点N ，当点N 在A 点右侧时，求k 的取值范围.

解：（I ）要求点R 的轨迹方程，注意到 点R 的运动是由直线l 的运动所引起的，因此可 以探求点R 的横、纵坐标与直线l 的斜率k 的关 系．

然而，点R 与直线l 并无直接联系．与l 有直接联系的是点P 、Q ，通过平行四边形将P 、

Q 、R 这三点联系起来就成为解题的关键．

由已知:(1)l y k x =+，代入抛物线C ：y 2

=4x 的方程，消x 得：

2

04

k y y k -+= ∵C l P 直线交抛物线于两点、Q

∴20410k k ?≠????=->?

解得1001k k -<<<<或

设1122(,),(,),(,)P x y Q x y R x y ，M 是PQ 的中点，则由韦达定理可知：

122

,2M y y y k

+=

=

将其代入直线l 的方程，得2212M M x k y k ?=-????=??

∵ 四边形PFQR 是平行四边形， ∴RF 中点也是PQ 中点M .

∴24234

2M F M

x x x k y y k ?

=-=-????==??

又

(1,0)(0,1)k ∈-?

∴(1,)M x ∈+∞．

∴ 点R 的轨迹方程为.1),3(42

>+=x x y

（II ）因为P 、Q 在第一象限，所以，12100y y y ?>>2且＋y ，0k >．结合（I ）得，

)1,0(∈k …①

点（0，8）与PQ 中点所在直线方程为828222+--=x k k k y ．令y =0,得N 点横坐标为：

22

48

4N k x k k

-=-． 因为N 在点A 右侧，令1N x >-，得22

4814k k k ->--．解之得k<0或.841

<

合①②，得k 的取值范围是

.14

1

<

（I ）当点P 在y 轴上运动时，求N 点的轨迹C 的方程；

（II ）设A x y B x y D x y ()()()112233，，，，，是曲线C 上的三点，且、AF

DF BF 、成等差数列，当AD 的垂直平分线与x 轴交于点E （3，0）时，求B 点的坐标。

解：（1）∵→=→MP MN 2，故P 为MN 中点，

又∵→

→PF PM ⊥，P 在y 轴上，F 为（1，0），

故M 在x 轴的负方向上，设N （x ，y ）则M （－x ，0），P （0，2

y ），（x>0）， ∴)2

1()2

(y PF y x PM -=→--=→

，，，， 又∵0=→→→→PF PM PF PM ·故⊥， 即04

2

=+-y x ∴的方程是轨迹C x x y )0(42

>=

（II ）抛物线C 的准线方程是x=－1，由抛物线定义知=→

+=→BF x AF ，1||112+x ，||DF x →

=+31，

∵||||||→

→→DF BF AF 、、成等差数列，

∴2312312)1(211x x x x x x =++=+++∴，

又32

3222121

444x y x y x y ===，，， 故)(4))((3131312

321x x y y y y y y -=-+=-，

∴3

131314

y y x x y y k AD +=--=

∴AD 的中垂线为)3(4

3

1-+-=x y y y 而AD 中点在其中垂线上，，)2

2(3

131y y x x ++ ∴

)32

(42313131-++-=+x x y y y y 。 即，

∴，1)3(2

1

122=--

=x x 由24222

2±∴，==y x y ，

∴B 点坐标为（1，2）或（1，－2）。

【例8】 双曲线的两焦点分别是1F 、2F ，其中1F 是抛物线1)1(4

12++-=x y 的焦点，两点A （-3，2）、B （1，2）都在该双曲线上． （1）求点1F 的坐标；

（2）求点2F 的轨迹方程，并指出其轨迹表示的曲线．

解：（1）由1)1(4

1

2++-=x y 得)1(4)1(2--=+y x ，焦点1F （-1，0）．

（2）因为A 、B 在双曲线上，

所以||||||||||||2121BF BF AF AF -=-，|||22||||22|22BF AF -=-．

①若||22||2222BF AF -=-，则||||22BF AF =，点2F 的轨迹是线段AB 的垂直平分线，且当y ＝0时，1F 与2F 重合；当y ＝4时，A 、B 均在双曲线的虚轴上． 故此时2F 的轨迹方程为x ＝-1（y ≠0，y ≠4）．

②若22||||2222-=-BF AF ，则24||||22=+BF AF ，此时，2F 的轨迹是以A 、B 为焦点，22=a ，2=c ，中心为（-1，2）的椭圆， 其方程为14

)2(8)1(2

2=-++y x ，（y ≠0，y ≠4） 故2F 的轨迹是直线x ＝-1或椭圆4

)2(8)1(2

2-++y x 1=，除去两点（-1，0）、（-1，4）

【轨迹方程的求法练习】

一、选择题

1．已知椭圆的焦点是F 1、F 2，P 是椭圆上的一个动点，如果延长F 1P 到Q ，使得|PQ |=|PF 2|，那么动点Q 的轨迹是( )

A.圆

B.椭圆

C.双曲线的一支

D.抛物线

2．设A 1、A 2是椭圆4

92

2y x +

=1的长轴两个端点，P 1、P 2是垂直于A 1A 2的弦的端点，则直线A 1P 1与A 2P 2交点的轨迹方程为( )

A.1492

2=+y x

B.1492

2=+x y

C.14

922=-y x

D.14

922=-x y

二、填空题

3．△ABC 中，A 为动点，B 、C 为定点，B (－2a ,0),C (2a ,0)，且满足条件sin C －sin B =2

1

sin A ,则动点A 的轨迹方程为_________.

4．高为5 m 和3 m 的两根旗杆竖在水平地面上，且相距10 m ，如果把两旗杆底部的坐标分别确定为A (－5，0)、B (5，0)，则地面观测两旗杆顶端仰角相等的点的轨迹方程是_________.

三、解答题

5．已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，且|AB |=|BC |=6，⊙O ′切直线l 于点A ，又过B 、C 作⊙O ′异于l 的两切线，设这两切线交于点P ，求点P 的轨迹方程.

6．双曲线22

22b

y a x -=1的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，

A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.

7．已知双曲线22

22n

y m x -=1(m ＞0,n ＞0)的顶点为A 1、A 2，与y 轴平行的直线l 交双曲线于

点P 、Q .

(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点M 的轨迹方程；

(2)当m ≠n 时，求所得圆锥曲线的焦点坐标、准线方程和离心率.

8．已知椭圆22

22b

y a x +=1(a ＞b ＞0),点P 为其上一点，F 1、F 2为椭圆的焦点，∠F 1PF 2的外

角平分线为l ，点F 2关于l 的对称点为Q ，F 2Q 交l 于点R .

(1)当P 点在椭圆上运动时，求R 形成的轨迹方程；

(2)设点R 形成的曲线为C ，直线l ：y =k (x +2a )与曲线C 相交于A 、B 两点，当△AOB 的面积取得最大值时，求k 的值.

参考答案

一、1.解析：∵|PF 1|+|PF 2|=2a ,|PQ |=|PF 2|, ∴|PF 1|+|PF 2|=|PF 1|+|PQ |=2a ,

即|F 1Q |=2a ,∴动点Q 到定点F 1的距离等于定长2a ,故动点Q 的轨迹是圆. 答案：A

2.解析：设交点P (x ,y ）,A 1(－3,0),A 2(3,0),P 1(x 0,y 0),P 2(x 0,－y 0) ∵A 1、P 1、P 共线，∴

3

00+=

--x y

x x y y ∵A 2、P 2、P 共线，∴

3

00-=-+x y

x x y y 解得x 0=14

9,149,3,92

220200=-=-=y x y x x y y x 即代入得

答案：C

二、3.解析：由sin C －sin B =

21sin A ,得c －b =2

1

a , ∴应为双曲线一支，且实轴长为2a ,故方程为)4(1316162222a

x a

y a x >=-. 答案：

)4

(1316162

22

2a

x a y a x >=-

4.解析：设P (x ,y ），依题意有

2

2

2

2

)5(3)5(5y

x y

x +-=

++,化简得P 点轨迹方程为

4x 2+4y 2

－85x +100=0.

答案：4x 2

+4y 2

－85x +100=0

三、5.解：设过B 、C 异于l 的两切线分别切⊙O ′于D 、E 两点，两切线交于点P .由切线的性质知：|BA |=|BD |，|PD |=|PE |，|CA |=|CE |，故|PB |+|PC |=|BD |+|PD |+|PC |=|BA |+|PE |+|PC | =|BA |+|CE |=|AB |+|CA |=6+12=18＞6=|BC |，故由椭圆定义知，点P 的轨迹是以B 、C 为两焦点的椭圆，以l 所在的直线为x 轴，以BC 的中点为原点，建立坐标系，可求得动点P 的轨迹方

程为72

812

2y x +

=1(y ≠0) 6.解：设P (x 0,y 0）(x ≠±a ),Q (x ,y ). ∵A 1(－a ,0),A 2(a ,0).

由条件?????-=±≠-=???????-=-?--=+?+y a x y a x x x a

x y a x y a x y a x y 2

2000000

0)( 11得 而点P (x 0,y 0)在双曲线上，∴b 2x 02－a 2y 02=a 2b 2

. 即b 2

(－x 2

)－a 2

(y

a x 22-)2=a 2

b 2

化简得Q 点的轨迹方程为：a 2x 2－b 2y 2=a 4

(x ≠±a ).

7.解：(1)设P 点的坐标为(x 1,y 1)，则Q 点坐标为(x 1,－y 1),又有A 1(－m ,0),A 2(m ,0), 则A 1P 的方程为：y =

)(11

m x m

x y ++① A 2Q 的方程为：y =－

)(11

m x m

x y --② ①×②得：y 2

=－

)(222

212

1m x m x y --③

又因点P 在双曲线上，故

).(,12212

22

12

212

21m x m n y n y m x -=

=-

即

代入③并整理得2

22

2n y m x +

=1.此即为M 的轨迹方程.

(2)当m ≠n 时，M 的轨迹方程是椭圆.

(ⅰ)当m ＞n 时，焦点坐标为(±2

2

n m -,0)，准线方程为x =±

2

2

2n

m m -,离心率

e =m

n m 22-；

(ⅱ)当m ＜n 时，焦点坐标为(0,±2

2n m -),准线方程为y =±

2

2

2m

n n -,离心率

e =n

m n 22-.

8.解：(1)∵点F 2关于l 的对称点为Q ，连接PQ ， ∴∠F 2PR =∠QPR ，|F 2R |=|QR |，|PQ |=|PF 2|

又因为l 为∠F 1PF 2外角的平分线，故点F 1、P 、Q 在同一直线上，设存在

R (x 0,y 0）,Q (x 1,y 1),F 1(－c ,0),F 2(c ,0).

|F 1Q |=|F 2P |+|PQ |=|F 1P |+|PF 2|=2a ,则

(x 1+c )2

+y 12

=(2a )2

.

又???

???

?=+=221

010y y c x x 得x 1=2x 0－c ,y 1=2y 0.

∴(2x 0)2

+(2y 0)2

=(2a )2

，∴x 02

+y 02

=a 2

. 故R 的轨迹方程为：x 2

+y 2

=a 2

(y ≠0)

(2)如右图，∵S △AOB =2

1|OA |·|OB |·sin AOB =22

a sin AOB

当∠AOB =90°时，S △AOB 最大值为2

1a 2

.

此时弦心距|OC |=

2

1|2|k

ak +.

在Rt △AOC 中，∠AOC =45°，

.3

3

,2245cos 1|2|||||2±=∴=?=+=∴

k k a ak OA OC